Phân dạng và định hướng phương pháp giải lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số trong đề thi TNTHPT

Là giáo viên dạy học môn Toán ở trường THPTDTNT tỉnh, đối tượng HS chủ yếu là con em đồng bào dân tộc thiểu số thuộc vùng đặc biệt khó khăn, chất lượng đầu vào còn thấp, năng lực tư duy

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

Nhóm tác giả

1 Phan Đình Trường - P Hiệu trưởng

2 Trương Đức Thanh - Giáo viên

NĂM HỌC 2020 2021

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

Nhóm tác giả

1 Phan Đình Trường - P Hiệu trưởng

2 Trương Đức Thanh - Giáo viên

NĂM HỌC 2020 2021

MỤC LỤC

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Giới hạn nội dung và phạm vi áp dụng 2

3 Phương pháp nghiên cứu: 2

4 Tính mới và ý nghĩa của đề tài 3

PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 4

1 Cơ sở khoa học 4

1.1 Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số 4

1.2 Khái niệm về giá trị lớn nhất nhỏ nhất 4

2 Thực trạng năng lực, chất lượng môn Toán của học sinh tại trường THPT DTNT tỉnh 5

2.1 Thực trạng chất lượng 5

2.2 Thực trạng năng lực học, giải toán về tính đơn điệu của hàm số 5

3 Một số kinh nghiệm về phân dạng, định hướng xây dựng phương pháp giải các dạng toán về xét tính đơn điệu của hàm số 7

3.1 Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết f x( ) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của ( ) f x 7

3.2 Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết f '( )x , bảng biến thiên hoặc đồ thị của '( ) f x 16

3.3 Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết biểu thức f u x'( ( )) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f(u x( )) 25

3.4 Bài toán xét tính đơn điệu chứa tham số 32

4 Kết quả đạt được 52

5 Bài học kinh nghiệm 53

5.1.Tìm hiểu đối tượng học sinh để lựa chọn phương pháp phù hợp 53

5.2 Khuyến khích học sinh tự tìm tòi, khám phá trong quá trình giải toán 54

6 Hướng phát triển của đề tài 54

PHẦN III KẾT LUẬN 55

1 Kết luận 55

2 Kiến nghị 55

2.1 Đối với các cấp, ngành 55

2.1 Đối với nhà trường 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình môn toán trung học phổ thông, chủ đề hàm số được

xây dựng xuyên suốt chương trình, tạo nên sự gắn bó giữa các phân môn toán học với nhau Các bài toán về hàm số rất đa dạng, được khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau tạo nên nhiều lớp bài toán đặc trưng về hàm số

Từ năm học 2017-2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã thực hiện đề án thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm Nội dung chương trình chủ yếu tập trung vào chương trình khối 12, các bài toán được khai thác đưa vào đề thi rất đa dạng Trong nội dung đề thi, bài toán về hàm số được đưa vào với tỷ lệ từ 10-15 % ở cả 3 mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng Các bài toán về hàm số thường rất đa dạng và khó đặc biệt là các bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao Chỉ từ một bài toán về hàm số quen thuộc, ta thay đổi một vài dự kiện thì nó sẽ “biến” thành bài toán lạ, khó đối với HS Với thực trạng hiện nay, do áp lực của thi cử nên việc học Toán của HS thiên về các phương pháp thực dụng để giải quyết các bài toán trắc nghiệm; các em nhìn các đối tượng toán học dưới dạng tĩnh mà chưa nhìn nhận dưới dạng động; khả năng nhìn nhận, khai thác các dạng toán dưới dạng tổng thể còn hạn chế Điều đó dẫn đến HS gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán về hàm số ở mức độ vận dụng, vận dụng cao

Các lớp bài toán về hàm số trong đề thi TNTHPT bao gồm các dạng: Bài toán về tính đơn điệu; bài toán về cực trị; bài toán về sự tương giao, bài toán

về giá trị lớn nhất nhỏ nhất Trong đó lớp bài toán về tính đơn điệu là lớp bài toán đa dạng nhất và nó cũng là cơ sở để xây dựng phương pháp giải các lớp bài toán khác

Là giáo viên dạy học môn Toán ở trường THPTDTNT tỉnh, đối tượng

HS chủ yếu là con em đồng bào dân tộc thiểu số thuộc vùng đặc biệt khó khăn, chất lượng đầu vào còn thấp, năng lực tư duy về toán còn nhiều hạn chế; vấn đề đặt ra làm thế nào để HS giải được các bài toàn ở mức độ vận dụng, vận dụng cao trong đề thi TNTHPT với khoảng thời gian làm bài 50 câu/90 phút Điều đó đòi hỏi chúng tôi phải luôn phải tìm tòi, nghiên cứu để đưa ra các giải pháp phù

hợp nhằm nâng cao chất lượng giáo dục nói chung của nhà trường, chất lượng giáo dục môn Toán nói riêng

Thực tế trong quá trình giảng dạy ôn thi TNTHPT về lớp bài toán xét tính đơn điệu của hàm số chúng tôi đã căn cứ vào cơ sở khoa học, đề thi TNTHPT, đề minh họa, đề thi tốt nghiệp các năm, các tài liệu ôn thi tốt nghiệp

để từ đó phân chia thành các dạng toán, từ đó định hướng phương pháp giải và sắp xếp theo logic các dạng toán từ mức độ nhận biết, thông hiểu để mở rộng lên mức độ vận dụng, vận dụng cao Đồng thời, trong mỗi bài toán chúng tôi đã giúp HS biết cách nhận xét bản chất bài toán, tìm tòi nghiên cứu đưa ra nhiều phương pháp giải khác nhau để HS lựa chọn phương pháp tối ưu cho mỗi bài toán Những giải pháp đó đã giúp HS nắm được tổng thể lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số, bước đầu nhận thấy đem lại kết quả rõ rệt qua các bài kiểm tra khảo sát, kì thi TNTHPT 2019-2020 Từ những lý do trên trong thực

tiễn công tác của bản thân chúng tôi đã đúc rút được kinh nghiệm “Phân dạng

và định hướng phương pháp giải lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số trong đề thi TNTHPT”

2 Giới hạn nội dung và phạm vi áp dụng

- Đề tài đề cập đến một số kinh nghiệm giúp HS phân dạng, định hướng xây dựng và nắm vững phương pháp giải lớp bài toán tính đơn điệu của hàm số trong cấu trúc đề thi TN THPT

- Khách thể nghiên cứu: HS trường THPT DTNT tỉnh Nghệ An, HS trường Dân tộc Nội trú THPT số 2, HS trường THPT Lê Viết Thuật

- Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng tại trường THPT DTNT tỉnh Nghệ An, trường Dân tộc Nội trú THPT số 2, trường THPT Lê Viết Thuật

3 Phương pháp nghiên cứu:

3.1 Phương pháp khảo sát: Mục đích của phương pháp khảo sát là tìm

hiểu, đánh giá thực trạng và kết quả của các vấn đề nghiên cứu Phương pháp khảo sát có thể được tiến hành bằng nhiều hình thức khác nhau

Trong đề tài này, chúng tôi sử dụng phương pháp khảo sát để tìm hiểu thực trạng năng lực Toán học; thực trạng năng lực học và giải các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số, đặc biệt chú trọng khảo sát đánh giá năng lực giải các

bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao; khảo sát việc thực hiện dạy ôn thi TNTHPT của giáo viên về lớp bài toán tính đơn điệu của hàm số

3.2 Phương pháp phân tích: Thông qua các số liệu khảo sát, phân tích

đánh giá thực trạng việc dạy và học của HS

3.3 Phương pháp tổng hợp: Tổng hợp mọi vấn đề liên quan để hình

thành lí luận, nội dung của đề tài, vận dụng của đề tài để rút ra kết luận cần thiết

3.4 Phương pháp khái quát hóa: Từ các số liệu, giải pháp thực nghiệm

để khái quát thành giải pháp chung cho đề tài

3.5 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực hiện áp dụng đề tài trên

một số phạm vi, đánh giá tác động của đề tài từ đó

4 Tính mới và ý nghĩa của đề tài

- Căn cứ vào nội dung, chương trình thi TNTHPT về lớp bài toán xét tính đơn điệu hàm số; phân tích, đánh giá căn cứ vào giả thiết, yêu cầu của bài toán và tính chất đặc trưng của các hàm số từ đó chia thành các dạng, hướng dẫn

HS phân tích, nhận xét bản chất bài toán, xây dựng phương pháp giải cho các dạng và sắp xếp khai thác theo trình tự logic từ mức độ nhận biết, thông hiểu đến mức độ vận dụng, vận dụng cao Trong quá trình áp dụng, thực hiện đã giúp cho HS nắm vững tổng thể các dạng, vận dụng linh hoạt phương pháp giải lớp bài toán về xét tính đơn điệu của hàm số, tránh được một số sai lầm thường xảy

ra đối với dạng toán hàm số, giải được các bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao Từ đó, đã nâng cao năng lực giải toán cho HS và nâng cao kết quả thi TNTHPT môn Toán

- Đề tài có thể áp dụng rộng rãi ở các trường THPT và làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên ôn thi TNTHPT và nghiên cứu các lớp bài toán khác về hàm số

PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

1 Cơ sở khoa học

1.1 Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

1.1.1 Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( )xác định trên K(K là một

khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn)

- Hàm số y= f x( )đồng biến (tăng) trên K nếu

1.1.2 Định lí: Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm trên khoảng K

- Nếu f( )x    0, x Kthì hàm số đồng biến trên khoảng K

- Nếu f( )x    0, x Kthì hàm số nghịch biến trên khoảng K

Chú ý: Nếu f( )x    0, x K(hoặc f( )x    0, x K) và f( )x = 0 chỉ tại một

số hữu hạn điểm của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K)

1.2 Khái niệm về giá trị lớn nhất nhỏ nhất

+ Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

B1: Tính f( )x và tìm các điểm x x1, 2, ,x nD mà tại đó f( )x = 0 hoặc hàm số không có đạo hàm

B2: Lập bảng biến thiên

B3: Kết luận

+ Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

B1: Hàm số đã cho y= f x( ) xác định và liên tục trên đoạn  a b;

Tìm các điểm x x1, 2, ,x n trên khoảng ( )a b; , tại đó f( )x = 0 hoặc

Đánh giá chất lượng đầu vào: Điểm đầu vào thấp, số em đạt điểm toán từ

8 điểm trở lên rất ít Hơn 50% HS điểm thi toán đầu vào dưới 5 điểm

2.2 Thực trạng năng lực học, giải toán về tính đơn điệu của hàm số 2.2.1 Thực trạng

Đánh giá việc tiếp thu và làm bài và làm bài ở các mức độ: Đối với mức

độ nhận biết, thông hiểu các em làm khá tốt Tuy nhiên ở mức độ vận dụng, vận dụng cao

có rất ít các em có thể giải được các bài toán HS gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán vận dụng, vận dụng cao

2.2.2 Kết quả khảo sát

* Qua khảo sát HS 3 trường THPT bằng câu hỏi trắc nghiệm:

Em nhận thấy các bài về tính đơn điệu của hàm số ở mức độ vận dụng, vận dụng cao trong cấu trúc đề thi TNTHPT khó ở mức độ nào?

K12 trường Lê Viết Thuật 51,3% 42,3% 6,4% 0%

* Qua bài kiểm tra khảo sát 45 phút ở ba lớp – Trường THPTDTNT Tỉnh năm học 2019 - 2020 (Đề được ra ở 4 mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao)

Đánh giá kết quả làm bài của HS:

- Mức độ nhận biết, thông hiểu: Đa số các em HS làm tốt mức độ này

- Mức độ vận dụng: Chỉ có một số em vận dụng tốt phương pháp và làm bài tốt

- Mức độ vận dụng cao: Hầu hết các em không nắm được phương pháp giải

3 Một số kinh nghiệm về phân dạng, định hướng xây dựng phương pháp

giải các dạng toán về xét tính đơn điệu của hàm số

Trong đề thi TNTHPT các bài toán về tính đơn điệu rất đa dạng, được đưa ra ở cả 4 mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao Việc phân chia các bài toán dựa vào giả thiết và yêu cầu của bài toán

Do đó để HS để dàng nắm phương pháp giải lớp bài toán này chúng tôi

đã phân chia thành các dạng từ đó định hướng xây dựng phương pháp giải các dạng đó và phát triển cách giải cho các bài toán tổng hợp theo một trình tự logic như sau:

Trước hết chúng tôi căn cứ vào giả thiết bài toán để phân dạng thành các trường hợp:

+ Cho biết hàm sốf x( ), bảng biến thiên hoặc đồ thị của f x( )

+ Cho biết f '( )x bảng biến thiên hoặc đồ thị của f '( )x

+ Cho biết f u x'( ( )), bảng biến thiên hoặc đồ thị của f u x'( ( ))

3.1 Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết f x( ), bảng biến thiên hoặc

f x , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f x( )

Phương pháp: Dạng bài toán này đã được trình bày ở SGK Giải tích 12

Khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số f x( )thì ta hoàn toàn tương tự

- Từ bảng biến thiên của f x( ) ta dựa vào dấu đạo hàm dễ dàng suy ra khoảng đơn điệu

- Từ đồ thị của f x( ) ta căn cứ vào chiều của đồ thị từ trái qua phải để kết luận: Hướng đi lên thì đồng biến, hướng đi xuống thì nghịch biến

(Đây là dạng bài toán đơn giản nên chúng tôi không đưa ra ví dụ họa)

3.1.2 Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số f u x( ( )) khi biết f x( ), bảng biến thiên hoặc đồ thị của f x( )

Phương pháp 1:

Từ hàm số f x( ) ta thay x bằng , suy ra hàm số g x( ) = f u x( ( )) Ta xét sự biến thiên của hàm số g x( ) như phương pháp giải Dạng 1

Phương pháp 2:

Bước 1 Tính đạo hàm của hàm số f u x( ( ))

Bước 2 Sử dụng nghiệm của phương trình f x ='( ) 0, để tìm nghiệm của phương trình f u x'( ( )) = 0 từ đó dựa vào dấu của f '( )x suy ra dấu của f u x'( ( )) lập bảng biến thiên của hàm số f u x( ( ))

Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên kết luận

Lập bảng biến thiên của g x( )

Từ bảng biến thiên ta suy ra: Đáp án B

Chú ý: Cách xét dấu g x'( )

- Ta chỉ cần chọn một khoảng bất kì, trên khoảng đó chọn 1 giá trị x thay vào g x'( )sau đó dựa vào bảng biến thiên của f x( ) suy ra dấu của g x'( ) trên khoảng đó rồi suy ra dấu trên các khoảng còn lại

- C2 thường áp dụng cho các bài toán chỉ cho bảng biến thiên, đồ thị của

1 1

2 2

Từ bảng biến thiên, suy ra đáp án D

Chú ý: Nếu không lập bảng biến thiên ta có thể hướng dẫn học sinh giải

trực tiếp như sau

Kết hợp hai trường hợp ta được x > 12. Chọn D

Để phát triển tư duy cho HS, kích thích sự tìm tòi, đam mê học tập của

HS đối với bài toán này ta nên định hướng học sinh giải thêm các cách sau:

Cách 3 Từ giả giả thiết bài toán ta nhận xét bài toán đúng với mọi hàm số

có bảng biến thiên như giả thiết Ta thấy, bảng biến thiên của hàm số có dạng của hàm bậc 3 nên ta có thể chọn hàm số f x( ) như sau:

f f f

ê ê ê

êë

1 3 3 2 2 2

a

b c d

é

ê = ê ê - ê

=

Û ê ê

ê =ê ê

= êë

'( ) 0 1

2

g x =  =x Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra đáp án D

Cách 4 Chúng ta dùng phương pháp thử f x( ) (phương pháp này sẽ giúp

học sinh loại bỏ phương án không đúng)

Chú ý: Đối với phương pháp này khi hướng dẫn HS chọn 2 giá trị x x1 , 2

thích hợp để sao cho khi thay vào u x( )ta được 2 giá trị u u1, 2nằm trên một khoảng của bảng biến thiên f x( )thì ta mới so sánh được f u( ), (1 f u2)

Tương tự, với phương án B 3;

Đối với những phương án thử đáp án thì giúp HS khi gặp phải những bài toán việc xét dấu gặp khó khăn Tất nhiên phương pháp này cũng chỉ giúp

HS giải quyết được ở một số bài toán

Bài 3: Cho hàm sốy= f x( ) có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm số

Cách 1 Từ đồ thị ta có hàm số y= f x( ) đồng biến trên mỗi khoảng

(− ;0) và (2; +) Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên khoảng ( )0; 2

x x

-Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên khoảng ( )0;1 Đáp án D

Cách 2 Từ đồ thị ta có hàm số y= f x( ) đồng biến trên mỗi khoảng

(− ;0) và (2; +) Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên khoảng ( )0; 2

x x

Định hướng giải

Bước 1 Tính '( )g x Giải phương trình g x ='( ) 0

Bước 2 Lập bảng biến thiên g x( ) hoặc xét dấu g x'( )

Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên, dấu g x'( ) kết luận

Bài 4: Cho hàm số y= f x( )có bảng biến thiên như sau:

Việc xét dấu g x'( )ta có thể hướng dẫn học sinh theo 2 cách sau

Cách 1: Từ bảng biến thiên suy ra f x( )     0, x R f(3 −   x) 0, x R Xét

x x x

é ê ê ê ê êë

Suy ra hàm số g x( ) nghịch biến trên các khoảng ( − ;1) và (2;5)

Bài 5: Cho hàm số y= f x( )có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ

3 4.

x x x x

Ta có bảng biến thiên như sau

Đối chiếu đáp án vậy ta chọn D

Đối với các bài toán ở trên chúng ta có thể hướng dẫn các em HS sử dụng phương án thử đáp án để loại các phương án sai Vì giới hạn của sáng kiến nên chúng tôi không trình bày các cách thử đáp án

Chú ý: Trong dạng toán này việc xét dấu g x'( ) HS thường gặp nhiều khó khăn Vì vậy chúng tôi đề xuất hai hướng để các em HS có thể xét dấu của hàm

số g x'( ) như sau:

Cách 1: Lập một bảng chung xét dấu của các hàm số h x'( ), hàm số

'( ( ))

f u x và hàm số g x'( ) Từ dấu của các hàm số h x'( ), hàm số f u x'( ( )) thì có thể suy ra dấu của hàm số g x'( )

Cách 2: Vẽ dạng đồ thị các hàm số y=h x'( ), hàm số y= f x'( ) trên cùng một hệ trục tọa độ Từ hoành độ giao điểm của các đồ thị là x0 chúng ta có thể tìm được nghiệm của phương trình g x ='( ) 0 bằng cách cho u x( ) =x0 Sau đó tiến hành lập bảng xét dấu của g x'( )

3.2 Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết f '( )x , bảng biến thiên hoặc

đồ thị của f '( )x

Dạng toán xuất hiện khá nhiều trong các đề thi và chương trình ôn thi tốt nghiệp Bài tập đa dạng và ở các mức độ thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao Chúng tôi phân chia như sau:

+ Xét tính đơn điệu khi cho f x'( ) dạng biểu thức

+ Xét tính đơn điệu khi cho f x'( ) dạng bảng biến thiên

+ Xét tính đơn điệu khi cho f x'( ) dạng đồ thị

Vì vậy tùy từng cách cho f '( )x thì ta có thể đưa ra các phương án giải bài toán

3.2.1 Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số f x( ) khi biết hàm số

'( )

f x , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f '( )x

Định hướng giải

Bước 1 Giải phương trình f x ='( ) 0

Bước 2 Lập bảng biến thiên f x( ) hoặc bảng xét dấu f '( )x

Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên kết luận

Bài 1: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f( ) (x = x+ ) (2 −x)(x+ )

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3 2 ; )

B Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− − 3 1 ; ) và (2 ; +)

C Hàm số đồng biến trên các khoảng (− −3 ; ) và (2 ; +)

D Hàm số đồng biến trên khoảng (−3 2 ; )

Nhận xét: Ta thấy f x'( ) có 2

(x −1) nên dấu của f x'( ) sẽ không đổi khi qua x = −1 vì đây là nghiệm bội chẵn của đạo hàm

Hướng dẫn giải

Ta có: f( )x = 0

x x x

Bảng xét dấu f( )x

Dựa vào bảng trên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( −3 2 ; )

Ngoài cách giải ở trên ta cũng có thể sử dụng phương pháp thử đáp án để loại các đáp án sai

Chú ý: + Khi xét dấu của f '( )x cần chú ý đến số nghiệm bội chẵn, bội lẻ của phương trình f x ='( ) 0 Qua nghiệm bội chẵn thì đạo hàm không đổi dấu, qua nghiệm bội lẻ thì đạo hàm đổi dấu Cách xét dấu được thực hiện giống với cách xét dấu hàm số g x'( ) trong mục 3.1

+ Đối với bài toán cho bảng biến thiên hàm số f '( )x thì cần chú ý khi kết luận về tính đơn điệu hàm số tại những điểm là nghiệm của f x ='( ) 0 hoặc đạo hàm không tồn tại nhưng qua những điểm đó đạo hàm không đổi dấu

+ Đối với bài toán cho đồ thị hàm số f x'( ) thì cần chú ý khi kết luận về tính đơn điệu hàm số tại những điểm tiếp xúc đồ thị hàm số f '( )x tiếp xúc với trục hoành Qua những điểm này đạo hàm không đổi dấu, còn qua những điểm cắt trục hoành đạo hàm sẽ đổi dấu

Bài 2: Cho hàm số y= f x( ) xác định, liên tục trên R và có đạo hàm

( )

'

y= f x Biết rằng hàm số y= f '( )x có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên khoảng (− − ; 1)

B Hàm số y= f x( ) đồng biến trên khoảng (− − ; 1)

C Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên khoảng (1; +)

D Hàm số y= f x( ) đồng biến trên khoảng (1; 2)

Nhận xét: Đây là bài toán cho đồ thị hàm số f x'( ) nên cần chú ý như sau:

+ Phần đồ thị nằm phía trên trục hoành sẽ tương ứng với f x '( ) 0

+ Phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành sẽ tương ứng với f x '( ) 0

Định hướng giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm f( )x

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số f u x( ( ))

Bước 3: Xét dấu đạo hàm của hàm số f u x( ( )) hoặc lập bảng biến thiên của hàm số f u x( ( ))

Bước 4: Kết luận

Bài 3: (Đề thi THPTQG 2019 Mã đề 102)( dạng cho bảng biến thiên)

Cho hàm số f x( ), bảng xét dấu của f( )x như sau:

Vậy hàm số y= f (5 2 − x) nghịch biến trên các khoảng ( ) (3; 4 , − ; 2)

Bài 4: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018)( dạng cho đồ thị) Cho

+ Phần đồ thị nằm phía trên trục hoành sẽ tương ứng với f x '( ) 0

+ Phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành sẽ tương ứng với f x '( ) 0

Ngoài ra đối với những dạng toán này chúng ta có thể hướng dẫn HS phương án thử đáp án

Bài 5: (dạng cho biểu thức) Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm

Nhận xét : Đối với dạng y= f u x( ( )) khi tính đạo hàm ta có

x x x

Ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số ( )2

y= f x đồng biến trên khoảng (− 3;0)

và (3; +)

Chú ý: Khi giải bài toán này HS thường mắc phải các sai lầm khi tính

đạo hàm của hàm số f u x( ( )) hoặc không chú ý đến những điểm làm cho f x'( )

không đổi dấu nên dẫn đến kết quả sai

Bài 6: Cho hàm số y= f x( ) Biết hàm số y= f( )x có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hàm số ( 2)

− 6

−

Vậy hàm số đồng biến trên (− − 3; 2); (− 1;0); ( )1;2 và (3; +)

3.2.3 Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số g x( ) khi biết f '( )x , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f '( )x

Đây là dạng toán mức độ vận dụng cao trong các đề thi Dạng bài tập đa dạng, vì vậy tùy từng cách cho f '( )x thì ta có thể đưa ra các phương án giải bài toán Tuy nhiên định hướng chung khi giải bài toán này chúng tôi đề xuất như sau:

Định hướng giải

Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số f( )x hoặc f x( ) Xét dấu f( )x

Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số g x( )

Bước 3: Xét dấu đạo hàm của hàm số g x( ) hoặc bảng biến thiên của hàm

2 1 1

− 1

−

x

Nhận xét: Đối với bài toán dạng này khi giải g x ='( ) 0 thường đưa về bài toán tương giao của hai đồ thị Khi đó nghiệm của phương trình là hoành độ các giao điểm Việc xét dấu của g x'( ) trong các bài toán dạng này ta thường vẽ hai đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ Từ đó dựa vào vị trí của hai đồ thị trên trừng khoảng để kết luận về dấu của g x'( )

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên nhận thấy y=h x( ) nghịch biến trên khoảng (− 1;0 )

Bài 10: [Đề minh họa lần 1 năm 2020](dạng cho đồ thị) Cho hàm số f x( )

liên tục trên R và hàm số y= f( )x có đồ thị như hình vẽ

x y

– 2

4 1

2

  C (− − 2; 1) D ( )2;3

– 2

4 1

Hàm số g x( ) nghịch biến ( ) 0 ( ) 2 0

4 2

t t

3 8 1011

25 6;

Đối với dạng toán cho biểu thức f u x'( ( )) là một dạng toán gây khó khăn trong việc suy luận cách giải cho các em HS Thông thường các em quen với việc giải các bài toán cho trước f x'( ), vì vậy để giải bài toán này ta định hướng cho các em biến đổi từ biểu thức f u x'( ( )) về dạng quen thuộc f x'( ) bằng cách đổi biến t=u x( ) Từ đó chúng tôi đề xuất hướng giải bài toán như sau:

Định hướng giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm f(u x( ))

Bước 2: Đặt t=u x( )

Bước 3: Dựa vào dấu của f(u x( )) , xét dấu đạo hàm của hàm số f '( )t

Bước 4: Kết luận: kết quả với biến t cũng là kết quả bài toán

Lưu ý: Khoảng đơn điệu của hàm số f t( ) với biến t cũng là khoảng đơn điệu của hàm số f x( ) với biến x Vì hàm số không phụ thuộc vào biến, mà phụ thuộc vào cấu trúc của hàm số

Bài 1: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm là hàm số f( )x trên R Biết rằng hàm số y= f(x− + 2) 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng nào?

Vậy hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng (− 1;1)

Phân tích: Cho biết đồ thị của hàm số f( )x sau khi đã tịnh tiến và dựa

vào đó để xét sự đồng biến của hàm số f x( )