Một số kinh nghiệm về dạy học các bài toán về hàm ẩn cho học sinh trung học phổ thông

Học sinh thường gặp khó khăn khi làm các bài tập dạng này.Thông thường các bài toán về hàm ẩn có trong đề thi THPT Quốc Gia thường làcác bài tập ở các mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận

MỤC LỤC

Trang

1 Tầm quan trọng và ý nghĩa của việc dạy và học hàm ẩn 3

2 Thực trạng dạy và học về các bài toán về hàm ẩn. 3

4.1 Các bài toán hàm ẩn về tính đơn điệu của hàm số 5

4.3 Các bài toán hàm ẩn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 164.4 Các bài toán hàm ẩn về tiệm cận của đồ thị hàm số 224.5 Các bài toán hàm ẩn về bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số 26

5.1 Các biện pháp dạy học bài toán về hàm ẩn đạt hiệu quả 395.2 Một số sai lầm thường gặp khi dạy học các bài toán về hàm ẩn 42

GTLN, GTNN Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Phần I Đ/ẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình môn Toán ở trường THPT, các bài toán về hàm ẩn đóng vai tròhết sức quan trọng Đây là dạng bài tập khá trừu tượng dối với HS Thường khigiải toán HS đã quen với việc cho trước một hàm số nào đó sau đó HS xét các bàitoán liên quan đến hàm số đó Tuy nhiên các bài toán về hàm ẩn HS lại chỉ có đượcmột số tính chất của hàm số mà chưa có hàm số Để giải được bài tập HS có thểphải đưa về việc tìm hàm số hoặc sử dụng các định nghĩa và tính chất của hàm số

để giải quyết vấn đề Học sinh thường gặp khó khăn khi làm các bài tập dạng này.Thông thường các bài toán về hàm ẩn có trong đề thi THPT Quốc Gia thường làcác bài tập ở các mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao Để HShọc tốt và thi THPT đạt điểm cao, GV cần phải định hướng được các dạng bài tập

về hàm ẩn tốt từ đó giúp HS có tư duy tốt để giải quyết các bài tập dạng này Dạycác bài toán về hàm ẩn không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng giảitoán mà còn rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt, đức tính cẩn thận, chính xác vàtính sáng tạo Học toán luôn phải gắn liền với sự sáng tạo mà toán học đã mang lại

vì vậy các HS thường yêu thích học môn Toán nếu người GV tạo được niềm say

mê, hứng thú và có tác động tích cực đến việc học và giải toán Một trong nhữngphần mà học sinh thích thú trong toán học THPT là các bài toán liên quan đến hàm

ẩn Thích thú ở đây không chỉ là HS chưa dễ dàng giải quyết ngay được mà mỗibài giải còn có nhiều cách giải khác nhau, ấn tượng ở đây là giải toán rất dễ manglại sai lầm Về bài tập thì việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào thì nhiềuhọc sinh còn mơ hồ và khó diễn đạt theo ý mà mình muốn nói Trong các bộ môntoán, học sinh thường học chưa hiệu quả về các bài toán về hàm ẩn

Ngày nay, trong những kỳ thi quốc gia, quốc tế thường không vắng bóng các bàitoán về hàm ẩn Khi giải các bài toán này, các học sinh thường gặp một số khókhăn với nguyên nhân: Học sinh chưa hiểu được, chưa linh hoạt sử dụng các địnhnghĩa, tính chất, quy tắc nên đã gặp một số sai lầm khi giải toán Qua quá trìnhgiảng dạy chúng tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp bài toán về hàm ẩn còn lúngtúng, không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách giải Tuynhiên các bài tập trong SGK hầu như không có các dạng bài tập này, vì thế vớihình thức thi trắc nghiệm đổi mới so với hình thức thi tự luận như trước thì việc bổcác bài toán về hàm ẩn là hết sức quan trọng đối với HS Qua nhiều năm giảng dạy

ôn thi THPT Quốc Gia chúng tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm khi dạy cácbài toán này, nhờ đó mà kết quả dạy học cho học sinh được nâng cao Vì sự thiếtyếu đó, chúng tôi đã nghiên cứu, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương

pháp nghiên cứu viết thành đề tài: “Một số kinh nghiệm về dạy học các bài toán

về hàm ẩn cho học sinh trung học phổ thông” Với mong muốn chia sẻ sáng

kiến kinh nghiệm (SKKN) với đồng nghiệp, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy

và kết quả học tập của học sinh ở trường THPT

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

+ Đề tài này áp dụng cho học sinh lớp 12

+ Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: “Các bài tập liên quan đến hàm ẩn với các

chuyên đề về hàm số và tích phân” Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 ban cơ bản.

+ Đề tài áp dụng cho HS ôn thi THPT

* Kiến thức vận dụng: Giải tích Lớp 12.

+ Một số các tính chất về hàm số: Tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số,giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

+ Đạo hàm, nguyên hàm và tích phân

* Bài tập: + Trong đề tài sử dụng một số bài tập sách giáo khoa, sách bài tập Giảitích lớp 12 trích một đề trong kì thi THPT Quốc Gia và đề thi thử THPT của cáctrường trong Tỉnh Nghệ An và một số tỉnh khác, một số sách tài liệu tham khảo.+ Trên cở sở của phương pháp, trong mỗi ví dụ có nêu nhận xét, cách giảng dạycủa giáo viên, hướng phân tích lời giải, gợi mở hướng mới và bài tập phát sinh

Phần II NỘI DUNG

1 Tầm quan trọng và ý nghĩa của việc dạy và học hàm ẩn

Chuyên đề hàm ẩn là chuyên đề trong chương trình Toán đặc biệt trong các đề thiTHPT Quốc Gia mà HS gặp nhiều trong các bài tập về hàm ẩn Chuyên đề nàycung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng giải toán mà còn rèn luyện cho học sinhvận dụng kiến thức sáng tạo và góp phần giúp học sinh phát triển được năng lực tưduy, khả năng quan sát, trí tưởng tượng Từ đó bồi dưỡng cho học sinh tư duy sángtạo, tạo nên phẩm chất của con người lao động mới Vì đa số HS chỉ mới biết vậndụng kiến thức đã học khi có hàm số cụ thể nên việc giải bài tập hàm ẩn rất khókhăn dối với HS HS thường sẽ thấy khó vì sự trừu tượng hơn của các bài tập dạngnày Hiện nay với hình thức thi THPT là trắc nghiệm, các bài toán về hàm ẩn đượcđưa vào đề thi tương đối nhiều với các bài tập ở các mức độ Trong đề thi THPTQuốc Gia thường xuất hiện nhiều câu có liên quan hàm ẩn và ở tất cả các mức độ:nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao Việc dạy học cho HS nắm được cáckhái niệm cũng như các công thức và áp dụng trực tiếp được các công thức nàykhông khó khăn Tuy nhiên khi chưa có hàm số HS thấy khó khăn khó định hướngđược và bài tập về hàm ẩn các dạng bài rất đa dạng Đối với các bài toán này, HSthường có những cách giải khác nhau cách nào cũng thấy có lý nhưng lại có nhữngkết quả khác nhau Như vây các bài toán về hàm ẩn lại dễ mắc sai lầm cho HS khigiải Chính vì vậy việc dạy học hàm ẩn GV cần khắc phục được những sai sótthường gặp cho HS Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi đổi mới PPDH môntoán để phát huy tính tích cực , chủ động sáng tạo cho HS, vì vậy GV cần phải gâyđược hứng thú cho các em bằng cách thiết kế bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắnliền với thực tiễn và phù hợp với chương trình thi cử hiện nay của các em

Vì vậy, chuyên đề này nhằm giúp GV giảng dạy để HS có cách tiếp cận tốt hơn,hiệu quả hơn đối với các bài tập về hàm ẩn Chuyên đề cung cấp một số kiến thứccho học sinh từ đó nâng cao kĩ năng giải toán cho HS đặc biệt là tăng cường sự vậndụng kiến thức nâng cao tư duy cho HS THPT

2 Thực trạng của việc dạy và học về các bài toán về hàm ẩn

Trong chương trình GDPT hiện nay, việc thay đổi hình thức thi THPT từ tự luậnsang trắc nghiệm, các bài tập trong SGK không đủ các dạng bài để HS có thể ônluyện đầy đủ được, đặc biệt các bài tập về hàm ẩn là một trong các dạng bài tập mà

HS cần được bổ sung Trong đề thi tự luận thường đề thi ít ra với các bài toán vềhàm ẩn nhưng với hình thức thi trắc nghiệm rất nhiều bài tập về dạng này mà HScần biết đến Với đối tượng học sinh trung bình và yếu ở Trường THPT nơi chúngtôi giảng dạy chiếm đa số, việc học các bài toán về hàm ẩn gặp khó khăn Đối vớicác bài toán về hàm ẩn HS trung bình, yếu thường không muốn học và làm bài,còn đối với các HS khá giỏi khi làm các bài tập dạng này vẫn gặp khó khăn đối vớicác bài tập vận dụng Vì thế kết quả học của HS chưa tốt ở phần bài tập này Saucác buổi dạy về chuyên đề về hàm ẩn, chúng tôi đã cho HS làm bài về dạng hàm ẩn

và thấy kết quả HS thấp chiếm đa số và đối với kiểm tra trắc nghiệm rất nhiều HSkhoanh mò đáp án Chúng tôi xin trích kết quả bài kiểm tra kiến thức chuyên đề về

hàm ẩn môn Giải tích lớp 12 của một số lớp 12 ở Trường THPT nơi chúng tôicông tác những năm gần đây như sau:

2.1 Năm học 2016 – 2017

STT Lớp Sĩ số

Đạt điểm loại giỏi

Đạt điểm loại khá

Đạt điểm trung bình

Đạt điểm loại yếu

Đạt điểm loại kém

Đạt điểm

TB, Yếu, Kém

Đạt điểm loại khá

Đạt điểm trung bình

Đạt điểm loại yếu

Đạt điểm loại kém

Đạt điểm

TB, Yếu, Kém

2 12B3 38 1 2,6 2 5,3 12 31,6 10 24,4 4 10,5 7 18,4Tác giả đã lấy ngẫu nhiên kết quả kiểm tra chuyên đề của các lớp 12 trong 02 nămhọc 2016 - 2017; năm học 2017- 2018 Từ kết quả đó cho thấy: đa số học sinh cókết quả còn ở mức trung bình

3 Cơ sở lý luận

Đối với chương trình toán THPT, thông thường các học sinh đều có khả năng tiếpthu kiến thức Đối với HS năng lực học khá và giỏi nếu GV khơi dậy được nănglực thì HS sẽ có thể phát triển tư duy tốt hơn và từ đó có thể làm các bài toán mức

dộ vận dụng và vận dụng cao đạt hiệu quả Để học sinh có lực học trung bình vàyếu về môn toán lĩnh hội được kiến thức, đòi hỏi nhiều công sức và thời gian hơn

so với các học sinh khác Đối với các HS khá và giỏi thường HS thích thú khi làmcác bài tập về hàm ẩn nhưng chưa có định hướng phù hợp nên vẫn gặp khó khăn,còn các HS trung bình và yếu thường không muốn làm các bài tập về hàm ẩn vìthấy các bài tập này trừu tượng hơn các bài tập đã có hàm số cụ thể Vì vậy người

GV cần lựa chọn bài tập phù hợp để HS giải phù hợp với năng lực học tập của HS

Để có biện pháp phù hợp giúp đỡ học sinh trung bình và yếu và các HS khá, giỏigiải toán, giáo viên thường phân loại đối tượng học sinh khá , giỏi, trung bình, yếudựa vào các nguyên nhân giải toán của học sinh Từ đó có biện pháp phù hợp đểdạy HS

- Đối với các học sinh hổng kiến thức cơ bản, nên việc tiếp thu kiến thức mới gặpnhiều khó khăn GV cần lập kế hoạch trong thời gian lâu dài, bằng nhiều phươngpháp nhằm lấp dần lỗ hổng kiến thức Giáo viên tìm ra các kiến thức cũ có liênquan và tái hiện lại kiến thức cũ và hướng dẫn học sinh sử dụng kiến thức mới mộtcách linh hoạt

- Đối với học sinh không tích cực trong học toán, giáo viên cần phát hiện năng lựccủa mỗi em, tạo điều kiện để cho các em có cơ hội để phát huy năng lực của mình.Đối với các HS này, GV cần tạo cho HS niềm say mê học Toán Giáo viên nên

động viên kịp thời, phù hợp để các em tự tin trong học tập môn toán bằng cách racác bài tập vừa sức, khen ngợi khi các em biết hướng giải, giải đúng, cố gắng làmbài Đối với các HS này giáo viên cũng cần nghiêm khắc và có sự kết hợp với giađình để có sự quan tâm của phụ huynh trong việc học tập của học sinh hơn

- Với các HS tiếp thu bài nhanh nhưng kỹ năng làm bài chưa tốt, GV cần định

hướng cách giải rồi để HS tìm ra hướng giải quyết và lời giải GV phân các dạngphù hợp để HS có thể làm các bài tập từ dễ đến khó Đa số HS kỹ năng làm bàichưa tốt nên GV cần phải có định hướng cụ thể về các dạng bài tập về hàm ẩn Đặcbiệt đối với bài tập trắc nghiệm, GV cần hướng dẫn HS cách giải phù hợp nhanh vàchính xác không để nhầm lẫn các phương án, có nhứng bài giải có thể giải bằngcách chọn hàm đặc biệt Đề xuất quy trình để giải toán để HS có thể hiểu rõ và rènluyện kĩ năng giải toán tốt Đối với các HS khá giỏi, GV cần tạo các tình huống cóvấn đề để tạo cho HS phát triển tư duy giúp HS làm được các bài tập vận dụng, từ

đó hướng đến khả năng vận dụng GV hướng dẫn HS khá giỏi tổng quát các kếtquả bài toán

4 Dạy học các bài toán về hàm ẩn

Trong mục này SKKN đã hệ thống cách dạy học các bài toán hàm ẩn về: Tính đơnđiệu của hàm số, cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số,bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số, các bài toán về tích phân Chúngtôi hệ thống kiến thức và đưa các bài tập theo các mức dộ: nhận biết, thông hiểu,vận dụng, vận dụng cao Mỗi bài tập đều có phân tích và hướng dẫn cho HS cáchgiải các bài tập và bài tập phát sinh, một số các kết quả được tổng quát, dấu hiệukhi giải toán trắc nghiệm Một số bài toán có hướng giải hình thức trắc nghiệm nhưchọn hàm đặc biệt

4.1 Các bài toán hàm ẩn về tính đơn điệu của hàm số

4.1.1 Các kiến thức cơ bản

a Định nghĩa : Cho hàm số y = f x( ) xác định trên K

* Hàm số y = f x( ) đồng biến trên K nếu x x1 , 2 K x: 1 x2  f x( ) 1  f x( ) 2

* Hàm số y = f x( ) nghịch biến trên K nếu x x1 , 2 K x: 1 x2  f x( ) 1  f x( ) 2

Chú ý : K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng

b Định lý : Cho hàm số y = f x( ) đạo hàm trên K

a) Nếu f x'( ) 0,   x K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K

b) Nếu f x'( ) 0,   x K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K

c Định lý mở rộng : Giả sử hàm số yf x( ) có đạo hàm trên K

+ Nếu f x'( ) 0,   x K và f x '( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K

+ Nếu f x'( ) 0,   x K và f x '( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K

+ Nếu f x'( ) 0,   x K thì f x( ) không đổi trên K

B Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2 

C Hàm số f x  đồng biến trên khoảng mỗi

khoảng ( - 1;1 ; 3; ) ( +¥ )

D Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 1; 2 

Nhận xét: Để giải bài tập này, GV cho HS nhắc lại mối quan hệ giữa tính đơn

điệu và đồ thị của hàm số “Nếu đồ thị hàm số trên khoảng (a;b) là một đường đi lên từ trái sang phải thì hàm số đó đồng biến trên khoảng (a;b) Nếu đồ thị hàm số trên khoảng (a;b) là một đường đi xuống từ trái sang phải thì hàm số đó nghịch biến trên khoảng (a;b)” Bài tập này, GV gọi HS yếu và trung bình lên giải rồi chốt

lại kiến thức cho HS

Lời giải: Từ đồ thị hàm số ta có: Hàm số f x  đồng biến trên khoảng mỗi khoảng( - ¥ ;0 ; 2; ) ( +¥ ) vì trên khoảng này khi x tăng thì y tăng và hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2  do trên khoảng này khi x tăng thì y giảm Như vậy các mệnh đề

A, B, D đúng Ta có nhận xét: Mệnh đề C sai vì trên khoảng (-1;0) hàm số đồng biến do đồ thị đi lên từ trái sang phải, trên khoảng (0;1) hàm số nghịch biến vì đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên khoảng này nên mệnh đề C là sai Chọn C

Bài 2 (Đề minh họa THPT năm 2020)

Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

C.  1;1.

0;1.

Lời giải: Hàm số đã cho đồng biến khi và chỉ khi f x'  không âm Từ bảng biếnthiên ta thấy: f x'  có dấu dương trên mỗi khoảng    ; 1 và 0;1 Vì vậy, trênkhoảng (0;1) hàm số đồng biến nên ta chọn phương án D

Nhận xét : Ở bài tập 2, HS sẽ dễ dàng làm được sau khi đã làm được bài tập sau

khi hiểu về kiến thức về tính đơn điệu của hàm số GV cho gia tăng các bài tậptương tự để HS yếu và trung bình luyện tập trong phần bài tập tự luyện và bài tập

về nhà Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải rồi chốt lại kiếnthức

Bài 3 Cho hàm số yf x  xác định trên  và có đồ thị hàm số y f x'  là

đường cong trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 1;1 

B Hàm số f x  đồng biến trên khoảng 1; 2 

C Hàm số f x  đồng biến trên khoảng  2;1 

D Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2 

Lời giải: Chọn D Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị của hàm số

 

'

yf x ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2 

Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số yf ' x

Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f x'  nằm trên trục hoành (có thể tiếp xúc) thì hàm số f x  đồng biến trên K

Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f x'  nằm dưới trục hoành (có thể tiếp xúc) thìhàm số f x  nghịch biến trên K.

Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f x'  vừa có phần nằm dưới trục hoành vừa cóphần nằm trên trục hoành thì loại phương án đó

Trên khoảng 0; 2ta thấy đồ thị hàm số yf ' x nằm bên dưới trục hoành, nênhàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2 

Nhận xét: Ở bài tập này, GV nhấn mạnh mối liên quan giũa dấu đạo hàm với đồ

thị của đạo hàm Bài tập này ở mức độ thông hiểu Ở bài tập này GV sẽ hỏi HStrung bình trả lời để hướng dẫn điều chỉnh kết quả Sau đó chốt phương án cho tất

cả HS hiểu Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải rồi chốt lạikiến thức

Bài 4 ( Trích đề THPT minh họa năm 2018 Câu 39) Cho hàm số yf x( ) Hàm số

Cách 2: GV có thể yêu cầu HS lập bảng biến thiên để giải toán.

Nhận xét: Đây là câu mức độ vận dụng nhưng khi đã hiểu cách giải HS sẽ không

còn thấy khó khăn khi chọn đáp án kể cả HS mức độ trung bình

Nhận thấy các nghiệm của g x¢ ( ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu

Như vậy, dấu của g x¢ ( ) còn có thể được xác định bằng cách: Trên mỗi khoảng lấymột giá trị rồi thay trực tiếp vào Đây cũng là cách xác định dấu của đạo hàm mà

HS cần linh hoạt sử dụng Sau khi làm bài tập 4 về hàm số hợp, khi đã hiểu HS khá

sẽ dễ dàng làm được dạng bài tập xét tính đơn điệu của hàm số hợp

Bài 5.( Trích đề minh họa THPT năm 2020, câu 50)

Cho hàm số f x  Đồ thị yf x'  cho như hình bên

Hàm số g x f 1 2  xx2  x nghịch biến trong khoảng

nào dưới đây?

Cách 3: Lập bảng biến thiên.

Nhận xét: Ở bài tập này HS dễ mắc sai lầm nhiều HS chọn phương án C vì không

giải ra tìm kết quả x mà chỉ xét đến t=1-2x Ở bài tập này HS được luyện tập lại bài

toán đơn điệu của hàm số hợp Qua đây giúp HS rèn luyện kĩ năng giải toán vàphát triển tư duy Để xét dấu đạo hàm GV có thể hướng dẫn HS lấy giá trị cụ thểxét trên từng khoảng Bài tập này ở mức độ vận dụng cao nên GV sẽ gọi HS khágiỏi lên rồi chốt kiến thức cho các HS

Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho hàm số yf x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào sau đây sai? A (1;3) B C ( 2;1) 

D (    ; 2)

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;  )

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (   ;1)

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;  )

D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3)

Bài 2 Cho hàm số f x xác định trên R và có đồ thị

 

'



y f x cho như hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (    ; 2)(0;  )

B Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 2; 0) 

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 3;   )

D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (   ;0)

+) ∀ x ¿ ( x 0 - h ; x 0 + h) và x ≠ x 0 mà ta có f(x) < f(x 0 ) ,ta nói rằng f(x) đạt cực tiểu tại x 0

Các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số gọi chung là các điểm cực trị

b Các định lý :

* Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K= ( x 0 - h ; x 0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K trừ điểm x 0

+ Nếu f’(x) < 0 khi x < x 0 và f’(x) > 0 khi x > x 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0

+ Nếu f’(x) < 0 khi x > x 0 và f’(x) > 0 khi x < x 0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0

Chú ý: Nếu f’(x) không đổi dấu khi x đi qua x 0 thì hàm số không đạt cực trị tại x 0

* Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm bậc 2 trong khoảng

K= ( x 0 - h ; x 0 + h) và f’(x 0 ) = 0

+ Nếu f”(x 0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0

+ Nếu f”(x 0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0

4.2.2 Các dạng bài tập

Bài 1 Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình bên Tìm số cực trị của hàm

số yf x 

Nhận xét: Sau khi HS học định nghĩa về cực trị, HS trung bình có thể giải được

bài tập này dựa vào mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số và cực trị của hàm số Ở bàinày với mức độ nhận biết HS sau khi hiểu bài dễ dàng làm được Sau khi làm bàitập này, GV có thể hỏi thêm: Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu?Qua đó HS nắm được cách tìm điểm cực đại, cực tiểu bằng đồ thị GV gọi HS yếu

và trung bình lên làm bài

Bài 2 (Trích đề minh họa THPT 2020 Câu 8) Cho hàm số có bảng biến thiênnhư sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

Nhận xét: Ở bài tập này dù mức độ nhận biết nhưng HS vẫn có thể bị nhầm lẫn và

chọn phương án B nên GV cần nhắc HS giá trị cực tiểu là giá trị của hàm số tại

điểm cực tiểu, còn điểm cực tiểu của hàm số là x cực tiểu Đây là hai khái niệm mà

HS hay nhầm lẫn Bài tập này mức độ nhận biết, GV gọi HS yếu và trung bình giảibài

Bài 3 Cho hàm số yf x . Hàm số yf x'( ) có đồ thị như hình bên

Vậy hàm số yf x . có 2 điểm cực trị Chọn phương án A.

Nhận xét: Sau khi HS học định lý về cực trị, GV nhấn mạnh điều kiện để hàm số

đạt cực trị tại điểm x0 là x0 thuộc tập xác định của hàm số và đạo hàm qua điểm nàyphải đổi dấu Như vậy qua bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy hàm số có 2 điểm cựctrị HS trung bình có thể giải được bài tập này dựa vào mối liên hệ giữa dấu củađạo hàm của hàm số và cực trị của hàm số Ở bài này với mức độ nhận biết Sai lầmphổ biến của HS khi giải bài này: HS chọn phương án C vì thấy đạo hàm bằng 0 tại

4 điểm GV cần hướng dẫn HS nắm chắc định lý điều kiện đủ để hàm số có trị Bàitập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải bài

Bài 4 Cho hàm số: yf x  có đồ thị như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số y=f x( ) là

A 3 B 4 C 2 D 7.

Lời giải: Từ đồ thị hàm số đã cho, vẽ đồ thị hàm số: y=f x( )

Từ đồ thị và theo định nghĩa cực trị của hàm số, ta có: hàm số y=f x( ) có 3 điểm cực trị Chọn A

Nhận xét: Ở bài tập này, GV hướng dẫn HS vẽ đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt

đối, sau đó từ đồ thị xác định số điểm cực trị của hàm số Đây là bài tập về số cựctrị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản Tuy nhiên HS khá và trung bìnhnếu chưa được hướng dẫn sẽ gặp khó khăn GV có thể hướng dẫn HS tổng quátcách tìm số điểm cực cực trị của hàm số y=f x( )

Tổng quát: Số điểm cực cực trị của hàm số y=f x( ) bằng 2m+1 với m là số điểm cực trị dương của hàm số f(x)

Nhận xét: Như vậy trong bài 4, số điểm cực trị dương của hàm số f(x) bằng 1 nên

Nhận xét: GV bổ sung kiến thức sau cho HS ghi nhớ khi giải nhanh các bài tập

trắc nghiệm sau khi giải bài 5, GV có thể hướng dẫn cho HS tổng quát về số điểmcực trị của đồ thị của hàm số y= f x( )

Bài 6 Cho hàm số yf x  có đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ

Biết f a  0 Hỏi đồ thị hàm số y f  x  2021m có tối đa bao nhiêu điểm cực

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số yf x  cắt Oxtại nhiều nhất 2 điểm nênhàm số y f  x  2021m có tối đa 5 số điểm cực trị

 Chọn C.

Nhận xét: Đây là bài tập về số điểm cực trị của hàm số có tham số và chứa dấu giá

trị tuyệt đối Đối với bài tập trắc nghiệm, GV có thể hướng dẫn HS đưa ra nhậnxét

Tổng quát: Số điểm cực trị của đồ thị của hàm số y= f x( ) là m+n với m là số

điểm cực trị của hàm số f x( ) còn n là số giao điểm của đồ thị hàm số f x( )khôngtrùng với điểm cực trị của đồ thị hàm số đó

Chú ý: 1) Số điểm cực trị của hàm số y=f(x) bằng số điểm cực trị của hàm số

y=f(x+m), bằng số điểm cực trị của hàm số f(x-m) với m là tham số

2) Số điểm cực trị của hàm số y= f x( ) bằng số điểm cực trị của hàm số

y= f x m y+ = f x m- với m là tham số

Bài tập tự luyện

Bài 1 Trích đề minh họa THPT năm 2018

Cho hàm số yf x( ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm: A x 1 B x 0 C x 5

m m

é £ ê

-ê ³ ë

Bài 5 Cho yf x( )là hàm bậc 3 có đồ thị như hình vẽ ở bên Tìm tập hợp các giátrị thực của tham số m để đồ thị hàm số y f x m có 7điểm cực trị

D  2 m 0

Bài 6 Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số g x( ) = f x( ) - m có 5 điểm cực trị

m m

é £ ê

-ê ³ ë

4.3 Các bài toán hàm ẩn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

4.3.1 Các kiến thức cơ bản

a.Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên

1.Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi

là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D,

ký hiệu

2 Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi

là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D,

ký hiệu

;

b Phương pháp tìm GTLN,GTNN của hàm số :

Cho hàm số xác định trên

Bài toán 1.Nếu thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:

1.Tìm tập xác định của hàm số ,giới hạn hai biên

2.Tính và giải phương trình tìm nghiệm thuộc tập xác định

3.Lập bảng biến thiên

4 Dựa vào BBT.kết luận

Bài toán 2 Nếu thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:

Nếu f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì

Nếu f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì

4.3.2 Bài tập

Bài 1 (Trích đề minh họa bộ giáo dục năm 2018-2019) Cho hàm số yf x  liêntục trên đoạn  1;3 và có đồ thị như hình vẽ bên Gọi M và m lần lượt là giá trịlớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;3 Giá trị của M m bằng

nghĩa GTLN, GTNN của hàm số thì HS vẫn sẽ gặp khó khăn khi chọn phương án.

Có thể sử dụng đồ thị hàm số để tìm GTLN,NN trên [a;b] GTLN là tung độ củađiểm cao nhất trên [a;b], GTNN là tung độ của điểm thấp nhất trên đoạn này Bàitập này mức độ nhận biết, GV cho HS mức độ trung bình làm bài

Bài 2 Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên  2;2, có đồ thị của hàm số

Như vậy : hàm số yf x  đạt giá trị lớn nhất trên  2;2 khi x 0 1

Nhận xét: Để tìm giá trị x0 để hàm số yf x  đạt giá trị lớn nhất trên  2;2

GV cần yêu cầu HS sử dụng các bước tìm GTLN, GTNN của hàm số trên mộtđoạn Có hai hướng để giải quyết bài tập này, GV hướng dẫn HS xét sự biến thiêncủa hàm số trên  2;2 Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS mức độ trungbình và khá làm bài rồi chốt lại phương pháp giải

Bài 3 Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x  Đồ thị của hàm số yf x  đượccho như hình vẽ bên Biết rằng f  0  f  1  2f  2 f  4  f  3 Tìm giá trị nhỏnhất m và giá trị lớn nhất M của f x  trên đoạn 0;4 ?

Nhận xét: Sau khi HS làm được các bài tập trước, HS sẽ làm được bài tập này mặc

dù đây là bài tập mức độ vận dụng Bài tập này, GV gọi các HS khá lên giải bài vàchốt kết quả cho cả lớp

Bài 4 Cho hàm số f x  có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số yf x'  nhưhình vẽ

Biết rằng f   1  f  2 f  1  f  4 , các điểm A1;0 , B  1;0 thuộc đồ thị Giá trịnhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x  trên đoạn  1;4 lần lượt là: m, M

A f  1 ;f  1 B f  0 ;f  2 C f  1 ; f  4 D f  1 ;f  4

Lời giải:Chọn D Bảng biến thiên:

Ta có:

 1  1 ,  1  2 ,  1  4

mà f  1 f  2 f  1  f  4  f  2  f  1 f  4  f  1  0  f  4  f  1

Như vậy : mf  1 ;M f  4

Nhận xét : Đây là bài tập mức độ vận dụng, sau khi giải được các bài tập trên, HS

sẽ tự giải được bài tập này Từ đó tư duy HS sẽ được nâng cao hơn Bài tập này,

GV sẽ gọi HS khá lên giải bài rồi GV chữa lại cả lớp

Bài 5 Cho hàm số yf x  có đồ thị yf x  như hình vẽ Xét hàm số

Nhận xét: Đây là bài tập vận dụng, tuy nhiên sau khi HS đã hiểu bài tập trước sẽ

nhiều HS giải được bài tập này, nên GV sẽ yêu cầu tất cả các HS giải sau đó yêu

cầu các HS khá lên trình bày Ở bài này, để xét dấu đạo hàm của hàm số g(x) cần

xét sự tương giao của hàm số trong bài đến hàm số bậc hai đồ thị là parabol Qua

đó nắm bắt được khả năng linh hoạt của HS GV gọi HS khá, giỏi lên giải bài

A 2

B 1

C 0

D 3 Lời giải: Dựa vào định nghĩa tiệm cận của đồ thị hàm số và BBT ta thấy đồ thị

hàm số nhận đường thẳng x 2,x 0 là các tiệm cận đứng và đường thẳng y 0

làm tiệm cận ngang Như vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng và tiệm cậnngang Chọn: D

Nhận xét: Để làm được bài tập này, HS cần sử dụng định nghĩa tiệm cận Vì vậy

GV gọi HS trung bình để hỏi và yêu cầu HS làm bài tập này Từ đó nếu HS thấykhó khăn sẽ hướng dẫn cách khắc phục

A .

B .

C .

D Lời giải: Chọn B Ta có là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc cảu mẫu nên , do đó đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y=0.

Mỗi phương trình đều có nghiệm phân biệt khác ( là nghiệmcủa tử số) nên đồ thị hàm số có đúng tiệm cận đứng Vậy ( C) tổng số tiệmcận ngang và tiệm tiệm cận đứng là 9

Nhận xét: Đây là bài tập mức độ vận dụng nên ban đầu HS sẽ thấy khó khăn, GV

hướng dẫn cách giải và chữa bài cho HS Bài tập này, GV gọi HS khá chữa bài rồi

GV chữa lại cho các HS

Bài 3 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm f x( ) như hình vẽ.Hỏi đồ thị hàm số 2

2

1 ( )

đường thẳng y 4 tại x 1 Trường hợp này có 2 tiệm cận đứng

Vậy đồ thị có 4 tiệm cận đứng Chọn đáp án B

Nhận xét: Ở bài tập này, GV chốt lại cách tìm tiệm cận đứng của (C) Bài tập này

GV gọi HS khá giỏi lên giải bài tập Sau khi hiểu bài tập 3, HS sẽ có hướng để giải

+ Phương trình (2a) có hai nghiệm (loại: ; loại vì )

nhưng là nghiệm kép của mẫu nên thỏa

+ Phương trình (2b) có ba nghiệm: (loại), (thỏa) và

(thỏa) Vậy đồ thị ba đường tiệm cận đứng

Nhận xét: Bài tập 4 là một bài tập tương tự bài 3 Khi đã hiểu bài tập 3, HS sẽ dễ

dàng làm được bài tập này GV gọi HS giỏi giải và chốt kết quả

Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho hàm số bậc ba 3 2

( ) a

f x  x bx cx d có đồ thị như hình vẽ Hỏi đồ thịhàm số

2

( 2 ) 2 ( )