Bài 22:Theo kế hoạch mỗi công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm (sp) trong một thời gian nhất định, nhưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi giờ người công nhân đó đã làm thêm được 2 sp.. Vì v[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ I: CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
I Kiến thức kỹ năng cơ bản
1 Kĩ năng về nhân đơn thức, đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức đáng nhớ, tìm điều kiện biểu thức chứa căn có nghĩa, kĩ năng biến đổi biểu thức chứa căn ( trục căn thức ở mẫu, khử mẫu của biểu thứclấy căn, qui tắc khai phương …), kĩ năng qui đồng mẫu, kĩ năng rút gọn phân thức,
2 Các dạng bài toán cơ bản về biểu thức chứa căn
Dạng 1: Rút gọn biểu thức chứa căn.
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức khi cho biết giá trị của biến số.
Dạng 3: Giải phương trình và bất phương trình liên quan đến biểu thức rút gọn.
Dạng 4: Tìm giá trị nguyên của đối số để giá trị của biểu thức là giá trị nguyên.
Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức rút gọn.
Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức với biểu thức rút gọn.
II Một số bài tập
A Biểu thức chứa căn số:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
Trang 2B- Các bài tập chứa căn thức
Bài 7: Cho biểu thức :
b) Tính giá trị của A khi x 7 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12: Cho biểu thức
: 2
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên
Bài 13: Cho biểu thức
b) Tính giá trị của A khi x 4 2 3
:
x A
Trang 3b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thị hàm số A.
Bài 15: Cho biểu thức:
b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dương với mọi a ( a thuộc TXĐ của A)
Bài 16: Cho biểu thức:
c) Giải phương trình theo x khi A = -2
Bài 17: Cho biểu thức:
P
c) Cho m > 1 Chứng minh rằng luôn có hai giá trị của x thỏa mãn P = m
Bài 19: Cho biểu thức
c) So sánh P với
3 2
Bài 20: Cho biểu thức
Trang 4a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P > 0
c) Với x > 4, x 9, tìm giá trị lớn nhất của P.(x+1)
Bài 23: Cho biểu thức
: 1 1
c) Tính giá trị của biểu thức A với x 29 12 5 29 12 5
d) Tìm giá trị nguyên x để giá trị của biểu thức A cũng nguyên
Bài 28: Cho biểu thức
b) Tìm m để phương trình P = m-1 có nghiệm x, y thỏa mãn x y 6
Bài 30: Cho biểu thức
Trang 5a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức Q P x nhận giá trị nguyên
Bài 35: Cho biểu thức
Trang 6Bµi37: Cho biểu thức
H·y tÝnh gi¸ trÞ cña P
Bài 38: Cho biểu thức:
:
2 , 0,
1
n x A
Bài 41:CMR số:x 0 2 2 3 6 3 2 3 là một nghiệm của phương trìnhx4 16 x2 32 0
2 Hệ phương trình chứa tham số
2.1 Giải và biện luận theo tham số
2.2 Tìm tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn một số điều kiện
I Các bài tập
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
Trang 7b) Tìm các giá trị nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất(x; y) với x, y là số nguyên
Bài 4: cho hệ phương trình
a) Giải phương trình theo m
b) Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dương
Bài5: cho hệ phương trình:
Bài 8: cho hệ phương trình:
b) Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn hệ thức :
2 21
b) Xác định m để điểm M thuộc góc phần tư thứ nhất
Trang 8Bài 10: Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phương trình
b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x ;y) tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12: Cho hệ phương trình
Bài 13: Cho hệ phương trình
3 1
1 2
3 2
m
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2 2
x y
b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x2 + y2 = 10
Bài 15: Cho hệ phương trình
2 1
b) Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm(1 ; 1)
Bài 16: Cho hệ phương trình
b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0
c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên
Bài 17: Cho hệ phương trình
1 2
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất
Bài 18:Giải các hệ phương trình sau
Trang 9a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
b) Tìm giá trị của m thỏa mãn 2x2- 7y = 1
c) Tìm các giá trị của m để biểu thức
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm? vô nghiệm?
Bài21: Cho hệ phương trình
b) Tìm các giá trị của a thỏa mãn 6x2 -17y = 5
c) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
b) Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệtx y1; 1 ; x y2; 2
b) Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm
4 0
Trang 10a) Giải phương trình với m = -2
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất
Bài 2: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:mx2 2 m x2 1 0
Bài 3: Cho phương trình: 4x2 2a b x ab 0
(1) (a, b là tham số)a) Giải pương trình với a 1; b 2
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi a, b
c) Giải phương trình (1) nói trên
Bài 4 : Phương trình x2 – 2x + m =0 có một trong các nghiệm bằng1 2
a) Xác định hệ số m
b) Tìm nghiệm còn lại của phương trình
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m, n.
Bài 6: Cho các phương trình:x2 + 3x +2 = 0 và :x2 - 3x +m = 0
Xác định số m để hai phươnh trình có ít nhất một nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó
Bài 7: Tính nhẩm nghiệm các phương trình sau
Bài 10:Cho phươnh trình bậc hai: x2 – 6x + 8 = 0
Không giải phương trình hãy tính:
Trang 11Bài 11: Cho phương trình: m(x2 – 4x +3) + 2(x – 1) = 0
a) Giải phương trình khi m =
1 2
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
c) Tìm m nguyên để phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên phân biệt
Bài 12:Cho phương trình: x2 + 2(m – 2)x – 2m + 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm dương
Bài 13: Cho phương trình : x2 – 3x + k - 1 = 0
Xác định k để phương trình có hai nghiệm x x1; 2thỏa mãn:
Bài 14: Cho phương trình:m x2 + 2(m – 4)x + m + 7 = 0 (1)
Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm phương trình x x1; 2thỏa mãnx1 2 x2 0
Bài 15: Cho phương trình: x2 - 2(m – 1)x + 2m - 4 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x x1; 2là hai nghiệm của phương trình tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
1 2;
Bài 16: Cho phương trình: x2 - (k – 1)x + k + 1 = 0 (1)
a) Giả sử phương trình có các nghiệm x x1; 2 Tìm một hệ thức liên hệ giữa
1; 2
x x độc lập đối với k
c) Hãy biểu thị x2 theo x1.
Bài 17: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm phân biệt của phương trình x x1; 2thỏa mãn 2 2
Bài 18: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
a) Chứng minh rằng vói mọi m phương trình luôn có nghiệm Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó
b) Xác định m để phương trình có nghiệm x = 4 tìm nghiệm còn lại
Bài 19: Cho phương trình:x2 3 x 5 0 và gọi hai nghiệm của phương trình là x x1; 2 Không giải phương trình hãy tính gía trị của các biểu thức sau:
Bài 20: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 – 2m + 3 = 0
a) Giải phương trình với m = 1
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm còn lại?
Bài 21: Cho phương trình (m2 + m + 1) x2 – (m2 + 8m + 3)x - 1 = 0
a) Chứng minhx x 1. 2 0
b) Gọi x x1; 2là hai nghiệm của phương trình tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: S x1 x2;
Bài 22: Cho phương trình: x2 – mx + m -1 = 0
Trang 12a) Gọi x x1; 2là hai nghiệm của phương trình Tính giá trị của biểu thức.
Bài 23: Cho phương trình: x2 – 2(m+n)x +4 mn = 0
a) Giải phương trình khi m = 1; n = 3
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m, n
c) Gọi x x1; 2là hai nghiệm của phương trình Tính 2 2
1 2
E x x theo m, n
Bài 24: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3m + 2 = 0
a) Tìm giá trị của tham số m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị của m thỏa mãn
2 2
1 2 24
x x ( trong đó x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình)
Bài 25: Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m -3 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tìm điều kiện của m để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu
c) Gọix x1; 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị của m để 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 4
Bài 26: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m -23 = 0
a) Giải phương trình khi thay m = 5
b) Gọix x1; 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị của m thỏa mãnx2 5 x1 4
Bài 27: Cho phương trình: x2 –6x + 1 = 0 Gọix x1; 2 là hai nghiệm của phương trình Không giải phương trình hãytính giá trị của biểu thức sau:
Bài 30: Cho phương trình: x2 + bx + c = 0.(1)
a) Giải phương trình (1)khi b = -3 và c = 2
b) Tìm b, c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1
Bài 31: Cho phương trình: x2 –2x - 1 = 0 Gọix x1; 2 là hai nghiệm của phương trình.Tính giá trị của biểu thức
Trang 13
x cx ab
Bài 34: Cho phương trình: x2 – (m2+ 1)x + m = 2
a)Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm x x1; 2thỏa mãn
Bài 35: Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + m2- 4 = 0, với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?
Bài 36: Cho phương trình: x2 – 2x - 2m = 0 Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm phân biệt x x1; 2thỏa mãn: 2 2
1 x 1 x 5
Bài 37: Cho phương trình: x2 – (m + 4)x + 3m + 3 = 0, m là tham số
a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm bằng 2, tìm nghiệm còn lại
b) Xác định m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x x1; 2thỏa mãn 3 3
Bài 39: Gọi y v1 à y2là hai nghiệm của phương trình: y2 + 5y + 1 = 0 Tìm a và b sao cho phương trình x2 + ax + b
= 0 có hai nghiệm phân biệt là: x1 y12 3 y v x2 à 2 y22 3 y1
Bài 40: Cho x x1; 2là hai nghiệm của phươnh trình x2 – 7x + 3 = 0
a) Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm là 2 x1 x v2 à 2 x2 x1
b) Tìm giá trị của A2x1 x2 2x2 x1
-@ -CHUYÊN ĐỀ IV
HÀM SỐ - ĐỒ THỊ I/ Hàm số bậc nhất và đồ thị của nó.
1.1Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số thực và a 0
1.2 Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi x thuộc R
Trên tập số thực R, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0
1.3 Đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm (0;b) và song song với đường thẳng y = ax nếu b = 0
1.4 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b với a 0 à v b 0
Cách 1 : xác định hai điểm bất kỳ thuộc đồ thị, chẳng hạn:
Cho x = 1, tính được y = a + b, ta có điểm A(1 ; a + b)
Cho x =- 1, tính được y = -a + b, ta có điểm B(1 ; -a + b).Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B
Cách 2: Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ
Cho x = 0 thì y = b, ta có điểm P(0;b);
Cho y = 0 thì
b x
vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được đồ thị hàm số
1.4 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax (a0) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A(1;a)
Trang 14 D D, aa, 1
II/ Bài tập
Bài 1:Cho hai hàm số y = x và y = 3x.
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ Oxy;
b) Đường thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đường thẳng y = x và y = 3xlần lượt tại A và B Tìm tọa độ A và B, tính chu vi, diện tích tam giác AOB
Bài 2:Cho hàm số y = (m + 4)x – m + 6 (d )
a) Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến;
b) Tìm m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;2).Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 3: Cho hàm số y = (m2 – 2m + 3)x + 8
a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên tập số thực R? vì sao?
b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;14)
Bài 4:Xác định hàm số y = ax + b, biết đồ thị của nó là đường thẳng song song với đường thẳng y 3 1 x
và
đi qua điểm A 1; 3 1
Bài 5: Cho đường thẳng (d) y = -2x + 3.
a) Xác định tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng với hai trục tọa độ, tính khoảng cách từ O(0;0) đến đường thẳng (d)
b) Tính khoảng từ điểm C(0;-2) đến đường thẳng (d)
Bài 6: Cho hai đường thẳng:
y = (m + 2)x + 2 (d) và y = (m2 + 2m)x – 1 (d’)
a) Hai đường thẳng (d) và(d’) có thể trùng nhau không?
b)Tìm m để(d) và(d’) song song với nhau
Bài 7: Tìm giá trị của k để ba đường thẳng :
y = -2x +3 (d1)
y = 3x – 2 (d2) đồng qui trong mặt phẳng tọa độ.
y = kx – k – 5 (d3)
Bài8: Trên mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(2;3), B(-1;-3), C(0;-1).
a) Tìm hệ số góc của đường thẳng AB;
b) Chứng tỏ ba điểm A, B, C thẳng hàng
Bài9: Cho các hàm số sau:
y = -x -5 (d1)
y = 3x + 7 (d2)a) Vẽ đồ thị các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
b) Gọi giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) với trục Oy lần lượt
là A và B Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB;
c) Gọi J là giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) Chứng minh tam giác OIJ là tam giác vuông Tính diện tích
b) (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung;
c) (d1) và (d2) song song với nhau;
Trang 15d) (d1) và (d2) vuông góc với nhau;
e) (d1) và (d2) trùng nhau.
Bài11: Cho hàm số: y = (m + 3)x + n (m 3) (d)
Tìm giá trị của m, n để đường thẳng (d):
a) Đi qua hai điểm A(1 ; -3) và B(-2 ; 3)
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng1 3, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3 3
a) Tìm tọa độ giao điểm A của (D1) và(D2) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép toán
b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A Vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm được
c) Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A
Bài13 Chứng minh rằng khi k thay đổi các đường thẳng sau luôn đi qua một điểm cố định Tìm điểm cố định đó.
Các bài tập trong đề thi vào PTTH của các năm:
Bài14: a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (2 ; 1) và (-1; 5)
b)Tìm tọa độ giao điểm của dường thẳng nói trên với trục tung và trục hoành
Bài15: Cho hàm số y = (m - 2)x + m +3.
a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến
b) Tìm điều kiện của m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3
c) Tìm điều kiện của m để đồ thị của hàm số y = -x + 2, y = 2x – 1 và
y = (m – 2)x +m +3 đồng qui
Bài16 : Cho hai điểm A(1 ; 1) và B(2 ; -1)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B
b)Tìm giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m +2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi quađiểm có tọa độ (0 ; 2)
Bài17: Cho hàm số y = (m - 1)x + m +2
a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị y = 2x – 1
b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -3)
c) Tìm điểm cố định mà hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m
d) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2 (đơn
vị diện tích)
Bài18: Cho hàm số y = (2m - 1)x + m -3
a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm (2 ; 5)
b) Chứng minh rằng đồ thị hàm luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi, tìm điểm cố định ấy
c) Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x 2 1
Bài19 Tìm các giá trị của k để các đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm:
Bài20: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho các đường thẳng
d1: y = x + m – 1 và d2: y = x + 3m + 5 tìm m để d1 cắt d2tại một điểm trên (P): y = x2
II/ Hàm số y = ax 2 và đồ thị của nó
1.Hàm số y = ax2 ,(a 0)
-Nếu a > 0 thì Hàm số y = ax2nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x >0
-Nếu a < 0 thì Hàm số y = ax2nghịch biến khi x > 0, đồng biến khi x <0
- Nếu a > 0 thì y > 0 với mọi x 0, y = 0 khi x = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Nếu a < 0 thì y < 0 với mọi x0, y = 0 khi x = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số
2.Hàm số y = ax2 ,(a 0)có đồ thị là đường parabol với các đặc điểm: