Một số bài toán về giải tích tổ hợp

Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã tham khảo một số tài liệu liên quan đến toán tổ hợp, trao đổi, lấy ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên lớp cử nhân Toán-Tin.. Các bài toán giải

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

- -

Đề tài:

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP

Giáo viên hướng dẫn : ThS Tôn Thất Tú Sinh viên thực hiện : Đỗ Lê Đông Đức Chuyên ngành : Cử nhân Toán - Tin Lớp : 10CTT2

Đà Nẵng, tháng 05/2014

MỤC LỤC

1 Lí do chọn đề tài 6

2 Mục đích nghiên cứu 6

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 6

4 Phương pháp nghiên cứu 6

5 Ý nghĩa thực tiễn 6

6 Tóm tắt nội dung 7

I Quy tắc cộng, quy tắc nhân 8

I.1 Quy tắc cộng 8

I.1.1 Định nghĩa 8

I.1.2 Ví dụ 8

I.2 Quy tắc nhân 9

I.2.1 Định nghĩa 9

I.2.2 Ví dụ 9

II Hoán vị, hoán vị lặp, hoán vị vòng quanh 10

II.1 Hoán vị 10

II.1.1 Định nghĩa 10

II.1.2 Số các hoán vị 10

II.2 Hoán vị lặp hạn chế 10

II.2.1 Định nghĩa 10

II.2.2 Ví dụ 10

II.3 Hoán vị vòng quanh 11

II.3.1 Định nghĩa 11

II.3.2 Số các hoán vị vòng quanh 11

III Chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp 11

III.1 Chỉnh hợp 11

III.1.1 Định nghĩa 11

MỤC LỤC 2

LỜI CẢM ƠN 5

PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU 6

PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG 8

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 8

III.1.2 Số các chỉnh hợp 11

III.2 Chỉnh hợp lặp 12

III.2.1 Định nghĩa 12

III.2.2 Số các chỉnh hợp lặp 12

IV Tổ hợp, tổ hợp lặp 13

IV.1 Tổ hợp 13

IV.1.1 Định nghĩa 13

IV.1.2 Số các tổ hợp (số các tập k phần tử) 13

IV.1.3 Tính chất 13

IV.2 Tổ hợp lặp 15

IV.2.1 Định nghĩa 15

IV.2.2 Số các tổ hợp lặp 15

V Nhị thức Newton 15

V.1 Định lí khai triển nhị thức Newton 15

V.1.1 Định lí 15

V.1.2 Ví dụ 16

V.2 Tính chất 16

V.3 Tam giác Pascal 16

V.3.1 Xây dựng tam giác Pascal 16

V.3.2 Ứng dụng của tam giác Pascal 17

VI Nguyên tắc bao hàm và loại trừ 17

VI.1 Định nghĩa 17

VI.2 Ví dụ 17

I Các tính chất đặc biệt 19

II Các phương pháp tính tổng, chứng minh hệ thức 25

II.1 Phương pháp 25

II.1.1 Sử dụng công thức 26

II.1.2 Sử dụng đạo hàm 28

II.1.3 Sử dụng tích phân 32

II.2 Chứng minh hệ thức 35

III Bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 37

CHƯƠNG 2: CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 19

III.1 Bài toán về giải phương trình 37

III.2 Bài toán về giải bất phương trình 40

III.3 Bài toán về giải hệ phương trình 42

IV Bài toán về hệ số đa thức 45

V Một số bài toán ứng dụng 47

LỜI KẾT 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của khóa luận tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thạc sĩ Tôn Thất Tú đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này

Tôi cũng xin phép gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong Khoa Toán trường Đại học

Sư phạm–Đại học Đà Nẵng đã tận tình dạy bảo cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Nhân đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã quan tâm, động viên

và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận này

Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã tham khảo một số tài liệu liên quan đến toán

tổ hợp, trao đổi, lấy ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên lớp cử nhân Toán-Tin Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm khóa luận, song do sự hạn chế về thời gian, trình độ hiểu biết nên bài khóa luận không tránh được những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Đỗ Lê Đông Đức

PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu từ khá sớm và ngày càng được quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong nội bộ toán học cũng như các ngành khoa học khác Kết quả quan trọng của nó đánh dấu bởi bài toán đếm số phân hoạch của Leonhard Euler Trong toán học những kết quả của nó đóng vai trò kiến thức nền tảng cho giải tích, xác suất, thống kê, hình học,…

Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học toán tổ hợp cũng rất quan trọng bởi khi học tốt toán tổ hợp người học sẽ có năng lực sáng tạo và tư duy nhạy bén để học tốt môn học khác cũng như lĩnh vực khác trong cuộc sống Các bài toán giải tích tổ hợp luôn là một nội dung quan trọng trong các đề thi đại học và cao đẳng ở nước ta, mặc

dù mức độ không khó nhưng thí sinh thường gặp khó trong việc giải các bài toán này Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, thi Olympic toán khu vực và quốc tế các bài toán tổ hợp xuất hiện là một thử thách lớn cho các thí sinh Rất nhiều các bài toán hay và khó được giải một cách khá gọn và đẹp bằng cách sử dụng các kiến thức về tổ hợp Với những phân tích ở trên tôi

lựa chọn đề tài: “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP” làm đề tài nghiên

cứu cho khóa luận này

2 Mục đích nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu về lý thuyết tổ hợp từ đó xây dựng một cách có hệ thống,

có sáng tạo các bài toán giải tích tổ hợp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của khóa luận này là các vấn đề về hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, các bài toán liên quan

Với khóa luận này, tôi chỉ dừng lại ở mức độ nghiên cứu và giải toán phục vụ chủ yếu trong chương trình trung học phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải toán, tổng hợp kết quả

5 Ý nghĩa thực tiễn

Trong khóa luận này tôi đã tổng kết và phân dạng các bài tập giải tích tổ hợp Tuy

các dạng bài tập này không mới nhưng khóa luận đã hệ thống và mở rộng một số bài tập hay, khó là đóng góp nhỏ của khóa luận

6 Tóm tắt nội dung

Khóa luận được chia làm hai chương:

+ Chương 1 (Các kiến thức cơ bản): Chương này tập trung trình bày lý thuyết về tổ hợp và một số lý thuyết về tập hợp làm cơ sở để phân dạng và giải các bài toán giải tích tổ hợp

+ Chương 2 (Các bài toán tổ hợp): Đây là chương chứa nội dung chính của khóa luận Chương này tôi phân dạng và hệ thống các bài toán giải tích tổ hợp

PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Quy tắc cộng, quy tắc nhân

I.1 Quy tắc cộng

I.1.1 Định nghĩa

Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B:

Phương án A có thể thực hiện bởi n cách

Phương án B có thể thực hiện bởi m cách (đối tượng trong phương án này không trùng với bất kì đối tượng nào trong phương án kia)

Khi đó công việc có thể thực hiện theo m n cách

* Hệ quả: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án A1, A2, , Ak:

Phương án A1 có thể thực hiện bởi n1 cách

Phương án A2 có thể thực hiện bởi n2 cách

Giải:

Để đi từ A đến B, ta có:

- 10 cách đi bằng ô tô

- 3 cách đi bằng tàu hỏa

- 3 cách đi bằng tàu thủy

- 2 cách đi bằng máy bay

Vậy, có: 10 3 3 2 18    cách đi từ A đến B

I.2 Quy tắc nhân

I.2.1 Định nghĩa

Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B:

Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách

Công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách

Khi đó sẽ có n m cách thực hiện công việc trên

* Hệ quả: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2, , Ak:

Công đoạn A1 có thể thực hiện bởi n1 cách

Công đoạn A2 có thể thực hiện bởi n2 cách

……

Công đoạn Ak có thể thực hiện bởi nk cách

Khi đó sẽ có n n1 2 cách thực hiện công việc trên n k

I.2.2 Ví dụ

Một biển số xe máy (nếu không kể mã vùng) có 6 kí tự Kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái trong 24 chữ cái của bảng chữ cái tiếng Anh (chữ O và I không dùng), vị trí thứ hai là chữ số thuộc tập hợp {1, 2, , 9}, bốn vị trí tiếp theo là bốn chữ số thuộc tập hợp {0, 1, , 9} (chẳng hạn như M9 4410 là một biển số xe máy) Hỏi có thể tạo ra

được bao nhiêu biển số xe máy?

Vậy, có: 24.9.10.10.10.102160000 biển số xe máy

* Nhận xét: Từ đi ̣nh nghĩa của quy tắc cô ̣ng và quy tắc nhân trên , ta thấy rằng:

i, Nếu bỏ qua 1 giai đoạn nào đó mà ta không thể hoàn thành được công việc (không có kết quả) thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân

ii, Nếu bỏ qua 1 giai đoa ̣n nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành được công viê ̣c (có kết quả) thì lúc đó ta sử dụng quy tắc cộng

Như vậy với nhâ ̣n xét này , ta thấy rõ được sự khác biê ̣t c ủa 2 quy tắc cộng và quy

tắc nhân

II Hoán vị, hoán vị lặp, hoán vị vòng quanh

b, Ví dụ: Một đoàn khách du lịch dự định tham quan bảy địa điểm A, B, C, D, E,

G và H ở thành phố Đà Nẵng Họ đi thăm quan theo một thứ tự nào đó, hỏi đoàn khách

đó có bao nhiêu cách chọn thứ tự tham quan?

Giải:

Giả sử, đoàn khách chọn thứ tự tham quan như sau: B→C→A→E→D→G→H Như vậy, mỗi cách chọn thứ tự các địa điểm tham quan trên là một hoán vị của tập {A, B, C, D, E, G, H}

Vậy nên, đoàn khách có tất cả7! 5040 cách chọn thứ tự tham quan

n n n   n Khi ấy số cách sắp xếp n đối tượng trên thành dãy có thứ tự, hay

số hoán vị lặp của n đối tượng, là:

1 2

1 2

!( , , , )

Giải:

Xét tập A gồm 2k phần tử {x1, x1, x2, x2, …, xk, xk}

Khi đó, số hoán vị lặp của tập A là:

2 ! !( )

là một sô nguyên dương

II.3 Hoán vị vòng quanh

II.3.1 Định nghĩa

Cho tập A gồm n phần tử n0 Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín, được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử

II.3.2 Số các hoán vị vòng quanh

a, Định lí: Số các hoán vị vòng quanh của tập hợp có n phần tử, kí hiệu Q : n

n A

n k





* Chú ý:

i, Ta có, A n0 1 nên công thức trên đúng vơi mọi số nguyên k thỏa: 0 k n

ii, Một hoán vị của một tập n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó: A n n P n n!

iii, Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một phần tử của chỉnh hợp này không là phần tử của chỉnh hợp kia hoặc các phần tử của 2 chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau

b, Ví dụ: Trong một trận đấu bóng đá, cần phân định thắng thua bằng loạt đá luân

lưu 11m Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình một danh sách 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ của đội để tham gia đá Hỏi mỗi đội bóng có bao nhiêu cách để chọn ra 5 cầu thủ đá luân lưu?

Giải:

Do khi tham gia đá luân lưu thì:

+ Sẽ có thứ tự người đá trước, người đá sau

+ Người đá rồi sẽ không được đá lại

Nên số cách chọn 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ tham gia đá 11m là:

b, Ví dụ: Hỏi có bao nhiêu số có 10 chữ số mà 3 chữ số đầu và 3 chữ số lập thành

hai số giống nhau?

Giải:

Ta thấy, với một cách chọn cho 3 chữ số đầu cũng chỉ có một cách chọn cho 3 chữ

số cuối để chúng lập thành hai số giống nhau, nên số cách chọn cho 3 chữ số đứng đầu

Cho tập hợp A có n phần tử n0, và số nguyên k: 0 k n  Một tập hợp con

của A có k phần tử là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập hợp A

* Nhận xét: Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử thì ta dùng

các kết quả của chỉnh hợp để giải quyết Ngược lại, ta sử dụng phép đếm tổ hợp

n C

k n k





b, Ví dụ: Có mười đội bóng đá thi đấu với nhau theo thể thức vòng tròn một lượt

(tức hai đội bất kỳ trong mười đội bóng này phải thi đấu với nhau một trận) Hỏi phải

tổ chức bao nhiêu trận đấu?

k n

.( 1)

k n

1 ! !

k n

k n

Mỗi cách chọn ra k vật từ n loại vật khác nhau (trong đó mỗi loại vật có thể được

chọn lại nhiều lần) được gọi là tổ hợp lặp chập k của n

b, Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ một két đựng tiền gồm những tờ

1.000đ, 2.000đ, 5.000đ, 10.000đ, 20.000đ, 50.000đ, 100.000đ Giả sử thứ tự mà các tờ tiền được chọn là không quan trọng, các tờ tiền cùng loại là không phân biệt và mỗi loại có ít nhất 5 tờ

Giải:

Vì:

+ Ta không kể tới thứ tự chọn tờ tiền

+ Ta chọn đúng 5 lần, mỗi lần lấy một từ 1 trong 7 loại tiền

Nên mỗi cách chọn 5 tờ giấy bạc này chính là một tổ hợp lặp chập 5 từ 7 phần tử

i, Số các số hạng của khai triển bằng: n1

ii, Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng đều bằng: n

* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị

đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt Chẳng hạn:

i, (1x)n C n0C x n1   C x n n n

2n  (1 1)n C n0C1n   C n n

ii, (x1)n C x n0 nC x n1 n1   ( 1)n C n n

0n  (1 1)n C n0C1n    ( 1)n C n n

V.3 Tam giác Pascal

V.3.1 Xây dựng tam giác Pascal

Khi viết các hệ số của nhị thức Newton lần lượt với n = 0,1, 2, ta được bảng sau:

Tam giác này được xây dựng như sau:

+ Ở hàng đầu tiên, chúng ta viết một con số 1

+ Ở hàng tiếp theo, chúng ta viết hai con số 1

+ Tiếp tục các hàng tiếp theo:

- Con số đầu tiên và con số cuối cùng bao giờ cũng là số 1

- Còn mỗi con số ở bên trong thì bằng tổng của hai con số đứng ngay ở hàng phía trên Sở dĩ có quan hệ này là do ta có hệ thức Pascal 1

V.3.2 Ứng dụng của tam giác Pascal

i, Tạo dãy Fibonacci

ii, Cho biết kết quả số mũ của 11

iii, Hiển thị hệ số trong mở rộng nhị thức Newton.v.v…

VI Nguyên tắc bao hàm và loại trừ

iii, Giả sử A1, A2, …, Ak là các tập con của tập X gồm n phần tử, thì số phần tử thuộc

X mà không thuộc vào bất kì tập Ai (i1, 2,, k) nào là:

1

k i i

+ P1 là tính chất mà một số nguyên chia hết cho 2

+ P2 là tính chất mà một số nguyên chia hết cho 3

+ P3 là tính chất mà một số nguyên chia hết cho 5

Gọi Ai là tập hợp con của S mà các thành phần có tính chất Pi, chúng ta có số phần

tử của Ai bằng cách đếm đơn giản: n A( 1)50, n A( 2)33, và n A( 3)20

Trong S lại có:

+ 16 số nguyên chia hết cho (2.3) = 6

+ 10 số nguyên chia hết cho (2.5) = 10

+ 6 số nguyên chia hết cho (3.5) = 15

+ Cuối cùng, có 3 số nguyên chia hết cho (2.3.5) = 30

Do đó, số lượng các số nguyên không chia hết cho bất kỳ 2, 3 hoặc 5 được cho bởi:

10050 33 20    16 10 6    3 26 số

CHƯƠNG 2: CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP

0.(1 )

1

(1 )1

11

, 0

1( 1) k(1 )n k ( 1) k n k k

k m

Do (2.2) đúng  m n, nên (2.3) đúng khi p n 1 (do p 1 n)

21

C VP k

1 2

Áp dụng CT2.1, ta được:

n

m i

2 2

m n

m n

C n

m

m m n n m

C m

k k

k k

n

k n k

tq n n k k

* Dấu hiệu nhận biết: Nếu các hạng tử trong tổng có dạng là 1.2.k C n k hoặc (k1)a C k n k thì ta dùng đạo hàm để tính tổng

* Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ 1 đến

1

1

n hoặc tăng dần từ

11

Tổng quát bài toán:

1

0 0

(1 )

11

n

n k

k n k

k n k

n k

n k

k n k

k k n k

n n

k n k

Đối với các bài toán chứng minh hệ thức, ngoài việc dùng các phương pháp của

phần II.1, tùy bài toán cụ thể ta còn dùng các phương pháp khác như:

i, Sử dụng quy nạp toán học

ii, Sử dụng các đánh giá về bất đẳng thức

iii, Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Bài 1: Chứng minh rằng, với  n N n, 3 thì 2n1n! (2.10) Giải:

+ Với n3, ta có: 1 2

2n 2     4 n! 3! 6 (2.10) đúng + Giả sử (2.10) đúng khi nk k( 3), tức là: 1

2k k! + Ta cần chứng minh (2.10) đúng với n k 1

III Bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Lưu ý khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, ta

luôn phải tìm điều kiện của ẩn số để có kết quả chính xác

III.1 Bài toán về giải phương trình

C C   C C C C   (2.12) Giải: