Phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh khá giỏi THPT trong khi dạy học chủ đề bất đẳng thức

Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và n

Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày

26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành

tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán

học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực

sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn’’

Năng lực Toán học của học sinh phổ thông có thể biểu hiện qua: tính linh hoạt của các quá trình tư duy trong hoạt động toán học; khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lí của lời giải; nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo Như vậy trong việc bồi dưỡng các năng lực thành phần của

môn toán thì phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh có thể

xem là rất quan trọng, nó phụ thuộc rất nhiều ở sự đổi mới PPDH của GV

Trong chương trình toán học phổ thông, bất đẳng thức đóng một vai trò khá quan trọng Nó xuất hiện là câu khó nhất trong các đề thi học kỳ, thi vào các trường Chuyên, thi HSG các cấp Ngoài việc hiện diện như một bài toán độc lập, bất đẳng thức cũng xuất hiện trong nhiều phần khác của toán học: bài toán tìm miền xác định, đồng biến, nghịch biến, phương trình, hệ phương trình, lượng giác, hình học, tổ hợp - phép đếm - xác suất, bài toán max, min, số phức, hàm

mũ – logarit Đặc biệt, bất đẳng thức chiếm một tỉ lệ rất lớn trong các bài toán vận dụng cao ở kỳ thi THPTQG Mặc dù tầm quan trọng của bất đẳng thức lớn như thế, nhưng đa số học sinh lại không hứng thú với phần kiến thức này Một phần vì nội dung kiến thức chuyên đề bất đẳng thức tương đối khó, phương pháp giải cũng như kỹ thuật biến đổi quá phong phú nên học sinh sợ Phần khác là thời lượng trong chương trình dành cho bất đẳng thức là quá ít, không đủ để học sinh tiếp cận một cách bài bản, trong khi nội dung kiến thức chuyên đề này xuyên suốt trong chương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông Thực tế cho thấy học sinh khá – giỏi khi tiếp cận giải toán bất đẳng thức vẫn nhiều thụ động,

máy móc và thiếu tính sáng tạo Với những trăn trở như trên, tôi lựa chọn đề tài:

“Phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh khá giỏi THPT

trong khi dạy học chủ đề bất đẳng thức” nhằm khơi gợi tư duy, định hướng

giải toán bất đẳng thức với mong muốn giúp các em học sinh hứng thú và đạt

hiệu quả cao hơn khi học chủ đề bất đẳng thức

II NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Điều tra thực trạng về tình hình dạy và học bất đẳng thức ở trường THPT

- Nghiên cứu các kiến thức nền tảng về bất đẳng thức, các phương pháp

chứng minh bất đẳng thức qua SGK và các tài liệu tham khảo

- Triển khai đề tài trong quá trình dạy học bằng cách lựa chọn các kiến thức

và bài toán bất đẳng thức phù hợp đưa vào các tiết học chính khoá, các tiết học

thêm buổi chiều và các buổi bồi dưỡng HSG

- Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với học sinh, giáo viên toán qua đó thấy được

hiệu quả của việc áp dụng đề tài như thế nào và đồng thời điều chỉnh việc dạy

học nội dung bất đẳng thức cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng học bất đẳng

thức nói riêng cũng như học môn toán nói chung

- Lập nhóm facebook gồm các GV yêu thích chủ đề bất đẳng thức để cùng trao

đổi các bài toán, các cách giải hay, các kinh nghiệm về làm toán bất đẳng thức

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Học sinh bậc trung học phổ thông

- GV dạy toán bậc trung học phổ thông

- Tài liệu về PPDH, bất đẳng thức

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp điều tra, phân tích

- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

PHẦN II NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lí luận của đề tài

1.1 Năng lực

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”

Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh hoạt,

có tổ chức hợp lí các kiến thức, kĩ năng với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó đạt kết quả tốt đẹp trong một tình huống nhất định

1.2 Năng lực toán học

1.2.1 Các thành tố cốt lõi của năng lực toán học

Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

1.2.2 Yêu cầu cần đạt về năng lực toán học của HS THPT

Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc

“học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tình huống và bối cảnh khác nhau Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân Môn Toán cấp THPT nhằm giúp học sinh phát triển năng lực toán học với các yêu cầu cần đạt:

Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề; sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để hiểu được những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề; thiết lập được mô hình toán học để mô

tả tình huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hoá được cho vấn đề tương tự; sử dụng được công cụ, phương tiện học toán, khám phá và giải quyết vấn đề toán học

1.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học

1.3.1 Khái niệm tư duy

Theo Từ điển Tiếng Việt thì: “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng”

Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định

và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”

1.3.2 Các thao tác của tư duy

a Các giai đoạn hoạt động của tư duy

Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đấy, nảy sinh trong quá trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn của con người Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề;

Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm;

Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết;

Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết;

Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra

b Các thao tác tư duy

Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy Còn nội dung bên trong nó diễn ra các thao tác sau:

+ Phân tích và tổng hợp Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống

thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một

hệ thống Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất

+ So sánh và tương tự So sánh là sự xác định bằng trí óc giống hay khác

nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiện tượng Tương tự là sự phát hiện bằng trí óc sự giống nhau giữa các đối tượng để từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những

sự kiện đối với các đối tượng kia

+ Trừu tượng hóa Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi

những đặc điểm không bản chất (sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động)

+ Khái quát hóa và đặc biệt hóa Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp

đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát Đặc biệt hóa là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp các đối tượng đã cho sang việc khảo sát một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu

1.3.3 Năng lực tư duy

Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn

1.3.4 Năng lực tư duy toán học

Năng lực tư duy toán học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống, như khả năng vận dụng tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; khả năng phân tích, suy luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin một cách hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau

1.3.5 Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học

Theo Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán (Bộ GD-ĐT, 2018), biểu hiện và yêu cầu cần đạt về năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh THPT được tổng hợp ở bảng sau:

Năng lực tư duy và lập luận

toán họcthể hiện qua việc: Yêu cầu cần đạt của HS cấp THPT

- Thực hiện được các thao tác tư duy

lí giải được kết quả của việc quan sát

- Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết

lập luận hợp lí trước khi kết luận

- Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề

- Giải thích hoặc điều chỉnh được

cách thức giải quyết vấn đề về

phương diện toán học

- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học

2 Cơ sở thực tiễn của đề tài

Trong thực tế giảng dạy toán , đặc biệt bản thân thường xuyên tham gia dạy đội tuyển bồi dưỡng HSG tỉnh ở trường THPT Huỳnh Thúc Kháng, tôi nhận thấy việc bồi dưỡng năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS trong khi dạy học chủ đề bất đẳng thức là rất cần thiết Học sinh học bất đẳng thức ngoài việc được rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức, vận dụng bất đẳng thức vào giải toán còn được bồi dưỡng, nâng cao tư duy logic, khả năng lập luận các vấn

đề chặt chẽ, phát huy tính sáng tạo, tích cực học tập

Để tìm hiểu cụ thể thực trạng việc học bất đẳng thức của học sinh trong trường THPT, trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng phương pháp điều tra

bằng phiếu (phụ lục) để biết được thực trạng dạy học chủ đề này từ đó điều

chỉnh phương pháp cho phù hợp với đối tượng Sau khi điều tra tôi thu được kết

quả cụ thể sau

2.1 Thực trạng giảng dạy của giáo viên

Qua tìm hiểu các giáo viên đang giảng dạy môn Toán tại trường và một số

trường bạn trên địa bàn tỉnh Nghệ An, chúng tôi thu được các kết quả:

Ngoài một số ít GV có hứng thú với chủ đề bất đẳng thức thì còn lại đa số

GV khác cho ý kiến rất ngại khi dạy chủ đề bất đẳng thức vì mảng kiến thức này

khó, chỉ một số ít HS tiếp thu được, kể cả các HS học được bất đẳng thức thì khi

vào phòng thi cũng chưa hẳn sẽ làm được bài Khi hướng dẫn giảng bài tập cho HS

thì GV luôn phải trả lời câu hỏi “ tại sao lại chọn cách biến đổi như vậy” hoặc tại

sao phải xuất phát từ “ đẳng thức hoặc bất đẳng thức này ” mà câu trả lời không

phải lúc nào cũng được tự nhiên, cũng dễ chấp nhận Đa số GV chưa đầu tư nghiên

cứu chủ đề BĐT một cách hệ thống để phục vụ cho việc giảng dạy

2.2 Thực trạng học tập của học sinh

Thông qua khảo sát điều tra HS học tập tại trường và các trường bạn trên

địa bàn tỉnh nghệ an thì thu được các thông tin:

- Học sinh chưa hứng thú với chủ đề bất đẳng thức vì tâm lý nghĩ rằng chủ

đề này rất khó nên không thể chinh phục được Các em thường sợ toán BĐT,

tiếp thu một cách thụ động Chỉ có một số đối tượng HSG trả lời là rất thích học

chủ đề bất đẳng thức nhưng cũng không tự tin lắm

- Phần lớn HS không nắm vững kiến thức nền tảng về bất đẳng thức dẫn

đến hay gặp sai lầm trong biến đổi và tính toán

- Không biết khai thác giả thiết để tìm chìa khoá lời giải, lúng túng không

biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào

- Khi giải được bài toán rồi thì dừng lại, không tiếp tục tìm tòi khai thác,

giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau Chưa biết tổng quát hoá, khái quát hoá

để tạo ra các bài toán mới, bài toán tương tự

B MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT HUY NĂNG LỰC

TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HS KHÁ GIỎI THPT TRONG KHI DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

*Biện pháp 1 Bồi dưỡng kiến thức nền tảng về bất đẳng thức cho học sinh

Nếu học sinh không nắm vững định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức thì

e rằng việc giải bài tập dạng này thật là khó khăn Để đạt được nhiệm vụ chung nói trên, cả giáo viên và học sinh cần phải hiểu một cách sâu sắc và nắm vững định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức.Trong thực tiễn giảng dạy, chúng tôi nhận thấy số đông HS có kiến thức về BĐT thiếu tính bài bản và hệ thống, điều này dẫn đến việc các em hay mắc những lỗi sai kiến thức cơ bản trong quá trình lập luận

Hay để chứng minh AB các em chứng minh A C B C ,  rồi kết luận AB!!!

Một số GV khi dạy chủ đề BĐT cho HS khá giỏi cũng thường bỏ qua việc nhắc, hệ thống lại, chứng minh các tính chất cơ bản, các kiến thức nền tảng cho

HS, đó là một thiếu sót lớn khi dạy chủ đề này.Kiến thức nền tảng bao gồm: các tính chất cơ bản của BĐT, các đẳng thức, hằng đẳng thức được sử dụng nhiều trong chứng minh BĐT, các bài toán gốc đóng vai trò như các bổ đề để giải quyết nhiều bài toán khác

Chứng minh tương tự chứng minh tính chất (1)

Tính chất 2: a b  +  + a c b c c

Chứng minh : a c b c+  +  + − +a c (b c) 0  −   a b 0 a b

Phát biểu bằng lời: Khi ta thêm hay bớt hai vế của bất đẳng thức với cùng

một lượng thì thu được bất đẳng thức tương đương cùng chiều

Lưu ý: Có phép cộng vế theo vế tương ứng các bất đẳng thức cùng chiều nhưng

không có phép trừ tương ứng các bất đẳng thức cùng chiều

Đã giàu lại cho đi ít hơn nên càng giàu hơn anh nghèo lại cho đi nhiều hơn

Qua tính chất 3, GV có thể đặt câu hỏi: x y xa yb

GV? vậy cần có thêm điều kiện gì để bất đẳng thức đó đúng?

Dự kiến phương án trả lời: cần thêm điều kiện bất đẳng thức không âm

1 0

n k

n k so n k so

a a

a a a a a

0 0 ,

Dấu “=” xảy ra (a b b− )  0

1.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN

1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy, còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng

và trung bình nhân (AM-GM)

Lưu ý: Một số cách viết ở dạng khác của bất đẳng thức Cauchy cho 2 số:

Cho các số không âm a b, , khi đó ta có:

;

1

" " = a = = a n;nN n,  1(*)

Lưu ý: Một số cách viết ở dạng khác của bất đẳng thức Cauchy cho n số:

Cho các số không âm a a1, 2, ,a n ;nN n,  1, khi đó ta có:

n

a a a

a a a n

1

)

đi xa hơn trên con đường chinh phục chủ đề này

* Biện pháp 2 Bồi dưỡng cho HS kỹ năng phân tích, tổng hợp và so sánh để tìm chìa khoá lời giải các bài toán

Trong tác phẩm “Giải toán như thế nào”, G Polya đã viết: “Cách giải này đúng thật, nhưng làm thế nào để phát hiện ra những sự kiện như vậy? và làm thế nào để tự mình phát hiện ra được?” (Polya, 1997) Quan điểm này của G Polya muốn nhấn mạnh ý nghĩa của việc dạy cho HS biết tự tìm tòi lời giải, tự tìm ra cái mới từ những cái quen thuộc, đã biết

Phân tích một bài toán là thao tác tìm hiểu các đặc điểm xuất hiện trong

đề bài, chẳng hạn: tính đối xứng, tính bình đẳng của biến, bậc của mỗi vế, bậc tử thức và mẫu thức, cấu trúc biểu thức, điểm rơi…đề bài giúp ta liên tưởng đến những BĐT kinh điển và các phương pháp giải nào v.v Việc bồi dưỡng kỹ năng phân tích giúp HS có thêm thông tin ẩn chứa bên trong mỗi bài toán, từ đó con đường dẫn đến lời giải sáng sủa và rộng rãi hơn

Bài toán 1.Cho a 2019 Tìm GTNN của S a 1

a

= +

Lời giải: Hướng tư duy: Dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a =2019

Để tìm GTNN của S ta cần chứng minh S =k const

Ta thấy: a 2019suy ra a “mạnh” (cùng chiều) thuận lợi

a

a a a

Phân tích: Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên ta dự đoán dấu

đẳng thức xảy ra tại a= =b 1 Khi đó ta có 2 2

1 4

Bình luận: Khai thác yếu tố bình đẳng của các biến là một dấu hiệu để tìm kiếm

lời giải các bài toán bất đẳng thức rất hữu hiệu, qua ví dụ trên GV cũng củng cố cho HS một kinh nghiệm: đối với các bài toán mà vai trò các biến bình đẳng thì thông thường ta sẽ dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau để từ

đó làm cơ sở khai thác lời giải

Bài toán 3 Cho các số thựca b c, , 0 Tìm GTNN của

Lời giải: Hướng tư duy: do xuất hiện a+ +b c ở số hạng thứ hai nên chúng ta

sẽ nghĩ đến hướng: Cần cân bằng hệ số để số hạng thứ nhất xuất hiện a+ +b c

hoặc là bội của a+ +b c

GV? Nếu không cân bằng hệ số, để vậy áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì kết

quả sẽ như thế nào?

GV? Cần điều chỉnh hệ số của b và c như thế nào?

Dự kiến phương án trả lời: Cần tăng hệ số của btrong ab và cần tăng hệ số của ctrong 3

n=  nk = k

4, 4

k k là lập phương của 1 số tự nhiênchọn k nhỏ nhất là 16

Kiểm tra lại ta có:

1008( 1) 1008 1008 4

Bài toán 4 Cho các số thựca b c, , 0thoả mãn a b c và 3ab+ 5bc+ 7ca 9

Như vậy ta đã chuyển bài toán 3 biến về bài toán 2 biến

Dự đoán điểm rơi: do a b c , , 0mà clại nhỏ nhấtdự đoán dấu bằng xảy ra khi

P

y x y y x y y x y S

Ý tưởng: lượng giác hoá

Đặt a = tan ,  b = tan ,  c = tan  do a b c, ,  0,ab +bc+ca =  1      

  

, , 0;

2 Theo giả thiết: ab bc ca+ + =  1 tan tan   + tan  tan  + tan tan   = 1

tan tan tan 1 tan tan

tan 1 tan tan

3

a b S

Qua các ví dụ trên cho ta thấy; việc bồi dưỡng cho HS kỹ năng phân tích, tổng hợp và so sánh để tìm chìa khoá lời giải các bài toán là rất cần thiết; một

định lí, một bài toán hay một phương pháp giải lớp các bài toán nếu các em chỉ thụ động tiếp thu qua lời giảng của giáo viên thì tri thức mà học sinh lĩnh hội được sẽ là sự ghi nhớ một cách máy móc Chỉ có tham gia vào các hoạt động để thông qua đó chiếm lĩnh kiến thức thì mới phát huy được tính sáng tạo trong học tập, hiểu đúng bản chất các kiến thức được lĩnh hội Việc làm này giúp phát triển khả năng nhận thức toán học cho các em đồng thời các em sẽ tìm được hứng thú

và niềm vui khi mình đóng góp công sức vào việc phát hiện và chứng minh định

lí hay tự mình có thể phát biểu được một số bài toán, tự tìm ra “chìa khóa” của lời giải

*Biện pháp 3 Hướng dẫn và tập luyện cho HS khả năng nhìn bài toán bất đẳng thức dưới nhiều góc độ khác nhau để giải được bài toán theo nhiều cách và lựa chọn cách tối ưu

Trong quá trình dạy học, việc rèn luyện cho HS nhìn nhận bài toán theo nhiều hình thức khác nhau sẽ rèn luyện được tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn và độc đáo của tư duy Để tìm được nhiều cách giải cho một bài toán, trước hết HS cần nắm vững các kiến thức cơ bản và các phương pháp giải toán, cần rèn luyện

tư duy đa dạng, tinh thần tìm tòi học hỏi khám phá, không sớm hài lòng khi mới chỉ cho ra một lời giải

Thực tế cho thấy khi HS được tập luyện thói quen tìm tòi, nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để khai thác thêm các lời giải cho một bài toán thì các

em sẽ hiểu sâu sắc hơn bài toán đó Thực hành được nhiều kĩ năng giải toán các em

sẽ khai mở trí tuệ đa dạng và hình thành cảm xúc tự tin khi đứng trước một bài toán mới

Bài toán 1: Chứng minh 2 2 2

, ,

x +y +z xy+yz+zx x y z (1)

Hướng dẫn giải: Đây là một bài toán khá đơn giản nhưng kết quả này lại

được sử dụng rất nhiều để chứng minh các BĐT khác Cách giải đầu tiên mà HS thường nghĩ đến là biến đổi tương đương

Cách 1: Biến đổi tương đương

Nhân hai vế BĐT (1) với 2 ta có: 2 2 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x= =y z

Bài toán đã giải quyết xong Nếu chỉ dừng lại ở kết quả này thì HS chỉ gói gọn trong một cách giải và nhiều khi các em khác có cách giải khác (lời giải có thể đúng cũng có thể là chưa đúng) sẽ không được trình bày để động viên, để sửa sai cho các em

GV? Đề bài cho x, y, z thuộc số thực, vậy có thể dùng BĐT Cauchy để

giải không?

Dự kiến phương án trả lời:

Những HS nắm vững điều kiện để áp dụng BĐT Cauchy có thể sẽ nhanh

chóng trả lời là không được vì x, y, z thuộc số thực?

Một số HS không nắm vững điều kiện của BĐT Cauchy có thể sẽ có đánh giá sai kiểu như:

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có điều phải chứng minh !!!

Như vậy, tình huống có vấn đề đã xuất hiện! GV có thể nhân cơ hội này

mà chỉnh sửa cho HS đã áp dụng sai, đồng thời cũng giúp các HS nghĩ rằng không thể dùng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá bài này có thêm cách tư duy linh hoạt hơn khi chúng ta thêm một bước đánh giá trung gian thì bài toán vẫn giải quyết nhẹ nhàng

Cách 2: (sử dụng BĐT Cauchy và BĐT chứa giá trị tuyệt đối)

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm 2 2

GV? Ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy để giải, vậy ta có thể dùng bất

đẳng thức Cauchy-Schwarz để giải hay không?

Dự kiến phương án trả lời:

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường có mối liên hệ với bất đẳng thức véc tơ, vậy nên GV có thể dẫn dắt HS tìm cách giải theo véc tơ tuỳ vào đối tượng HS là lớp 10 hay 11,12

GV? Vậy dưới góc nhìn véc tơ, bài toán có thể giải quyết hay không?

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u  =v x y

Bằng cách làm tương tự ta sẽ chứng minh được: 2 2

 + +  + +  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x= =y z

Lưu ý: Ta cũng có thể xem vế trái là tam thức bậc hai với ẩn y z, và giải tương tự

Nếu diễn đạt theo một cách khác, ngôn ngữ hàm số thì ta có thể giải như sau:

Cách 7: Không mất tính tổng quát ta giả sử x y z, khi đó:

Hướng dẫn giải: Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khia= =b c

Bài toán 3: Choa b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Cách 2: Đổi biến kết hợp BĐT Cauchy

Hướng tư duy: Trong các tính chất cơ bản của phép toán có tính chất:

nhân tử chung ở mẫu) Như vậy phép cộng (trừ) ở mẫu là nguyên nhân sinh

phiền toái Việc đặt biến mới biểu thức ở mẫu giúp ta đưa phép cộng (trừ) từ mẫu lên tử, khi đó áp dụng được (*)

Dự đoán dấu bằng của BĐT (1) xảy ra khi và chỉ khi a= =b c, khi đó

Ta nhận thấy ở mẫu vai trò của b c, là bình đẳng, chỉ có chỗ biến alà khác Để

đưa về biểu thức chứa a+ +b cở mẫu thì ta cần biến đổi như sau:

+ − + − + − Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= =b c

Cách 5: Chuẩn hoá kết hợp biến đổi tương đương

GV cho HS nhận xét về vai trò của các biến trong đề bài: vai trò các biến bình

đẳng, đồng bậc Từ điều này để việc chứng minh đơn giản hơn ta có thể chuẩn

hoá a+ + =b c 3(ta cũng có thể chuẩn hoá bằng một số tuỳ ý khác, chẳng hạn

chọn a+ + =b c 1, tuy nhiên chọn bằng 3vì dự đoán dấu bằng xảy ra khi các biến

bằng nhau thì khi đó a= = =b c 1 sẽ gọn đẹp hơn 1

Bất đẳng thức được chứng minh " =  " sinBAC =  1 BAC = 90 0

Như vậy, thông qua biện pháp này HS được bồi dưỡng lòng tự tin giải toán, tinh thần tìm tòi, khả năng cảm thụ, tư duy phân tích Làm tốt điều này là chúng ta đã thành công trong việc đổi mới PPDH theo định hướng phát triển năng lực, trí tuệ, cảm xúc cho HS

* Biện pháp 4 Hướng dẫn và tập luyện cho HS khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa thông qua giải các bài toán bất đẳng thức

Trong chương trình toán THPT, tư duy khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương

tự hóa đã được giới thiệu trong một số sách hình học nâng cao Ngoài hình học,

HS cũng có thể được bồi dưỡng khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá thông qua chuyên đề BĐT Trong giải toán bất đẳng thức, đôi khi việc chứng minh một BĐT cụ thể là tương đối khó khăn, nhưng nếu ta tìm ra đặc điểm của bài toán, phát hiện và chứng minh kết quả tổng quát thì dễ dàng hơn rất nhiều Vì với trường hợp tổng quát ta có thể sử dụng phương pháp qui nạp (với nN) hoặc dùng phương pháp đạo hàm (số thực) Sau khi chứng minh được bài toán tổng quát ta lại có những kết quả đặc biệt đẹp mắt Tư duy tương

tự cho ta xây dựng lớp các bài toán từ một bài toán cụ thể bằng cách thay đổi hệ

số, thay đổi số mũ nhưng giữ nguyên tư tưởng của BĐT phụ hoặc mở rộng số biến…v v

Bài toán 1 Chứng minh rằng 4 4 4 ( )

, ,

x +y +z xyz x+ +y z x y z(1) Lời giải:Ta có: 2 2 2

Dự kiến phương án trả lời: Khi đó xyz =1nên ta có bài toán sau:

Bài toán 2: một kết quả được suy ra từ bài toán 1

 + +  + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khia b c= =

Chuỗi liên hệ bài toán 2:

Bài toán 2a Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng:

BĐT được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khia b c= =

GV? Nếu n=   R,   1thì bài toán tổng quát 1 còn đúng không?

Dự kiến phương án trả lời:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: f t( )    0 t 0

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được b 1 b

Bài toán 2f Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng: 3 3 3

a +b +c  + + Trong bài toán 2f nếu đặt a 1,b 1,c 1

= = = thì ta có bài toán mới:

Bài toán 2g Cho x y z , , 0 Chứng minh rằng:

5

3

b S

a b

a P

Tổng quát cho bài toán 3:

Cho a b , 0thoả mãn:  a+  b=m ( , ,   m 0).Tìm GTLN của

p q p q

mp a

a b

p q

p q S

Lời giải: Biểu thức S có dạng tích của 3 số trong giả thiết 2 3

11

a+b +c = nên việc tìm GTLN của S khá đơn giản Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy như sau:

99 3

Tổng quát cho bài toán 4:

Tổng quát 1:Cho a b c , , 0thoả mãn: *

a +b +c =  m n pN   Tìm GTLN của S =abc

Lời giải: Gọi k là bội chung nhỏ nhất của ba số

x y z x y z S

 = = = (m n p u v t, , , , , đề bài đã cho trước)

Tuỳ thuộc vào đề bài cụ thể để chọn *

, ,

x y zN phù hợp Trong trường hợp tổng

quát nếu gọi BCNN mt nt( , ) = f và chọn

upf x mt

z f

vpf y nt

 =  =  = = = = = ta có bài toán cụ thể như sau:

Bài toán 5 Cho a b c , , 0thoả mãn: 3 5 6

3a + 4b + 5c = 69 ( , ,a b c 0).Tìm GTLN của

2 4 5

S =a b c

Theo bài toán tổng quát 3 ở trên, BCNN mt nt( , ) =BCNN(15, 25) = 75

Nếu chọn

6.2.75

60 3.5 75

4.6.75

72 5.5

upf x mt z

vpf y nt

3 3

a a

Từ bài toán 6, ta cho HS khai thác các bài toán tương tự, bài toán tổng quát, bài

toán mở rộng hơn

Khai thác 1: Thay đổi hệ số ta có bài toán tương tự:

Bài toán 7: Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng:

Để chứng minh hai BĐT trên ta chỉ cần xét bài toán tổng quát và chứng minh

cho trường hợp tổng quát

Tổng quát cho bài toán 7: Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng:

đpcm Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khia b c= =

Khai thác 2: Tăng số biến

Để chứng minh hai BĐT của bài toán 9 ở trên ta chỉ cần xét bài toán tổng quát và chứng minh cho trường hợp tổng quát

Tổng quát cho bài toán 8:

+ + + + .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 =a2 = = a k

Qua các bài toán trên có thể thấy, tư duy khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hóa vừa giúp HS thêm công cụ tư duy để tìm tòi lời giải, vừa giúp HS

có thể sáng tạo thêm nhiều bài toán mới, tăng thêm hứng thú khi học chủ để này.Nhờ tổng hợp tri thức, kinh nghiệm làm toán BĐT mà HS có thể so sánh, hệ thống hoá kiến thức về bất đẳng thức Thông qua sự rèn luyện này, HS có thể áp dụng phương pháp tư duy, làm việc sang những bộ phận khác của toán học

* Biện pháp 5 Bồi dưỡng tư duy logic, tư duy sáng tạo thông qua việc cho

HS tập sáng tác các bài toán mới

Việc bồi dưỡng cho HS tư duy logic, tư duy sáng tạo thông qua việc cho HS tập sáng tác các bài toán mới là rất cần thiết, nó thích hợp khi HS đã nắm vững một số kĩ năng chứng minh bất đẳng thức cơ bản, nắm vững kiến thức.Việc làm

này giúp HS đi từ việc thụ động giải các bài toán được giao đến việc chủ động tìm tòi, sáng tác các bài toán mới, rèn luyện tư duy sáng tạo, tạo cảm hứng say

mê, hứng thú khi học BĐT.Để có thể phát hiện và đề xuất được bài toán mới, phương pháp mới từ các bài toán đã cho, GV có thể hướng dẫn HS tự đặt ra và tìm câu trả lời là:

+ Bài toán đã cho tương tự với các bài toán nào?

+ Bài toán có là trường hợp đặc biệt của bài toán nào không?

+ Có thể mở rộng bài toán này theo các hướng nào?

+ Có thể thay đổi giả thiết, điều kiện nào, có thể thêm điều kiện gì?

+ Phương pháp giải bài toán này có thể áp dụng cho các dạng toán nào khác? + Bài toán này có nêu lên vấn đề nào mới không?

Ban đầu, để sáng tác bài toán dựa trên các bài toán cũ HS có thể lắp ghép cơ học các bài toán đã biết (mức độ thấp), sau khi được rèn luyện rồi thì tìm ra điểm mấu chốt trong lời giải của một bài toán BĐT nào đó rồi từ điểm mấu chốt này phát triển, tạo ra các bài toán mới (mức độ cao hơn)

Bài toán 1: Chứng minh 2 2 2

, ,

a + +b c ab bc ca+ + a b c (1)

Lời giải: Đây là một bài toán khá cơ bản, tuy nhiên nếu khéo léo GV có thể bồi

dưỡng được cho HS tư duy sáng tạo thông qua việc phát triển các bài toán mới

GV? Thấy các đối tượng 2 2

, ,

a b ab các em liên tưởng đến hằng đẳng thức nào?

Dự kiến phương án trả lời: Đó là hằng đẳng thức

( )2 2 2

a b =a  ab b+ a b

GV? Như vậy để có hằng đẳng thức cần có hệ số 2 ở tích ab, điều này gợi

cho ta làm gì tiếp theo?

Dự kiến phương án trả lời: Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với 2

GV nêu câu hỏi tình huống: Nếu bây giờ không nhân thêm số 2 thì có thể

tạo ra các hằng đẳng thức không? Vẫn cách tư duy trên, muốn tạo ra hằng đẳng thức cần có số 2 nhưng lại không được nhân thêm số 2 vào hai vế, vậy chúng ta tạo ra số 2 bằng cách nào?

Dự kiến phương án trả lời: 2 ; 2 ; 2 .

Phát triển bài toán:

Nếu cộng cả hai vế bất đẳng thức (1) với 2 ab bc ca( + + )ta thu được bất đẳng thức

Vậy đẳng thứctan tan tan tan tan tan 1

thì ta có đẳng thức tan tanx y+ tanytanz+ tan tanx z= 1

sẽ có dạng cotAcotB+ cotBcotC+ cotAcotC= 1

Bài toán 1.4:

CMR với mọi tam giác nhọnABCta có: cotA+ cotB+ cotC 3 (1.4)

Bài toán 1.5: Nhận dạng tam giác nhọnABC biết cotA+ cotB+ cotC= 3 (1.5) Hướng khai thác khác từ bất đẳng thức (1)

Từ (1) nếu đặta=xy b, =yz c, =zx ta thu được:

xy yz+xy zx+yz zx xy + yz + zx =x y +y z +z x  x + y + z =x +y +z

Vậy ta có bài toán sau:

Bài toán 1.6: Chứng minh rằng x y z, , ta có 4 4 4 ( )

x +y +z xyz x+ +y z (1.6)

Từ bài toán 5, nếu x y z , , 0 ta tiếp tục đặt x b,y c,z a

c a b

= = = khi đó xyz =1 và từ

bất đẳng thức (1.6) ta thu được bài toán:

Bài toán 1.7: Chứng minh rằng a b c, ,  0ta có

b +c +a  + +b c a (1.7) Trở lại bài toán (1.1), nếu cho thêm điều kiện x y z , , 0 và x+ + =y z xyz thì

 gợi cho ta liên tưởng đến đẳng thức

cot cot cot cot cot cot

Nhận xét rằng: a b c a b c, , ,( + + )2  0 1( 2 2 2)

2

ab bc ca a b c

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khia b c+ + = 0

Lại có: ab bc ca a+ +  2+b2+c2 a b c, , Từ hai kết quả trên ta thu được bài toán:

2

t=  =x y

Bài toán 2 đã được giải quyết xong Tuy nhiên, nếu chỉ dừng lại ở đây thì

HS chỉ biết mỗi bài toán 2 Chúng ta cần tập cho HS suy nghĩ, đặt các câu hỏi liên quan bài toán để tìm kiếm các bài toán mới

Ở bài toán trên, khai thác dữ kiện t 2ta có thể sáng tác ra các bài toán mới:

3 3

t t

y x

− = + nên ta có bài toán mới:

Bài toán 2.1 Cho x y , 0 Chứng minh rằng:

    nên ta có bài toán:

Bài toán 2.2 Cho x y , 0 Chứng minh rằng:

Bài toán 2.3 Cho x y , 0 Chứng minh rằng:

Ở BĐT nếu thay vai trò 2 2

  .Từ hai kết quả trên ta có bài toán:

Bài toán 2.4 Cho x y , 0 Chứng minh rằng:

Bài toán 2.5 Cho x y , 0 CMR:

cộng vế theo vế ta có bài toán:

Bài toán 2.6 Cho x y , 0 CMR:

Bằng phép tư duy tương tự ta thu được nhiều bài toán mới Việc làm này giúp

HS tìm được niềm vui khi bản thân mình có thể là tác giả của các bài toán BĐT,

giúp các em học tập say mê hứng thú hơn

* Biện pháp 6 Phát triển tư duy phê phán thông qua việc cho HS phát hiện

các sai lầm, đánh giá nhận xét lời giải

Trong dạy học, việc đánh giá học sinh không chỉ nhằm mục đích nhận định

thực trạng và điều chỉnh hoạt động học của trò mà còn đồng thời tạo điều kiện

nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động dạy của thầy Trước đây GV giữ

độc quyền đánh giá học sinh Trong phương pháp tích cực, giáo viên phải hướng

dẫn học sinh phát triển kĩ năng tự đánh giá để tự điều chỉnh cách học

Liên quan với điều này, GV cần tạo điều kiện thuận lợi để HS được tham gia

đánh giá lẫn nhau Tự đánh giá đúng và điều chỉnh hoạt động kịp thời là năng lực

rất cần cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà trường phải trang bị cho HS Để

làm tốt điều đó GV cần thiết kế các tình huống để tập luyện cho HS tự đánh giá

và đánh giá lẫn nhau trong các giờ học Tình huống có thể là đánh giá lời giải sẵn,

phát hiện và sửa chữa sai lầm, phỏng đoán lời giải của bạn Các ví dụ sau đây

được thiết kế khi dạy cho học sinh chủ đề bất đẳng thức Tuy nhiên, cần phải

hiểu rằng nó được tập luyện vào các thời điểm khác nhau chứ không phải xảy ra

trong một tiết học

Bài toán 1 Cho các số thực x y z, , thoả mãn: 4 4 4

48.

x +y +z = Tìm GTLN của S =xy+yz+xz