Bài tập tổng hợp Toán 11 có đáp án (Phần 3)

Ta thấy các giá trị A k là phân biệt... Hướng dẫn giải.[r]

Trang 1

BÀI TẬP TOÁN 11 Câu 1. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn A B C 2



  

Tính các góc của tam giác đó khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất P2cos 4C4 cos 2Ccos 2Acos 2B

Hướng dẫn giải

Ta có

1

0 cos

A B C     C    C

cos 2Acos 2B2cos A B cos A B 2cocCcos A B 2cosC

(3)

( Do cosC 0 và cosA B  1)

Dấu bằng trong (3) xảy ra khi A B hoặc C 2





Từ đó P4 2 cos 2C12 2 cos 2C121 2cosC

8cos C 2 cos C 1 2 cosC

16cos C 8cos C  1 1 2 cosC 4 4cos C1  1 2cos C  44

(4)

Dấu bằng trong (4) xảy ra khi C 3





Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi A B C 3



  

Câu 2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a2b2c2 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:

b c a c a b A

b c a c a b

b c a c a b A

b c a c a b

a bc b ac c ab

Đặt

a bc b ac c ab B

   , khi đóA 3 2B

Ta có đẳng thức sau:

( a  bc b c )(  ) (  b  ac a c )(  ) (  c  ab a b )(  ) 0  (*)

a bc b c b ac a c c ab a b B

a b c b a c c a b

Không mất tính tổng quát ta giả sử: a b c   Ta có:

Trang 2

2 2 2

a bc b c b ac a c c ab a b

a b c b a c c a b

Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều và đẳng thức (*) ta có

0

B   A  3

Kết Luận : Min A 3 khi a b c  

1

3 .

Câu 3. Chứng minh rằng với bất kỳ số các số thực dương a b c, , , ta có

     

a b c  abc  a b c

Đặt f a b c , ,  a2b2c2abc 2 a b c ab bc ca    

.Ta phải chứng minh tất cả các giá trị của f đều không âm

Nếu a b c , , 3 hiển nhiên

Ta có thể giả sử rằng a 3 và đặt 2

b c

m 

Khi đó:

2

3

4

a b c

Ta phải chứng minh: f a m m  , ,  0

, điều này chính là

a1m2 2a1m a 2 a 1 0

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng, vì biệt thức

   2

Câu 4. Cho a b c, , các số thực dương thay đổi thỏa mãn a2b2c2 6, tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

2 5

P

bc ca ab

Câu 5. Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy yz zx  1 Chứng minh rằng :

1 1 1 21

2

Câu 6. Cho đa thức f x  a sinx a sin x1  2 2 a sin nx n   với a i

, n N *, biết

f x sin nx

,  x  Chứng minh rằng | a1 + 2a2 +…+ nan | ≤ n

+) f x’  a cosx1 2a cos x2 2 na cos nx n  , f’ 0  a12a2na n (1)

+) Do f’ 0   lim0 lim0

(0) 0

f(x)- f f(x)

Vì f’ 0 

=|xlim0

f(x) x

| f(x)|

| x |



lim 0

sin( )

x

n

| x |





,  2

Trang 3

+) Từ    1 , 2

được điều phải chứng minh

Câu 7. Cho 0a1a2  a n 2n là các số nguyên thỏa mãn bội số chung nhỏ nhất của hai số

bất kì trong chúng đều lớn hơn 2n Chứng minh rằng 1

2 3

n

a   

  ( x

là kí hiệu phần nguyên của số thực x)

Cho 0a1a2  a n 2n là các số nguyên thỏa mãn bội số chung nhỏ nhất của hai số

bất kì trong chúng đều lớn hơn Chứng minh rằng 1

2 3

n

a   

 

( x

là kí hiệu phần nguyên của số thực x )

Rõ ràng, trong các số trên không tồn tại cặp số nào mà số này chia hết cho số kia (vì nếu trái lại thì bội chung nhỏ nhất của chúng nhỏ hơn hoặc bằng ) Ta viết a k 2t k A k với A k là số

lẻ Ta thấy các giá trị A k là phân biệt Thật vậy, nếu tồn tại A i A j A

thì

lcm , 2t i 2

a a  A a  n

hoặc lcm ,  2t j 2

a a  A a  n

mâu thuẫn với giả thiết Mặt khác từ 1 đến ta có n số lẻ phân biệt Do đó các giá trị A k là các số lẻ từ 1 đến

theo một thứ tự nào đó

Xét 1 2t1 1

a  A

Nếu 1

2 3

n

a  

  thì 3a12 3t1 A12n 3A12n Do đó 3A1 là một số lẻ nhỏ hơn , tức là 1

3A A j

nào đó

Như vậy 2 3t j 1

j

a  A Khi đó   1

lcm , 2 3t 3 2

j

a a  A  a  n

mâu thuẫn với giả thiết hoặc

lcm , 2 3t j 2

a a  A a  n

, mâu thuẫn với điều giả sử

Vậy điều giả sử là sai, tức là ta có 1

2 3

n

a   

 

Câu 8. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Câu 9. Chứng minh rằng:  , ,x y z 

  thì: x2y2z2  2(xy xz ).

Câu 10. Cho x y z, , R Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 1

Câu 11. Cho a b c , , 0 và a b c  6 Chứng minh rằng: 3 3 3

2

b   c   a   .

Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

P



    trong đó a là tham số

thực và

5

4

a

  

Trang 4

Câu 13. Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

3

3 3a 3 3 3b 3 3 3c 3 2 4

b c  c a  a b 

Câu 14. Cho a b c, , là ba số dương và thoả mãn a b c  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 15. Cho a b c, , là ba số dương Chứng minh rằng:

Câu 16. Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn

1 2 3 (3 + 2 + c)( + + ) = 2014a b

của biểu thức: P =

a



.

Đặt b ax c ay x y ,  , , 0

Giả thiết 3 2x y(1 2 3)

2014

 2004 

y

      

≥

3

2 2

y



18

 

3 3972

x x y



3972y

x

y +3



Có P  x2y1002 72y2 ≤

3972y

y +3 +2y1002 72y2 = f y 

Xét hàm số f y 

vớiy 0, ta có f y’ 

=

11816 1002

2

y

y +   y

và

 

’’

=

11816.3 1002.72 (y +3) 72 y

 < 0 , y 0  f y’ 

đồng biến trên (0;)

Ta có f’ 3  0

Lập bảng biến thiên suy ra GTLN củaPf 3 7026

Câu 17. Chứng minh rằng:

3 3

( )( )( ) 2

  

Câu 18. Cho 3 số dương a b c, , thay đổi Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

Câu 19. Cho a b c , , 0 và abc 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Câu 20. Cho x  y z 0 và không có hai số nào đồng thời bằng0 Tìm giá trị nhỏ nhất của

P

Trang 5

Ta có

P

Xét hàm

1 ( ) ; 1

t

, dễ thấy f t  đồng biến trên 1;  .

Do x  y z y0 và dễ có được



 

Suy ra

P

 ,  1

Đặt

( 1)

x

y

, ta được 4

1

t

P t

t t

  



1

t

t t

 , ta có

2

Với t 1 thì dễ thấy ngay g t '( ) 0, suy ra hàm g(t) đồng biến trên 1; 

Suy ra

Đẳng thức xảy ra khi xy z; 0 Vậy

1 min 2

2

P  

Câu 21. Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn

1 1 1

a b c

a b c     Chứng minh rằng

16

2a b c   a2b c  a b 2c 

Ta có  2  2    

(1)

4

2a b c   a b a c    a b a c 

 

2 4

a b c  b a b c     

(3)

4

a b  c  c a c b     

Cộng      1 , 2 , 3

theo vế ta có

     

2

a b c VT

a b b c c a

 



Ta cần chứng minh      

3

a b c VT

a b b c c a

 

Trang 6

Trước hết ta chứng minh hai bất đẳng thức sau:

+ Mọi số dươnga b c, , : 9a b b c c a        8a b c ab bc ca      

Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với

6

a b ab a c ac b c bc  abc (Đúng)

+ Mọi số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện trên ta luôn có: ab bc ca  3

Từ giả thiết:

1 1 1

a b c ab bc ca abc a b c

a b c          

Và từ bất đẳng thức quen thuộc

2

3 3

ab bc ca

a b c VT

 

Dấu đẳng thức xảy ra khia b c  1

Câu 22. Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn ac 12 và bc 8. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể

được của biểu thức

2

D a b c

ab bc ca abc

        

Câu 23. Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn ac 12 và bc 8. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể

được của biểu thức

2

D a b c

ab bc ca abc

        

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

3

3 · · 3,

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

6

3 2

a b

ab

 

, (1)

3

3 · · 3,

8

2 4

b c

bc

 

, (2)

3

3 · · 3,

12

4 3

c a

ca

 

, (3)

4

4 · · · 4,

24

3 2 4

a b c

abc

  

, (4)

(1) 4 (2) 7 (3) (4)      3a b c 6 32 84 24 40

ab bc ca abc

hay

26 78

bc ca

Mặt khác, từ giả thiết suy ra

1 1 12

ca  và

1 1 8

bc Do đó

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a3,b2, c4.

Trang 7

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức D bằng

121 ,

12 đạt được khi a3,b2, c4.

Câu 24. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn:x y z  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Câu 25. Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a2b2 c2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Hướng dẫn giải Câu 26. Chứng minh bất đẳng thức sau:

Hướng dẫn giải Câu 27. Chứng minh:

3 1001 1002   2000 4

Hướng dẫn giải Câu 28. Cho a,b,c là ba số dương vàa b c  3 Chứng minh rằng:

33a5b33b5c3 3c5a 6.

3 5 (3 5 )8.8

a b

a b a b    

Tương tự rồi cộng vế theo vế ta được điều cần chứng minh

Câu 29. Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn x y z  1 Chứng minh rằng

1 4 9

36

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	0,98 MB