CHUYEN DE CHUNG MINH BA DUONG THANG DONG QUY

Ở bài này ta thấy các đường thẳng này không phải là các đường thẳng đặc biệt của tam giác nào nên ta có thể sử dụng một số phương pháp khác như: đường thẳng thứ 3 đi qua giao[r]

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG

ĐỒNG QUY Bài tập 1.13:

Cho tam giác ABC dựng tam giác đều MAB, NBC, PAC thuộc miền ngoài tam giác ABC Chứng minh rằng MC = NA = PB và góc tạo bởi hai đường thẳng ấy bằng 600, ba đường thẳng MC, NA, PB đồng quy

Giải:

Bước 1: Phân tích bài toán – Tìm tòi lời giải:

GT: Tam giác ABC, MAB, NBC, PAC là các tam giác đều

Kl: a) MC = NA = PB

b)  AM MC   MC BP,   BP NA,  600

c) MC, NA, PB đồng quy

Đầu bài chỉ cho ta các tam giác đều nên ta phải tận dụng triệt để các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng 600

do việc dựng tam giác đều để chứng minh bài toán.

- Để chứng minh các đoạn thẳng MC, NA, PB bằng nhau

có nhiều cách ta có thể gắn các đoạn thẳng vào các tam giác để chứng minh các tam giác bằng nhau Từ đó suy ra các đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau.

- Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta có thể sử dụng một số phương pháp chứng minh đồng quy thường dùng như: là các đường thẳng đặc biệt trong tam giác, đường thẳng thứ 3 đi qua giao điểm của 2 đường thẳng

còn lại Ở bài này ta thấy các đường thẳng này không phải là các đường thẳng đặc biệt của tam giác nào nên ta

có thể sử dụng một số phương pháp khác như: đường thẳng thứ 3 đi qua giao điểm của 2 đường thẳng còn lại, phép quay

2 Trình bày lời giải:

2.1:Cách 1: Xét các tam giác bằng nhau

* Chứng minh AN = MC = BP

Xét hai tam giác ABN và MBC có:

AB = MB; BC = BN (Các cạnh của tam

giác đều)

ABN MBC ( cùng bằng 600ABC )

  ABN =  MBC (c.g.c)  AN = MC (*)

Tương tự:  ABP =  AMC (c.g.c)

AB = AM; BC = BN (Các cạnh của tam giác

đều)

BAP MAC

( cùng bằng 600BAC )

 BP = MC (**)

Từ (*) và (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm)

* Chứng minh

AKP PKC CKN  

Trong  APC có A C1  2 P P1  2  1800 mà P C1 1

Trong  PCK có C C1 2P K2 2 1800

 600 (C1 P2 ) K2  1800  600 600K 2  1800  K 2  600

(1)

Tương tự:  ABN =  MBC  N1 C 3 mà N 1 N 2  600

 N2 C 3  600 mà C  4 600

  NKC có N 2 C 3 C 4 K 3  1800  K  3 600 (2)

Tương tự:  AC N =  PCB  P2 A2 mà P P1 2  600

 P A1  2  600 mà A 1 600  Trong  AKP có K  1 600 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh

* Chứng minh AN MC, BP đồng quy

Giả sử MC  BP = K ta chứng minh cho A, K, N thẳng hàng

Theo chứng minh trên ta có: K2  60 ,0 K 3  60 ,0 K 1  600  K 1 K 2 K 3  1800

 A,K,N thẳng hàng

Vậy AN, MC, BP đồng quy (đpcm)

2.2.Cách 2: Dùng phương pháp biến hình

* Chứng minh MC = NA = BP

Do các tam giác thuộc miền

ngoài cua tam giác ABC là tam giác

đều nên ta có thể dùng phép quay

Q (A, 600): M  B

C  P  MC  BP

 MC = BP (1)

Q (B, 600

): N  C

A  M  NA  CM

 NA = CM (2)

Từ (1) và (2) ta có: MC = NA = BP (đpcm)

* Chứng minh AM MC.   MC BP,   BP NA,   60 0

.

Do phép quay Q ( A,600) : MC  BP  MC BP ,  60 0

Q (B, 600

) : NA  CM  ( , ) = 600

Tương tự: Q (C, 600

) : BP  NA  ( , ) = 600 vậy góc tạo bởi các đường thẳng AN, MC, BP bằng 600 (Đpcm)

* Chứng minh ba đường thẳng MC, NA, PB đồng quy.

Gọi K = MC  BP (1) ta chứng minh cho A, K, N thẳng hàng

 MKB  600 mà MAB   600   MAKB nội tiếp

AKB = ABM = 600 ( cùng chắn cung

AM

)

Tương tự ta có tứ giác BKCN nội tiếp

BKN BCN 600(cùng chắn cung CN )

 AKN = AKB+ MKB+BKN  600+ 600 + 600 = 1800

Do đó A, K, N thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) ta có MC  BP  NA = K

Vậy MC, NA, BP đồng quy (đpcm)

2.3 Cách 3: Dùng các đường tròn ngoại

tiếp

* Chứng minh AN, MC, BP và các góc

tạo bởi hai đoạn thẳng ấy bằng 60 0

Gọi O, I, H lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMB, BNC, CPA

Ta có (AMB) và (BNC) có điểm chung là B nên hai đường tròn này có một điểm chung nữa Gọi K là điểm chung thứ 2 (K có thể trùng với B)

  AMBK và  BNCK nội tiếp

 AMB+AKB=1800 và BKC BNC  1800

Mà AMB BNC  600  AKB BKC  1800 600  1200

Mặt khác :BKN BCN  600(cùng chắn cung CN)

 AKN = AKB + BKN = 1200 + 600 = 1800

Do đó A, K, N thẳng hàng (1)

Tương tự: CKB = CAP = 600 ( cùng chắn cung CP )

 BKP = BKC + CKP = 1200 + 600 = 1800

Do đó B, K, P thẳng hàng (2)

Do AKB = BKC = 1200  AKC = 1200 mà APC = 600

nên  AKCP nội tiếp đường tròn tâm H

AKB = ABM = 600 ( cùng chắn cung

AM

)

 MKC = MKA + AKP = 1200 + 600 = 1800 do đó M, K, C thẳng hàng (3)

Từ (1), (2), (3) ta co AM, NC, BP đồng quy tại K (đpcm)

Và AKM = MKB = BKC = 600 ( Các góc tạo bởi hai trong ba đường thẳng AN, MC, BP)

* Chứng minh AN = MC = BP

Xét hai tam giác ABN và MBC có:

AB = MB; BC = BN (Các cạnh của tam giác đều)

ABN = MBC ( cùng bằng 600 + ABC )

  ABN =  MBC (c.g.c)  AN = MC (*)

Tương tự:  ABP =  AMC (c.g.c)  BP = MC (**)

Từ (*) và (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm)

2.4:Cách 4 : Dùng các tứ giác nội tiếp đường tròn

* Chứng minh AN = MC = BP

Xét hai tam giác ABN và MBC có:

AB = MB; BC = BN (Các cạnh của

tam giác đều)

ABM =MBC(cùng bằng 60 0  ABC)

  ABN =  MBC (c.g.c)  AN = MC (*)

Tương tự:  ABP =  AMC (c.g.c)

AB = AM; BC = BN (Các cạnh của tam

giác đều)

BAP=MAC(cùng bằng 60 0  BAC)

 BP = MC (**)

Từ (*) và (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm)

*Chứng minh AN, MC, BP đồng quy và các góc tạo bởi hai đoạn thẳng ấy bằng 60 0

Gọi O = AN  MC

Ta có C1 N2 (do  ABN =  MBC )   BNCK nội tiếp ( Hai đỉnh cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc không đổi)

 O1 B2 = 600 ( góc nội tiếp cùng chắn cung NC)

O2 C2  600 ( góc nội tiếp cùng chắn cung BN)

Vì O1 = 600 nên góc tạo bởi AN và MC bằng 600 (1)

Tương tự: ta có các tứ giác AOBM và AOCP nội tiếp

 O1 O2 O3 O4 O5 O6 = 600 ( các góc nội tiếp cùng chắn các cung

có số đo bằng 600)

 O1 O2 O6=1800=BOP B, O, P thẳng hàng

Vậy AN, MC, BP đồng quy

và (, )=( , ) = ( , )= 60 0

4) Nhìn lại bài toán và lời giải - Khai thác bài toán

Qua cách giải số 1 và số 2 ta thấy việc chứng minh MC = NA = PB và góc tạo bởi hai đoạn thẳng bằng nhau ấy bằng 600 là để gợi ý cho việc chứng minh 3 đường thẳng này đồng quy  Ta có thể rút ngắn bài toán như sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC dựng các tam giác đều MAB, NBC, PAC

thuộc miền ngoài tam giác ABC Chứng minh MC, NA, PB đồng quy.

Qua cách giải số 3 ta có thể đưa ra bài toán khác nhưng với cách giải vẫn vậy:

Bài 2: Cho tam giác ABC dựng các tam giác đều MAB, NBC, PAC và

có tâm lần lượt là O 1 , O 2 , O 3 Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp 3 tam giác đều trên đều đồng quy tại một điểm.

MỘT SỐ BÀI TẬP CHỨNG MINH ĐỒNG QUY

I Một số phương pháp chứng minh các đường thẳng đồng quy

1 Chứng minh các đường thẳng là những đường đặc biệt của tam giác: 3 đường cao; 3 đường trung tuyến; 3 đường phân giác; 3 đường trung trực; 2 đường phân giác góc ngoài và 1 đường phân giác góc trong không kề; 2.Chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng nằm trên đường thẳng thứ 3

3 Dựa vào định lí Cé va

Định lí Céva

Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của ABC, lần lượt lấy các điểm P, Q, R Khi đó:

AP, BQ, CR đồng quy 

PB QC RA

PC QA RB  .

II Một số bài tập chứng minh đồng quy

* Chứng minh các đường thẳng là những đường đặc biệt của tam giác

Bài1: Vẽ ra phía ngoài ABC các hình vuông ABDE và ACFK Chứng

minh rằng:

a) EK vuông góc với trung tuyến AM của ABC và EK = 2AM

b) Nếu I là đỉnh thứ tư của hình bình

hành EAKI thì I thuộc đường cao

AH của ABC

c) CD = BI và CD  BI; BF = CI và

BF  CI

d) CD, BF, AH đồng quy

Hướng dẫn:

Chứng minh CD, BF, AH là 3 đường

cao của IBC Suy ra CD, BF,AH đồng quy

*Sử dụng tứ giác nội tiếp

Bài 2: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O)

và có H là trực tâm Gọi A', B', C' là điểm

đối xứng của H qua BC, CA, AB Qua H,

vẽ đường thẳng d bất kì Chứng minh rằng:

Các đường thẳng đối xứng của d qua các

cạnh của ABC đồng quy tại một điểm trên

(O)

Hướng dẫn:

Gọi I là giao của d1 và d2

Chứng minh tứ giác A'B'C'I là tứ giác nội tiếp Suy ra A'B'C'I là nội tiếp (O)

Chứng minh I thuộc d3

*Áp dụng định lí Céva

Bài 3: Gọi A', B', C' là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ABC với các

cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: AA', BB', CC' đồng quy

Hướng dẫn:

Chứng minh

A 'B B'C C'A

A 'C B'A C'B   AA', BB', CC' đồng quy

* Các phương pháp khác

Bài 4 Cho hình thang ABCD (AB > CD) Gọi

E là giao điểm hai cạnh bên AD và BC; F là trung

điểm của AB Chứng minh rằng: AC, BD, CF

đồng quy

Hướng dẫn:

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao

AH, BK, CL cắt nhau tại I Gọi D,

E, F lần lượt là trung điểm của

BC, CA, AB Gọi P, Q, R lần lượt

là trung điểm của IA, IB, IC

Chứng minh PD, QE, RF đồng quy Gọi J là điểm đồng quy, chứng minh I

là trung điểm của mỗi đường

Hướng dẫn:

Chứng minh PEDQ, PRDF là hình chữ nhật  PD, QE, RF là đường chéo của 2 hình chữ nhật đó  đpcm