[r]
Trang 1Chứng minh nếu ánh xạ f khả vi Frechet tại x0thì f cũng khả vi Gâteaux tại x 0
Nhưng điều ngược lại không đúng
Chứng minh
Giả sử X,Y là các không gian định chuẩn trên trường và ánh xạ f : X Y khả
vi Frechet tại điểm x0X Khi đó tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : X Y sao cho với mọi h X mà h 0 ta có biểu diễn
f (x h) f (x ) A(h) (x ,h), với
0
h 0
(x ,h)
h
Ta lấy tuỳ ý h1X và t thì t 0lim th1 0
Do đó
(x ,th )
f (x th ) f (x ) A(th ) (x ,th ), h X, t \ 0 ,t 0; lim 0
th
Vì A là ánh xạ tuyến tính nên A(th ) tA(h ).1 1 Suy ra
(x ,th ) (x ,th )
f (x th ) f (x )
chứng tỏ f khả vi Gâteaux tại x0và lúc đó đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Frechet của f tại x0 trùng nhau.
Ngược lại, ánh xạ f khả vi Gâteaux tại x0nhưng chưa chắc nó đã khả vi Frechet tại điểm đó Ta lấy ví dụ sau đây để minh hoạ
Xét ánh xạ f :2 cho bởi công thức
4 4
12 6
0 khi (x, y) (0,0)
khi (x, y) (0,0)
Trang 2Lấy tuỳ ý h (h ,h ) 1 2 2, t\ 0 và xét ánh xạ tuyến tính liên tục 2
: , (x, y) 0
Ta có
1 2
2 4 4
1 2
6 12 6
0 khi (h ,h ) (0,0)
khi (h ,h ) (0,0)
Nên
2
f (th ,th )
f (th ,th ) f (0,0)
tức là f(x, y) khả vi Gâteaux tại x0 (0,0) và đạo hàm Gâteaux có nó tại điểm này chính là 2,
Giả sử f(x, y) khả vi Frechet tại x0 (0,0) tức là tồn tại ánh xạ tuyến tính2, liên tục A :2 sao cho với mọi h (h ,h ) 1 2 2, h 0 ta có biểu diễn
f (h ,h ) f (0,0) A(h) (x ,h), với
0
h 0
(x ,h)
h
Suy ra f (h) f (h ,h )1 2 A(h) (x ,h)0 A h (x ,h)0 c h khi h 0
(c là hằng số nào đó không âm, lưu ý
0
h 0
(x ,h)
h
nên khi h 0 thì 0
(x ,h)
h
bị chặn) Từ đó dẫn tới
f (h)
h bị chặn với mọi h2, h 0 (*)
Bây giờ ta chọn h (2 ,2 n 2n)2 \ (0,0) ,n , thì hiển nhiên h 0
khi n Lúc này +
f (h) 1
h 2 h khi n ( h 0) Điều này mâu thuẫn với (*) Chứng tỏ f không khả vi Frechet tại điểm (0,0)