Bài tập xác định tâm, bán kính, diện tích, thể tích của mặt cầu ôn thi THPT môn Toán

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2. HƯỚNG GIẢI:.[r]

TÍCH CỦA MẶT CẦU

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Tính chất của mặt cầu

Phương trình mặt cầu dạng chính tắc:

(S) : (x − a)2+ (y − b)2+ (z − c)2= R2

a 2 + b 2 + c 2 − d a 2 + b2+ c2− d > 0

2 BÀI TẬP MẪU

(S)

A I(−1; 2; 1) và R = 3 B I(1; −2; −1) và R = 3

C I(−1; 2; 1) và R = 9 D I(1; −2; −1) và R = 9

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng tính chất để xác định tâm và bán kính của mặt cầu

HƯỚNG GIẢI:

– Bước 1: Dựa trên phương trình mặt cầu dạng chính tắc tìm tâm và bán kính của mặt cầu

R

LỜI GIẢI CHI TIẾT

3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu có phương trình(x−1)2+(y+3)2+z2 = 9

A I(−1; 3; 0); R = 3 B I(1; −3; 0); R = 9 C I(1; −3; 0); R = 3 D I(−1; 3; 0); R = 9

Lời giải

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu(S) : x2+ y2+ z2− 6x + 4y − 8z + 4 = 0

A I(3; −2; 4), R = 25 B I(−3; 2; −4), R = 5

C I(3; −2; 4), R = 5 D I(−3; 2; −4), R = 25

Lời giải

Câu 3 Trong không gian Oxyz, diện tích của mặt cầu (S) : 3x2+ 3y2+ 3z2+ 6x + 12y + 18z − 3 = 0

bằng

Lời giải

15

Câu 4 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu(S) có phương trìnhx2+ y2+ z2− 2x − 4y − 6z + 5 = 0 Tính diện tích mặt cầu (S)

Lời giải

12+ 22+ 32− 5 = 3

Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 1)2+ (y + 2)2+ z2 = 9 Mặt

36π

Lời giải

3πR

3 = 36π

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 0; 2) và đường thẳng d : x − 1

y

−1 =

z

√

5

√ 2

√ 30

3

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng tính chất để xác định tâm và bán kính của mặt cầu

HƯỚNG GIẢI:

– Bước 1: Dựa vào vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu ta tìm được bán kính của

– Bước 2: Dựa vào công thức tính khoảng cách từ một điểm dến đường thẳng ta tìm bán kính

R =

î# »

M I; #» uó

| #» u | =

√ 30

3 .

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

î# »

M I; #» uó

| #» u | =

√ 30

3

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; −2; 3) Bán kính mặt cầu tâm I, tiếp

Lời giải

10

Câu 8 Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(1; 0; −2) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : x + 2y − 2z + 4 = 0 có đường kính là

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng tính chất để xác định tâm và bán kính của mặt cầu

HƯỚNG GIẢI:

– Bước 1: Dựa vào vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu ta tìm được bán kính của mặt cầu

R = d (I; (α))

– Bước 2: Dựa vào công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta tìm bán kính

R = |Ax0+ By0+ Cz0+ D|

√

A 2 + B 2 + C 2

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

3 = 3

Câu 9 Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm A(2; 1; 1)và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy)có bán kính là

Lời giải

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − 2 = 0 và điểm

I(−1; 2; −1) Bán kính mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng (P ) theo giao tuyến là đường tròn

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng tính chất để xác định tâm và bán kính của mặt cầu

HƯỚNG GIẢI:

– Bước 1: Dựa vào vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu ta tìm được bán kính của mặt cầu

R = d (I; (α))

của mặt phẳng và mặt cầu

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

34

I

H M

d R r

Câu 11 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S)có tâmI(−2; 3; 4) cắt mặt phẳng

bằng

Lời giải

tuyến

h 2 + r 2 = √

9 + 16 = 5

3πR

3 = 500

3 π

I H M

R r

Câu 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S)có tâmI(−1; 2; 3) cắt mặt phẳng

(β) : 2x − y + 2z − 8 = 0 theo một hình tròn giao tuyến có chu vi bằng bằng 8π Diện tích mặt cầu

(S) bằng

Lời giải

p

2 2 + (−1) 2 + 2 2 = 2

Câu 13 Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng (P ) : x − y + 2z + 1 = 0, (Q) : 2x + y + z − 1 = 0

…

3

√ 2

2

Lời giải

Gọi I(m; 0; 0) là tâm mặt cầu có bán kính R; d1, d2 là các khoảng cách từ I đến (P ) và (Q)

√

6 và d 2 = |2m − 1|

√

6

…

m2+ 2m + 1

…

4m2− 4m + 1

2 ⇔ m 2 − 2m + 2r 2 −

8 = 0 (1)

= 0 ⇔ r2 = 9

2 ⇔ r = 3

√ 2

2

Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, choA(−1; 0; 0),B(0; 0; 2), C(0; −3; 0) Bán kính mặt

A

√

14

√ 14

√ 14

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm hay ngoại tiếp tứ diện

HƯỚNG GIẢI:

(∗)

a 2 + b 2 + c 2 − d

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:















d = 0

1 + 2a + d = 0

4 − 4c + d = 0

9 + 6b + d = 0

⇔



















a = −1 2

b = −3 2

c = 1

d = 0.

a 2 + b 2 + c 2 − d =

…

1

4+

9

4+ 1 =

√ 14

2

2

√

OA 2 + OB 2 + OC 2 = 1

2

√

1 + 4 + 9 =

√ 14

2

Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), D(2; 2; 2)

A

√

3

√ 2

Lời giải

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Vì A, B, C, D ∈ (S) nên ta có hệ phương trình















4 − 4a + d = 0

4 − 4b + d = 0

4 − 4c + d = 0

12 − 4a − 4b − 4c + d = 0

⇔







d = 4a − 4

a = b = c

12 − 12a + 4a − 4 = 0

⇔







d = 4a − 4

a = b = c

8 − 8a = 0

⇔

®

d = 0

a = b = c = 1.

3

Câu 16 Trong không gian Oxyz, cho điểm H(1; 2; −2) Mặt phẳng (α) đi qua H và cắt các trục

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định tâm và bán kính của mặt cầu tiếp xúc với mặt

ABC

HƯỚNG GIẢI:

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Thật vậy:

®

OC ⊥ OA

OC ⊥ OB

⇒ OC ⊥ AB (1)

Mà CH ⊥ AB (vì H là trực tâm tam giác ABC) (2)

y z

A

B C

K H O

Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; −1), mặt phẳng (P ) : x + y − z − 3 = 0 Mặt cầu

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

HƯỚNG GIẢI:

a 2 + b 2 + c 2 − d

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

(S) có R = √

(S) qua A và O nên

®

2 − 2a + 2c + d = 0

d = 0 ⇒ 1 − a + c = 0 (2) ⇒ c = a − 1

2 nên OI + OA + AI = 6 + √

2

⇔ 2p2a 2 − 2a + 5 = 6 ⇔ a2− a − 2 = 0 ⇔

ñ

a = −1

a = 2.

Với a = −1 ⇒ I(−1; 2; −2) ⇒ R = 3 Do đó S = 4πR2 = 36π

Với a = 2 ⇒ I(2; 2; 1) ⇒ R = 3 Do đó S = 4πR2 = 36π

Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 1)2+ (y − 2)2+ (z − 3)2 = 9

A M (−1; 0; 4) B M (0; 1; 2) C M (3; 4; 2) D M (4; 1; 2)

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

HƯỚNG GIẢI:







x = 1 + 2t

y = 2 + 2t

z = 3 − t.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

IH = #» n(P ) = (2; 2; −1)







x = 1 + 2t

y = 2 + 2t

z = 3 − t.

Câu 19 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ∆1:







x = 1

y = 2 + t

z = −t







x = 4 + t

y = 3 − 2t

z = 1 − t

bằng

A

√

10

√ 11

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc với cả hai

HƯỚNG GIẢI:

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

AB = (3 + t0; 1 − 2t0− t; 1 − t0+ t)

1 = (0; 1; −1)

2 = (1; −2; −1)

Ta có

®# »

AB · #» u1 = 0

# »

AB · #» u2 = 0 ⇔

®

1 − 2t0− t − (1 − t0+ t) = 0

3 + t0− 2(1 − 2t0− t) − (1 − t0+ t) = 0 ⇔

®

− t0− 2t = 0 6t0+ t = 0 ⇔ t0 = t = 0

AB = (3; 1; 1) ⇒ AB = √

11

2 =

√ 11

2

 BẢNG ĐÁP ÁN 

1 C 2 C 3 C 4 B 5 B 6 D 7 A 8 C 9 D 10 A

11 B 12 A 13 D 14 C 15 B 16 C 17 D 18 C 19 B

HƯỚNG GIẢI:

– Bước 1: Dựa vào vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu ta tìm bán kính mặt cầu

R = d (I; (α))

của mặt phẳng... tương đối mặt phẳng mặt cầu ta tìm bán kính mặt cầu

R = d (I; (α))

– Bước 2: Dựa vào cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta tìm bán kính

R...

√ 14

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

DẠNG TỐN: Đây dạng tốn xác định tâm bán kính mặt cầu qua bốn điểm hay ngoại tiếp tứ diện

HƯỚNG GIẢI:

(∗)