Gọi K là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; N là điểm tùy ý trên đoạn thẳng AB ( N khác A,B).. Mà tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nên tia AK cũng là tiếp tuyến [r]
Trang 1ĐỀ TỰ ÔN SỐ 03 ĐỀ BÀI Thời gian: 120 phút
Câu 1 (3.0 điểm)
Cho biểu thức:
:
P
a) Rút gọn P b) CM: P1.
c) Tìm giá trị lớn nhất của P
Câu 2 (1.0 điểm) Tìm các số x,y thõa mãn:
Câu 3 (2.0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Hai tổ cùng làm một công việc trong 15 giờ thì xong Nếu tổ 1 làm trong 3 giờ và tổ 2 làm trong 5 giờ thì họ làm được 25% công việc Hỏi mỗi tổ làm riêng việc đó thì trong bao lâu thì xong?
Câu 4 (4.0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và dây cố định AB < 2R Gọi K là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; N là điểm tùy ý trên đoạn thẳng AB ( N khác A,B) Nối KN và kéo dài cắt (O) tại điểm thứ 2 là M
a) CM: 2 tam giác AKN và MKA đồng dạng
b) CM: AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM
c) CM: Tổng bán kính 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM và BNM không phụ thuộc vào vị trí điểm N
d) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng nối tâm của 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM và BNM, khi N di chuyển trên đoạn AB
……….Hết………
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KIỂM TRA SỐ 03
Trang 2
Câu 1
/ 2 ( 1)( 2)
a x x x x Điều kiện:
0 4
x x
:
:
P
b/ Với
0 4
x
x ta xét
Do x 0 x 3 0 mà
3
2
x
x x P1 0 P1
c/ Với
1 1
x
4
1 3
1
*) 2 : 1 à 4
x
x
Do x1 nên x1 0 và
4 0
1
x
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta có:
7 1
P x
Dấu “=” xảy ra
4
1
x
1
7
Câu 2: (x1)22xy2y y 2 2x 3y 3 0
Trang 3Điều kiện: 2x 3y 3 0(*)
PT x22x 1 2xy2y y 2 2x 3y 3 0
2
2 2
( ) 2( ).1 1 2 3 3 0
2 3 3 0
x y
x y y PT có nghiệm (0; 1)
Câu 3
Gọi thời gian tổ I làm một mình xong công việc là: x (giờ, x>15)
Gọi thời gian tổ II làm một mình xong công việc là:y (giờ, y>15)
Năng suất của tổ I là: 1/x (công việc)
Năng suất của tổ II là: 1/y (công việc)
Năng suất của cả 2 tổ là: 1/15 (công việc)
Ta có phương trình:
1 1 1
15
x y (1)
Trong 3 giờ tổ I làm được: 3/x (công việc)
Trong 5 giờ tổ II làm được: 5/x (công việc)
Theo đầu bài tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ được 25% công việc = 1/4 ( công việc) ta có hệ phương trình:
24
:
3 5
40
x
Coi
y
y
x y
Vậy tổ I làm một mình trong 24 giờ và tổ II làm trong 40 giờ thì xong công việc
Trang 4Câu 4:
a) Vì K là điểm chính giữa cung AB nên: Cung AK= cung KB
Kẽ
2
AB
CE
Xét CNE có:
b) Trên nửa mặt phẳng bờ AN có chứa tia AK kẻ tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp tam giác AMN Ta có:
Ta có tia Ax và tia AK cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AN nên Ax trùng với AK Mà tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nên tia AK cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN
c) Gọi O1;O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và BMN
Kẻ đường kính KC của (O) ta có:CAK 900 CAAK
Vì AK là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O1) nên:
O A AK O A CA hay C A O thẳng hàng
Tương tự chứng minh như câu b ta có BK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN Và chứng minh tương tự ta cũng có C;O2;B thẳng hàng Xét tam giác O1AN có:
O A O N R O AN c n O AN O NA
Vì KC là đường kính, K là điểm chính giữa của cung AB nên C là điểm chính giữa của cung lớn AB => Cung CA= cung CB
=> CA=CB => Tam giác CAB cân tại C
à
Trang 5Mà CBA và O NA1 đồng vị nên O N CB1
Chứng minh tương tự ta cũng có: O C O N1 2
Xét
1
ó :
O N CB
O C O N O C O N hay O C O B1 2 1 2
Do A và B cố định nên K cố định Và K, O cố định nên C cố định C và A
cố định nên CA không đổi
Vậy O1A+O2B=AC ( không đổi)
d) Phần thuận:
Vì tứ giác O1NO2C là hình bình hành nên 2 đường chéo O1O2 và CN cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường Từ I kẽ Ì vuông góc với AB tại F Gọi giao điểm của CK và AB là E Vì CK là đường kính và K là điểm chính giữa của cung AB nên CK vuông góc với AB tại E
Xét
C, K cố định và AB không đổi nên E cố định nên CE không đổi
I thuộc đường trung bình PQ của tam giác CAB
Giới hạn: - Nếu N trùng B thì I trùng Q
- Nếu N trùng A thì I trùng P Vậy I thuộc đường trung bình PQ
*) Phần đảo:
Lấy I thuộc PQ Nối CI kéo dài cắt AB tại N KN cắt (O) tại M Gọi O1;O2 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và BMN ta cần chứng minh I là trung điểm của O1O2
Tương tự chứng minh ở câu c ta chứng minh được tứ giác O1NO2C là hình bình hành Vì N thuộc PQ ( c/m phần thuận)
Trang 6Kẽ
2
AB
CE
Xét CNE có :
I là trung điểm của CN mà tứ giác O1NO2C là hình bình hành nên I cũng là trung điểm của O1O2.
Kết luận: Vậy khi N di động trên AB thì trung điểm I của đoạn nối tâm
O1,O2 của 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và BMN chuyển động trên đoạn PQ là đoạn trung bình của của tam giác ABC
……… Hết………