Số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh đều khác nhau.. a) Ta xét hai trường hợp.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
GIA LAI Năm học 2011 – 2012
- MÔN: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Cho
2
x
Tính giá trị của biểu thức Ax4 x3 x22x12012 b) Chứng minh biểu thức P n n 3( 2 7)2 36n chia hết cho 7 với mọi số nguyên n.
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình y = x + 1
Tìm trên đường thẳng các điểm M (x; y) thỏa mãn đẳng thức y2 3y x2x0
b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b
Tìm a, b để d đi qua điểm B(1;2) và tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình: y = 2x 2
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình
1
x y
b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình 2012x2 (20a11)x 2012 0 (a là số thực)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2 1 2
1 2
1 2
2
2
Câu 4 (4,0 điểm)
a) Cho các số thực a b c, , sao cho 1a b c, , 2 Chứng minh rằng:
1 1 1
10
a b c
a b c
b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có 7 học sinh tham gia trò chơi ném bóng vào rổ
7 học sinh này đã ném được tất cả 100 quả bóng vào rổ Số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh đều khác nhau Chứng minh rằng có 3 học sinh ném được tổng số quả bóng vào rổ không ít hơn 50 quả
Câu 5 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM
(H, M thuộc BC) Đường tròn tâm H bán kính HA, cắt đường thẳng AB và đường thẳng
AC lần lượt tại D và E (D và E khác điểm A)
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng và MA vuông góc với DE
b) Chứng minh 4 điểm B, E, C, D cùng thuộc một đường tròn Gọi O là tâm của đường tròn
đi qua 4 điểm B, E, C, D Tứ giác AMOH là hình gì?
c) Đặt ACBˆ ;AMBˆ Chứng minh rằng: sincos2 1 sin
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD Phòng thi
Trang 2Đáp án.
Câu 1 a) Rút gọn x 2 0,5đ
Thay x 2 vào biểu thức A ta được A = 1 0,5đ b) 3 2 3 3
3 2 ( 2 ) 6( 1) 3 6( 1)
……… 0,5đ
= (n 3)(n 2)(n1) (n n1)(n2)(n3)……… … 0,5đ
Ta có: P là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7 ……… ………0,5đ
Câu 2 a) Điều kiện x > 0 Tọa độ M(x; y) là nghiệm của hệ phương trình:
2
1
y x
……… 0,25đ
Giải hệ ta được x =1; y =2……… 1,0đ Vậy M(1;2) ………0,25đ
b) Vì đường thẳng d đi qua B(1;2) nên b = 2- a ……… 0,25đ Khi đó, phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + 2 – a
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:
2
(d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép
Với a = 4 suy ra b = -2……… ………0,25đ Vậy a = 4; b= -2 thỏa yêu cầu bài toán………0,25đ
Câu 3 a) Ta xét hai trường hợp.
TH1: y 0 ta có hệ phương trình:
(thỏa mãn điều kiện)……… 0,5đ
TH2: y 0 ta có hệ phương trình:
7
3
x
x y
y
(thỏa mãn điều kiện)……… …0,5đ
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (-3;4);
3 3
……… 0,5đ
b) Ta có ac < 0 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu………0,25đ
Trang 3Ta có 1 2 1 2
2012
a
……….0,25đ
2
2 1 2
3
2
1 22 1 22
=
2
1 2
6 x x ……… 0,25đ =
2
1 2 1 2
6 x x 4 x x
……… 0,25đ
2
2012
a
(do 1 2 1 2
2012
a
) 0,5đ
24
với mọi a ……… 0,25đ
Vậy GTNN của P = 24 Dấu = xảy ra khi
11 20
a
……….0,25đ
Câu 4
a) a b c 1 1 1a b c 10 a b c b c a b c a a b c 7
0,25đ Không mất tính tổng quát, giả sử a b c Khi đó ta có a b b c ( ) 0
suy ra ab bc b 2ca 0,25đ
Từ đó suy ra 1 ; 1
c b c a b a 0,5đ
a c
c a
a b c b c a
b c a a b c
0,5đ
Ta cần chứng minh 2 5
a c
c a
Tức là chứng minh
(*) 0,25đ Bất đẳng thức (*) luôn đúng vì
1
2
a c
Từ đó suy ra đpcm 0,25đ b) Gọi số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh là a a a1 ; ; ; ; 2 3 a7 được xếp từ nhỏ đến lớn
1 2 3 4 5 6 7 (1)
a a a a a a a 0,5 đ
Xét hai trường hợp:
Trang 4TH1: a 5 16 Suy ra a6 17;a7 18 Do đó ta có a5 a6 a7 51 (2)……… 0,5đ TH2: a 5 15 suy ra a14 14;a3 13;a2 12;a1 11
Ta có a1 a2 a3 a4 50 0,5đ Suy ra a5 a6 a7 50 (3)
Từ (2) và (3) ta có điều phải chứng minh 0,5đ
Câu 5
O D
E
C B
A
a) Do DAE ˆ 900 nên DE là đường kính của đường tròn tâm H, bán kính HA suy ra D, H, E thẳng hàng……… …1,0đ
Ta có MAE MCA HADˆ ˆ ˆ ADEˆ ……… ……… ….….0,5đ
Vì ADE AEDˆ ˆ 900 nên MAE AEDˆ ˆ 900
Suy ra MA vuông góc với DE 0,5đ b) Từ ADE MCAˆ ˆ suy ra tứ giác DBEC nội tiếp đường tròn (O) 0,5đ
Do OM vuông góc với BC và AH vuông góc với BC nên AH // OM……… 0,5đ
Do OH vuông góc với DE và AM vuông góc với DE nên OH //AM……… …………0,5đ Vậy tứ giác AMOH là hình bình hành………0,5đ c) Do AB < AC nên H thuộc đoạn BM 0,5đ
Ta có
1
2
0,25đ Mặt khác AH AC.sin BC.sin os (2) c 0,25đ
Trang 5Từ (1) và (2) suy ra sin 2sin os c 0,5đ Suy ra đpcm 0,5đ
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa của câu đó.