Một số phép biến hình và các biện pháp ứng dụng phép biến hình để giải toán hình học phẳng trong trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN Đề tài: MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH VÀ CÁC BIỆN PHÁP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG..

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

Đề tài:

MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH VÀ CÁC BIỆN PHÁP ỨNG

DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

PHẲNG TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Giáo viên hướng dẫn : ThS Nguyễn Hữu Chiến

Sinh viên thực hiện : Huỳnh Thị Thu Hiền

Lớp : 10CTT1

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng, đặc biệt là thầy cô Khoa Toán, Khoa Tin đã quan tâm, giúp đỡ và truyền đạt vốn kiến thức quý báu của mình cho chúng em trong suốt thời gian học tập tại trường và điều đó đã tạo tiền đề cho em hoàn thành bài khóa luận tốt nghiệp này

Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi đến Thầy Nguyễn Hữu Chiến, người

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành bài khóa luận tốt nghiệp

Cuối cùng em xin kính chúc các thầy cô mạnh khỏe, hạnh phúc và thành công trong công việc

Đà Nẵng, ngày 26 tháng 05 năm 2014

Sinh viên thực hiện

HUỲNH THỊ THU HIỀN

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Phạm vi nghiên cứu 2

PHẦN NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KHÔNG GIAN AFIN, KHÔNG GIAN ƠCLIT 3

1.1 Phép biến đổi trong không gian afin 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Một số tính chất của phép biến đổi trong không gian Afin 4

1.1.3 Phương trình của phép biến đổi Afin 6

1.2 Phép biến đổi trong không gian Ơclit 7

1.2.1 Định nghĩa không gian Ơclit 7

1.2.2 Phép dời hình 8

1.2.3 Phép đồng dạng 9

CHƯƠNG II : CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 11

2.1 Phép biến hình 11

2.2 Phép dời hình trong mặt phẳng 11

2.2.1 Phép dời hình và sự xác định phép dời hình 11

2.2.2 Hai hình bằng nhau 12

2.2.3 Phép đồng nhất 12

2.2.4 Phép tịnh tiến 12

2.2.5 Phép đối xứng trục 13

2.2.6 Phép đối xứng tâm 14

2.2.7 Phép quay 15

2.2.8 Mối quan hệ giữa phép đối xứng trục, phép tịnh tiến và phép quay 17

2.3 Phép đồng dạng 23

2.3.1 Phép vị tự 23

2.3.2 Phép đồng dạng 24

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 26

3.1.Sử dụng phép biến hình vào giải bài toán chứng minh và tính toán 26

Bài 1: 26

Bài 2 27

Bài 3 27

Bài 4 29

Bài 5 30

Bài 6 30

Bài 7 31

Bài 8 32

Bài 9 33

Bài tập đề nghị 33

3.2 Sử dụng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình 35

Bài 1 35

Bài 2 36

Bài 3 38

Bài 4 39

Bài 5 40

Bài 6: 41

Bài 7 42

Bài 8 43

Bài tập đề nghị 45

3.3 Sử dụng phép biến hình để giải một số bài toán quỹ tích 46

Bài 1 : 46

Bài 2 : 47

Bài 3: 49

Bài 4 51

Bài 5 52

Bài 6 53

Bài 7 54

Bài tập đề nghị 54

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Một số phép biến hình đã được dạy trong chương trình trường trung học phổ thông (THPT), giúp học sinh trong trường THPT làm quen các phép biến hình cũng như bước đầu có khả năng vận dụng các phép biến đổi để giải một số bài toán hình học phẳng (HHP)

Việc đưa nội dung một số phép biến hình vào trường THPT không chỉ nhằm cung cấp cho thầy, cô giáo và học sinh những công cụ mới để dạy và học hình học mà còn trang bị cho học sinh phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc

và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng Ngoài ra, chính trong quá trình giải một bài toán hình học cụ thể bằng các phép biến hình còn giúp cho quá trình dạy học hình học một cách sáng tạo và gây hứng thú trong học tập hình học Hơn nữa, dùng các phép biến hình một cách thích hợp để giải mỗi bài toán thể hiện kỹ năng lựa chọn công cụ để giải toán, một kỹ năng không thể thiếu trong quá trình dạy học hình nói riêng giúp nâng cao hiệu quả giải một số bài toán hình học và còn là kỹ năng cần thiết cho quá trình dạy học các môn khoa học khác

Việc nghiên cứu, tìm hiểu kỹ nội dung các phép biến hình và đề ra các phương pháp để vận dụng có hiệu quả các phép biến hình đã học trong quá trình dạy học hình

học là một mong muốn và được tôi xin lựa chọn chủ đề: “Một số phép biến hình và

các biện pháp ứng dụng phép biến hình để giải toán hình học phẳng trong trường trung học phổ thông” làm đề tài tốt nghiệp cho bản thân ( một sinh viên thuộc hệ đào

tạo cử nhân Toán – Tin, trường đại học sư phạm)

Hy vọng rằng đề tài này, góp phần vào quá trình tìm tòi các biện pháp nâng cao chất lượng dạy học hình học, cũng như kỹ năng vận dụng các các kiến thức phép biến hình đã học để giải các bài toán, đặc biệt hình thành năng lực vận dụng các phép biến hình để tìm tòi lời giải các bài toán có liên quan

2 Mục đích nghiên cứu:

1- Hệ thống lại các kiến thức bao gồm: định nghĩa, các tính chất, biểu thức tọa

độ của phép biến hình trong không gian Ơclit và cụ thể là một số phép biến hình trong hình học phẳng

2- Phương pháp sử dụng phép biến hình để giải một số bài toán hình học phẳng

có liên quan

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

1- Trình bày khái niệm, điều kiện xác định, các tính chất, biểu thức tọa độ của phép biến hình trong không gian hình học tổng quát - không gian Ơclit

2- Trình bày khái niệm, các tính chất, biểu thức tọa độ của một số phép biến hình trong HHP

3- Trình bày phương pháp ứng dụng phép biến hình để giải một số bài toán học phẳng

4 Phương pháp nghiên cứu:

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những kiến thức có liên quan để thực hiện đề tài

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG I:

PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KHÔNG GIAN AFIN,

KHÔNG GIAN ƠCLIT

1.1 Phép biến đổi trong không gian afin:

1.1.1 Định nghĩa:

Phép đẳng cấu afin : → của không gian afin A lên chính nó được gọi là phép biến đổi afin của không gian afin A và được gọi tắt là phép afin Khi đó ánh xạ tuyến tính liên kết : ⃗ → ⃗ của là một phép tự đẳng cấu tuyến tính và còn được gọi

là phép biến đổi tuyến tính

Ví dụ: Cho không gian afin A liên kết với không

gian vectơ V Cho vectơ ⃗ cố định, xét ánh xạ

: → sao cho ′ = ( ) thì ′⃗ = ⃗ Phép afin

như thế gọi là phép tịnh tiến theo vectơ ⃗ và được kí hiệu ⃗ Vectơ ⃗ gọi là vectơ tịnh tiến

Phép tịnh tiến ⃗ là một phép biến đổi afin với ánh xạ tuyến tính liên kết là phép đồng nhất ⃗: →

Thật vậy, lấy một điểm I cố định của A và đặt ′ = ( ) Khi đó:

( )⃗ = ′⃗ = ⃗ + ′⃗ + ′ ′⃗

= ⃗ + ′⃗ + ( ⃗) = ′ ⃗ vì ′ ′⃗ = ⃗

1.1.2 Một số tính chất của phép biến đổi trong không gian Afin:

1.1.2.1 Định lí 1:

Trong không gian Afin cho hai hệ điểm độc lập là , , … , và

′ , ′ , … , ′ Khi đó có một phép biến đổi Afin duy nhất : → sao cho ( ) = ′ , ∀ = 0,

Chứng minh:

Vì + 1 điểm , , … , độc lập trong nên hệ vectơ

⃗, ⃗, … , ⃗ là một cơ sở của không gian vectơ ⃗ liên kết với Khi đó có một ánh xạ tuyến tính duy nhất : ⃗ → ⃗ sao cho ( ⃗) = ′ ′⃗, ∀ = 0,

Theo tính chất của ánh xạ Afin: “Với mỗi ánh xạ tuyến tính : → ′ và với cặp điểm ∈ và ′ ∈ ′ xác định duy nhất một ánh xạ Afin : → ′ nhận là ánh

xạ tuyến tính liên kết và có ( ) = ′.” ta có một ánh xạ afin duy nhất : → sao cho ( ) = ′ và có ánh xạ tuyến tính liên kết của Như vậy ( ) = ′ và duy nhất

Vậy có duy nhất một phép biến đổi Afin : → sao cho ( ) = ′ ,

∀ = 0,

1.1.2.2 Định lí 2:

Tích của hai phép Afin là một phép Afin có phép biến đổi tuyến tính liên kết là tích các phép biến đổi tuyến tính liên kết của hai phép Afin đã cho Đảo ngược của một phép Afin là một phép Afin có phép biến đổi tuyến tính liên kết là đảo ngược của phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép Afin đã cho

Chứng minh:

Cho hai phép Afin : → và : → có các phép biến đổi tuyến tính liên kết lần lượt là : ⃗ → ⃗ và : ⃗ → ⃗ Khi đó với , ∈ và ′ = ( ), ′ = ( ),

Như vậy tích : → là một ánh xạ Afin có ánh xạ tuyến tính liên kết là Vì

và là những phép biến đổi tuyến tính nên cũng là một phép biến đổi tuyến tính Do đó là phép biến đổi Afin

Đảo ngược của phép Afin là phép afin có phép biến đổi tuyến tính liên kết là

Chứng minh :

Goi là phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép Afin f và giả sử ⃗ = ⃗ thì ′ ′⃗ = ( ⃗) = ( ⃗) = ( ⃗) = ′ ′⃗ Từ đó ta suy ra nếu , , thẳng hàng thì ′, ′, ′ thẳng hàng và ( ) = ( ′ ′ ′) =

1.1.3 Phương trình của phép biến đổi Afin :

Bài toán : Trong không gian Afin cho mục tiêu { , } , , là phép biến đổi Afin trong Hãy lập phương trình của phép biến đổi Afin

Giải :

là phép biến đổi Afin trong và { , } , đã cho

⇒ Mục tiêu ảnh của (1) : ( ) = ′ ; = 1, hay { ′ , ′ } , là mục tiêu của

( , , … , ) ∈ và ′ = ( ) = ( ′ , ′ , … , ′ ) đối với mục tiêu { , } ,

⇒ Lập phương trình của đối với mục tiêu { , } , chính là xác lập hệ thức liên hệ giữa các ( , , … , ) và ( ′ , ′ , … , ′ )

⇒ ⃗( ⃗) = ′ ′⃗ = ′ ′⃗ + ′ ′⃗ + ⋯ + ′ ′ ⃗

⇒ ′ có tọa độ đối với { ′ , ′ } , chính là ( , , … , )

Suy ra : Thay vì đi tìm liên hệ ( , , … , ) đối với { , } , và ′ = ( ′ , ′ , … , ′ ) đối với { , } , ta đi tìm liên hệ tọa độ của ′ đối với { ′ , ′ } , và ′ đối với { , } ,

Sử dụng công thức đổi mục tiêu ta có :

[ ′] = ∗[ ] + [ ] trong đó

[ ′] là tọa độ của ′ đối với mục tiêu { , } ,[ ] là tọa độ của ′ đối với mục tiêu { ′ , ′ } ,[ ] là tọa độ của ′ đối với mục tiêu { , } ,

∗ là ma trận chuyển vị của ma trận chuyển mục tiêu { , } , sang mục tiêu { ′ , ′ } , và gọi là ma trận của phép biến đổi đối với { , } ,

Ví dụ : Một phép tịnh tiến ⃗: → được xác định bởi phép đồng nhất trong

(là không gian vectơ liên kết của ) nên ma trận của nó là ma trận đơn vị

Vậy phương trình của phép tịnh tiến có dạng :

[ ′] = [ ] + [ ] Trong đó [b] là ma trận cột tọa độ của điểm ′ = ⃗( ) với ′⃗ = ⃗

1.2 Phép biến đổi trong không gian Ơclit:

1.2.1 Định nghĩa không gian Ơclit:

Không gian Ơclit là một loại không gian Afin liên kết với không gian vectơ

Ơclit hữu hạn chiều được kí hiệu là

Nếu = thì số chiều của không gian Ơclit liên kết nó bằng n

Chú ý: Trong không gian Ơclit vẫn có các khái niệm và tính chất của không

gian Afin Mặt khác trong không gian Ơclit còn có thêm các khái niệm và tính chất

mới như sự vuông góc của các phẳng, độ dài các đoạn thẳng, độ lớn của góc…là

những khái niệm và tính chất không có trong không gian Afin

1.2.2 Phép dời hình:

1.2.2.1 Định nghĩa:

Ánh xạ : → từ không gian Ơclit vào chính nó là một phép biến đổi

đẳng cự hay là một phép dời hình của không gian Ơclit Khi đó ánh xạ liên kết

với là một phép biến đổi tuyến tính trực giao của không gian vectơ ⃗

Nói cách khác phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai

điểm bất kì tức là với hai điểm , bất kì thuộc và ảnh của chúng

′ = ( ), ′ = ( ) ta có ( , ) = ( ′, ′)

Nhận xét: Tập hợp các phép biến đổi đẳng cự (hay tập hợp các phép dời hình)

của không gian Ơclit làm thành một nhóm con của nhóm các phép biến đổi afin

của

Các phép tịnh tiến là các phép đẳng cự, chúng làm thành một nhóm con của

nhóm các phép biến đổi đẳng cự

1.2.2.2 Phương trình của phép dời hình trong :

Với mục tiêu trực chuẩn { ; ⃗, ⃗, … , ⃗} trong , cho phép biến đổi afin

: → có phương trình là :

[ ′] = [ ] + [ ]

Khi đó A cũng là ma trận của phép đẳng cấu tuyến tính (liên kết với ) đối

với cơ sở trực chuẩn { ⃗, ⃗, … , ⃗}

Bởi vậy phép biến đổi afin trở thành phép dời hình khi A là ma trận trực giao

tức là A*.A = I (ma trận đơn vị)

* Vì A là ma trận trực giao nên det A = ±1

- Nếu det A = 1 thì gọi là phép dời hình loại 1 hay phép dời hình thuận

- Nếu det A = −1 thì gọi là phép dời hình loại 2 hay phép dời hình nghịch

Định lí : Phương trình của phép dời hình trong đối với một mục tiêu trực chuẩn cho trước, có dạng :

[ ′] = [ ] + [ ] trong đó là ma trận trực giao cấp n ( ∗ = )

* Ngược lại : Mỗi phương trình có dạng [ ′]= [ ] + [ ] trong đó là ma trận trực giao cấp n đều là phương trình của phép dời hình trong đối với mục tiêu trực chuẩn đã chọn

Nhận xét :

- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k = 1

- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|

1.2.3.2 Định lí: Phép đồng dạng là một phép afin

Chứng minh:

Giả sử : → là phép đồng dạng tỉ số k Lấy một điểm O thuộc , gọi

′ = ( ) Ta định nghĩa ánh xạ : ⃗ → ⃗ như sau:

Nếu ⃗ là một vectơ thuộc ⃗, gọi M là điểm sao cho ⃗ = ⃗ Lấy

′ = ( ) và đặt ( ⃗) = ′ ′⃗ Ta cần chứng minh là ánh xạ tuyến tính

Thật vậy ∀ , ∈ ta có :

( , ) = ⃗ − ⃗ = ⃗ + ⃗ − 2 ⃗ ⃗

= ( , ) + ( , ) − 2 ⃗ ⃗ (1) Nếu ′ = ( ) ′ = ( ) thì ta có :

( ′, ′) = ′ ′⃗ − ′ ′⃗ = ′ ⃗ + ′ ⃗ − 2 ′ ′⃗ ′ ⃗′

= ( ′, ′) + ( ′, ′) − 2 ′ ′⃗ ′ ⃗′ (2) Mặt khác vì đồng dạng nên ta có :

( ′, ′) = ( , ) ( ′, ′) = ( , ) ( ′, ′) = ( , )

Do đó từ (1) và (2) ta suy ra ′ ′⃗ ′ ′⃗ = ⃗ ⃗

Hay ( ⃗) ( ⃗) = ⃗ ⃗

Suy ra là ánh xạ tuyến tính ( còn là một phép biến đổi tuyến tính của ⃗)

Từ định nghĩa của ta thấy rằng là phép biến tuyến tính liên kết với phép

đồng dạng , nên phép đồng dạng là một phép afin

Hệ quả : Phép biến đổi afin : → là một phép đồng dạng tỉ số k khi và

chỉ khi phép biến đổi tuyến liên kết với có tính chất :

| ( ⃗)| = | ⃗| với mọi ⃗ ∈ ⃗

CHƯƠNG II : CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

2.1 Phép biến hình :

 Định nghĩa : Phép biến hình trong mặt phẳng (P) là một song ánh để với mỗi điểm thuộc mặt phẳng (P) xác định được một điểm duy nhất ′ thuộc mặt phẳng (P) ấy Điểm ′ được gọi là ảnh của điểm qua phép biến hình đó

 Kí hiệu : là một phép biến hình và ′ là ảnh của qua phép

Ta viết ′ = ( ) hay ( ) = ′ hay : ↦ ′ hay → ′

 Lưu ý: Với là phép biến hình trong mặt phẳng (P):

- Nếu ′ = ( ) thì điểm gọi là tạo ảnh của , ′ là ảnh của

- Điểm gọi là một điểm bất động (hay điểm kép) của phép biến hình nếu ( ) =

2.2.1.1 Định nghĩa : Phép dời hình là phép biến hình trong mặt phẳng (P) bảo

toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, tức là với hai điểm bất kì , ∈ (P) và ảnh tương ứng ′, ′ ∈ (P) của chúng, ta luôn có: ′ ′ = (Bảo toàn khoảng cách)

2.2.1.2 Định lí (Xác định phép dời hình): Trong mặt phẳng (P) cho hai tam

giác bằng nhau ABC và A’B’C’ (AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’) Khi đó tồn tại duy nhất phép dời hình trong (P) sao cho (A) = A’, (B) = B’, (C) = C’

Trong mặt phẳng (P), cho vectơ ⃗, phép biến

hình biến mỗi điểm thành điểm ′ sao cho ′⃗ = ⃗

gọi là phép tịnh tiến theo vectơ ⃗

 Kí hiệu: ⃗, vectơ ⃗ gọi là vectơ tịnh tiến

 Khi vectơ tịnh tiến là vectơ – không thì ta có ⃗(M) = M với mọi M Vậy phép tịnh tiến ⃗ là phép đồng nhất

2.2.4.2 Tính chất:

 Định lí: Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm

Nghĩa là: Nếu: ⃗( ) = ′

⃗( ) = ′ thì AB = A’B’

Nhận xét: Nếu: ⃗( ) = ′

⃗( ) = ′ thì ⃗ = ′ ′⃗

 Hệ quả: Phép tịnh tiến theo vectơ ⃗

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó

- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng song song hoặc trùng với nó

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R, trong đó tâm đường tròn biến thành tâm đường tròn

Trong mặt phẳng (P) cho một đường thẳng d cố định,

phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm ′ sao cho

đoạn thẳng ′ nhận d làm đường trung trực gọi là phép

đối xứng trục d

Kí hiệu: Đd, với d là trục đối xứng

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R, trong đó tâm đường tròn biến thành tâm đường tròn

Kí hiệu: Đ , điểm O gọi là tâm đối xứng

2.2.6.2 Tính chất:

 Định lý: Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm

 Hệ quả: Phép đối xứng tâm

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó

- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng song song hoặc trùng với nó

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R, trong đó tâm đường tròn biến thành tâm đường tròn

b Góc định hướng :

Trong mặt phẳng đã định hướng, cho góc tạo bởi hai tia Ox và Oy

- Nếu ta chọn Ox làm tia gốc và Oy làm tia ngọn thì ta được góc định hướng

Kí hiệu: ( ; ), O là tâm quay, là góc quay

Nhận xét:

- Phép quay tâm O, góc quay 0° là phép đồng nhất

- Phép quay tâm O, góc quay ; − là phép đối xứng tâm O

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R, trong đó tâm đường tròn biến thành tâm đường tròn

2.2.8 Mối quan hệ giữa phép đối xứng trục, phép tịnh tiến và phép quay:

2.2.8.1 Tích của hai phép đối xứng có trục song song :

Gọi Đ∆ và Đ∆ là hai phép đối xứng trục có hai trục ∆ và ∆ song song

Với mỗi điểm M bất kì ta có : ′ = Đ∆ ( ), ′′ = Đ∆ ( ′)

Đường thẳng ∆ là đường trung trực của đoạn MM’

Gọi H là trung điểm của đoạn MM’ thì ′⃗ = 2 ′⃗ và

Mặt khác : Ba điểm M, M’, M’’ nằm trên một đường thẳng vuông góc với ∆

và ∆ , đồng thời ′⃗ không phụ thuộc vào vị trí điểm M và vectơ này có hướng từ ∆ đến ∆ , có phương vuông góc với ∆ và ∆ , có độ dài bằng khoảng cách giữa hai trục

Cho phép tịnh tiến ⃗ với vectơ tịnh tiến ⃗

Ta chỉ cần chọn một đường thẳng ∆ nào đó vuông

góc với phương của ⃗ và đường thẳng ∆′ là ảnh của

đường thẳng ∆ qua phép tịnh tiến theo vectơ ⃗

Gọi Đ∆ và Đ∆ là các phép đối xứng trục có hai

trục là ∆ và ∆′ thì tích Đ∆ °Đ∆ là phép tịnh tiến ⃗ Do ta

có nhiều cách chọn ∆ khác nhau miễn là nó vuông góc

với phương của ⃗ nên sự phân tích trên có thể thực hiện bằng vô số cách

2.2.8.2 Tích của hai phép đối xứng có trục cắt nhau :

a Định lí 3 :

Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có hai trục ∆ , ∆ cắt nhau ở một điểm O là một phép quay tâm O và góc quay = 2(∆ , ∆ )

Chứng minh :

Gọi Đ∆ và Đ∆ là hai phép đối xứng

trục có hai trục ∆ và ∆ cắt nhau tại O

Với một điểm M bất kì khác điểm O,

Nếu điểm M trùng với O thì tích Đ∆ °Đ∆ biến điểm O thành O

Vậy tích của hai phép đối xứng có trục cắt nhau tại O tạo thành một góc là một phép quay tâm O và góc quay 2

2.2.8.3 Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay :

Định lí 5 : Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay góc là một phép quay góc

Chứng minh :

Cho một phép tịnh tiến T theo vectơ ⃗ ≠ 0⃗ và một

phép quay Q tâm O góc quay ≠ 2 , ta xét tích của hai

phép này

Phân tích phép tịnh tiến T thành tích của hai phép

đối xứng Đ∆ và Đ∆ theo thứ tự có trục song song ∆ và

∆

Ta chọn trục ∆ đi qua O, vuông góc với phương

của ⃗ và chọn ∆ là ảnh của ∆ trong phép tịnh tiến theo

vectơ − ⃗

Ta tiếp tục phân tích phép quay Q đã cho thành tích của hai phép đối xứng Đ∆

và Đ∆ có hai trục cắt nhau theo thứ tự là ∆ và ∆ Ta chọn ∆ là ảnh của ∆ trong phép quay tâm O với góc quay

Ta có : = Đ∆ °Đ∆ và = Đ∆ °Đ∆

Do đó ° = (Đ∆ °Đ∆ )°(Đ∆ °Đ∆ )

= Đ∆ °(Đ∆ °Đ∆ )°Đ∆ (do tính chất kết hợp)

= Đ∆ °Đ∆ (Vì tích Đ∆ °Đ∆ là phép đồng nhất)

Mà tích Đ∆ °Đ∆ là tích của hai phép đối xứng qua hai trục ∆ và ∆ cắt nhau ở O′

Vậy tích của phép tịnh tiến T và một phép quay Q lấy theo thứ tự đó là một phép quay Q′ có:

- Tâm O′ là giao điểm của ∆ và ∆

2.2.8.4 Tích của hai phép quay:

a Tích của hai phép quay cùng tâm:

Tích của hai phép quay cùng tâm O với các góc quay là và là phép quay tâm O với góc quay +

b Tích của hai phép quay khác tâm:

Tích của hai phép quay có tâm khác nhau là một phép quay với góc quay bằng tổng của hai góc quay của hai phép quay đã cho, hay đặc biệt là một phép tịnh tiến nếu hai góc quay đã cho các các góc đối nhau

Chứng minh:

Giả sử có hai phép quay Q1 và Q2 theo thứ tự có tâm là O1 và O2, có góc quay là

và đều khác 2 Ta gọi đường thẳng

O1O2 là đường thẳng ∆ rồi chọn đường

thẳng ∆ là đường thẳng đi qua O1 và ∆ là

đường thẳng đi qua O2 sao cho

Trong trường hợp góc quay ≠ − nếu tích ° là phép quay tâm O

= ∆ ∩ ∆ thì tích ° là một phép quay tâm tại O′ đối xứng với O qua đường thẳng

O1O2 Góc của phép quay trong hai trường hợp trên đều bằng +

Trường hợp góc quay = − nếu tích ° là phép tịnh tiến T theo vectơ ⃗ thì tích ° là một phép tịnh tiến theo vectơ − ⃗

Phép đồng dạng

Phép tịnh tiến Phép đối xứng trục Phép đối xứng tâm Phép quay

SƠ ĐỒ BIỂU THỊ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC PHÉP BIẾN HÌNH

CHƯƠNG III:

PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO

GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

3.1.Sử dụng phép biến hình vào giải bài toán chứng minh và tính toán: Phương pháp chung:

Để giải bài toán này bằng phương pháp biến hình trong mặt phẳng ta sử dụng định nghĩa, biểu thức tọa độ, một số tính chất của phép biến hình để chứng minh và tính toán

Bài 1: (Bài 17 – Trang 7 – Sách bài tập Hình học 11 nâng cao)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình F biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) sao cho