Các định lý cơ bản về nghiệm của đa thức và ứng dụng

chương trình , c 6 của để giải một số dạng toán như: bài toán xác định đa thức, bài toán về sự chia hết của đa thức, các bài toán liên quan đến nghiệm của đa thức, giải hệ phương trình,

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN 

Đề tài:

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ NGHIỆM CỦA

ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Thanh Thúy Lớp : 10 CTT1

Đà Nẵng, 05/2014

Trang 1

3

4

1 4

2 P 5

3 5

Chương I ĐA THỨC 6

I ĐA THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN ĐA THỨC 6

1 Vành đa thức một biến 6

2 Hai đa thức bằng nhau 6

3 Các phép toán trên đa thức 7

Định lý 1 (định lý về bậc của đa thức): 8

II NGHIỆM CỦA ĐA THỨC 8

III CỦA 10

1 ịnh lý Bezout) 10

2 12

3 ịnh lý Vi-ét): 13

4 Định lý 5 ( Định lý Vi-ét đảo): 14

5 Định lý 6 14

6 Định lý 7 15

Trang 2

15

Chương II CƠ BẢN 18

I BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC 18

II SỰ CHIA HẾT CỦA CÁC ĐA THỨC 24

III CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA ĐA THỨC 30

IV 41

V - 47

1 47

2 49

3 TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 51

VI.CÁC DẠNG TOÁN KHÁC 56

KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

Trang 3

Trang 4

1

Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học, không những như là một đối tượng nghiên cứu của đại số mà còn là một công cụ đắc lực của giải tích trong lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, lý thuyết điều khiển tối ưu,

Trong chương trình toán học phổ thông, đa thức là một chuyên đề quan trọng và có ứng dụng rất đa dạng, hiệu quả Trong các kì thi đại học, học sinh giỏi quốc gia và quốc tế đều có những bài toán liên quan đến đa thức Vì vậy,

đa thức và các ứng dụng luôn là chuyên đề hết sức cần thiết trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở bậc phổ thông Đồng thời sự phát hiện các ứng dụng đa dạng của nó luôn đem lại sự hấp dẫn đối với nhiều học sinh và giáo viên khi nghiên cứu vấn đề này

Khi nghiên cứu các đa thức ta thường quan tâm đến nghiệm và các định lý cơ bản về nghiệm

N

Đề tài cơ bản

nhằm trình bày một số định lý cơ bản về nghiệm của đa thức, từ đó

thông và có cái nhìn tổng quát hơn về

đa thức

phép toán trên đa thức Phát biểu khái niệm về nghiệm của đa thức và các định

lý cơ bản về nghiệm của đa thức

chương trình , c 6 của

để giải một số dạng toán như: bài toán xác định

đa thức, bài toán về sự chia hết của đa thức, các bài toán liên quan đến nghiệm của đa thức, giải hệ phương trình, dùng định lý Viete trong các bài toán liên quan đến hàm số và một số dạng toán khác

số nguyên, đa thức với hệ số thực và tương ứng là các tập hợp

2 Hai đa thức bằng nhau

Hai đa thức :

bằng nhau khi và chỉ khi và với mọi

Trang 7

3 Các phép toán trên đa thức

a Phép cộng, trừ hai đa thức

Cho hai đa thức:

Khi đó phép cộng và trừ hai đa thức và đƣợc thực hiện theo từng hệ số của , tức là:

b Phép nhân hai đa thức

Cho hai đa thức:

Khi đó là một đa thức có bậc và có các hệ số đƣợc xác định bởi

Từ các định nghĩa trên, ta có định lý sau đây:

bậc bậc bậc

ii Nếu , thì ta có

bậc bậc bậc

II NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

Giả sử và là hai đa thức cùng thuộc , bao giờ cũng có thể tìm đƣợc một cặp đa thức và duy nhất cũng thuộc sao cho

, trong đó bậc của bé hơn bậc của Nếu bằng đa thức không thì ta nói chia hết cho , hay chia hết , hay là bội của , là ƣớc của

Một đa thức chia hết 2 đa thức và đã cho gọi là ƣớc chung của và

Nếu là ƣớc chung của và , chia hết cho mọi ƣớc chung khác của 2 đa thức ấy, thì gọi là ƣớc chung lớn nhất của và

viết là UCLN và ký hiệu là Để tìm ƣớc chung lớn nhất của và ta dùng thuật toán Oclide bằng cách thức hiện một số phép chia liên tiếp nhƣ sau:

Trang 9

Đa thức dư cuối cùng trong dãy phép chia liên tiếp đó chính là UCLN phải

tìm :

Để đảm bảo tính duy nhất của UCLN, ta qui ước rằng hệ tử cao nhất của

UCLN của hai đa thức bao giờ cũng lấy bằng 1

Xuất phát từ thuật toán Oclide, ta chứng minh được rằng : nếu thì có thể tìm được hai đa thức và cũng

trên sao cho

Hơn nữa , nếu bậc của và lớn hơn thì ta còn có thể chọn sao

cho bậc của bé hơn bậc của và bậc của bé hơn bậc của

Một đa thức bậc lớn hơn 0 trên được gọi là bất khả qui trên ,

nếu nó không thể viết được dưới dạng tích của 2 đa thức bậc và bé hơn

bậc của

Mỗi đa thức bậc của đều có thể phân tích được thành tích

của những đa thức bất khả qui trên và sự phân tích đó là duy nhất, nếu

không kể đến thứ tự các nhân tử và không kể đến các nhân tử bậc

Trang 10

Định nghĩa nghiệm của đa thức:

i Giả sử và Ta nói nhận làm nghiệm nếu

ii đƣợc gọi là nghiệm bội của đa thức nếu

và , ta có dƣ của phép chia đa thức cho

là nên tồn tại duy nhất sao cho

Ta chứng minh bằng quy nạp theo

Trường hợp được suy ra từ khái niệm nghiệm bội của đa thức Cho theo giả thiết quy nạp, tồn tại sao cho:

trong đó và với mọi

Vì là nghiệm của nên ta có

Do với mọi nên

Giả sử trong đó và

là một số nguyên Vì nên với mọi

trong đó với mọi

Giả sử đã cho đa thức bậc trên :

Kí hiệu là nghiệm của trong mỗi nghiệm kể một số lần bằng bội số của nó Ta có:

Hệ quả 1: Đa thức có vô số nghiệm là đa thức không

Hệ quả 2: Nếu đa thức có bậc mà nhận cùng một giá trị tại

điểm khác nhau của đối số thì đa thức đó là đa thức hằng

tại giá trị khác nhau của đối số thì đồng nhất bằng nhau

b Nếu là nghiệm hữu tỉ tùy ý của đa thức với hệ số nguyên

thì với mọi số nguyên số chia hết cho ( )

Trường hợp đặc biệt là ước số của , còn là ước số của

c Đa thức là đa thức đối xứng bậc khi và chỉ khi với khác 0

Vì suy ra nên chia hết cho (2)

Kết hợp (1) và (2) đƣợc điều phải chứng minh

Nhận xét rằng các hệ số là những số nguyên vì là một số nguyên và Thay bởi ta thu đƣợc đẳng thức

Trang 17

Do đó là nghiệm của Theo a) thì là ước của

hay chia hết cho Đặc biệt, thay ta được là ước số của và ta được là ước số của

c Cho

Với ta có

Nếu là đa thức đối xứng thì:

Nghĩa là

Ngược lại, nếu thì cho những hệ số của những bậc tương ứng của bằng nhau trong những đẳng thức trên, ta nhận được kết quả cần chứng minh

Trang 19

Bài toán 2 Xác định đa thức bậc n dạng

hoặc Nếu thì từ (2) với ta thu được

Nếu thì là một nghiệm của nên

với là một đa thức bậc

Thế vào (2) ta thu được

Suy ra

(3) Giải tương tự ta được hoặc với là một

đa thức bậc

Tiếp tục quá trình này sau hữu hạn bước ta thu được nghiệm của bài toán

là và

Thử lại ta thấy các nghiệm và thỏa mãn yêu cầu

bài toán đưa ra

Trang 22

Bài toán 5 Hãy lập đa thức bậc ba mà những nghiệm của nó là m, n, p

thỏa mãn các điều kiện sau:

iải:

Ta gọi đa thức bậc ba cần tìm là

Theo công thức Vi-ét ta có:

(*)

Biến đổi giả thiết, kết hợp với (*) ta được:

Giải hệ phương trình trên ta được :

Vậy đa thức bậc 3 cần tìm là

Trang 23

:

2) Tìm giá trị để đa thức: có nghiệm sao cho:

4) Tìm sao cho đa thức có dạng

chia hết cho đa thức

6)

7) Xác định đa thức biết rằng với mọi thì

8) ức bậc n thỏa mãn điều kiện sau

9) ức bậc n thỏa mãn điều kiện sau

10) Cho Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn

Trang 24

II SỰ CHIA HẾT CỦA CÁC ĐA THỨC

luôn chia hết cho đa thức

:

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với thì rõ ràng chia hết cho

Giả sử bài toán đúng với tức là với là một đa thức xác định

Vì nên ta có

Giả sử

Khi đó

Trang 25

trong đó

Rõ ràng chia hết cho

Do đó chia hết cho với mọi

Ta có và nên Mặt khác ta có

Nên và

Do nên suy ra và

Tương tự ta cũng có

Nên và

Từ đây suy ra:

Trang 27

Bài toán 4 Xác định các số thực p , q sao cho đa thức chia hết

:

Rõ ràng thương của phép chia cho đa thức là một

đa thức bậc hai có dạng Vì đây là phép chia hết nên

Vì vậy ta phải có

Từ (1) suy ra , thay vào (3) thì được :

, Tức là hoặc , hoặc – Nếu thì từ (2) suy ra

– , và (4) trở thành , điều này vô lý Nên do đó Thay vào (4) thì được hoặc –

Mặt khác, từ (2) suy ra nên

Từ đây ta có và , hay suy ra

Thử lại, ta thấy rằng , bởi vì :

4) Chứng minh rằng

chia hết cho

Trang 30

III CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

Bài toán 1 Cho là một đa thức với hệ số nguyên và m là số nguyên

nguyên

:

Giả sử phương trình có một nghiệm nguyên là

Khi đó theo định lý Bezout, với là đa thức với

hệ số nguyên Ta có:

Vì là số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho Vì vậy trong số phải có ít nhất

1 số chia hết cho Điều này trái với giả thiết

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Bài toán 2 Cho là đa thức với hệ số nguyên Chứng minh rằng nếu

Trang 31

:

Giả sử là một nghiệm nguyên của phương trình Khi đó thì

Gọi là 4 nghiệm của phương trình Theo định

lý Bezout, ta có

Suy ra

trong đó là 4 số nguyên phân biệt

Nhưng không thể phân tích được là tích của 4 số nguyên khác nhau Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

,

:

Giả sử đa thức có nghiệm nguyên Theo định lý Bezout, ta có

(1) với là đa thức với hệ số nguyên

Từ (1) và giả thiết ta suy ra

Trang 32

(2)

Do và là nguyên không âm, nên từ (2) ta được

(3) Tương tự đối với

; (4)

Từ (3) và (4) suy ra các số trên thuộc tập hợp nên có ít nhất 2 số trong chúng bằng nhau

Suy ra ( trái giả thiết) Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Giả sử đa thức có nghiệm hữu tỉ với

Vế trái của (1) là một tổng của số nguyên lẻ, do đó tổng ấy

không thể bằng 0 Suy ra điều phải chứng minh

(mâu thuẫn giả thiết )

Suy ra có một nghiệm nguyên duy nhất là

Nếu phương trình có 1 nghiệm nguyên , lý luận tương

tự suy ra Suy ra mâu thuẫn Suy ra là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình

Tương tự là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình

b Giả sử phương trình có 1 nghiệm nguyên

Trong (1) cho suy ra

Suy ra chỉ có thể lấy các giá trị hay

Nếu thì theo (2)

Suy ra chỉ lấy giá trị hay

Nếu thì mâu thuẫn với (2) và (3)

(4) Xét (2), (3), (4) , nếu và thì

Do đó nghiệm nguyên ( nếu tồn tại) của phương trình được hoàn toàn xác định bởi các số duy nhất

Suy ra không thể có hơn 1 nghiệm nguyên

nghiệm của đa thức

:

Giả sử tồn tại các số như vậy Khi đó theo định lý Vi-ét thì

Ta đƣợc thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 7 Cho đa thức

:

Theo định lý Vi-ét ta có

Vậy nên

Lời giải:

Do nên các nghiệm của đều không dương

và vì nên các nghiệm của đều âm

Trang 38

Gọi các nghiệm của là

Theo định lý Vi-ét thì và vì hệ số cao nhất của

bằng 1 nên

Theo bất đẳng thức Cauchy thì

Bài toán 9 Cho đa thức bậc n với hệ số nguyên Biết nhận giá trị

Theo giải thiết, sử dụng định lý Bezout ta đƣợc

với

Ta thấy có 4 nghiệm khác nhau Giả sử tồn tại để

thì

Trang 39

Ta thấy là 4 số nguyên khác nhau Nhƣ vậy để (*) xảy ra thì phải phân tích đƣợc thành tích của ít nhất 4 số nguyên khác nhau Điều này không thể xảy ra với các số trong tập

Suy ra

Bài toán 10 Giả sử đa thức

có đúng n nghiệm dương Chứng minh rằng tất cả các nghiệm này bằng nhau

Theo định lý Vi-ét ta có:

Vậy

3) Cho số tự nhiên ( , chứng minh rằng phương trình

không có nghiệm hữu tỉ

4)

5)

(I)

Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ đã cho

Vậy hệ (IV) có nghiệm duy nhất

, , (**) trong đó các số đƣợc xác định từ (*)

Trang 46

Áp dụng định lý Vi-ét đảo, ta có là 3 nghiệm của phương trình:

Ta giải được nghiệm duy nhất là: hay

:

1)

(

2) Giải hệ phương trình sau:

3) Giải hệ phương trình sau:

Theo giả thiết

Trang 48

Thay vào ta được

vô nghiệm Vậy không tồn tại thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 2 Cho hàm số:

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và chúng nằm về hai phía đối với

:

Hàm số có cực đại cực tiểu khi phương trình

có hai nghiệm phân biệt Ta tìm được (*) Giả sử các điểm cực trị là

Khi đó là nghiệm của (1) nên theo định lý Vi-ét ta có

Suy ra tọa độ cực trị là ;

Để A, B nằm về khác phía đối với (d) thì :

Từ đó ta tìm được: (thỏa mãn(*))

Trang 49

n vuông góc đến (C)

iải:

Ta gọi M( ; 2) là điểm thuộc đường thẳng

Đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương trình:

Trang 50

Khi đó gọi là hai nghiệm của (3) thì theo định lý Vi-ét ta có:

Gọi là hệ số góc của các tiếp tuyến Vì hai tiếp tuyến vuông góc nên

Thay số vào ta được Thử lại ta thấy giá trị này thỏa mãn

Vậy điểm cần tìm là M(

27

55

; 2)

tuyến tương ứng tại A và B vuông góc

iải :

Để (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt thì phương trình

(1) có hai nghiệm phân biệt

Ta có , khác 0 với mọi

Như vậy với mọi , đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt Gọi , là hai nghiệm của (1), thì , cũng là hoành độ của A và B

Trang 51

Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có hệ số góc là :

Để hai tiếp tuyến vuông góc thì

Theo định lý Vi-ét ta có

Thay vào ta giải được

Bài toán 5 Cho hàm số

Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết:

M(–3;0) và N(–1; –1).

iải:

Đường thẳng MN có phương trình là Suy ra đường thẳng có phương trình

Gọi là 2 nghiệm của (1) Theo định lý Vi-ét ta có

Tọa độ hai điểm A, B là

Gọi I là trung điểm của AB thì

Ta có suy ra

Thay vào (1) ta đƣợc Giải ra ta đƣợc 2 điểm cần tìm là

Trang 53

Bài toán 6 Cho hàm số:

iải:

Phương trình hoành độ giao điểm của và là

cắt tại ba điểm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Gọi , là 2 nghiệm của phương trình (1) Theo định lý Vi-ét ta có

Mặt khác

Do đó

Chứng minh rằng đường thẳng d cùng phương với đường thẳng

luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt M, N Tìm quỹ tích trung điểm I của MN Xác đinh vị trí của I để MN ngắn nhất

2) Tìm để cắt đồ thị

tại 2 điểm A, B phân biệt sao cho

3) Chứng minh đường thẳng – luôn luôn cắt đồ thị (C)

tại hai điểm phân biệt A, B Tìm để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

Trang 55

4) Cho hàm số

ỏa mãn 5) Cho

Trang 56

VI CÁC DẠNG TOÁN KHÁC

Theo giả thiết ta có

Suy ra là 3 số nguyên liên tiếp

Ta có , nên vẫn từ (1) suy ra

(3)

Ta có mà và nguyên nên