Phát triển một số tư duy toán học cho học sinh THPT thông qua các câu hỏi, bài tập mở trong chương trình hình học 11

Nhưng hiện nay các bài tập trong sách giáo khoa thường có cấu trúc dạng đóng, đồng thời vấn đề sử dụng bài tập mở như là phương tiện giáo dục Toán học cho học sinh chưa được quan tâm và

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI SKKN

1 Đứng trước sự phát triển, đi lên của đất nước và để thực hiện thắng lợi

Nghị quyết 29-NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế, đang đòi hỏi Ngành Giáo dục phải đổi mới phương pháp để nâng cao chất lượng dạy và học Giáo dục phải tạo nên những con người năng động, sáng tạo có năng lực làm chủ vấn đề và giải quyết vấn đề Phương pháp dạy học đóng vai trò to lớn trong kết quả của quá trình giáo dục Mỗi phương pháp dạy học sẽ giúp nguời học phát triển trí tuệ và năng lực theo những hướng khác nhau

2 Trong nhà trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học Đối

với học sinh có thể xem giải bài tập Toán là một trong các hoạt động chủ yếu của hoạt động Toán học Theo G Polya thì hoạt động giải Toán phải thể hiện được:

“đặc trưng của phương pháp khoa học đó là dự đoán và kiểm nghiệm” Cách phát biểu bài toán có thể chỉ ra nhiệm vụ cần thực hiện (như chứng minh mệnh đề), cũng có thể đặt học sinh vào tình huống mò mẫm, dự đoán, thử nghiệm và tìm kết quả tức là dạng bài toán mở Nhưng hiện nay các bài tập trong sách giáo khoa thường có cấu trúc dạng đóng, đồng thời vấn đề sử dụng bài tập mở như là phương tiện giáo dục Toán học cho học sinh chưa được quan tâm và khai thác một cách hiệu quả, vì thế người giáo viên gặp khó khăn trong việc tạo ra một môi trường học tập mà trong đó học sinh thực sự tích cực, chủ động, sáng tạo trong việc tiếp nhận kiến thức

3 Qua nghiên cứu lí luận và thực tiễn chúng tôi nhận thấy: nếu người giáo

viên biết thiết kế và cấu trúc lại các bài tập trong sách giáo khoa thành dạng bài tập

mở, phù hợp với năng lực của học sinh và xem nó như là một phương tiện để tiến hành các phương pháp dạy học hiện đại, thì có thể phát huy được tính tích cực và khơi dậy được những khả năng tiềm tàng của học sinh, đồng thời qua đó giáo viên nhận được nhưng thông tin về năng lực của học sinh một cách chính xác để kịp thời rèn luyện, khắc phục và sửa chữa những sai lầm

4 Một số tác giả nước ngoài như là Moon và Schulman cũng đã đề cập đến

vấn đề sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học ở trường phổ thông Ở Việt Nam

đã có các công trình nghiên cứu về bài toán mở của các tác giả Tôn Thân, Nguyễn Văn Bàng, Bùi Huy Ngọc, Phan Trọng Ngọ…Tác giả Trần Vui cũng đã nghiên

cứu việc “Khảo sát toán học” thông qua bài tập mở

5 Thực trạng và yêu cầu của việc sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học ở các trường THPT

Trong dạy học toán ở nước ta hiện nay còn chú trọng nhiều về thuật toán, kiến thức truyền thụ cho học sinh còn có tính chất áp đặt, các câu hỏi đặt ra thường

riêng lẻ, mang tính gợi nhớ và nhắc lại về kiến thức Cách dạy này không phát huy được tính tích cực của học sinh và không đáp ứng được mục đích: Việc giảng dạy toán học phải hướng tới một mục đích lớn hơn là thông qua việc học tập để phát triển trí tuệ chung, hình thành ở học sinh những phẩm chất tư duy cần thiết, một nền tảng kiến thức, kỹ năng cơ bản và chắc chắn qua đó hoàn thiện con người năng động, có năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

Hiện nay việc xây dựng các giờ học dựa trên câu hỏi, bài tập mở ở các trường THPT còn có khó khăn do cấu trúc chương trình, năng lực của giáo viên và trình độ của học sinh còn nhiều hạn chế và không đồng đều trong cùng một lớp học Vì thế việc dạy học theo hướng sử dụng các bài toán mở cần có sự nỗ lực và

cố gắng đồng bộ, đặc biệt giáo viên cần nhận thức vai trò, vị trí của việc dạy học theo hướng sử dụng câu hỏi bài tập mở trong việc tích cực hoá nhận thức của người học

6 Khả năng áp dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học toán ở trường THPT

Hiện nay sự đổi mới về phương pháp dạy học đã có sự chuyển biến tích cực

về chiều sâu lẫn chiều rộng Điều đó thể hiện ở cách dạy của thầy và cách học của trò Nhiều giáo viên đã áp dụng đồng thời các phương pháp dạy học mới và các phương pháp “truyền thống” như dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học khám phá Đứng trước các tình huống dạy học, mỗi phương pháp đều có thể thực hiện theo nhiều cách khác nhau và ta có thể xem câu hỏi, bài tập mở là một phương tiện để thực hiện các phương pháp dạy học đó

Tuy nhiên để câu hỏi, bài tập mở thực sự mang lại hiệu quả trong các giờ học

ta cần lưu ý nguyên tắc cơ bản trong dạy học là: phải đảm bảo tính vừa sức, dạy học phải dựa vào vùng phát triển gần nhất Vì vậy hệ thống câu hỏi, bài tập mở phải phù hợp với từng đối tượng học sinh

Qua nghiên cứu sách giáo khoa Hình học 11, tôi nhận thấy rằng ngoài các câu hỏi, bài tập củng cố kiến thức, còn có các bài toán hay và khó, đặc biệt là Sách Giáo khoa 11 Nâng cao Vì vậy với đối tượng học sinh trung bình ta có thể sử dụng câu hỏi, bài tập mở để củng cố các khái niệm và khắc sâu định lí, còn đối với đối tượng học sinh khá trở lên ta có thể sử dụng câu hỏi, bài tập mở thông qua các bài tập bổ sung để rèn luyện năng lực tự phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề, đồng thời phát triển năng lực giải toán và tính sáng tạo cho học sinh

Kết hợp với nghiên cứu đặc điểm sách giáo khoa Hình học 11 và các vấn đề

trong giảng dạy hình học không gian, tôi chọn đề tài SKKN là: “Phát triển một số

tư duy Toán học cho học sinh THPT thông qua các câu hỏi, bài tập mở trong chương trình Hình học 11”, với đối tượng nghiên cứu là học sinh khá và giỏi

II NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI

1 Đưa ra khái niệm về câu hỏi, bài tập mở

2 Phân tích được việc sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học là tương thích với các lí thuyết dạy học tích cực

3 Nghiên cứu vai trò của câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức của học sinh

4 Đề xuất các bước bước tổ chức dạy học Toán theo hướng sử dụng câu hỏi, bài tập mở

5 Đề xuất một số dạng câu hỏi, bài tập được chuyển sang dạng mở để hình thành và củng cố khái niệm; khắc sâu các kiến thức, định lí cho học sinh; Phát triển

và nâng cao khả năng giải toán cho học sinh

6 Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính hiệu quả khi áp dụng Đề tài trong việc dạy cho học sinh khá, giỏi

7 Đề tài cũng nêu lên ưu điểm, hạn chế và khả năng của việc sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học ở trường THPT

PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I CƠ SỞ KHOA HỌC

1 Cơ sở lý luận

a) Câu hỏi, bài tập đóng

Câu hỏi, bài tập đóng là dạng câu hỏi có cấu trúc hoàn chỉnh, ở đây một câu trả lời đúng luôn được xác định rõ ràng theo một mục tiêu cố định nào đó từ những giả thiết cần thiết được cho trong tình huống của bài toán

Ví dụ 1 Cho u (1;2),v (4;2)

Chứng minh u 

và v vuông góc

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC vuông tại B SA vuông góc với mặt phẳng ABC tại A

Chứng minh BCASB.

b) Câu hỏi, bài tập mở

Theo Tôn Thân: “Câu hỏi, bài tập mở là dạng bài toán trong đó điều phải tìm hoặc điều phải chứng minh không được nêu lên một cách rõ ràng, người giải phải tự xác định điều ấy thông qua mò mẫm dự đoán và kiểm nghiệm” Nghiên cứu

của Tôn Thân về câu hỏi, bài tập mở chú ý đến bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

Ví dụ 3 Cho u( b a; ), tìm v

sao cho u

và v vuông góc

Ví dụ 4 Trong không gian cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (O; R) Hãy xét vị trí tương đối của (P) và mặt cầu (O; R)?

- Tồn tại một vấn đề: Tính huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua

- Gợi nhu cầu nhận thức: Người học sinh phải cảm thấy sự cần thiết, thấy mình có nhu cầu giải quyết Tốt nhất là tình huống gây được "cảm xúc" làm cho học sinh ngạc nhiên, thấy hứng thú mà mong muốn giải quyết

- Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy nó vượt quá xa so với khả năng của mình

5

thì họ cũng không sẵn sàng giải quyết Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chưa

có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra

và họ tin rằng nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ giải quyết được

Như vậy trong dạy học giải quyết vấn đề ta thấy:

+ Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ không phải là thông báo tri thức dưới dạng có sẵn

+ Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề

+ Mục tiêu dạy học không phải là chỉ làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy Nói cách khác học sinh được học bản thân của việc học

Điều quan trọng trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không phải

là nêu lên các câu hỏi, mà là cách đặt câu hỏi như thế nào để tạo ra các tình huống có vấn đề

Ví dụ 5 Sau khi học khái niệm hai véctơ cùng phương, giáo viên có thể nêu câu

hỏi sau: Cho hai vectơ u , v và hai số thực a, b thoả mãn a u b v   o

Hai vectơ u , v có cùng phương không?

Với câu hỏi này giáo viên có thể nhận được nhiều phản hồi từ phía học sinh bởi qua những câu trả lời khác nhau

Có những học sinh trả lời vectơ u, v cùng phương, còn có những học sinh

cho rằng hai vectơ u , v không cùng phương, và có thể có những học sinh xét được những trường hợp của các số a, b và đưa ra được kết luận đúng trong từng

trường hợp Điều quan trọng là qua đó giáo viên đánh giá được khả năng phân tích, suy luận của học sinh và khắc sâu được khái niệm vectơ không và hai vectơ cùng phương

Trong giờ luyện tập về quan hệ vuông góc giáo viên có thể nêu cho học sinh câu hỏi với độ mở lớn như sau:

Ví dụ 6 Trong một tứ diện các đường cao có đồng quy không?

Với câu hỏi này học sinh có thể liên tưởng tới tính đồng quy của 3 đường cao trong tam giác và cho rằng các đường cao trong tứ diện đồng quy

Tuy nhiên, có những học sinh đưa ra ví dụ về những tứ diện mà đường cao

không đồng quy Khi đó vấn đề mới đặt ra cho học sinh là “tứ diện nào thì các đường cao đồng quy?”

Ví dụ 7 Ta xét ví dụ về dạy học giải quyết vấn đề với câu hỏi mở

Bài toán 1 (Hình 1) Cho hình chóp S ABCD. , đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) Dựng đường vuông góc chung của AD và SB

Trong bài toán này học sinh có thể nhìn thấy

ADSB Từ A dựng AK SB suy ra AK là đoạn vuông

góc chung của AD và SB

Bài toán 2 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình

bình hành, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Hãy xác

định đường vuông góc chung của AD và SB (Hình

2)

Trong Bài toán 2, AD không vuông góc với SB

Vì vậy, không dựng trực tiếp được đoạn AK như

trong Bài toán 1, nên tình huống gợi ra thực sự là

tình huống có vấn đề

Trong Bài toán 1 ta thấy AK SBD, suy ra AK

sẽ vuông góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng

vuông góc chung của AD và SB sẽ song song với AK

Ta có thể dựng đoạn vuông góc chung của AD và BS như thế nào?

Từ K dựng đường thẳng song song với AD cắt BS tại M Từ M kẻ đường thẳng song song AK cắt đường thẳng AD tại N Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD và SB

Trong bước vận dụng bài toán, ta có thể nêu các

câu hỏi sau:

Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (SAB ) và AD?

Đường SB ’ và SB có mối quan hệ gì ?

Từ đó có thể nêu quy trình dựng đoạn vuông góc

chung của hai đường thẳng d d chéo nhau không ? 1, 2

B' N

C

S

K

Hình 1

Ta đi đến quy trình sau:

Trường hợp 1: Nếu d1 d2 (Hình 3)

Gọi   là mặt phẳng qua d 1 và vuông góc với d 2 tại M Dựng MN vuông góc với d 1 ta suy ra MN là đoạn vuông góc chung của

d 1 và d 2

Trường hợp 2: d d không vuông góc (Hình 4) 1, 2

Từ Bài toán 2, học sinh có thể nêu ra cách

dựng đoạn vuông góc chung của d d như sau 1, 2

+ Bước 1 Xác định   vuông góc với d 1 và

cắt d 1 tại điểm A Gọi d 3 là hình chiếu của d 2 lên  

+ Bước 2 Dựng đoạn vuông góc chung AK của d 1 và d 3 như Trường hợp 1

+ Bước 3 Dựng đường thẳng qua K song song với d 1 cắt d 2 tại N Từ N kẻ đường thẳng song song với AK cắt d 1 tại M Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của d 1 và d 2

Khi đó giáo viên yêu cầu học sinh nhìn lại Bài toán 2 theo cách dựng vừa nêu

Như vậy dạy học theo hướng sử dụng câu hỏi, bài tập mở tương thích với dạy

học giải quyết vấn đề Các câu hỏi, bài tập mở thông thường chứa đựng các tình

huống có vấn đề trong Toán học

b) Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của lí thuyết dạy học kiến tạo

Theo lí thuyết kiến tạo nhận thức của Jean Piaget: Học tập là quá trình cá nhân hình thành các tri thức Tri thức được học sinh tiếp thu một cách chủ động, sáng tạo và phát triển chứ không phải tiếp nhận một cách thụ động từ bên ngoài Nhận thức là quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của mỗi người nhưng không phải khám phá một thế độc lập tồn tại bên ngoài ý thức con người

- Jean Piaget cho rằng: “cấu trúc nhận thức có chức năng tạo sự thích ứng của cá thể với các kích thích của môi trường Các cấu trúc nhận thức có được hình thành theo cơ chế đồng hoá và điều ứng”

+ Đồng hoá là quá trình chủ thể tái lập lại một số đặc điểm của khách thể được nhận thức vào các cấu trúc đã có trước đó

Hình 4

+ Điều ứng là quá trình thích nghi và biến đổi những đặc điểm của khách thể vào cái đã có tạo ra cấu trúc mới

Đồng hoá dẫn đến sự tăng trưởng các cấu trúc đã có trước đó còn điều ứng tạo các cấu trúc kiến thức mới

Quá trình thu nhận tri thức mới của học sinh có được theo sơ đồ sau:

Ta thấy rằng những câu hỏi, bài tập mở có “độ mở ít” tạo điều kiện củng cố các khái niệm hoặc khắc sâu kiến thức cho học sinh

Ví dụ 8 Xác định góc giữa hai vectơ u , v biết u v  0

Với câu hỏi này thì giáo viên sẽ cũng cố được cho học sinh khái niệm hai vectơ vuông góc và vectơ không

Còn những câu hỏi, bài tập mở với “độ mở nhiều” sẽ tạo điều kiện để học sinh thực hiện quá trình điều ứng kiến thức và thu nhận kiến thức mới

Ví dụ 9 Cho ABCD là tứ diện gần đều AB = CD = a, BC = AD = b, CA = BD = c Tìm thể tích tứ diện ABCD theo a, b, c (Hình 5)

Rõ ràng có nhiều định hướng tìm lời giải cho bài toán trên Tuy nhiên ta giả

sử bài toán trên được nêu lên sau khi học sinh biết cách tính thể tích của tứ diện

DMNP có 3 góc phẳng ở đỉnh D vuông

Ban đầu học sinh có thể nghĩ tới tính thể

tích ABCD theo công thức V S.h

3

1

 nhưng sẽ gặp khó khăn với việc tính đường cao buộc học

sinh phải cấu trúc lại kiến thức để tìm cách tính

Khi đó giáo viên có thể nêu các câu hỏi mở

để học sinh thực hiện quá trình điều ứng kiến

Nếu DMNP là tứ diện vuông đỉnh D ta có thể dựng được một tứ diện gần đều

có quan hệ đặc biệt với tứ diện đã cho không?

Từ đó học sinh có thể tìm ra nhận xét

Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm của MN, NP, MP

Khi đó ta có ABCD là tứ diện gần đều và V ABCD V DMNP

Ta thấy câu hỏi, bài tập mở là tình huống mang tính kiến tạo, đặt ra cơ hội kiến tạo kiến thức cho học sinh Có thể nói rằng dạy học sử dụng câu hỏi, bài

tập mở là tương thích với dạy học kiến tạo

c) Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của lí thuyết dạy học khám phá

Jerome Bruner đã đễ xuất mô hình dạy học khám phá được đặc trưng bởi các yếu tố cơ bản sau đây:

a Hành động tìm tòi khám phá của học sinh

b Cấu trúc của vấn đề

c Đánh giá quá trình khám phá của học sinh

Khác với khám phá trong nghiên cứu khoa học, khám phá trong học tập không phải là một quá trình tự phát mà là một quá trình có hướng dẫn của giáo viên, trong đó giáo viên khéo léo đặt học sinh ở địa vị người phát hiện, người khám phá lại những tri thức Giáo viên không cung cấp những kiến thức mới bằng phương pháp thuyết trình, giảng giải mà bằng phương pháp tổ chức các hoạt động khám phá để học sinh tự lực khám phá tri thức mới

Hoạt động khám phá trong học tập có nhiều dạng khác nhau, từ trình độ thấp lên trình độ cao tùy theo năng lực tư duy của người học và được tổ chức thực hiện theo cá nhân, nhóm nhỏ hoặc nhóm lớn, tùy theo mức độ phức tạp của vấn đề cần khám phá

Các dạng hoạt động khám phá trong học tập có thể là:

- Trả lời câu hỏi

- Thử nghiệm, đề xuất giả thuyết, phân tích nguyên nhân, thông báo kết quả

- Thảo luận, tranh luận một vấn đề nêu ra hoặc giải các bài toán

Mỗi câu hỏi, bài tập mở là một tình huống toán học và kích thích hoạt động khám phá của học sinh và mở ra nhiều hướng của một chủ đề có ý nghĩa

Giáo viên sử dụng câu hỏi, bài tập mở giúp học sinh phát huy được hết khả năng toán học của mình và cho phép học sinh tiếp cận và khám phá vấn đề theo cách mà các em chọn

Ví dụ 10 Ta xét ví dụ sau về dạy học khám phá nhờ các câu hỏi mở Bài tập 72 trang 64 sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao (Hình 6)

Cho hình chóp S ABC và điểm M nằm trong tam giác ABC Các đường thẳng qua M lần lượt song song với các đường thẳng SA, SB, SC, cắt các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) tại A1, B1, C1

a Gọi N là giao điểm của SA1 và BC , chứng minh các điểm A, M, N thẳng

hàng, từ đó suy ra cách dựng điểm A1

b Chứng minh

NA

NM SA

Cho hình chóp S ABC và điểm M nằm trong

tam giác ABC Các đường thẳng qua M lần lượt

song song với các đường thẳng SA, SB, SC, cắt

các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) tại A1, B1, C1

a Hãy nêu cách dựng điểm A1, B1, C1, và giải thích cách dựng đó

b Tìm mối liên hệ giữa các hệ thức

Để giải quyết bài toán trên giáo viên có thể kết hợp nhiều câu hỏi dưới các hình thức kiến tạo, giải quyết vấn đề hoặc khám phá

M C

A S

B

C1 A1 K

Hình 6

Do MA //1 SA nên có mp(MA ,1 SA ), gọi N là giao điểm của

MB1 SC

1 3

3

3 1 1

MB SA

1

Hay M là trọng tâm của tam giác ABC

Qua ví dụ ta thấy giáo viên có thể kết hợp câu hỏi, bài tập mở cùng với các câu hỏi định hướng để dẫn dắt học sinh tìm tòi và khám phá kiến thức

II MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN MỘT SỐ TƯ DUY TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 11 BẰNG CÂU HỎI, BÀI TẬP MỞ

1 Sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích cực, phát triển

năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức cho học sinh

a) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích cực học tập của học sinh

Người ta phân tính tích cực theo ba cấp độ khác nhau trong hoạt động nhận thức

- Tính tích cực tái hiện dựa vào trí nhớ và tư duy tái hiện Tính tích cực này chỉ phát huy trong khi hoạt động có ý thức, hoạt động này phục vụ cho sự vận động tiếp theo nào đó

- Tính tích cực tìm tòi được đặc trưng bằng sự bình phẩm, phê phán cố gắng cao về mặt nhận thức, sự khao khát hiểu biết, vươn lên trong học tập Tính tích cực này không bị hạn chế bởi yêu cầu của giáo viên trong giờ học

- Tính tích cực sáng tạo là mức độ cao nhất của tính tích cực Nó đặc trưng bằng

sự khẳng định con đường riêng của mình mang tính sáng tạo, không chấp nhận theo con đường củ, phát kiến những giá trị mới trong nhận thức

Trong dạy học toán tính tích cực đều có thể biểu hiện ở ba cấp độ tuỳ thuộc vào nội dung, phương pháp dạy học và đối tượng học sinh Chúng tôi cho rằng câu hỏi, bài tập mở có thể phát huy tốt cấp độ tìm tòi và sáng tạo

Tính tích cực của nhận thức chỉ được bắt đầu khi mà ta đặt học sinh trước một hình huống có vấn đề Vì thế trong giờ học giáo viên chú ý nảy sinh thường xuyên các vấn để kích thích tính tích cực học tập của học sinh Nếu như bài tập đóng thường áp dụng trực tiếp kiến thức, vận dụng các phép tính, công thức, hoặc dễ định hướng lời giải thì câu hỏi, bài tập mở thường đưa học sinh đến thình huống mới lạ, kích thích sự tìm kiếm kết quả và cách thức giải quyết vấn đề Trong quá trình dạy học giáo viên có thể tìm cách thay đổi cấu trúc của bài toán từ bài toán từ dạng đóng sang dạng mở để phát huy tính tích cực của học sinh

Ví dụ 11 Trong hình học phẳng ta có:

Bài toán 1 Cho tam giác OBC, đường thẳng d cắt OB, OC lần

lượt tại các điểm B 1 , C 1 (Hình 7)

Câu hỏi này sẽ kích thích học sinh đi tìm sự tương

ứng từ phẳng lên không gian

Đường thẳng tương ứng với mặt phẳng;

Tam giác tương ứng với chóp;

Diện tích tương ứng với thể tích

Học sinh có thể nghĩ đến mệnh đề sau:

Bài toán 2 Cho hình chóp O.ABC, nếu mặt phẳng (P)

cắt các cạnh OA, OB, OC lần lượt tại A 1 , B 1 , C 1 thì

Bài toán 1 Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau

Tồn tại hay không mặt phẳng ( )  , ( )  lần lượt chứa a, b

và song song với nhau ? (Hình 9)

Học sinh có thể trả lời câu hỏi này bằng cách dựng

( )  và ( ) 

Từ đó giáo viên có thể tiếp tục nêu các câu hỏi mở để phát huy tính tích cực cho học sinh như:

Cho tứ diện ABCD, qua các cặp cạnh đối của tứ diện tương ứng vẽ các cặp

mặt phẳng song song (mỗi mặt chứa cạnh thứ nhất và song song với cạnh thứ hai

và ngược lại) Hình tạo bởi giao tuyến của 6 mặt phẳng trên là hình gì? Hãy giải

thích kết luận đó

Nếu ABCD là tứ diện gần đều thì hình tạo thành có đặc điểm gì ?

Qua các câu hỏi mở học sinh đã chủ động và tích cực tìm kiếm và đi đến kết quả sau:

Cho hình tứ diện ABCD với cách dựng đã nêu ta được hình hộp AEBFHDGC

và gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD Nếu ABCD là tứ diện gần đều thì AEBFHDGC là hình hộp chữ nhật (Hình 10)

C

B A

Nếu ABCD là tứ diện gần đều Hãy so sánh thể tích của ABCD và thể tích của hình hộp?

Mặt khác ta thấy

1 6

AHDC BDGC ABFC ABED AEBFHDGC

1 3

ABCD AEBFHDGC

Nếu biết AB = CD = b, AC=BD=c, AD=BC=a, hãy tính thể tích ABCD?

Do AEBFHDGC là hình hộp chữ nhật nên tính được

2 2 2 2

a b c

HD  

,

2 2 2 2

ABCD

V  a b c a c b b c a Học sinh có thể thấy rằng đây cũng là một phương pháp tính thể tích của tứ diện gần đều

Ví dụ 13 Cho hai đường thẳng d 1 , d 2 chéo nhau và vuông góc với nhau, gọi AB là

đoạn vuông góc chung (A d 1, Bd2) Trên d 1 , d 2 lần lượt lấy các điểm M, N sao

cho AM  x BN,  y Tìm mối liên hệ của MN và AB với x y, khi MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB (Hình 11)

Giáo viên có thể định hướng cho học sinh bằng câu hỏi sau:

Khi MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB ta suy ra điều gì ?

Gọi H là tiếp điểm của mặt cầu đường kính AB

với MN

Suy ra OH OA OB

 OAM  OHM  AM HM

Tương tự NBHN MN  x y

Độ dài AB và x y, có mối liên hệ gì không?

Các yếu tố vuông góc trong bài toán đã sử dụng

G

B A

C D

Xuất phát từ cách hiểu mô hình dạy học theo quan điểm kiến tạo:

Đồng thời căn cứ vào các yếu tố về năng lực tư duy, chúng tôi nhận thấy rằng để phát bồi dưỡng các năng lực Toán học cho học sinh được thì cần chú trọng phát triển các năng lực sau:

- Năng lực dự đoán và phát hiện vấn đề, khả năng liên tưởng và chuyển di các liên tưởng

- Năng lực định hướng và tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm lời giải bài toán

- Năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề Toán học

Qua nghiên cứu và thực tiễn chúng tôi nhận thấy có thể sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển các năng lực trên

Để có năng lực này học sinh cần được rèn luyện các năng lực thành tố như xem xét các đối tượng Toán học, các quan hệ Toán học trong mối quan hệ giữa cái chung, cái riêng; nắm được mối quan hệ nhân quả, cần có năng lực so sánh phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, tổng quát hoá, năng lực liên tưởng các đối tượng, quan

hệ tương tự

Ví dụ 14 Khi học về tích vô hướng của hai véctơ ta có :

a.b a bcos(a,b)

Nếu học sinh xét trường hợp đặc biệt: i, j là các

véctơ đơn vị i  1 ; j  1 và gọi  là góc tạo bởi 2 véctơ

này khi đó ta có i j  cos 

Như vậy khi gặp giá trị lượng giác cosin của một

góc  ta cũng có thể chuyển di sự liên tưởng đến tích vô

hướng của hai véctơ đơn vị tạo với nhau một góc 

Xét bài toán chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC

ta có: cosA + cosB + cosC 

2

3

Tri thức đã có  Dự đoán Kiểm nghiệm Thích nghi (nếu thành công) Kiến thức mới

Gợi ý: Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC; A 1 , B 1 , C 1 là các điểm

tiếp xúc của đường tròn (O) với BC, CA, AB.(Hình 12)

3 + 2(cos + cos + cos)   0 3 - 2(cosA + cosB + cosC)  0

 cosA + cosB + cosC 

23

Hãy đặt các mối quan hệ tương ứng từ phẳng lên không gian và tìm bất đẳng thức tương tự ?

Khi đó học sinh sẽ đặt mối quan hệ tương ứng từ phẳng lên không gian như sau: Tam giác Tứ diện

Tâm đường tròn nội tiếp  Tâm mặt cầu nội tiếp

Góc ở đỉnh của tam giác  Góc phẳng nhị diện cạnh là các cạnh của tứ diện Gọi i (i = 1,6) là độ lớn sáu góc nhị diện các cạnh

của tứ diện ABCD

Gọi O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD; A 1 , B 1 , C 1 ,

D 1 là các điểm tiếp xúc của mặt cầu (O) với các mặt (BCD),

(CDA), (DAB), (ABC) (Hình 13)

Nếu thực hiện phép biến đổi như Bài toán 1 ta thu được điều gì?

Khi đó bằng cách chuyển di các liên tưởng đã được học qua Bài toán 1, học sinh biến đổi như sau:

I

2 i

c) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển năng lực định hướng và tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm lời giải bài toán

Theo G.Polya "Có thể coi khát vọng muốn đạt được mục đích là một nhân tố kích thích; nó gợi cho chúng ta những hoạt động có thể dẫn đến mục đích Kết quả mong muốn sẽ gợi ra những phương tiện Cho nên, bạn hãy nhằm vào kết quả, đừng lúc nào lơi khỏi mục đích của bạn; mục đích sẽ chỉ hướng cho sự suy nghĩ của bạn"

Trong khi ngẫm nghĩ về điểm cuối cùng (kết quả) của một bài toán, chúng ta

hy vọng sẽ nãy ra ý về những phương tiện thích hợp để giải bài toán đó, phải vận dụng những cố gắng, phân tích để gợi ra trong trí tưởng

tượng của mình những phương tiện thích hợp đó

Ví dụ 15 Cho tứ diện ABCD, xác định mối liên hệ giữa

CA DB CB AD (1) (Hình 14)

Khi gặp bài toán này có thể sử dụng câu hỏi mở để

học sinh tìm tòi phương pháp giải quyết vấn đề như sau:

Hệ thức (1) có đặc điểm gì?

Học sinh có thể nhận thấy hai vế gồm bình phương

những độ dài

Ta có thể khai thác hệ thức (1) như thế nào?

Khi đó học sinh có thể nghĩ tới dùng hệ thức Pitago hoặc sử dụng tích vô hướng

D

CB

A

E

Hình 14

Sử dụng theo tích vô hướng ta có

Suy ra CDABE CD AB

Như vậy câu hỏi mở có thể rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện ý tưởng, khả năng nhìn nhận một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau; khả năng nhận dạng các đối tượng và các phương pháp để giải toán

d) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển năng lực huy động kiến thức giải quyết vấn đề

Nhờ quá trình biến đổi vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ có thể đưa về các vấn đề quen thuộc, các bài toán tương tự đã giải Quá trình biến đổi chính là quá trình điều ứng để học sinh thích nghi chuyển đến sơ đồ nhận thức mới tương hợp với tình huống mới

Ví dụ 16

Bài toán 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SA = a và SA vuông

góc với đáy Tính khoảng cách từ A đến (SBD) và

khoảng cách từ trung điểm I của SC đến (SBD) (Hình

15)

Gợi ý phân tích bài toán:

Có những cách nào có thể tính được khoảng cách

Ta có thể sử dụng công thức thể tích để tính khoảng cách đó được không?

Để học sinh huy động kiến thức ta có thể nêu các câu hỏi mở như sau:

Nếu sử dụng phương pháp thể tích ta cần làm như thế nào?

Có thể tính được diện tích tam giác SBD không?

Ta có SB 2a, SD 5a, BD 5a

Theo công thức Hêrông suy ra

2 3 2

Để tính khoảng cách từ điểm I đến (SBD) giáo viên sử dụng câu hỏi để đưa

học sinh đến cấu trúc nhận thức mới

Bài toán 2 Gọi I là trung điểm của đoạn SC, ( )  là

mặt phẳng qua điểm S So sánh khoảng cách từ I, C

I

C

Hình 16

2 Xây dựng câu hỏi, bài tập mở và vận dụng vào giảng dạy một số nội dung trong chương trình Hình học 11 hiện hành

a) Đặc điểm của sách giáo khoa chương trình Hình học 11 hiện hành

* Đặc điểm về nội dung của sách giáo khoa hình học lớp 11

Phần hình học không gian lớp 11 được trình bày trong Chương 2 và Chương

3 Toàn bộ kiến thức được trình bày có hệ thống và được chứng minh khá chặt chẽ

Học sinh được làm quen với các đối tượng cơ bản của hình học không gian sau:

- Các khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng

- Quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa các đối tượng cơ bản

- Các hình không gian, ở lớp 11 chỉ giới thiệu hai loại hình quen thuộc đó là hình lăng trụ, hình chóp và các trường hợp riêng của chúng đặc biệt là các loại tứ diện Các hình đa diện nói chung cùng với mặt cầu, mặt trụ, mặt nón sẽ được giới thiệu tiếp ở lớp 12

- Hai chủ đề được đề cập một cách chi tiết là khoảng cách và góc: khoảng cách giữa điểm và đường thẳng, giữa điểm và mặt phẳng, khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách

và góc giữa hai mặt phẳng

* Đặc điểm liên quan đến vấn đề sử dụng câu hỏi, bài tập mở

Sách giáo khoa mới được biên soạn theo tinh thần đổi mới phương pháp dạy

học

- Chú trọng việc xây dựng cho học sinh môi trường học tập tích cực, chủ

động và sáng tạo, chú trọng hình thành ở học sinh năng lực tự học, tự tìm tòi khám phá “Làm cho “Học” là quá trình kiến tạo; học sinh tìm tòi, khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin,… tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh tìm ra chân lí Chú trọng hình thành các năng lực tự học, sáng tạo, hợp tác, dạy phương pháp và kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học”

- Gợi ý các hình thức tổ chức dạy học làm cho việc học của học sinh trở nên

lí thú, gắn bó với thực tiễn, gắn với cuộc sống Kết hợp việc dạy học cá nhân và việc học theo nhóm, tăng cường sự hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau giữa học sinh trong quá trình giáo dục

- Gợi ý cấu trúc bài soạn, cụ thể: phải xác định đúng mục tiêu bài học, xác lập mục tiêu học cho trò trên cơ sở chương trình chuẩn và năng lực của học sinh

- Thực hiện đổi mới đánh giá đối với học sinh: Đánh giá trong toàn bộ quá trình dạy học, trong toàn bộ giờ học Nội dung đánh giá theo mục tiêu yêu cầu mà chuẩn đặt ra, có đánh giá về thực hành toán

- Tích cực phát triển ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học, phát huy tính trực quan trong dạy học để tăng hiệu quả giờ học

Nhìn chung sách giáo khoa hiện hành tạo thuận lợi và cơ hội cho giáo viên

sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học khái niệm, định lí,… Đặc biệt với đối tượng học sinh khá và giỏi có thể sử dụng câu hỏi, bài tập mở để các em được tìm tòi và khám phá kiến thức

b) Các biện pháp xây dựng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học Hình học 11

Trong sách giáo khoa có nhiều nội dung, nhiều phần các bài tập thường có cấu trúc dạng đóng Việc biến đổi hoặc bổ sung thêm bài tập mở là việc cần thiết để nâng cao hiệu quả dạy học

* Câu hỏi, bài tập mở nhằm hình thành và củng cố các khái niệm cho học sinh

Dạy học khái niệm toán học là một tình huống điển hình của dạy học toán ở trường phổ thông Hệ thống khái niệm toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh Nắm vững hệ thống khái niệm toán học là khâu đầu tiên, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc, có hiệu quả các kiến thức toán học đã học

Có một tình trạng khá phổ biến là học sinh chỉ chú ý học thuộc các định lý, công thức mà coi nhẹ việc nắm vững các khái niệm, các định nghĩa Điều đó làm cho học sinh lúng túng khi vận dụng kiến thức toán học, gặp nhiều khó khăn khi giải toán, phạm nhiều sai lầm máy móc và chủ nghĩa hình thức

Ví dụ 17 Khi dạy về khái niệm hình chóp đều ta có thể nêu câu hỏi: Phải chăng mọi hình chóp có đáy là một đa giác đều là một hình chóp đều?

Ví dụ 18 Khi dạy về khái niệm hai đường thẳng song song trong không gian ta có thể nêu câu hỏi (Hình 17, Hình 18) Hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung có thể kết luận song song không?

Ví dụ 19 Khi dạy khái niệm hình chóp ta

có thể cho học sinh quan sát các hình bên

và nêu câu hỏi (Hình 19)

Các hình bên có đặc điểm gì giống nhau?

b a

Với câu hỏi này, ta hy vọng nhận được các nhận xét như: có một đỉnh không

nằm trong mặt phẳng chứa n-1 đỉnh còn lại; có n miền tam giác có chung một

đỉnh; các đỉnh cùng nằm trên một mặt phẳng tạo thành một đa giác Từ các dấu hiệu

đó ta đi đến xây dựng định nghĩa về hình chóp như sau:

Hình tạo bởi n miền tam giác SA 1 A 2 , SA 2 A 3 ,…SA n A 1 và miền đa giác

A 1 A 2 A 3 …A n được gọi là hình chóp S.A 1 A 2 A 3 A n

* Câu hỏi, bài tập mở nhằm khắc sâu các kiến thức, định lí cho học sinh

Trong phân phối chương trình số tiết học ở trên lớp còn hạn chế, khối lượng tri thức cần truyền đạt thì nhiều, đồng thời phải đúng lịch trình quy định, nên việc

mở rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo các tính chất, định lý chưa được triệt để sâu sắc Điều này hạn chế đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh, hạn chế đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập của học sinh trong học tập

Để khắc phục phần nào tình trạng trên, chúng tôi cho rằng: giáo viên phải tận dụng tối đa giờ trên lớp, phải chuẩn bị hệ thống bài tập mới bổ sung cho sách giáo khoa, giáo viên phải huy động mọi phương pháp để tạo ra môi trường hoạt động tích cực, giúp học sinh nắm vững hệ thống kiến thức một cách cơ bản vững chắc Từ những yếu tố ban đầu, giáo viên có thể cấu trúc lại bài toán theo dạng mở

để phát huy tư duy độc lập, rèn luyện năng lực, huy động tri thức đã được học và vận dụng tốt vào giải quyết vấn đề Từ đó, gây được niềm tin, say mê, hứng thú tìm tòi, nghiên cứu, độc lập suy nghĩ, tự mình phát hiện vấn đề và giải quyết vấn

đề Khi dạy định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng,

ta có thể nêu các bài toán sau:

Ví dụ 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông Có cạnh

ABCD

SA Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD Hãy

tìm các cặp đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau và giải thích vì sao

chúng vuông góc? (Hình 20)

Đây là bài toán có nhiều cặp đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau,

để hoàn chỉnh câu hỏi trên học sinh cần nắm vững định lí về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu học sinh nắm vững được phương pháp

Tuy nhiên để tìm ra các cặp mặt phẳng và đường

thẳng vuông góc khác, học sinh phải có quá trình dự đoán

và suy luận để khẳng định các dự đoán

Từ AH SDC, AK SBC ta suy ra được điều

Hãy xác định vị trí tương đối giữa HK và (SAC)?

Với câu hỏi này sẽ tìm tòi và dẫn đến xét quan hệ giữa HK và SA hoặc HK và

AC Từ đó dẫn đến dự doán và kiểm nghiệm HK song song với BD

Do SAB SAD và AH, AK là hai đường cao tương ứng suy ra BH KD

Từ đó ta có HK//BCHK  AC suy ra HK (SAC)

Ví dụ 21 Xét bài toán sau:

Cho tam giác ABC đều cạnh a, O là tâm đường tròn ngoại tiếp Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm M khác A Gọi H là trực tâm tam giác MBC Đường thẳng OH cắt d tại N Có nhận xét gì về tứ diện BCMN? (Hình 21)

Ban đầu học sinh sẽ nhận thấy trong tứ diện

BCMN có MN  BC

Từ đó học sinh tìm cách xác định quan hệ của

hai cặp cạnh đối còn lại, cụ thể là MC và NB

Hãy tìm những đường thẳng vuông góc với MC?

Với câu hỏi mở trên học sinh bắt đầu quá trình

huy động kiến thức và tự đặt ra các câu hỏi

Có thể MC là một cạnh của tam giác mà hai

cạnh còn lại cùng vuông với một cạnh nào đó được

không?

Xét trong tam giác MAC có KBAC, MAKB

suy ra KBMC

Trong mặt phẳng (HKB) có KBMC, HBMCsuy ra NBMC

Tương tự MBNC Vậy BCMN là tứ diện trực tâm

Qua những câu hỏi mở ở mức độ thích hợp người giáo viên sẽ biết được học sinh hiểu gì, suy nghĩ như thế nào về vấn đề đặt ra, đồng thời nắm được được khả năng tư duy của học sinh

Điều quan trọng là qua câu hỏi, bài tập mở đó giáo viên có thể biết được năng lực của học sinh và hình thành cho học sinh kĩ năng và phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

O

B M

N

I H K

Hình 21

Ví dụ 22 Khi dạy về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau, để khắc sâu kiến thức ta có thể sử dụng hệ thống câu

hỏi mở như sau:

- Hãy so sánh khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau a, b với khoảng cách từ đường thẳng b tới mặt phẳng

(P) đi qua a song song với b?

- So sánh khoảng cách giữa a, b với khoảng cách giữa

hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt qua a, b và song song với

nhau

Sau khi học sinh trả lời các câu hỏi trên, giáo viên có thể lấy ví dụ áp dụng như sau:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a,

SA = a và SA vuông góc với đáy Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng AB

Từ các ví dụ ta thấy câu hỏi mở phù hợp sẽ giúp học sinh nắm vững những định lí, những tính chất và quan hệ của các hình và hình thành phương pháp chứng minh những bài toán cơ bản

* Câu hỏi, bài tập mở nhằm phát triển khả năng giải toán cho học sinh

Câu hỏi, bài tập mở kích thích óc tò mò khoa học, đặt học sinh trước một tình huống cần khám phá, làm cho học sinh có nhu cầu, có hứng thú và quyết tâm huy động kiến thức, kĩ năng và năng lực tư duy sáng tạo của bản thân đề tìm tòi, phát hiện các kết quả còn tiềm ẩn trong bài toán

Câu hỏi, bài tập mở góp phần rèn luyện khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết Câu hỏi, bài tập mở tác động rõ rệt trong việc bồi dưỡng tính mềm dẻo của tư duy, năng lực tương tự hoá, khái quát hoá và tổng quát hoá

Để sáng tỏ những điều trình bày trên xin nêu một số

ví dụ

Ví dụ 23 Trong hình học phẳng khi đã biết bài toán

sau:

Bài toán 1 Cho tam giác ABC, I là điểm nằm trong

tam giác, gọi S a,S b,S clần lượt là diện tích các tam giác C B

IBC, IAC, IAB Chứng minh S a.IAS b.IBS c.IC 0 (1) (Hình 23)

Trên cơ sở sự tương ứng giữa hình học phẳng và hình học không gian, giáo viên có thể yêu cầu học sinh hãy tìm kết quả tương tự cho tứ diện

Với sự tương ứng giữa diện tích trong hình học phẳng và thể tích trong hình học không gian cùng sự gợi ý của giáo viên học sinh có thể đưa ra được dự đoán sau:

Bài toán 2 Cho tứ diện ABCD và M là điểm nằm trong tứ diện, gọi V a,V b,V c,V d

tương ứng là thể tích của các tứ diện MBCD, MACD, MABD, MABC (Hình 24)

Ta có V a.MAV b.MBV c.MCV d.MD 0 (2)

Sau khi đưa ra dự đoán, học sinh có thể tiến hành kiểm nghiệm với trường

hợp M là trọng tâm của tứ diện

Suy ra (2) đúng trong trường hợp M là trọng

tâm, từ đó củng cố thêm sự chính xác của dự đoán

về hệ thức (2) và đi tìm cách chứng minh

Lúc này giáo viên có thể sử dụng các câu

định hướng kết hợp với các câu hỏi mở để dẫn dắt học sinh tìm kiếm lời giải

Ta có thể áp dụng (1) vào bài toán trên không? Hãy làm xuất hiện mối liên

hệ giữa các hệ thức MA, MB, MC, MD

S IBC.IAS IAC.IBS IAB.IC 0

 S IBC.(IM MA)S IAC.(IM MB)S IAB(.IM MC)0

 (S IBC S IAC S IAB)IM  S IBC.MAS IAC.MBS IAB.MC 0

 S ABC IM  S IBC.MAS IAC.MBS IAB.MC  0

 S IBC.MAS IAC.MBS IAB.MC MD 0

MD

IM

Từ hệ thức (2) và (3) ta sẽ định hướng chứng minh điều gì?

So sánh hệ thức (2) và (3) học sinh sẽ nghĩ đến chứng minh các hệ thức sau:

,

IM

MD S

S V

V

ABC IAC d

S V

V

ABC IAB d

c

.

 Học sinh sẽ tìm cách chứng minh một trong các hệ thức trên

IM

MD S

S V

V

ABC IBC d

a 

C

B A

D

M

I

F E

N

Hình 24

ABC IAB

MIAB IAB ABC MIAB MABC

MABD d

c

S

S MI

MD V

S S

V MI MD V

Tương tự ta chứng minh được hai hệ thức còn lại, từ đó ta suy ra (2) đúng

Giáo viên tiếp tục nêu câu hỏi mở để học sinh có thể mở rộng bài toán

Nếu điểm M không nằm trong tứ diện thì

cạnh SA, SB, SC, tại A1,B1,C1 Gọi O là giao

điểm AC và BD Gọi I là giao điểm của A1C1 và

SC

SA

SA

2 1 1



c Chứng minh rằng

1 1

1

SD SB

SB SC

SC

SA

SA   

Ta có thể chuyển bài toán trên về dạng mở như sau:

Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Một mặt phẳng (P) lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC, tại A1,B1,C1 Gọi O là giao điểm AC và BD Gọi I là giao

điểm của A1C1 và SO

a Dựng điểm D1 là giao điểm của mặt phẳng (P) và cạnh SD Giải thích

SA  và tổng

1

1 SD

SD SB

Để giải quyết bài toán này và khám phá các bài toán có liên quan giáo viên

có thể nêu các câu hỏi dạng mở để định hướng cho học sinh đưa về bài toán gốc

O I

Hình 25

Các hệ thức

1

1 SC

SC SA

1

1 SD

SD SB

SB

 có đặc điểm

gì chung? Ta có thể liên tưởng đến một bài toán chung

nào để tính hai tổng đó không?

Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh bài toán sau:

Bài toán 1 Cho tam giác ABC, gọi O là trung điểm của BC, các điểm E,F thuộc hai cạnh AB, AC Gọi I là giao điểm của EF và AO (Hình 26)

Tìm hệ thức liên hệ giữa các tỉ số

AF

AC AE

AE S

AF S

S ACO AFI 

AC

AF AB

AE AO

AI S

S

S

S

ACO AFI ABO

ABC

AEF

S S

2

AC

AF AB

AE AO

AE AO

AI  

AI

AO AF

AC AE

SC SA

SA

2 1 1



SI

SO SD

SD SB

SB

2 1 1





Từ đó suy ra

1 1

1

SD SB

SB SC

SC SA

Ta có thể phát biểu bài toán tương tự đối với

chóp tam giác không?

Khi đó học sinh quá trình mò mẫm và dự

đoán:

Nếu chóp với đáy là tam giác thì điểm tương

ứng vơí trung điểm O là điểm nào? có phải là trọng

B

S

D G

Cho chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Giả sử mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, tại E, F, K và cắt SG tại I (Hình 27)

Hãy tìm mối liên hệ giữa các hệ thức

SK

SC SF

SB SE

SC SF

SB SE

SC SF

SD SE

Bài toán 2 Cho tam giác ABC, gọi O là điểm trên

đoạn BC sao cho k



Như vậy từ những bài toán ban đầu giáo viên sử dụng các câu hỏi, bài tập

mở để dẫn dắt học sinh tới những bài toán rộng hơn, đó cũng là cách thức để hình thành năng lực khám phá cho học sinh

Ví dụ 25

Bài toán 1 Cho hình chóp tam diện vuông đỉnh S Đường cao SH hợp với SA, SB,

SC các góc theo thứ tự là  ,  , và  Tìm mối liên hệ giữa 2

cos và cos 2  liên quan đến độ dài các cạnh nào?

Để tìm mối liên hệ giữa 2 

cos , 2 

cos và 2 

cos ta sẽ tìm mối liên hệ giữa

I A

B

C O

E

F

Hình 28

độ dài các đoạn thẳng nào?

Khi đó học sinh sẽ nghĩ đến tìm mối liên hệ giữa

SH  

Tương tự trong tam giác SBC ta có

12 12 12

SC SB

SE  

Suy ra 12 12 12 12

SC SB

SA

2 2

2 2

SH SA

SH

 cos2 cos2 cos2 1

Sau khi thu được kết quả trên, ta có thể cho học

sinh tiếp tục quá trình khám phá với bài toán sau:

Bài toán 2 Cho hình chóp tam diện vuông S.ABC

đỉnh S M là một điểm ở miền trong tam giác ABC

SM hợp với các cạnh bên SA, SB, SC các góc theo thứ

tự là  ,  , và  Hãy tìm mối liên hệ giữa 2 

Học sinh sẽ nhận thấy trong Bài toán 1 SH (ABC) còn trong Bài toán 2 là

SM có thể không vuông góc với (ABC)

Với sự khác nhau đó thì kết quả cos2cos2 cos2 1 có đúng nữa không?

Ta có thể sử dụng kết quả vừa tìm được không?

Muốn sử dụng kết quả đó ta cần phải tạo ra những yếu tố nào?

Dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SM tại H và cắt các cạnh SA, SB, và SC

tại A1, B1và C1

Trong hình chóp S.A1B1C1 ta có điều gì?

Trong hình chóp S.A1B1C1 ta có 2

1 2

1 2 1 2

1 1

1 1

SC SB

B1

C1 H

S

B

CA

EH

Hình 29

Hình 30

 cos2  cos2   cos2  1

Giáo viên viên tiếp tục đưa ra Bài toán 3 sau đây để học sinh tiếp tục khám phá kiến thức:

Bài toán 3 Cho hình lập phương ABCDA B C D1 1 1 1 cạnh bằng a Gọi M, N, P lần

lượt là các điểm nằm trên đường thẳng AD, AB, AA 1 sao cho

Có sự liên quan nào với bài toán đã biết không?

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A xuống

cos   cos   cos  bằng bao nhiêu? (Hình 32)

Học sinh sẽ nhận ra bài toán này bản chất là Bài toán 2 và tính được

1 cos

cos cos2  2   2 

Kết quả đó làm cơ sở để kiến tạo các kiến thức tiếp theo

Bài toán 5 Cho hình lập phương ABCDA B C D1 1 1 1cạnh a

Tính tổng các bình phương các hình chiếu vuông góc của

các cạnh lên một đường chéo chính (Hình 33)

Ta xét trên đường chéo AC1 Gọi M, N, P là hình chiếu

của B, A 1 , D lên AC 1, khi đó học sinh sẽ nhận thấy

D A

B

C

P N M

B1

A1 Hình 31

Hình 32

BC A B BD DB D A CD lên đường chéo AC1 bằng bao nhiêu?

Câu hỏi này tạo cho học sinh quá trình mò mẫm và dự đoán tuy nhiên nếu quá trình không thu được kết quả ta có thể nêu ra tình huống nhẹ hơn

Có thể dựa vào kết quả Bài toán 4 để tìm các tổng trên được không?

Hãy so sánh độ dài hình chiếu của BC và

AD lên AC 1 ?

Học sinh tiến hành dự đoán và kiểm

nghiệm qua bài toán sau:

Bài toán 5.1 Cho EF//IK và d là đường thẳng qua

I Hãy So sánh độ dài hình chiếu vuông góc của

EF và IK lên d (Hình 34)

Gọi Q, S là hình chiếu vuông góc của E, F

lên mặt phẳng (d, IK) Dễ thấy QS//IK Gọi H, T là chân đường vuông góc hạ từ E,

F xuống d, suy ra HT cũng chính là độ dài hình chiếu của QS trên d Mặt khác hình chiếu vuông góc của QS và IK lên d là bằng nhau Vậy ta có hình chiếu vuông góc của EF và IK lên d bằng nhau

Áp dụng kết quả vừa có suy ra tổng các bình phương các hình chiếu các cạnh BC DB CD, 1, và A B BD D A1 1, 1, 1 1 lên đường chéo AC1 bằng 2 2 2

AM AN AP và bằng 2

a

Tổng các bình phương các hình chiếu vuông góc của các cạnh lên một đường chéo chính bằng 2

4a Bài toán 6 Cho hình lập phương ABCDA B C D1 1 1 1cạnh a Tổng các bình phương các

hình chiếu vuông góc của các cạnh lên một mặt

phẳng bất kì bằng bao nhiêu? (Hình 35)

Không giảm tính tổng quát giả sử mặt

phẳng (P) đi qua đỉnh A

Ta có thể giải bài toán nhờ các kết quả

trên không? Để làm điều đó ta cần tạo ra yếu tố

nào?

Gọi Ax là đường thẳng qua A vuông góc

với mặt phẳng (P), giả sử M là một điểm bất kì

CB

DA

T

KdS

Hình 34

Giáo viên đưa học sinh đến một tình huống mới bằng câu hỏi sau:

Tìm mối liên hệ giữa hình chiếu cạnh AM lên

mặt phẳng (P) và góc tạo bởi Ax với AM?

Gọi AI là hình chiếu của AM lên mặt phẳng

Gọi , ,   là góc giữa Ax với AB, AD, AA 1 Khi

đó ta có tổng bình phương các hình chiếu của AB,

sin sin sin  2 Đồng thời áp dụng Bài toán 4 ở trên, ta

có tổng các bình phương các hình chiếu vuông góc của các cạnh lên một mặt phẳng bất kì bằng 8 2

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa các đường thẳng nào?

Ta có thể đưa bài toán này về bài toán nào đó đã biết không?

Giả sử hình H thuộc mặt phẳng (P) và H 1 là hình chiếu của hình H lên mặt phẳng (Q) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng m, n tương ứng vuông góc với (P)

D A

Không giảm tính tổng quát giả sử mặt phẳng (P) đi qua đỉnh A Gọi Ax là đường thẳng qua A vuông góc với (P)

Gọi , ,   là góc giữa Ax với AB, AD, AA 1 suy ra góc giữa (P) và các mặt (BCB 1 C 1 ), (ADA 1 D 1) là  Suy ra tổng các bình phương diện tích 2 hình chiếu

vuông góc của các mặt phẳng (BCB 1 C 1 ), (ADA 1 D 1 ) lên mặt phẳng (P) bằng

2 cosa 

Tương tự tổng các bình phương diện tích hình chiếu vuông góc của cặp mặt

phẳng (ABA 1 B 1 ), (CDC 1 D 1 ) và (ABCD), (A 1 B 1 C 1 D 1 ) lên mặt phẳng (P) lần lượt

Ta thấy chiếu lên mặt (ABA 1 B 1 ) và (ADA 1 D 1) thì kết quả thu được sẽ khác

nhau, nên bài toán không đúng với hình hộp chữ nhật

Ví dụ 26 Ta xét ví dụ sau về sử dụng câu hỏi bài tập mở kết hợp các phương pháp

dạy học để dẫn dắt học sinh tìm tòi kiến thức

Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, P, Q, E, F lần

lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, BD, AC

A 1 , B 1 , C 1 , D 1 lần lượt là trọng tâm của các tam

giác BCD, ACD, ABD, ABC, ABC Gọi A o , B o , C o , D o

là chân các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C, D xuống

các mặt đối diện

Nếu AC = BD, AD = BC, Hãy xác định vị trí

tương đối của MN và AB, MN và CD (Hình 39)

Học sinh có thể bắt đầu quá trình mò mẫm, dự đoán và thử nghiệm

Khi AB = CD ta suy ra ABCD là tứ diện gần đều Khi đó ta dễ thấy MN vuông góc với AB và CD

Từ đó học sinh đi tìm cách chứng minh MN vuông góc AB và CD

Giáo viên có thể nêu câu hỏi định hướng như sau:

Có nhận xét gì về tam giác ABN?

Từ đó học sinh dễ nhận thấy ADC BCD AN BN

Tương tự MN CD

Như vậy MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD

Để tiếp tục quá trình tìm tòi và khám phá kiến thức giáo viên có thể nêu các câu hỏi để định hướng:

Nếu MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD thì ta có thể suy ra được

AC = BD, AD = BC không?

Nếu câu hỏi mở ở trên chưa giúp cho học sinh tìm được câu trả lời thì ta có thể hạ thấp mức độ khó khăn cho học sinh bằng những câu hỏi có “độ mở ít” hơn

Có nhận xét gì về vị trí tương đối của A với B và C với D so với đường thẳng MN?

Mệnh đề 1 Cho tứ diện ABCD, gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD Khi

đó AC = BD, AD = BC tương đương MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD

Tiếp tục mở rộng bài toán, giáo viên có thể nêu câu hỏi như sau:

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Hãy xác định quỹ tích của điểm O? (hình 40)

Do OA=OB, nên điểm O thuộc mặt phẳng nào?

Do OA = OB nên điểm O thuộc mặt phẳng

trung trực của đoạn AB

Tương tự với OC = OD ta có điểm O thuộc mặt

Như vậy ta có mệnh đề: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm

của AB, CD Nếu AC = BD, AD = BC thì ta có tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc MN

Mệnh đề ngược lại có đúng không?

Hình 40