Tai lieu on thi vao lop 10

Hái nÕu lµm riªng th× mçi ®éi ph¶i lµm trong bao nhiªu ngµy ®Ó xong c«ng viÖc?... Hai chiÕc b×nh rçng gièng nhau cã cïng dung tÝch lµ 375 lÝt.[r]

lời giải một số bài toán về

rút gọn biểu thức

Cơ sở lý thuyết:

Cho biểu thức A(x) a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A tại x=?

c) Tìm giá trị của xz để Az Tìm giá trị nhỏ nhất, giá tri lớn nhất của A Tìm giá trị của x để A.f(x) =g(x)

Tìm giá trị của x để A=k; Ak;A k Tìm x để A A .

b)Tính giá trị của A khi x=3-2 2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 2: Cho biểu thức

b) Với giá trị nào của xthì A >

13c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M

x 12 1

.P

KÕt qu¶ :

a) §KX§ : x 0 vµ x 9 ; D =

3 3

x



b) 0  x <9

VËy P nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi a = 0

VËy x= -1; x= -3 th× B nhËn gi¸ trÞ nguyªn

Bµi 3: Cho biÓu thøc:

Bài 2: Cho biểu thức:

Bài 4: Cho biểu thức:

Đáp án:

a) ĐKXĐ: x  0; x 1; P =

1 1

x x



b) x  0 9

Bài 5: Cho biểu thức:

b) Tìm giá trị của K khi a = 3+2 2

c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0

Đáp án:

a)ĐKXĐ: a>0 và a 1; Rút gọn: K=

1

a a

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A x m  x có nghiệm.

(v× x 0 )  x 1 kÕt hîp víi §KX§ 0 <x < 1 th× A < 0c) P.t: A

Bµi 2: Cho biÓu thøc:

b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x =36

c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A A

    Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A A

Bài 3: Cho biểu thức:

.+Trờng hợp 2 :



  2.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi

  3.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi



 

 m

17 24

17 m

17 m

+Trêng hîp 1:

- NÕu a=0  m=0 ,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=

cb



 



m 0 1 m 2



m 01m2

VÝ dô :

Gi¶i ph¬ng tr×nh 3x2-7x+4=0

Gi¶i Ta cã a+b+c=3+(-7)+4=0

 x1=1và x2=

c

a =

4 3

-Nếu a -b+c=0 thì x1=-1và x2=

c a



=

12 7

3.áp dụng để xác định dấu các nghiệm

x x m 4 0 a

4.áp dụng để xác định hai số biết tổng S và P của chủng

-Nếu hai số x1,x2 sao cho x1+x2=S, x1.x2=P thì x1,x2là nghiệm phơng trình



Vậy hai số cần tìm là 9 và 6

Cho phơng trình x2+7x-5=0.Không giải phơng trình hãy tính

a.Tổng và tích của hai nghiệm

b.Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm

c.Tổng các bình phơng của hai nghiệm

d.Bình phơng của hiệu hai nghiệm

e.Tổng các lập phơng của hai nghiệm

Giải :

Ta thấy rằng phơng trình đã cho luôn có nghiệm vì các hệ số avà c khác dấu

a.Tổng của hai nghiệm là S=x1+x2=-7 và tích của hai nghiệm là P= x1.x2=-5

b Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm là

a.Tìm p để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b.Tìm p để cả hai nghiệm đều dơng

c.Tìm một hệ thức không phụ thuộc vào p

Giải :

a.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi =(2p-1)2- 4.2(p-1)=(2p-3)2> 0  p

32

b.Phơng trình có hai nghiệm đều dơng ta giải hệ phơng trình

Bài tập 5.

Cho phơng trình x2- mx + m-1=0 với m là tham số

a.Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b.Gọi x1,x2là các nghiệm Tìm giá trị nhỏ nhất của A=

Cho phơng trình x2- 2x + m =0 với m là tham số

a.Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2đều là số dơng

b Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2thỏa mãn :

b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

c.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng (-2)

b.Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi '=(m+1)2- m2=2m+1>0 m >

12



c.Phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng (-2)

- Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi '>0  m >

12

.Vậy m=0, m=4 phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng (-2)

Bài tập 8.

Cho phơng trình (m+1)x2+ 5x + m2-1=0 ,với m là tham số

a.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 4

Thay giá trị x1=4 vào (I) ta có m2+16m+35=0  m1=-8+ 29;m2=-8- 29

Các giá trị m1, m2đều thỏa mãn điều kiện m<1 và m-1

Vậy m=-8+ 29;m=-8- 29 phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 4.

Bài tập 9.

Cho phơng trình (m+1)x2- 2(m-10x + m-3 =0 ,với m là tham số

a.Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m khác 1)

(-b.Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu

c Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai nghiệm đó có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m  -1

b.-Theo câu a ,ta đã có >0 với mọi giá trị m-1

-Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi

Vậy phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi m>3 hoặc m<-1

c.Theo câu a ,b phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi >0 và 1 2

b Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c.Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm nguyên

c.Ta có m(x2-4x+3)+2(x-1)= (x-1)m(x 3) 2   0

Xét phơng trình m(x-3)+2 = 0

Để phơng trình có hai nghiệm thì m0 khi mx-3m+2=0 x=

3m 2m

Ta có (x1+x2)2- x1.x2=m2+2m+4 5  m2+2m+ 1+3 5 m2+2m+ 1 5-3

 (m+1)2  2  - 2 m+1 2  -1- 2 m 2-1

Bài tập 12.

Cho phơng trình x2- px + p-1 = 0

a.Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của p

b.Tính theo p giá trị biểu thức M=x12+x2 2- 6x1.x2

c.Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bµi tËp 13.

Chøng minh r»ng nÕu c¸c hÖ sè cña hai ph¬ng tr×nh bËc hai x2+p1x+q1=0 vµ

x2+p2x+ q2=0 ,liªn hÖ víi nhau bëi hÖ thøc p1p2=2(q1+q2) th× Ýt nhÊt mét trong hai

 +2= p12

-4 q1+

2 2

p -4 q2= p12

+

2 2

p - 4(q1+ q2)= p12

+

2 2

- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng hai điểm chung khi và chỉ khi phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Bây giờ, chúng ta h y cùng nhau tìm hiểu các dạng toán cơ bản của mốiã

quan hệ này:

 Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng

Ví dụ 1 : Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đờng thẳng (d)

 = 5Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 3 và – 2

Ví dụ 2 : Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x 2 với đờng thẳng (d) y = – 5x + 4

Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 1 và 4

 Dạng 2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.

Ví dụ 3 : Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) 

 = 1'Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

Ví dụ 4 : Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) 

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (a) là: (3; 3)

 Dạng 3: Chứng minh về vị trí tơng đối giữa Parabol và đờng thẳng.

Phơng trình có nghiệm kép Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với đờng thẳng(d) y = 4mx + m2 khi m thay đổi

Ví dụ 6: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y x2 luôn có điểm chung với đờng thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi.

' = b'2 – ac = [(m – 1)]2 – (2m – 3) = m2 – 2m +1 – 2m + 3 = m2 – 4m +4

= (m – 2)2  0  mPhơng trình luôn có nghiệm Do đó Parabol (P) luôn luôn có điểm chung với

đờng thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi

 Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt phẳng toạ độ giữa Parabol và đờng thẳng.

Ví dụ 7 : Chứng tỏ rằng Parabol (P) y3x2 cắt đờng thẳng (d): y = 5x – 2 tại hai điểm nằm cùng một phía đối với trục tung.

a 3

Ta thấy hai nghiệm này cùng dơng Suy ra hoành độ giao điểm đều dơng Do đógiao điểm của chúng cùng nằm ở cùng một phía đối với trục tung

Ví dụ 8 : Chứng tỏ rằng Parabol (P) yx2 cắt đờng thẳng (d): y = 2x –

2007 tại hai điểm thuộc hai phía đối với trục tung.

 Dạng 5: Biện luận số giao điểm của đờng thẳng và Parabol.

Ví dụ 9 : Cho Parabol (P) y x2 cắt đờng thẳng (D): y = 2(m +1)x – m 2 – 9 Tìm m để:

a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

 x2 – 2(m +1)x + m2 +9= 0 (1)

' = b'2 – ac = [(m + 1)]2 – (m2 + 9) = m2 + 2m +1 – m2 – 9 = 2m – 8

a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt <=> Phơng trình (1) có hai nghiệmphân biệt

<=> ' > 0

<=> 2m – 8 > 0

<=> 2m > 8

<=> m > 4Vậy với m > 4 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) (D) tiếp xúc với (P) <=> Phơng trình (1) có nghiệm kép

<=> ' = 0

<=> 2m – 8 = 0

<=> 2m = 8

<=> m = 4Vậy với m = 4 thì (D) tiếp xúc với (P)

Ví dụ 10 : Cho Parabol (P) yx2 cắt đờng thẳng (D): y = 4x + 2m

a) Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với (P).

b) Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm toạ độ giao điểm khi 

3m2

a) (D) tiếp xúc với (P) <=> Phơng trình (*) có nghiệm kép

<=> ' = 0

<=> 4 + 2m = 0

<=> m = –2Vậy với m = –2 thì (D) tiếp xúc với (P).

b) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt <=> Phơng trình (*) có hai nghiệmphân biệt

<=> ' > 0

<=> 4 + 2m > 0

<=> m > –2Vậy với m > –2 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

3m

2 thì hoành độ giao điểm của A, B là nghiệm của phơng trình:

x2 – 4x – 3 =0

' = b'2 – ac = (–2)2 – 1(–3) = 4 + 3

Thay x1 =2 – 7 vào ta đợc y1 = 11 –4 7

Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A, B của (P) và (D) là:

A(2 + 7; 11 +4 7); B(2 – 7; 11 – 4 7)

 Dạng 6: Lập phơng trình tiếp tuyến giữa Parabol và đờng thẳng.

Ví dụ 11 : Cho Parabol (P) 

vì đờng thẳng đi qua M(–2; –2) nên ta có:

–2 = –2a + b => b = 2a – 2 (1)Mặt khác, đờng thẳng này là tiếp tuyến của (P) nên phơng trình:

2 2

1

x ax b2

x 2ax 2b 0

 ' = 0

 a2 – 2b =0 (2)Thay (1) vào (2) ta đợc: a2 – 2(2a – 2) = 0

a2 – 4a +4 =0

 (a – 2)2 = 0

 a = 2Với a = 2 thay vào (1) ta đợc b = 2.2 – 2 = 2

Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua M và tiếp xúc với (P) là:

y = 2x + 2b)

Vì tiếp tuyên song song với  

1

2 nên ta có a =

12

Suy ra phơng trình đờng thẳng có dạng  

1

2Vì đờng thẳng này tiếp xúc với (P) nên phơng trình:

 1x2 1xb

 x2 + x+ 2b = 0 (I) có nghiệm kép

 = b2 – 4ac = 12 – 4.1.2b = 1 – 8b

Để phơng trình (I) có nghiệm kép thì  = 0

 1 – 8b = 0

 b =

18

Vậy phơng trình tiếp tuyên cần tìm là:  

2 2

1

x ax b2

* Với a = 1 thay vào (3) ta đợc b =

12

* Với a = 3 thay vào (3) ta đợc b = 

32

Vậy qua A(1;

=> (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

b) Ta có x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (*) nên theo định lí Vi-ét có:

Ví dụ 13 : Cho Parabol (P) có phơng trình: 

2

xy

2 và đờng thẳng (D) có

ph-ơng trình: y = mx – m + 2

a) Tìm m để (P) và (D) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

c) Giảc sử (x 1 ; y 1 ) và (x 2 ; y 2 ) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P) Chứng minh rằng: y 1 +y 2  (2 2–1)(x 1 +x 2 )

Giải

Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) 

2

xy

2 với đờng thẳng (D) y = mx – m+ 2 là nghiệm của phơng trình:

2 2

x

2

x 2mx 2m 4 0(**)a) Để (D) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 4 thì x = 4 phải lànghiệm của phơng trình (**)

Từ đó suy ra:

42 – 2m.4 +2m – 4 = 0 => m = 2Vậy với m = 2 thì đờng thẳng (D) và Parabol (P) cùng đi qua điểm có hoành

độ bằng 4

b) (D) và (P) tại hai điểm phân biệt <=> phơng trình (**) có hai nghiệmphân biệt <=> ' > 0

<=> (–m)2 – (2m – 4) > 0 <=> m2 – 2m +4 > 0 <=> (m – 1)2 +3 > 0 luôn đúng  mVậy (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

c) Ta có (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P) nên x1 và x2

là nghiệm của phơng trình (**)

Theo định lí Vi-ét x1 + x2 = 

b2ma

Chuyên đề:

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình

A) tóm tắt lý thuyết

Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ ohơng trình:

a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

b) Biểu diễn các đại lợng cha biết thông qua ẩn và các địa lợng đã biết

c) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng

Bớc 2: Giải phơng trình.

Bớc 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phơng trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời.

Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phơng trình bậc nhất một ẩn, hệ

+ Biểu diễn số có hai chữ số : ab  10a  b ( v ới 0<a  9; 0   b 9;a, b  N)

+ Biểu diễn số có ba chữ số : abc  100a 10b   c ( v ới 0<a  9; 0  b,c  9;a, b, c  N)

5

Ví dụ 2: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9 Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số

thu đợc cũng viết bằng hai chữ số đó nhng theo thứ tự ngợc lại Hãy tìm số đó?

Vì thêm vào số đó 63 đơn vị thì đợc số viết theo thứ tự ngợc lại ta có

Bài 1: Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì đợc 50 Hỏi số đó là bao nhiêu?

Bài 2: Tổng hai số bằng 51 Tìm hai số đó biết rằng

2

5 số thứ nhất thì bằng

1

6 số thứ hai

Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7 Nếu đổi chỗ hai

chữ số hàng đơn vị và hàng chụccho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị

Bài 4: Tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150.

Bài 5: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng số đó bằng lập phơng của số tạo bởi chữ số

hàng vạn và chữ số hàng nghìn của số đã cho theo thứ tự đó

v = v1 + v2 Vân tốc ca nô khi ngợc dòng là v = v1 - v2

Ví dụ1: Xe máy thứ nhất đi trên quảng đờng từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ 20 phút Xe máy thứ

hai đi hết 3 giờ 40 phút Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai 3 km

Tính vận tốc của mỗi xe máy và quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình?

Giải:

Trong 3 giờ 40 phút (=

11

3 giờ) xe máy thứ nhất đi đợc

11 (x 3)(km)

3 

Đó là quảng đờng tứ Hà nội đến Thái Bình nên ta có phơng trình

10 11

x (x 3) x 33

3 3    (thoả mãn điều kiện bài toán)

Vậy vận tốc của xe máy thứ nhất là 33 km/h Vận tốc của xe máy thứ hai là 30 km/h.Quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình là 110 km

Ví dụ 2: Đoạn đờng AB dài 180 km Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B xe máy

gặp ô tô tại C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km Tính vận tốc của ô tô và xe máy ?

Giải

Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h), đk: x > 0

Gọi vận tốc của xe máylà y(km/h), đk: y > 0

Thời gian xe máy đi để gặp ô tô là

Ví dụ 3: Một ô tô đi trên quảng đờng dai 520 km Khi đi đợc 240 km thì ô tô tăng vận tốc

thêm 10 km/h nữa và đi hết quảng đờng còn lại T ính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời gian đi hết quảng đờng là 8 giờ

2 Một ca nô xuôi dòng 50 km rồi ngợc dòng 30 km Biết thời gian đi xuôi dòng lâu hơn thời gian ngợc dòng là 30 phút và vận tốc đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc đi ngợc dòng là

10 giờ mới xuôi hết dòng sông

5 Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km Cùng lúc đó một ô tô khởi hành

từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp là 18 km/h Sau khi hai xe gặp nhau xe đạp phải

đi mất 4 giờ nữa mới tới B Tính vận tốc của mỗi xe?

6 Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 100 km Cùng lúc đó một bè nứa trôi

tự do từ A đến B Ca nô đến B thì quay lại A ngay, thời gian cả xuôi dòng và ngợc dòng hết

15 giờ Trên đờng ca nô ngợc về A thì gặp bè nứa tại một điểm cách A là 50 km Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nớc?

Ví dụ 1:

Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ, ngời thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành đợc 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời hoàn thành công việc trong bao lâu?

Giải:

Ta có 25%=

1

4.Gọi thời gian một mình ngời thứ nhất hoàn thành công việc là x(x > 0; giờ)

Gọi thời gian một mình ngời thứ hai hoàn thành công việc là y(y > 0; giờ)

Trong một giờ ngời thứ nhất làm đợc

Giải :

Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (x > 0; giờ)

Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)

Mỗi giờ đội 1 làm đợc

1 công việc x

Mỗi giờ đội 2 làm đợc

1 công việc

x 2 

Vì cả hai đội thì sau 2 giờ 55 phút =

11 35 2

12 12(giờ) xong

Trong 1 giờ cả hai đội làm đợc

12

35 công việc