Một số kinh nghiệm về dạy học các bài toán về hàm ẩn cho học sinh trung học phổ thông

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LĨNH VỰC: TOÁN HỌC... Để HS học tốt và thi THPT đạt điểm cao, GV cầ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài:

MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN

VỀ HÀM ẨN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài:

MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN

VỀ HÀM ẨN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Lĩnh vực (môn ) : Toán

Họ và tên : Nguyễn Thị Quỳnh Hoa (A)

Phạm Thị Thanh Thủy

Tổ : Toán - Tin Năm thực hiện : 2020 - 2021

Số điện thoại : 0968 923 238

MỤC LỤC

Trang

1 Tầm quan trọng và ý nghĩa của việc dạy và học hàm ẩn 3

2 Thực trạng dạy và học về các bài toán về hàm ẩn 3

4.1 Các bài toán hàm ẩn về tính đơn điệu của hàm số 5

4.3 Các bài toán hàm ẩn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 16 4.4 Các bài toán hàm ẩn về tiệm cận của đồ thị hàm số 22 4.5 Các bài toán hàm ẩn về bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số 26

5.1 Các biện pháp dạy học bài toán về hàm ẩn đạt hiệu quả 39 5.2 Một số sai lầm thường gặp khi dạy học các bài toán về hàm ẩn 42

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ

Phần I Đ/ẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình môn Toán ở trường THPT, các bài toán về hàm ẩn đóng vai trò hết sức quan trọng Đây là dạng bài tập khá trừu tượng dối với HS Thường khi giải toán HS đã quen với việc cho trước một hàm số nào đó sau đó HS xét các bài toán liên quan đến hàm số đó Tuy nhiên các bài toán về hàm ẩn HS lại chỉ có được một số tính chất của hàm số mà chưa có hàm số Để giải được bài tập HS có thể phải đưa về việc tìm hàm số hoặc sử dụng các định nghĩa và tính chất của hàm

số để giải quyết vấn đề Học sinh thường gặp khó khăn khi làm các bài tập dạng này Thông thường các bài toán về hàm ẩn có trong đề thi THPT Quốc Gia thường

là các bài tập ở các mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao Để

HS học tốt và thi THPT đạt điểm cao, GV cần phải định hướng được các dạng bài tập về hàm ẩn tốt từ đó giúp HS có tư duy tốt để giải quyết các bài tập dạng này Dạy các bài toán về hàm ẩn không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng giải toán mà còn rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt, đức tính cẩn thận, chính xác

và tính sáng tạo Học toán luôn phải gắn liền với sự sáng tạo mà toán học đã mang lại vì vậy các HS thường yêu thích học môn Toán nếu người GV tạo được niềm say mê, hứng thú và có tác động tích cực đến việc học và giải toán Một trong những phần mà học sinh thích thú trong toán học THPT là các bài toán liên quan đến hàm ẩn Thích thú ở đây không chỉ là HS chưa dễ dàng giải quyết ngay được

mà mỗi bài giải còn có nhiều cách giải khác nhau, ấn tượng ở đây là giải toán rất

dễ mang lại sai lầm Về bài tập thì việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào thì nhiều học sinh còn mơ hồ và khó diễn đạt theo ý mà mình muốn nói Trong các

bộ môn toán, học sinh thường học chưa hiệu quả về các bài toán về hàm ẩn

Ngày nay, trong những kỳ thi quốc gia, quốc tế thường không vắng bóng các bài toán về hàm ẩn Khi giải các bài toán này, các học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân: Học sinh chưa hiểu được, chưa linh hoạt sử dụng các định nghĩa, tính chất, quy tắc nên đã gặp một số sai lầm khi giải toán Qua quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp bài toán về hàm ẩn còn lúng túng, không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách giải Tuy nhiên các bài tập trong SGK hầu như không có các dạng bài tập này, vì thế với hình thức thi trắc nghiệm đổi mới so với hình thức thi tự luận như trước thì việc bổ các bài toán về hàm ẩn là hết sức quan trọng đối với HS Qua nhiều năm giảng dạy

ôn thi THPT Quốc Gia chúng tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm khi dạy các bài toán này, nhờ đó mà kết quả dạy học cho học sinh được nâng cao Vì sự thiết yếu đó, chúng tôi đã nghiên cứu, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương

pháp nghiên cứu viết thành đề tài: “Một số kinh nghiệm về dạy học các bài toán

về hàm ẩn cho học sinh trung học phổ thông” Với mong muốn chia sẻ sáng

kiến kinh nghiệm (SKKN) với đồng nghiệp, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy

và kết quả học tập của học sinh ở trường THPT

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đề tài này áp dụng cho học sinh lớp 12

+ Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: “Các bài tập liên quan đến hàm ẩn với các

chuyên đề về hàm số và tích phân” Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 ban cơ bản + Đề tài áp dụng cho HS ôn thi THPT

* Kiến thức vận dụng: Giải tích Lớp 12

+ Một số các tính chất về hàm số: Tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm

số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

+ Đạo hàm, nguyên hàm và tích phân

* Bài tập: + Trong đề tài sử dụng một số bài tập sách giáo khoa, sách bài tập Giải tích lớp 12 trích một đề trong kì thi THPT Quốc Gia và đề thi thử THPT của các trường trong Tỉnh Nghệ An và một số tỉnh khác, một số sách tài liệu tham khảo

+ Trên cở sở của phương pháp, trong mỗi ví dụ có nêu nhận xét, cách giảng dạy của giáo viên, hướng phân tích lời giải, gợi mở hướng mới và bài tập phát sinh

Phần II NỘI DUNG

1 Tầm quan trọng và ý nghĩa của việc dạy và học hàm ẩn

Chuyên đề hàm ẩn là chuyên đề trong chương trình Toán đặc biệt trong các đề thi THPT Quốc Gia mà HS gặp nhiều trong các bài tập về hàm ẩn Chuyên đề này cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng giải toán mà còn rèn luyện cho học sinh vận dụng kiến thức sáng tạo và góp phần giúp học sinh phát triển được năng lực tư duy, khả năng quan sát, trí tưởng tượng Từ đó bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo, tạo nên phẩm chất của con người lao động mới Vì đa số HS chỉ mới biết vận dụng kiến thức đã học khi có hàm số cụ thể nên việc giải bài tập hàm ẩn rất khó khăn dối với HS HS thường sẽ thấy khó vì sự trừu tượng hơn của các bài tập dạng này Hiện nay với hình thức thi THPT là trắc nghiệm, các bài toán về hàm ẩn được đưa vào đề thi tương đối nhiều với các bài tập ở các mức độ Trong đề thi THPT Quốc Gia thường xuất hiện nhiều câu có liên quan hàm ẩn và ở tất cả các mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao Việc dạy học cho HS nắm được các khái niệm cũng như các công thức và áp dụng trực tiếp được các công thức này không khó khăn Tuy nhiên khi chưa có hàm số HS thấy khó khăn khó định hướng được và bài tập về hàm ẩn các dạng bài rất đa dạng Đối với các bài toán này, HS thường có những cách giải khác nhau cách nào cũng thấy có lý nhưng lại có những kết quả khác nhau Như vây các bài toán về hàm ẩn lại dễ mắc sai lầm cho HS khi giải Chính vì vậy việc dạy học hàm ẩn GV cần khắc phục được những sai sót thường gặp cho HS Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi đổi mới PPDH môn toán để phát huy tính tích cực , chủ động sáng tạo cho HS, vì vậy GV cần phải gây được hứng thú cho các em bằng cách thiết kế bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với thực tiễn và phù hợp với chương trình thi cử hiện nay của các em

Vì vậy, chuyên đề này nhằm giúp GV giảng dạy để HS có cách tiếp cận tốt hơn, hiệu quả hơn đối với các bài tập về hàm ẩn Chuyên đề cung cấp một số kiến thức cho học sinh từ đó nâng cao kĩ năng giải toán cho HS đặc biệt là tăng cường

sự vận dụng kiến thức nâng cao tư duy cho HS THPT

2 Thực trạng của việc dạy và học về các bài toán về hàm ẩn

Trong chương trình GDPT hiện nay, việc thay đổi hình thức thi THPT từ tự luận sang trắc nghiệm, các bài tập trong SGK không đủ các dạng bài để HS có thể

ôn luyện đầy đủ được, đặc biệt các bài tập về hàm ẩn là một trong các dạng bài tập

mà HS cần được bổ sung Trong đề thi tự luận thường đề thi ít ra với các bài toán

về hàm ẩn nhưng với hình thức thi trắc nghiệm rất nhiều bài tập về dạng này mà

HS cần biết đến Với đối tượng học sinh trung bình và yếu ở Trường THPT nơi chúng tôi giảng dạy chiếm đa số, việc học các bài toán về hàm ẩn gặp khó khăn Đối với các bài toán về hàm ẩn HS trung bình, yếu thường không muốn học và làm bài, còn đối với các HS khá giỏi khi làm các bài tập dạng này vẫn gặp khó khăn đối với các bài tập vận dụng Vì thế kết quả học của HS chưa tốt ở phần bài tập này Sau các buổi dạy về chuyên đề về hàm ẩn, chúng tôi đã cho HS làm bài về

dạng hàm ẩn và thấy kết quả HS thấp chiếm đa số và đối với kiểm tra trắc nghiệm rất nhiều HS khoanh mò đáp án Chúng tôi xin trích kết quả bài kiểm tra kiến thức chuyên đề về hàm ẩn môn Giải tích lớp 12 của một số lớp 12 ở Trường THPT nơi chúng tôi công tác những năm gần đây như sau:

2.1 Năm học 2016 – 2017

STT Lớp Sĩ số

Đạt điểm loại giỏi Đạt điểm loại khá trung bình Đạt điểm

Đạt điểm loại yếu Đạt điểm loại kém

Đạt điểm

TB, Yếu, Kém

Đạt điểm loại khá

Đạt điểm trung bình

Đạt điểm loại yếu

Đạt điểm loại kém

Đạt điểm

TB, Yếu, Kém

và thời gian hơn so với các học sinh khác Đối với các HS khá và giỏi thường HS thích thú khi làm các bài tập về hàm ẩn nhưng chưa có định hướng phù hợp nên vẫn gặp khó khăn, còn các HS trung bình và yếu thường không muốn làm các bài tập về hàm ẩn vì thấy các bài tập này trừu tượng hơn các bài tập đã có hàm số cụ thể Vì vậy người GV cần lựa chọn bài tập phù hợp để HS giải phù hợp với năng lực học tập của

HS Để có biện pháp phù hợp giúp đỡ học sinh trung bình và yếu và các HS khá, giỏi giải toán, giáo viên thường phân loại đối tượng học sinh khá , giỏi, trung bình, yếu dựa vào các nguyên nhân giải toán của học sinh Từ đó có biện pháp phù hợp

để dạy HS

- Đối với các học sinh hổng kiến thức cơ bản, nên việc tiếp thu kiến thức mới

phương pháp nhằm lấp dần lỗ hổng kiến thức Giáo viên tìm ra các kiến thức cũ có liên quan và tái hiện lại kiến thức cũ và hướng dẫn học sinh sử dụng kiến thức mới một cách linh hoạt

- Đối với học sinh không tích cực trong học toán, giáo viên cần phát hiện năng lực của mỗi em, tạo điều kiện để cho các em có cơ hội để phát huy năng lực của mình Đối với các HS này, GV cần tạo cho HS niềm say mê học Toán Giáo viên nên động viên kịp thời, phù hợp để các em tự tin trong học tập môn toán bằng cách ra các bài tập vừa sức, khen ngợi khi các em biết hướng giải, giải đúng, cố gắng làm bài Đối với các HS này giáo viên cũng cần nghiêm khắc và có sự kết hợp với gia đình để có sự quan tâm của phụ huynh trong việc học tập của học sinh hơn

- Với các HS tiếp thu bài nhanh nhưng kỹ năng làm bài chưa tốt, GV cần định

hướng cách giải rồi để HS tìm ra hướng giải quyết và lời giải GV phân các dạng phù hợp để HS có thể làm các bài tập từ dễ đến khó Đa số HS kỹ năng làm bài chưa tốt nên GV cần phải có định hướng cụ thể về các dạng bài tập về hàm ẩn Đặc biệt đối với bài tập trắc nghiệm, GV cần hướng dẫn HS cách giải phù hợp nhanh và chính xác không để nhầm lẫn các phương án, có nhứng bài giải có thể giải bằng cách chọn hàm đặc biệt Đề xuất quy trình để giải toán để HS có thể hiểu rõ và rèn luyện kĩ năng giải toán tốt Đối với các HS khá giỏi, GV cần tạo các tình huống có vấn đề để tạo cho HS phát triển tư duy giúp HS làm được các bài tập vận dụng, từ

đó hướng đến khả năng vận dụng GV hướng dẫn HS khá giỏi tổng quát các kết quả bài toán

4 Dạy học các bài toán về hàm ẩn

Trong mục này SKKN đã hệ thống cách dạy học các bài toán hàm ẩn về: Tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số, các bài toán

về tích phân Chúng tôi hệ thống kiến thức và đưa các bài tập theo các mức dộ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao Mỗi bài tập đều có phân tích và hướng dẫn cho HS cách giải các bài tập và bài tập phát sinh, một số các kết quả được tổng quát, dấu hiệu khi giải toán trắc nghiệm Một số bài toán có hướng giải hình thức trắc nghiệm như chọn hàm đặc biệt

4.1 Các bài toán hàm ẩn về tính đơn điệu của hàm số

4.1.1 Các kiến thức cơ bản

a Định nghĩa : Cho hàm số y = f x( ) xác định trên K

* Hàm số y = f x( ) đồng biến trên K nếu x x1, 2K x: 1x2 f x( )1  f x( )2

* Hàm số y = f x( ) nghịch biến trên K nếu x x1, 2K x: 1x2 f x( )1  f x( )2

Chú ý : K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng

b Định lý : Cho hàm số y = f x( ) đạo hàm trên K

a) Nếu f x'( )  0,  x K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K

b) Nếu f x'( )  0,  x K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K

c Định lý mở rộng : Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm trên K

+ Nếu f x'( )  0,  x K và f x'( )  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K

+ Nếu f x'( )  0,  x K và f x'( )  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K

+ Nếu f x'( )    0, x K thì f x( ) không đổi trên K

4.1.2 Các dạng bài tập

Bài 1 Cho hàm số y f x  xác định trên và có đồ thị là đường cong trong

hình bên Mệnh đề nào sau đây sai?

A.Hàm số f x  đồng biến trên khoảng mỗi khoảng

;0 ; 2;

B Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2 

C Hàm số f x  đồng biến trên khoảng mỗi khoảng

1;1 ; 3;

D Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 1; 2 

Nhận xét: Để giải bài tập này, GV cho HS nhắc lại mối quan hệ giữa tính

đơn điệu và đồ thị của hàm số “Nếu đồ thị hàm số trên khoảng (a;b) là một đường

đi lên từ trái sang phải thì hàm số đó đồng biến trên khoảng (a;b) Nếu đồ thị hàm

số trên khoảng (a;b) là một đường đi xuống từ trái sang phải thì hàm số đó nghịch biến trên khoảng (a;b)” Bài tập này, GV gọi HS yếu và trung bình lên giải rồi chốt

lại kiến thức cho HS

Lời giải: Từ đồ thị hàm số ta có: Hàm số f x  đồng biến trên khoảng mỗi khoảng

;0 ; 2; vì trên khoảng này khi x tăng thì y tăng và hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2  do trên khoảng này khi x tăng thì y giảm Như vậy các mệnh đề A, B,

D đúng Ta có nhận xét: Mệnh đề C sai vì trên khoảng (-1;0) hàm số đồng biến do

đồ thị đi lên từ trái sang phải, trên khoảng (0;1) hàm số nghịch biến vì đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên khoảng này nên mệnh đề C là sai Chọn C

Bài 2 (Đề minh họa THPT năm 2020)

Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A 1;  B  1;0 C  1;1 D  0;1

Lời giải: Hàm số đã cho đồng biến khi và chỉ khi f ' x không âm Từ bảng biến thiên ta thấy: f ' x có dấu dương trên mỗi khoảng   ; 1 và  0;1 Vì vậy, trên khoảng (0;1) hàm số đồng biến nên ta chọn phương án D

Nhận xét : Ở bài tập 2, HS sẽ dễ dàng làm được sau khi đã làm được bài tập

sau khi hiểu về kiến thức về tính đơn điệu của hàm số GV cho gia tăng các bài tập tương tự để HS yếu và trung bình luyện tập trong phần bài tập tự luyện và bài tập

về nhà Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải rồi chốt lại kiến

thức

Bài 3 Cho hàm số y f x  xác định trên và có đồ thị hàm số y  f ' x

là đường cong trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 1;1 

B Hàm số f x  đồng biến trên khoảng 1; 2 

C Hàm số f x  đồng biến trên khoảng  2;1 

D Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2 

Lời giải: Chọn D Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị của hàm số

 

'

y f x ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2 

Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' x vừa có phần nằm dưới trục hoành vừa có phần nằm trên trục hoành thì loại phương án đó

Trên khoảng 0; 2ta thấy đồ thị hàm số y f ' x nằm bên dưới trục hoành, nên hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2 

Nhận xét: Ở bài tập này, GV nhấn mạnh mối liên quan giũa dấu đạo hàm với

đồ thị của đạo hàm Bài tập này ở mức độ thông hiểu Ở bài tập này GV sẽ hỏi HS trung bình trả lời để hướng dẫn điều chỉnh kết quả Sau đó chốt phương án cho tất cả

HS hiểu Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải rồi chốt lại

kiến thức

Bài 4 ( Trích đề THPT minh họa năm 2018 Câu 39) Cho hàm số y f x( ) Hàm

số y f x ( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây Hàm số y f(2 x) đồng biến trên khoảng

Cách 2: GV có thể yêu cầu HS lập bảng biến thiên để giải toán

Nhận xét: Đây là câu mức độ vận dụng nhưng khi đã hiểu cách giải HS sẽ

không còn thấy khó khăn khi chọn đáp án kể cả HS mức độ trung bình

Nhận thấy các nghiệm của g x là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Như vậy, dấu của g x còn có thể được xác định bằng cách: Trên mỗi khoảng lấy một giá trị rồi thay trực tiếp vào Đây cũng là cách xác định dấu của đạo hàm

mà HS cần linh hoạt sử dụng Sau khi làm bài tập 4 về hàm số hợp, khi đã hiểu HS khá sẽ dễ dàng làm được dạng bài tập xét tính đơn điệu của hàm số hợp

Bài 5.( Trích đề minh họa THPT năm 2020, câu 50)

Cho hàm số f x  Đồ thị y f ' x cho như hình bên

1 2

g x f x x x nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

Hàm số g x  nghịch biến khi và chỉ khi:     1

Nhận xét: Ở bài tập này HS dễ mắc sai lầm nhiều HS chọn phương án C vì

không giải ra tìm kết quả x mà chỉ xét đến t=1-2x Ở bài tập này HS được luyện tập

lại bài toán đơn điệu của hàm số hợp Qua đây giúp HS rèn luyện kĩ năng giải toán

và phát triển tư duy Để xét dấu đạo hàm GV có thể hướng dẫn HS lấy giá trị cụ thể xét trên từng khoảng Bài tập này ở mức độ vận dụng cao nên GV sẽ gọi HS

khá giỏi lên rồi chốt kiến thức cho các HS

Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào sau đây sai? A (1;3) B C ( 2;1)  D (   ; 2)

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;  )

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (  ;1)

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;  )

D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3)

Bài 2 Cho hàm số f x xác định trên R và có đồ thị y f ' x cho như hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (   ; 2)(0;  )

B Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 2;0) 

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 3;   )

D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (  ;0)

  

  D

25 6;

3 8 1011

4.2 Các bài toán hàm ẩn về cực trị của hàm số

+)  x  ( x 0 - h ; x 0 + h) và x ≠ x 0 mà ta có f(x) < f(x 0 ) ,ta nói rằng f(x) đạt cực tiểu tại x 0

Các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số gọi chung là các điểm cực trị

b Các định lý :

* Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K= ( x 0 - h ; x 0 + h) và

có đạo hàm trên K hoặc trên K trừ điểm x 0

+ Nếu f’(x) < 0 khi x < x 0 và f’(x) > 0 khi x > x 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0

+ Nếu f’(x) < 0 khi x > x 0 và f’(x) > 0 khi x < x 0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0

Chú ý: Nếu f’(x) không đổi dấu khi x đi qua x 0 thì hàm số không đạt cực trị tại x 0

* Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm bậc 2 trong khoảng

K= ( x 0 - h ; x 0 + h) và f’(x 0 ) = 0

+ Nếu f”(x 0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0

+ Nếu f”(x 0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0

Nhận xét: Sau khi HS học định nghĩa về cực trị, HS trung bình có thể giải

được bài tập này dựa vào mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số và cực trị của hàm số

Ở bài này với mức độ nhận biết HS sau khi hiểu bài dễ dàng làm được Sau khi làm bài tập này, GV có thể hỏi thêm: Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu? Qua đó HS nắm được cách tìm điểm cực đại, cực tiểu bằng đồ thị GV gọi HS yếu và trung bình lên làm bài

Bài 2 (Trích đề minh họa THPT 2020 Câu 8) Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A 2 B 3 C 0 D  4

Lời giải: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=3 và giá trị cực

tiểu là: f (3)= -4 Chọn D

Nhận xét: Ở bài tập này dù mức độ nhận biết nhưng HS vẫn có thể bị nhầm

lẫn và chọn phương án B nên GV cần nhắc HS giá trị cực tiểu là giá trị của hàm số

tại điểm cực tiểu, còn điểm cực tiểu của hàm số là x cực tiểu Đây là hai khái niệm

mà HS hay nhầm lẫn Bài tập này mức độ nhận biết, GV gọi HS yếu và trung bình giải bài

Bài 3 Cho hàm số y f x . Hàm số y f '( )x có đồ thị như hình bên

Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x .

A 2 B.3 C.4 D.5

Lời giải: Ta thấy đồ thị hàm số y f '( )x có 4 điểm chung với trục hoành tại các điểm có hoành độ là:x1; 0; ; x2 x3 Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số y f x . có 2 điểm cực trị Chọn phương án A

Nhận xét: Sau khi HS học định lý về cực trị, GV nhấn mạnh điều kiện để

hàm số đạt cực trị tại điểm x0 là x0 thuộc tập xác định của hàm số và đạo hàm qua điểm này phải đổi dấu Như vậy qua bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị HS trung bình có thể giải được bài tập này dựa vào mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm của hàm số và cực trị của hàm số Ở bài này với mức độ nhận biết Sai lầm phổ biến của HS khi giải bài này: HS chọn phương án C vì thấy đạo hàm bằng 0 tại 4 điểm GV cần hướng dẫn HS nắm chắc định lý điều kiện đủ để hàm số

có trị Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải bài

Bài 4 Cho hàm số: y f x  có đồ thị như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số y f x là

A 3 B 4 C 2 D 7

Lời giải: Từ đồ thị hàm số đã cho, vẽ đồ thị hàm số: y f x

Từ đồ thị và theo định nghĩa cực trị của hàm số, ta có: hàm số y f x có 3

điểm cực trị Chọn A

Nhận xét: Ở bài tập này, GV hướng dẫn HS vẽ đồ thị hàm số chứa giá trị

tuyệt đối, sau đó từ đồ thị xác định số điểm cực trị của hàm số Đây là bài tập về số cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản Tuy nhiên HS khá và trung

bình nếu chưa được hướng dẫn sẽ gặp khó khăn GV có thể hướng dẫn HS tổng quát cách tìm số điểm cực cực trị của hàm số y f x

Tổng quát: Số điểm cực cực trị của hàm số y f x bằng 2m+1 với m là số điểm cực trị dương của hàm số f(x)

Nhận xét: Như vậy trong bài 4, số điểm cực trị dương của hàm số f(x) bằng 1

nên số điểm cực cực trị của hàm số y f x bằng 2.1+1=3

Bài 5 Cho hàm số bậc bốn có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số g x  f x( ) 1  là: A 10 B 9 C 8 D.7

Lời giải: Về cách giải, GV có thể hướng dẫn HS cách vẽ đồ thị hàm số

  ( ) 1

g x  f x  từ đó xác định số điểm cực trị của hàm số g(x) Đáp án D

Chú ý: GV có thể hướng dẫn HS cách giải nhanh:Hàm sốy f x  đã cho có

3 điểm cực trị nên hàm số y f x( ) 1  cũng có 3 điểm cực trị Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra phương trình f x    1 0 f x   1 có 4 nghiệm đơn phân

biệt Suy ra số điểm cực trị hàm số g x  f x( ) 1  là 3 4   7

Nhận xét: GV bổ sung kiến thức sau cho HS ghi nhớ khi giải nhanh các bài

tập trắc nghiệm sau khi giải bài 5, GV có thể hướng dẫn cho HS tổng quát về số điểm cực trị của đồ thị của hàm số y f x( )

Bài 6 Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ

Biết f a  0 Hỏi đồ thị hàm số y f  x  2021m có tối đa bao nhiêu điểm

cực trị? A 3 B 4 C.5 D 7

Lời giải: Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x  cắt Oxtại nhiều nhất 2

điểm nên hàm số y f  x  2021m có tối đa 5 số điểm cực trị Chọn C

Nhận xét: Đây là bài tập về số điểm cực trị của hàm số có tham số và chứa

dấu giá trị tuyệt đối Đối với bài tập trắc nghiệm, GV có thể hướng dẫn HS đưa ra nhận xét

Tổng quát: Số điểm cực trị của đồ thị của hàm số y f x( ) là m+n với m là

số điểm cực trị của hàm số f x còn n là số giao điểm của đồ thị hàm số

f x không trùng với điểm cực trị của đồ thị hàm số đó.

Chú ý: 1) Số điểm cực trị của hàm số y=f(x) bằng số điểm cực trị của hàm số

y=f(x+m), bằng số điểm cực trị của hàm số f(x-m) với m là tham số

2) Số điểm cực trị của hàm số y f x bằng số điểm cực trị của hàm số

;

y f x m y f x m với m là tham số

Bài tập tự luyện

Bài 1 Trích đề minh họa THPT năm 2018

Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm: A x 1 B x 0 C x 5 D x 2

Bài 3 Cho hàm số y f x  có đạo hàm y f x liên tục trên và có đồ thị như hình dưới

Có bao nhiêu số nguyên m  2019; 2019 để hàm số y f x  1 m có nhiều

Bài 5 Cho y f x( )là hàm bậc 3 có đồ thị như hình vẽ ở bên Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y f x m có 7điểm cực trị

A 0  m 2 B    4 m 0 C m 0 D    2 m 0

Bài 6 Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số g x f x( ) m có 5 điểm cực trị

A 2 m 2. B m 2. C m 2. D 2.

2

m m

4.3 Các bài toán hàm ẩn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

4.3.1 Các kiến thức cơ bản

a.Định nghĩa: Cho hàm số y f x( )xác định trên DR

1.Nếu tồn tại một điểm x0D sao cho f x( )  f x( ),0  x D thì số

Bài toán 1.Nếu D ( , )a b thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:

1.Tìm tập xác định của hàm số ,giới hạn hai biên

2.Tính f '( )x và giải phương trình f x'( )  0 tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên

4 Dựa vào BBT.kết luận

Bài toán 2 Nếu D a b, thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:

; [

a f x f b

f x f

b b

; [

b f x f a

f x f

b b

A 1 B 4 C 5 D 0

Lời giải Dựa vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số và từ đồ thị hàm số

suy ra: M  f  3  3; m f  2   2 Vậy M m 5 Chọn C

Nhận xét: Đây là bài tập mức độ nhận biết Tuy nhiên nếu HS chưa nắm chắc

định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số thì HS vẫn sẽ gặp khó khăn khi chọn phương án Có thể sử dụng đồ thị hàm số để tìm GTLN,NN trên [a;b] GTLN là tung

độ của điểm cao nhất trên [a;b], GTNN là tung độ của điểm thấp nhất trên đoạn này Bài tập này mức độ nhận biết, GV cho HS mức độ trung bình làm bài

Bài 2 Cho hàm số y  f x  xác định và liên tục trên  2; 2, có đồ thị của hàm

số y f x như hình bên Tìm giá trị x0 để hàm số y f x  đạt giá trị lớn nhất trên  2; 2

Như vậy : hàm số y f x  đạt giá trị lớn nhất trên  2; 2 khi x0  1

Nhận xét: Để tìm giá trị x0 để hàm số y f x  đạt giá trị lớn nhất trên  2; 2

Có hai hướng để giải quyết bài tập này, GV hướng dẫn HS xét sự biến thiên của hàm

số trên  2; 2 Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS mức độ trung bình và khá làm bài rồi chốt lại phương pháp giải

Bài 3 Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x Đồ thị của hàm số y f x được cho như hình vẽ bên Biết rằng f    0  f 1  2f  2  f    4  f 3 Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f x  trên đoạn  0; 4 ?

Nhận xét: Sau khi HS làm được các bài tập trước, HS sẽ làm được bài tập

này mặc dù đây là bài tập mức độ vận dụng Bài tập này, GV gọi các HS khá lên giải bài và chốt kết quả cho cả lớp

Bài 4 Cho hàm số f x  có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số y f ' x

O x y

1 1 3

Nhận xét : Đây là bài tập mức độ vận dụng, sau khi giải được các bài tập

trên, HS sẽ tự giải được bài tập này Từ đó tư duy HS sẽ được nâng cao hơn Bài tập này, GV sẽ gọi HS khá lên giải bài rồi GV chữa lại cả lớp

Bài 5 Cho hàm số y f x  có đồ thị y f x như hình vẽ Xét hàm số

     

3; 1

ming x g 1

Nhận xét: Đây là bài tập vận dụng, tuy nhiên sau khi HS đã hiểu bài tập trước

sẽ nhiều HS giải được bài tập này, nên GV sẽ yêu cầu tất cả các HS giải sau đó yêu

cầu các HS khá lên trình bày Ở bài này, để xét dấu đạo hàm của hàm số g(x) cần

xét sự tương giao của hàm số trong bài đến hàm số bậc hai đồ thị là parabol Qua

đó nắm bắt được khả năng linh hoạt của HS GV gọi HS khá, giỏi lên giải bài

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3



5 3



0 2 5 3

5 4 5 3

Bài 4 Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x Đồ thị của hàm số y f x được cho như hình vẽ bên Biết rằng f    0  f 3  f    2  f 5 Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f x  trên đoạn  0;5 ?

+) Đường thẳng yb được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị (C) lim  

bằng: A 2 B 1 C 0 D 3

Lời giải: Dựa vào định nghĩa tiệm cận của đồ thị hàm số và BBT ta thấy đồ

thị hàm số nhận đường thẳng x  2,x 0 là các tiệm cận đứng và đường thẳng

0

y làm tiệm cận ngang Như vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng và tiệm

cận ngang Chọn: D

Nhận xét: Để làm được bài tập này, HS cần sử dụng định nghĩa tiệm cận Vì vậy

GV gọi HS trung bình để hỏi và yêu cầu HS làm bài tập này Từ đó nếu HS thấy khó khăn sẽ hướng dẫn cách khắc phục

  , do đó đồ thị hàm số g x( ) có một tiệm cận ngang y=0

Mỗi phương trình f x( )  0 & ( ) 1f x  đều có 4 nghiệm phân biệt khác 0 ( là nghiệm của tử số) nên đồ thị hàm số g x( ) có đúng 8 tiệm cận đứng Vậy ( C) tổng

số tiệm cận ngang và tiệm tiệm cận đứng là 9

Nhận xét: Đây là bài tập mức độ vận dụng nên ban đầu HS sẽ thấy khó khăn,

GV hướng dẫn cách giải và chữa bài cho HS Bài tập này, GV gọi HS khá chữa bài rồi GV chữa lại cho các HS