Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em h[r]
Trang 1A – PHẦN MỞ ĐẦU
I Bối cảnh của đề tài
Qua thực tế giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy: trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán Đại số về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học
Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài
Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một
số học sinh còn rất yếu
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chương I đại số 9 thì người thầy phải nắm được các khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải, từ đó có phương án “Giúp học sinh Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai” giúp các em phát triển tư duy một cách tích cực hơn
II Lí do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Tuy nhiên, nó
là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học
có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên
Trang 2Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách
Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán
Khi giải toán, chắc các bạn đã không ít lần mắc phải những sai lầm đáng tiếc Nhà sư phạm toán nổi tiếng G Polya đã nói : “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” A.A Stoliar còn nhấn mạnh:
“Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh” Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát hiện
ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học sinh (40%) chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích… Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có một sự am hiểu vững trắc về lượng kiến thức căn bậc hai tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này
Vì vậy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng như định hướng để giải quyết một số bài toán theo hướng tư duy và suy luận lôgic
III Phạm vi và đối tượng của đề tài
Trang 3Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số “Nhóm sai lầm” mà học sinh
thường mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chương I - Đại
số 9
Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về căn bậc hai
IV Mục đích của đề tài
Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra… Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp GV toán 9 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ
tư duy lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con người học sinh
Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo
V Những điểm mới cơ bản nhất trong kết quả nghiên cứu
Sau khi áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy tôi thấy:
+ Học sinh vận dụng nhanh kiến thức vào giải toán
+ Học sinh giải các bài toán từ cơ bản mở rộng lên những bài toán nâng cao chính xác và nhanh hơn
+ Tạo điều kiện cho học sinh khả năng tư duy thành thói quen, suy nghĩ, phân tích nội dung và yêu cầu của bài toán một cách cẩn thận, chính xác trước khi giải một bài toán học nói riêng và các bài toán nói chung
+ Tạo nếp suy nghĩ, nếp khai thác chiều sâu, hay mở rộng bài toán
Trang 4+ Tạo nếp tự học, độc lập suy nghĩ trong đại đa số học sinh, đồng thời có
ý thức tham khảo ý kiến, cách làm hay của các em học sinh khác để từ đó rút ra những lời giải hay trong quá trình giải toán
+ Giúp học sinh say mê, hứng thú trong quá trình học tập bộ môn toán hơn nói riêng cũng như các bộ môn khoa học khác nói chung
Qua kết quả nghiên cứu đã đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo khắc phục lối truyền thụ một chiều rèn luyện nếp tư duy sáng tạo cho người học, phát triển mạnh phong trào tự học tự đào tạo
VI Tính sáng tạo về khoa học và thực tiễn của vấn đề
Phần kiến thức về căn bậc hai, tương đối khó với học sinh, có thể nói
nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường mắc phải một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hướng và đưa ra được hướng giải quyết cũng như biện pháp khắc phục các sai lầm đó Ngoài ra tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ
để các em có thể thực hành kỹ năng của mình Thông qua sáng kiến kinh nghiệm có thể phần nào thấy được những sai lầm thường gặp trong việc sử dụng
từ đó rút ra được cho bản thân cách dạy, cách học như thế nào cho hiệu quả nhất
B – PHẦN NỘI DUNG
I Cơ sở lí luận:
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương (phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai
* Nội dung của phép khai phương gồm :
- Giới thiệu phép khai phương (thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số học của số không âm)
Trang 5- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương (với a ≥ 0, có (√a)2=a ; với a bất kỳ có √a2
= ¿a∨¿ )
- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự (SGK thể hiện bởi Định lý
về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ⇔√a<√b ”)
- Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia (thể hiện bởi : định lý “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : √ab=√a√b ” và định lý “Với a ≥ 0, b > 0,
ta có : √a
b=
√a
√b ”)
* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các công thức sau :
√A2 = | A| (với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức)
√AB=√A√B (với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0)
√A
B=
√A
√B (với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0)
√A2B=¿A∨√B (với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0)
√A
B=
1
B√AB (với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0)
A
√B=
A√B
B (với A, B là biểu thức và B > 0)
C
√A ± B=
C (√A ∓ B)
A − B2 (với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B2)
C
√A ±√B=
C(√A ∓√B)
A − B (với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và
A ≠ B)
* Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau và chủ yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình thành kỹ năng biến đổi biểu thức (một số phép chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ Một số phép gắn với trình bày tính chất phép tính khai phương)
Trang 6Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức.
* Có thể kể các kỹ năng về tính toán như :
- Tìm khai phương của một số
- Phối hợp kỹ năng khai phương với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số
* Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức như :
- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu ở phần trên( với công thức dạng A = B, có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi B thành A) Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn (thức) bậc hai có thể coi là vận dụng công thức √AB=√A√B theo chiều từ phải qua trái
- Phối hợp các kỹ năng đó (và cả những kỹ năng có trong những lớp trước)
để có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai Chẳng hạn kỹ năng trục căn thức ở mẫu
Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính mục đích của các phép biến đổi Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức Các ứng dụng này còn nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng (để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều kiện nào đó)
Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng được hình thành và củng cố trong phần này như :
- Giải toán so sánh số
- Giải toán tìm x
- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho
- Một số lập luận trong giải toán so sánh số (củng cố tính chất bất đẳng thức nêu ở toán 8)
- Một số kỹ năng giải toán tìm x (kể cả việc giải phương trình tích)
- Kỹ năng sử dụng máy tính
Trang 7Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu của phần kiến thức này (ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các
kỹ năng tương ứng và nhiều khi, chẳng hạn như giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hình thành kỹ năng)
II Thực trạng vấn đề
Theo tình thực tế của việc giải toán của HS cho thấy các em còn yếu, thường không nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu một vấn đề chưa chắc, nắm bắt kiến thức còn chậm, thiếu căn cứ trong suy luận sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học chưa chính xác, thiếu thận trọng trong tính toán Vì sao dẫn đến điều này ta có thể chia làm hai nguyên nhân:
- Nguyên nhân khách quan:
+ Số tiết luyện tập trên lớp theo phân phối chương trình vẫn còn ít
+ Lượng kiến thức mới được phân bố cho một số tiết học còn quá tải + Phần nhiều bài tập cho về nhà không có sự dẫn dắt, giúp đỡ trực tiếp của GV
- Nguyên nhân chủ quan:
+ Số lượng HS trên một lớp khá đông nên thời gian GV hướng dẫn cho những HS thường gặp phải khó khăn còn hạn chế
+ Một số GV thường dùng tiết bài tập để chữa bài tập cho HS
+ Một số tiết dạy GV chưa phát huy được khả năng tư duy của HS
+ Một số GV có sử dụng phương pháp dạy học mà ở đó chưa phát huy hết đặt thù của bộ môn
+ Một bộ phận nhỏ HS chưa chăm chỉ, lơ là trong việc học, chưa tự giác khắc phục những kiến thức mình bị hỏng trong quá trình giải bài tập
Từ những nguyên nhân trên đã dẫn đến một số tồn tại sau: HS thường mắc phải sai lầm khi giải các bài tập do không nắm vững kiến thức cơ bản, tiếp thu kiến thức chậm, học tập thụ động, giải bài tập cẫu thả, chép bài của các HS khá giỏi để đối phó một cách máy móc làm ảnh hưởng đến kết quả học tập
III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
Trang 81 Sai lầm khi học sinh không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, A có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai.
Ví dụ 1: Có học sinh viết:
+Vì ( 4).( 25) 100 10 và 4. 25 (4).(25) 100 10 nên (4).(25) 4. 25 (!)
+ Vì
3
147
49 7
3
Ví dụ 2: Giải bài tập sau: Tính 2 2010 2011
+ Cách giải sai:
2
Nguyên nhân:
- Khi làm bài học sinh chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện đê
A tồn tại.
- Học sinh chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai.
Biện pháp khắc phục:
- Khi dạy phần này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh điều kiện đê một
biêu thức có căn bậc hai, điều kiện đê A xác định, điều kiện đê có:
a b ab ;
2 Sai lầm khi học sinh chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: A = 2 a2 5a ( Với a < 0 )
Trang 9+ Cách giải sai:
A = 2 a2 5a = 2 a 5a2a 5a3a ( với a < 0 ) (!)
+ Cách giải đúng là:
A = 2 a2 5a = 2a 5a2a 5a7a ( với a < 0 )
Ví dụ 2: Tìm x, biết : 4(1 x)2 - 6 = 0
+ Cách giải sai : 4(1 x)2 - 6 = 0 2 (1 x)2 6 2(1 - x) = 6
1- x = 3
x = - 2
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm
+ Cách giải đúng:
2
4(1 x) - 6 = 0 2 (1 x)2 6 1 x = 3
Ta phải đi giải hai phương trình sau :
1) 1- x = 3 x = -2
2) 1- x = -3 x = 4
Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x = -2 và x = 4
+ Nguyên nhân:
Học sinh chưa hiêu rõ về số âm và số đối của một số mà học sinh chỉ hiêu
a < 0 thì a a
+ Biện pháp khắc phục:
+ Khi dạy phần này giáo viên nên củng cố lại về số âm và số đối của một số.
+ Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối:
, neáu 0 , neáu 0
a
3 Sai lầm khi học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức: A2 A
Ví dụ: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11)
Trang 10Tìm x, biết: 9x 2 12
+ Cách giải sai:
2
Vì 9x2 (3 )x 2 3x nên ta có: 3x = 12 x = 4
+ Cách giải đúng:
Vì 9x2 (3 )x 2 3x nên ta có:3x 12
3x = 12 hoặc 3x = -12 Vậy x = 4 hoặc x = -4
Ví dụ 2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)
Rút gọn biểu thức: (4 17)2
+ Cách giải sai:
Học sinh A:
2 (4 17) 4 17 4 17
Học sinh B: (4 17)2 4 17
+ Cách giải đúng:
2 (4 17) 4 17 17 4
+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức
2
A A , giá trị tuyệt đối của một số âm.
Ví dụ 3: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B = 16 x 16 - 9 x 9+ 4 x 4 + x1 với x -1
+ Cách giải sai :
B = 4 x1-3 x1+ 2 x1+ x1
B = 4 x1
16 = 4 x1 4 = x1 42 = ( x1)2 hay 16 = ( x 1)2
16 = | x+ 1|
Trang 11Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 x = 15
2) 16 = -(x+1) x = - 17
+ Cách giải đúng:
B = 4 x1-3 x1+ 2 x1+ x1 (x -1)
B = 4 x1
16 = 4 x1 4 = x1 (do x -1)
16 = x + 1 Suy ra x = 15
+ Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x = 15
và x =-17 nhưng chỉ có giá trị x = 15 là thoả mãn, còn giá trị x = -17 không đúng Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không đê ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x
-1 thì các biêu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biêu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
+ Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn giản bằng số cụ thê giúp
cho học sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biêu thức ta có A2 = | A|, có nghĩa là :
2
A = A nếu A 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
2
A = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
4 Sai lầm kĩ năng khi giải bài toán rút gọn.
Ví dụ 1: Bài 47 SGK Đại số 9 tập 1 trang 27
Rút gọn:
2
( x y )
x y với x0, y0, xy.
Một học sinh A làm như sau: