Loại 1: Phương pháp mũ hóa và phương pháp ñưa về cùng cơ số Một số chú ý khi giải phương trình chứa biểu thức lograrit:. • Tìm ñiều kiện của phương trình;[r]
Trang 1CHUYÊN ðỀ: PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT CHỦ ðỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
A PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
I Lý thuyết
1 Hàm số mũ:
1.1 Dạng: x ( 0, 1)
1.2 Một số tính chất:
• Tập xác ñịnh: ℝ
• Tập giá trị: ℝ+, tức x 0,
a > ∀ ∈ ℝ x
• Hàm số ñồng biến nếu a>1, nghịch biến nếu 0 < < a 1
2 Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
a n a m =a n+m;
n
n m m
a a a
−
= ; ( 1
n
−m
; a0=1; a−1=1
a);
(a n)m =a nm ; (ab) n =a n b n;
m
=
m
m n n
II Các dạng bài tập
Loại 1: Phương pháp ñưa về cùng cơ số và phương pháp logarit hóa
• Dạng:
( )
( )
( ) 0
f x
f x
b
α
=
>
( hoặc f x ( ) = logab) ( ñưa về cùng cơ số)
a = b ⇔ a = b ⇔ g x = f x a ( Logrit hóa ñưa phương trình mũ về phương trình ñại số)
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
2
8x− x + = 4x + +x
c)
32 0, 25.128
e) 2 4 2
g) 2 1
3 5 7x− x− x = 245
Loại 2: Phương pháp ñặt ẩn phụ
Bài: (CðNL 06) 4 2
3 x− 4.3x + = 3 0
Bài: (TK-06) 2 1 2 2
9x + −x − 10.3x + −x + = 1 0
Bài: (KD-03) 2 2 2
2x −x − 2 + −x x = 3
Bài: (Cð KTKTCN II-06) 22 2 2
4 x − 2.4x +x + 4 x = 0
Bài: (Cð KTKT ðdu-06) 3 1
125x+ 50x = 2x+
Bài (DB-KD-07) 3 1 2
2 x+ − 7.2 x+ 7.2x − = 2 0
Bài: (CðSP QNgãi-06) 8x + 18x = 2.27x
Trang 2Bài (CðSP TrVinh-06) 2 cos2 cos 1 2 cos2 cos 1 2 cos2 cos 1
6.9 x− x+ − 13.6 x− x+ + 6.4 x− x+ = 0
Bài :(KA-06) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0
Bài : (KB-07) ( 2 1) − x + ( 2 1) + x− 2 2 = 0
Bài (KD-06): 2 2 2
2x +x − 4.2x −x− 2 x+ = 4 0
Bài: ( 6 - 35 ) ( 6 35 ) 12
Bài ( 2 3 ) ( 7 4 3 )( 2 3 ) ( 4 2 3 )
Bài: ( 7 4 3 ) ( 3 2 3 ) 2 0
(3 + 5)x + 16(3 − 5)x = 2x+
Loại 3: Phương pháp ñặt thừa số chung ñưa về phương trình tích
Bài: 1
2x+ + 3x = 6x+ 2
Bài: 2 3 3 1 ( 1)2
2x − x+ + 2x− = + 2 2x−
Bài (KD-2010) 2 2 3 2 2 3 4 4
4 x+ x+ + 2x = 4 + x+ + 2x+ x−
.3x 27 3x 9.
2x+ + 3.2 x = + 6 2 x
Bài: 22 5 2 42 8 3 62 13 5
2 x − x+ + 2 x −x+ = + 1 2x − x+
Loại 4: Một số phương pháp ñặc biệt giải phương trình siêu việt
Thường sử dụng hai phương pháp ñặc biệt sau:
1 Phương pháp chiều biến thiên hàm số: giải phương trình ta biến ñổi phương trình về dạng:
• Kiểu 1: f x = ( ) 0, trong ñó f(x) là hàm số ñơn ñiệu ( ñồng biến hoặc nghịch biến) và
0
• Kiểu 2: f x ( ) = f y ( ), hàm số f ñơn ñiệu thế thì ta phải có x = y
( )
( )
≥
Bài: 1 ( 8) + x = 3x
Bài: 3x 4 0
x
+ − =
Bài: 9x = 5x + 4x + 2( 20)x
Bài: (2 − 3)x+ (2 + 3)x = 4x
Bài: 3x+ 4x+ 5x+ 14 = 8x
2 x− + 3 x+ 5 x+ = 2x + 3x+ + 5x+ f x ( ) = f (2 x − 1)
2x x 2x ( 1)
x
Bài : 3 2
Trang 3Bài : 1
x
+ − = −
Bài (TK-04) 3x 2x 3 2
x
Bài: (TK-06) 1
4x 2x 2(2x 1).sin(2x 1) 2 0
y
+
B BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I Lý thuyết cơ bản
1 Nếu a>1: D là tập xác ñịnh của phương trình
( ) ( )
f x g x
>
>
⇔
2 Nếu 0<a<1:
( ) ( )
f x g x
<
>
⇔
Nhận xét: Khi hệ số a chứa tham số cần biện luận thì:
a f(x) >a g(x) ⇔
( ) ( ) ( )
0
a
>
; a f(x) ≥a g(x)
⇔
( ) ( ) ( )
0
a
>
II Các dạng bài tập cơ bản
Loại 1: Phương pháp ñưa về cùng cơ số và phương pháp logarit hóa
2x+ 2x+ < 3x+ 3x−
Bài:
32 0, 25.128
− > −
Bài:
1
4
−
Bài:
1
x
−
2
1
2 2
x
x x
−
− ≤
Bài : 2 10 3 2 5 1 3 2
5 x− − x− − 4.5x− < 5+ x−
Bài: 49.2x2 > 16.7x
Bài: 2 3 7 3 1
6 x+ < 2 3x+ x−
Bài: 1 2
2 3 5x x− x− > 12
Loại 2: Phương pháp ñặt ẩn phụ
Bài: (Cð KTTC-05) 1 2 1 2
5+x − 5−x ≥ 24
Bài: (Cð BK-06) 25x + 15x ≥ 2.9x
Bài: (TK-05)
2 2
2
3
x x
x x
−
− − ≤
Bài: (Cð AB-05) 2 4 2 2
3 x+ + 45.6x − 9.2 x+ ≤ 0
Trang 4Bài: (CðGT 04) 1 1
8 2 + +x− 4x + 2+x > 5
15.2x+ + ≥ 1 2x − + 1 2x+
Bài: (DB KB-08) 2 1 2 1
3 x+ − 2 x+ − 5.6x ≤ 0
Bài: (DB KD-08) 22 4 2 2 2 1
2 x − x− − 16 x x− − − ≤ 2 0
Bài: 2 2 1 2 2 1 2 2
25 x x− + + 9 x x− + ≥ 34.15 x x−
Bài: (Dược 99)
1
0
x
− − + ≤
−
Bài:
2 1
x
Bài: (5 + 21)x + (5 − 21)x ≤ 5.2x
Bài: 2 3 6 3 5
2 x+ − −x + 15.2 x+ − < 2x
Bài: 9x− 3x + > 2 3x− 9
Loại 3: Phương pháp ñặt thừa số chung ñưa bất phương trình về dạng tích
Bài: 2 1 1
5 x+ + 6x+ > 30 5 30 + x x
6x+ 2x+ ≤ 4.3x + 2 x
2x + x− − + ≤ 2 2x + 2 x−
Loại 4: Phương pháp hàm số
Bài: 4 2 4
3 x+ + 2 x+ > 13
Bài: 8.3x 3 8
x
Bài: 2x+ 4.3x ≥ − 6 5x
Bài:
1
0
x
x
x
− − + ≤
−
Bài:
2
0
x
x
x
− − + ≥
−
Bài: (TK-04)
1
4 2
x
x x
− + − >
−
Bài: 2 ( 1) 1 2
− + − ≤ − +
CHỦ ðỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I Lý thuyết cơ bản:
1 Hàm số logarit: y = logax ( a > 0, a ≠ 1)
2 Tính chất:
• Tập xác ñịnh: D = (0; +∞ )
• Tập giá trị : ℝ
• Hàm số ñồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu 0 < < a 1
3 Các công thức biến ñổi : log a b=c⇔a c =b (0<a≠1; b>0)
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x1, x2>0; α∈R ta có:
Trang 5loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga 1
2
x
x = logax1−logax2; loga x
1
aα x = x
α ;(logaa
x
=x); logax=log
log
b b
x
a ;(logab=
1 logba)
II Các dạng toán cơ bản:
Loại 1: Phương pháp mũ hóa và phương pháp ñưa về cùng cơ số
Một số chú ý khi giải phương trình chứa biểu thức lograrit:
• Tìm ñiều kiện của phương trình;
• Sử dụng các phép biến ñổi logarit ñưa phương trình về dạng ñơn giản hơn sau ñó sử dụng
các phương pháp giải phù hợp
Phương trình cơ bản
• loga f(x)=g(x)⇔
g x
a
< ≠
• loga f(x)= log a g(x)⇔ ( ) ( )
a
< ≠
=
Bài : log (9 2 )2 x 3
x
Bài: 4{ 3[ 2 2 ] }
1 log 2 log 1 log (1 3log
2
x
Bài: 2
lg(2 x + 21 x + 9) = lg(2 x + + 1) 1
2
log (4x 1) log (2x 6)
Bài: log (4.32 x − 6) log (9 − 2 x − 6) = 1
( 1) log 3 log (3x 3) log (11.3x 9)
Bài: lg(6.5x 25.20 )x lg 25
x
Bài: lg(4 - 5 )x lg 2 lg 3
2
2 log x + − 1 log (3 − x ) log ( − x − 1) = 0
Bài: (CðSP HD-06) log (9 x + 8) log ( − 3 x + 26) + = 2 0
log ( x − + 1) log ( x + − 1) log (7 − x ) = 1
Bài: (KD-07) log (42 15.2 27) 2.log2 1 0
x
−
Bài: (KA-08) 2
log ( x + − 1) 6 log x + + = 1 2 0
Bài: (KD-2011) 2
2 log (8 − x ) log ( 1 + + + x 1 − x ) 2 − = 0 ( x ∈ ℝ )
Loại 2: Phương pháp sử dụng công thức ñổi cơ số
Trang 6Bài : log2x + log3x = 1
Bài: log3x + log4x = log5x
Bài: logx 2.log (2 x + 6) = 1
log x+ (4 x + 12 x + 9) + log x+ (6 x + 23 x + 21) = 4
Loại 3: Phương pháp ñặt ẩn phụ
Bài: 2
log x + log x + = 1 1
2
log (2 x ) + log 2 1x =
5
log x log x 1
3 log (9x x ).log x = 12
log x− (2 x + − + x 1) logx+ (2 x − 1) = 4
Bài : (KD-07) log (42 15.2 27) 2.log2 1 0
x
−
Bài :
a) log (42 x+1+ 4).log (42 x + = 1) 3
2
2
3 27
Bài (TK-03) log (55 x 4) 1
x
log (3x − 1).log (3x+ − 3) = 6
Bài: log 2 log 3 2
x
Bài: log2 log 3
x
lg ( x + + 1) ( x − 5) lg( x + − 1) 5 x = 0
Loại 4: Phương pháp ñưa về phương trình mũ ñơn ñiệu
Bài : log (12 + x ) = log3x
Bài: log (2 x − = 1) log5x
Bài: log ( 3 1)
x
+ =
Bài: log ( 5 3)
2 x+ = x
Bài: log 6
log ( 3 x) log
Bài: 2 log 2 log 5 2
3 x
Bài: 4
2 5
log ( x − 2 x − 2) = 2 log ( x − 2 x − 3)
Bài: log (3 x + 2) = log (2 x + 1)
log (1 + x ) = log x
Trang 7Bài: 2 2
2 3
8 4 3
log ( x 8 x 7) log + ( x 8 x 8)
Loại 5: Phương pháp hàm số
Bài: log2 2x 2 2
Bài : 2
log ( x − 4) + = x log 8.( x + 2)
Bài: 2
log x + (5 − x ) log x − 2 x + = 6 0
Bài: 2
log x + ( x − 4) log x − + = x 3 0
log ( x + + − x 1) log x = 2 x − x
Bài: 1
2
1
x
Bài:
2
2
3 2
3
B BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A Lý thuyết cơ bản
1 Nếu a>1: D là tập xác ñịnh của phương trình
loga f x ( ) logag x ( ) f x ( ) g x ( ) 0
⇔
2 Nếu 0<a<1:
loga f x ( ) logag x ( ) 0 f x ( ) g x ( )
⇔
B Các dạng bài tập cơ bản
Loại 1: Sử dụng các phép biến ñổi ñưa về dạng BPT cơ bản hoặc ñưa về cùng cơ số
Bài: 2
log ( x − 16) ≥ log (4x 11) −
Bài:
2
2
1
x
+
( 1) lg 2 lg(2x 1) lg(7.2x 12)
log (4x+ 144) − 4 log 2 1 log (2 < + x− + 1)
Bài : (Cð AB-08)
2 0,7 6
4
x
+
Bài : (KA-07) 3 1
3
2 log (4 x − + 3) log (2 x + 3) ≤ 2
log x + 2 log ( x − + 1) log 6 ≤ 0
Bài: (KD-08)
2 1 2
x
3
2 log (4 x − + 3) log (2 x + 3) ≤ 2
Trang 8Bài: (Cð KB-08)
2 0,7 6
4
x
+
DB KB-08 2 1 2 1
3 x+ − 2 x+ − 5.6x ≤ 0
Loại 2: ðặt ẩn phụ ñưa BPT siêu việt về BPT ñại số trung gian
Bài: 2
4 log (2 − x ) 8log (2 − − x ) ≥ 5
Bài: 2
5 2 log (5 2) 2 logx 2 3 0
x
+
2 log (2x − 1).log (2x+ − 2) > − 2
Bài : 2 2 1 2 2 1 2 2
25 x x− + + 9.2 x x− + ≥ 34.15 x x−
log (4x + 4) ≥ log (2 x+ − 3.2 )x
Bài (TK-04) 2 2
log log
2 x x ≥ 2 x
2
3 log x + log x − > 2 0
log (2x − 1).log (2x+ − 2) > 2
Bài: log (19 2 ).log4 219 2 1
8
x
log (3 x − 4 x + 2) 1 + > log (3 x − 4 x + 2)
Bài: 2
log x − 4log x + ≥ 9 2 log x − 3
DB KD-08 2 2 4 2 2 2 1
2 x − x− − 16 x x− − − ≤ 2 0
Loại 3: Sử dụng ñiều kiện có nghĩa của BPT ñể ñơn giản hóa phép giải
Bài 1: (KB-02) log (log (93 x 72)) 1
5 x + 6 x + x − x log x > ( x − x ) log x + 5 6 + − x x
Loại 4: Phương pháp hàm ñơm ñiệu
Bài: log2 2x 2 2
Bài: log2 x + + 1 log3 x + > 9 1
Bài: log (22 x+ + 1) log (43 x + 2) ≤ 2
Bài: log7x < log (23 + x )
Bài: log (15 + x ) > log16x
log (1 + x − 5 x + 2) log ( + x − 5 x + 7) ≤ 2
Bài:
2
2 3
12
7
x
− −
−
Bài: 2
Trang 9CHỦ ðỀ 3: MỘT SỐ HỆ MŨ VÀ LOGARIT
Phương pháp:
• Biến ñổi rút gọn hệ
• Sử dụng các phép thế, ñặt ẩn phụ ñưa hệ chứa mũ, logarít về hệ ñại số
Bài : (KD-02)
1
x
x
y
+
=
Bài : (KA-09) 2 2
2 2
3x xy y 81
− +
=
Bài : (KB-05)
Bài : (KA-04) 14 4
2 2
1
25
y
+ =
Bài :
Bài : log log
Bài: (ðH HV-06) 6 2.3 2
6 3 12
x y
=
Bài: (KD -02)
1
x
x
y
+
=
Bài: (TK-05)
1
2x y 2x
Bài: (TK-03) log log
Bài: (ðHCð KD 06) CMR với mọi a>0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
ln(1 ) ln(1 )
x y
− =
Bài: (KA-04) 14 4
2 2
1
25
y
+ =
Trang 10Bài: (KB-05)
Bài: (CðSP-KA-04)
2 2 2
Bài: (TK-02)
Bài: (TK-02)
x
y
Bài: (TK-06)
ln(1 ) ln(1 )
Bài: (KA-09) 2 2
2 2
3x xy y 81
− +
=
Bài: (Cð SP HCM 05)
2 2
Bài: (KD-2010)
2
Bài: (KB-2010) 2
2
log (3 1)
4x 2y 3
y
− =
CHỦ ðỀ 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN MŨ VÀ LOGARIT CHỨA THAM SỐ
Bài : (KA-02) Cho phương trình: 2 2
log x + log x + − 1 2 m − = 1 0 a) Giải phương trình khi m=2
b) Tìm m ñể phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 1;3 3
ðS: b) 0 ≤ m ≤ 2
Bài: (KD-06) CMR với mọi a>0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
ln(1 ) ln(1 )
x y
− =
Bài: (TK-05) Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm
2
x
+ + + +
Bài: (CðTDTT ðNẵng) Cho BPT 2
a + a − + + − > a
a) Giải BPT khi a=5/6
b) Tìm a ñể BPT nghiệm ñúng với mọi x
Bài (TK-03) Tìm m ñể phương trình: 2
2
4 log x − log x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0;1)
Bài: (NN 00) Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:
Bài: ( Cần Thơ 98) Cho phương trình 1
Trang 11a) Giải phương trình với m=2
b) Tìm m ựể phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 sao cho x1+ x2 = 3
Bài: (NT KA 98) Với giá trị nào của m thì phương trình
2 4 3
4 2 1
1 5
x x
− +
phân biệt
Bài: (NT KA 01) Tìm m ựể phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 2 2 4 2 2
+ + − + ++ + = + +
Bài: (Cần Thơ KD97) Cho phương trình .16x 2.81x 5.36x
a) Giải phương trình với m=3
b) Tìm m ựể phương trình có nghiệm duy nhất
Bài: (đà Lạt 99B) Cho phương trình ( 5 1)x ( 5 1)x 2x
a
a) Giải phương trình với 1
2
a =
b) Tìm a ựể phương trình có ựúng một nghiệm
Bài: (TK 02) Tìm a ựể phương trình sau có nghiệm: 1 1 2 1 1 2
+ − − + + − + + =
Bài: Tìm m ựể bất phương trình sau có nghiệm: x x + x + 12 ≤ m log (22 + 4 − x ) ( m ≥ 3)
Bài: Tìm m ựể bất phương trình
2 2 2 2
log
x m
− nghiệm ựúng với ∀ > x 0
BÀI TẬP TỰ GIẢI
2 log 2x + 2log 4x = log x8 đS: x=2
log (3x− 1).log (3x+ − 3) = 6 đS: log 10,3 log328
27
2
2
log x + − 1 log (3 − x ) log ( − x − 1) = 0 đS: 1 17
2
Bài 4: 2 1 2 2
9x + −x − 10.3x + −x + = 1 0 đS: x=0; x=1; x=-1; x=-2 Bài 5: 6 2.3 12
6 3 12
x y
=
đS: x=1, y = log 23
Bài 6:
2 2 2
đS: x=y=4
Bài 7:
đS: (1;1), (9;3)
2
log x + log x − > 2 0 đS: 1/16<x<1/2
3 x+ + 45.6x− 9.2x+ ≤ 0 đS: x ≤ − 2
x + − x > + x − x + x + − x đS: − ≤ ≤ 1 x 2
Bài (TK-03) Cho hàm số f x ( ) = x log 2x ( x > 0, x ≠ 1)
Tắnh fỖ(x) và giải BPT: f x ≤ '( ) 0
2
Trang 12Bài: (DB KB-07) 3 9
3
4
1 log
x
x
x
−
Bài: (DB KB-07) 2
log ( x − 1) + log (2 x − = 1) 2
2 1
log x 4 2
+
(log 8 logx + x ) log 2 x ≥ 0
(DB KA 08)
3
(DB KA-08) 1 2
3
1
x x
+
≥ +
(DB KD 07) log22 1 1 2
x
x
x x
Bài: (CðKT KT 05) Tìm TXð của HS: 2
5
log x + 4 log x ≤ 2(4 log − x )
Bài: (Cð YT I) 1 log (9 + 2 x− 6) = log (4.32 x − 6)
2 4 logπ log ( x + 2 x − x ) < 0