Sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục để giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa trong ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia

Vật lý biểu diễn các quy luật tự nhiên thông qua toán học vì vậy hầu hết các khái niệm, các định luật, quy luật và phương pháp… của vật lý trong trường phổ thông đều được mô tả bằng ngôn

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Vật lý là môn khoa học cơ bản nên việc dạy vật lý trong trường phổ thông phải giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, trọng tâm của bộ môn, mối quan hệ giữa vật lý và các môn khoa học khác để vận dụng các quy luật vật lý vào thực tiễn đời sống Vật lý biểu diễn các quy luật tự nhiên thông qua toán học vì vậy hầu hết các khái niệm, các định luật, quy luật và phương pháp… của vật lý trong trường phổ thông đều được mô tả bằng ngôn ngữ toán học, đồng thời cũng yêu cầu học sinh phải biết vận dụng tốt toán học vào vật lý để trả lời nhanh, chính xác các dạng bài tập vật lý nhằm đáp ứng tốt các yêu cầu ngày càng cao của các đề thi

Đã từ lâu việc giải các bài toán vật lí trong dao động điều hòa như tìm thời gian, quãng đường, tốc độ trung bình thì việc sử dụng vòng tròn lượng giác có gắn trục tọa độ Ox (hay giản đồ véc tơ quay Fren-nen) để giải tỏ ra rất hiệu quả và gần như không thể thay thế Các bài toán dạng này trong các đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia cũng như đề thi của Bộ xuất hiện ngày càng nhiều

Vài năm gần đây việc sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục để giải nhanh các bài toán dạng này ngày càng được sử dụng nhiều Vậy vòng tròn lượng giác đa trục là gì, nó khác vòng tròn lượng giác thông thường ở chỗ nào? Tại sao khi sử dụng nó, ta có thể giải nhanh hơn các bài toán tìm thời gian, quãng đường, tốc độ trung bình so với vòng tròn lượng giác thông thường

Vòng tròn lượng giác đa trục là một “biến tướng” của vòng tròn lượng giác thông thường, nó được tạo ra khi xuất hiện những bài toán đòi hỏi việc tính toán phải nhanh để rút ngắn thời gian làm bài trắc nghiệm Nếu như vòng tròn lượng giác thông thường chỉ sử dụng trục tọa độ Ox để xác định li độ của vật ở các thời điểm khác nhau thì vòng tròn lượng giác đa trục lại có gắn thêm trục vận tốc Ov và trục gia tốc Oa

Trong quá trình ôn thi đại học tôi thấy có những bài toán vật lí khi HS sử dụng vòng tròn lượng giác bình thường thì thời gian tính toán lâu, còn khi sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục cho kết quả nhanh và chính xác Đặc biệt với việc thi trắc nghiệm đòi hỏi các em HS làm phải nhanh để rút ngắn thời gian làm bài thi

Chính vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục để giải nhanh một số bài toán dao động điều hòa trong ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia” Với mong muốn giúp các em HS biết cách sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục và vận dụng nó để giải quyết nhanh những bài toán vật lí trong các đề thi nhằm đưa chất lượng dạy học của nhà trường ngày càng đi lên

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh biết cách sử dụng và hình thành kỹ năng giải nhanh một số bài toán vật lí sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục

- Giúp học sinh nhận thức sâu sắc việc áp dụng kiến thức toán học phù hợp để giải toán vật lí

- Chỉ ra các mối quan hệ trực quan của các đại lượng vật lý, phương pháp, thủ thuật sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục để giải nhanh nhất, chính xác nhất các bài tập

- Thông qua đề tài rèn luyện, phát triển tư duy, tính sáng tạo của học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Vòng tròn lượng giác đa trục Cách sử dụng và phân biệt với vòng tròn lượng giác thông thường trong chương trình SGK Vật lí 12 Cơ bản

- Rèn luyện kĩ năng làm bài tập, cũng cố và khắc sâu kiến thức, định hướng cho việc ôn luyện đội tuyển và ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, xây dựng cơ sở lí thuyết, sưu tầm các tài liệu phục vụ cho việc soạn thảo

- Thực nghiệm trong giảng dạy Thống kê và xử lí số liệu

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

- Giúp HS hiểu rõ về vòng tròn lượng giác đa trục và biết cách sử dụng nó khi

đã nhận dạng được bài toán

- Hướng dẫn HS cách nhận biết dạng bài tập sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục để có cách giải nhanh, gọn, chính xác

- Xây dựng được hệ thống bài tập và đề xuất phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu

- Hệ thống bài tập trong đề tài là nguồn tài liệu quan trọng để ôn đội tuyển học sinh giỏi, cũng như ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều

Cho một vật dao động điều hòa với phương trình x A cos(t ), với x là li

độ của vật ở thời điểm t, A là biên độ

dao động, là tần số góc, t là pha

dao động ở thời điểm t,  là pha ban

đầu

Để biểu diễn dao động điều hòa

cos( )

x A t  người ta dùng một véc

tơ OM

có độ dài là A (biên độ), quay

đều quanh điểm O trong mặt phẳng

chứa trục Ox với tốc độ góc  Ở thời

điểm ban đầu t = 0, góc giữa trục Ox và

OM



là (pha ban đầu)

Ở thời điểm t, góc giữa trục Ox và OM là t  Độ dài đại số của độ dài hình chiếu véc tơ quay OM

trên trục Ox là:

cos( ) cos( )

OP OM t  A t  x

Như vậy, độ dài đại số của hình chiếu trên trục Ox của véc tơ quay OM biểu diễn dao động điều hòa chính là li độ x của dao động

2.1.2 Bài toán tìm thời gian sử dụng véc tơ quay thông thường

M

P

O

(+)

A -A

Đối với bài toán sử dụng véc tơ

quay thông thường (hay còn gọi là giản

đồ Fren-nen) trong SGK Vật lí 12 thì

phương pháp cơ bản vẫn là tính li độ

của vật ở hai thời điểm khác nhau thông

qua biên độ bằng cách lập tỉ số

x n

A , n

thường có các giá trị

Từ đó suy ra li độ x thường có các giá

trị

Sau đó xác định các giá trị li độ x trên vòng

tròn lượng giác, rồi áp dụng các công tính nhanh tìm các đại lượng cần tìm thông qua các bước giải mà GV cung cấp cho HS Phương pháp này gần như đa số các

em đã nắm vững để giải các bài toán tìm thời gian, quãng đường…trong dao động điều hòa

2.1.3 Vòng tròn lượng giác đa trục

Xét bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hòa với phương trình

cos( )

xA t  Tại thời điểm t1 vật qua vị trí có li độ x1 (hoặc vận tốc v1 hay gia tốc a1), tại thời điểm t2 vật qua vị trí có li độ x2 (hoặc vận tốc v2 hay gia tốc a2) Xác định khoảng thời gian t

Nhận xét: Nếu bài toán cho các li độ

1

x , x2 ở các thời điểm khác nhau thì ta

có thể sử dụng vòng tròn lượng giác

thông thường để tính Nhưng ở đây

với điều kiện cho trước (v1 hay a1) và

(v2 hay a2), nếu sử dụng vòng tròn

lượng giác thông thường ta phải sử

dụng các công thức độc lập thời gian

2 2

2

v

A x



hay a 2x để tính các li độ x1, x2 Và như vậy ta phải tốn thêm thời gian để làm bài

Từ đây, muốn giải nhanh bài toán dạng này mà không cần sử dụng công thức độc lập thời gian, người ta xây dựng vòng tròn lượng giác đa trục, trên vòng tròn ngoài trục tọa độ Ox, ta đưa thêm vào trục vận tốc Ov và trục gia tốc Oa như hình

vẽ:

Vì ta biết khi vật dao động điều hòa với phương trình xAcos(t ) thì vận

tốc tức thời v Asin( t ) Acos( t 2)



biến đổi sớm pha 2



so với li độ,

a

3



4



6



3 2

A

2

A



2

A



2

2

2

3 2

v = - vmax

2

2

v = - vmax

A

-A

v = -

vmax

1

2

3 2

v = vmax

2

2

v = vmax

v = vmax

1 2

a = amax

a = amax1 2

2

2

a = amax

3

2

a =

amax

v = vmax

v = 0

v

2



2

3 3

4

5

6 



5 6





3 4





2

3



3





4





6





v = -vmax

a = - amax

còn gia tốc tức thời a 2Acos(t ) 2Acos(t    ) biến đổi ngược pha so với li độ x

Để giải các bài toán sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục ta cũng phải có các bước tính toán giống như khi sử dụng vòng tròn lượng giác thông thường, chỉ khác là không phải trải qua bước tính toán sử dụng công thức độc lập với thời gian

- Nếu bài toán cho đại lượng vận tốc v ở một thời điểm t nào đó, ta cần phải tính:

+ Vận tốc cực đại: vmax  A

+ Lập tỉ số max

v n

v  , với n thường có các giá trị

+ Vẽ vòng tròn lượng giác đa trục, xác định các giá trị vận tốc trên trục Ov đường tròn rồi tính toán như bình thường

- Nếu bài toán cho đại lượng gia tốc a ở một thời điểm t nào đó, ta cần phải tính:

+ Gia tốc cực đại: amax  2A

+ Lập tỉ số max

a n

a  , với n thường có các giá trị

+ Vẽ vòng tròn lượng giác đa trục, xác định các giá trị gia tốc trên trục Oa đường tròn rồi tính toán như bình thường

Chú ý quan trọng: Khi xác định giá trị vận tốc trên trục Ov của đường tròn thì véc

tơ quay OM

có độ dài là OM vmax  A Còn khi xác định giá trị gia tốc trên trục

Oa thì véc tơ quay OM có độ dài là OM amax  2A Ngoài ra cũng cần chú ý tới chiều chuyển động của vật thông qua giá trị vận tốc được cho trong bài

Ví dụ:

Con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng 250 g và lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 4 cm Khoảng thời gian ngắn nhất để vận tốc của vật có giá trị từ - 40 cm/s đến 40 3 cm/s là

A

π

40s B

π

120s C

π

20s D

π

60s

- Cách giải 1: Sử dụng vòng tròn lượng giác thông thường:

Tần số góc của con lắc

 =

Thời điểm t1, khi vật có vận tốc - 40 cm/s thì

vật có li độ:





Thời điểm t2, khi vật có vận tốc 40 3cm/s thì vật có li độ:

2 2 2 40 3 2



Vẽ vòng tròn lượng giác, xác định các vị trí này trên đường tròn như hình vẽ Ta thấy khoảng thời gian ngắn nhất ứng với OM

quay từ vị trí M1 đến vị trí M2

Góc quét 2





 

, tương ứng với khoảng thời gian cần tìm:

1 2. 2 ( )

T



- Cách giải 2: Sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục

Tần số góc của con lắc

 =

Vận tốc cực đại: vmax v m A 80cm s/

Thời điểm t1, 40 / 2

m

v

v cm s

Thời điểm t2,

3

2

m

v

v cm s

Vẽ vòng tròn lượng giác, xác định các vị trí này

trên đường tròn như hình vẽ Ta thấy khoảng

thời gian ngắn nhất ứng với OM

quay từ vị trí M1 đến vị trí M2

M2

M1

A O

-

-vm

vm

v

M2 M1

Góc quét 2





 

, tương ứng với khoảng thời gian cần tìm:

1 2 2

T



Nhận xét: Qua cách giải 2, sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục ta thấy:

+ Các bước tính toán giảm đi do không phải tính li độ của vật ở hai thời điểm + Số lượng véc tơ quay trên hình vẽ giảm, dễ nhìn, dễ xác định góc quét

+ Thời gian làm bài toán ngắn hơn

2.2 Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất phương pháp giải

Bài tập 1 Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x 10cos( t 2)cm





, thời gian t đo bằng giây Kể từ thời điểm ban đầu, vật qua vị trí có vận tốc 5cm s/

lần đầu tiên vào thời điểm:

A

2

3s B

5

6s C

1

3s D

4

3s

Hướng dẫn giải:

Vận tốc cực đại: vmax  A 10 cm s/

Lúc t=0, véc tơ quay OM

ở vị trí M

Ở thời điểm t: 5 / 2

m

v

v cm s

, lúc này véc tơ quay đến vị trí N

Thời điểm đầu tiên ứng với góc quét

2 3





 

, tương ứng với thời điểm cần tìm:

1 2 2

.

T



Đáp án A

Nhận xét: Qua bài toán này ta thấy để giải bài toán nhanh ta phải kết hợp cả trục

tọa độ Ox và trục vận tốc Ov trên vòng tròn lượng giác

Bài tập 2 Một vật dao động điều hòa với phương trình x10cos( )t cm, thời gian t được tính bằng giây Kể từ thời điểm ban đầu đến thời điểm vật có vận tốc

v cm s lần đầu tiên, tốc độ trung bình của vật gần nhất giá trị nào sau đây?

A 10cm/s B 15cm/s C.20cm/s D 25cm/s

Hướng dẫn giải:

Tốc độ cực đại của vật vmax  A 10 cm s/

Lúc đầu véc tơ OM

đang ở vị trí M

Khi vật có vận tốc

max

2

v

v cm s

và đang chuyển động theo chiều dương thì lúc này véc tơ OM

đang đi qua vị trí N1 trên đường tròn

Từ hình vẽ ta có góc quét

7 6





 

Suy ra thời gian vật đi đươc:

.

T



Quãng đường vật đi được:

3

2

A

Tốc độ trung bình của vật:

21,34

18, 29 /

7 / 6

tb

s

t

Đáp án C

Bài tập 3 Một vật dao động điều hòa với phương trình x 4cos( t 3)cm





, thời gian

t được tính bằng giây Tại thời điểm t1 vật qua vị trí có vận tốc v 4 cm s/ , đến thời điểm t2   t1 t ngay sau đó vật đi qua vị trí có gia tốc a 20cm s/ 2 theo chiều dương Lấy 2  10 Giá trị của tlà

A

2

3s B

5

6s C

1

3s D

4

3s

Hướng dẫn giải:

Vận tốc cực đại: vmax  A 4 cm s/

Ở thời điểm t1: v4cm s/ v m, lúc này

véc tơ quay đến vị trí M1

Gia tốc cực đại: amax  2A 4 2  40cm s/ 2

Ở thời điểm t2:

2 max

20 /

2

a

a cm s 

, lúc này véc tơ quay đến vị trí M2

Thời điểm đầu tiên ứng với góc quét

5 6





 

,

tương ứng với thời điểm cần tìm:

.

T



Đáp án B

Nhận xét: Ở bài toán này ta cần tính toán và xác định giá trị trên cả hai trục Ov và

Oa

Bài tập 4 Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20cm Sau khoảng thời gian

1

12

 

kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được 10cm mà chưa đổi chiều chuyển động

và đến vị trí có li độ 5cm theo chiều dương Vận tốc của vật ở thời điểm ban đầu là

A 20  2cm s/ B 20 3cm s/ C 20 cm s/ D 40 cm s/

Hướng dẫn giải:

Biên độ dao động A = 10 cm

Sau khoảng thời gian t vật đến vị trí có li độ 5 2

A

x cm

theo chiều dương được biểu diễn bằng điểm M2 trên đường tròn

Từ hình vẽ dễ dàng suy ra luc t=0 vật có li độ 5 2

A

x cm

và được biểu diễn bằng điểm M1 trên đường tròn

Góc quét 3





 

suy ra

1

6 12

T

Từ điểm M1 hạ đường vuôn góc lên trục Ov, dễ dàng suy ra

Đáp án B

Nhận xét: Bài này sau khi vẽ hình và suy luận ta sẽ biết được ngay được góc quét.

Sau đó tính chu kì Từ điểm M1 hạ đường vuôn góc lên trục Ov, dễ dàng suy ra được giá trị vận tốc cần tìm Bài toán tính rất nhanh mà không cần phải dùng công

thức

2

2 2

2

v

A x



để tính vận tốc Từ đây ta lại thấy rõ ưu thế của vòng tròn lượng giác đa trục

Bài tập 5 Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc v theo thời gian t của một vật dao động điều hòa Phương trình dao động

của vật là

A.





C





Hướng dẫn giải

Từ đồ thị dễ dàng suy ra chu kì T = 0,3s và vmax =5cm/s

Tần số góc

/ 0,3 3 rad s

T

-vm

Biên độ

max 5 3

/

20 / 3 4

v

Lúc t=0, vật có vận tốc

max

2,5 /

2

v

v m s

và giá trị vận tốc đang giảm

Vẽ vòng tròn lượng giác, ta thấy thời điểm ban đầu được xác định bởi điểm M trên

đường tròn Khi đó OM

hợp với trục Ox một góc chính là pha ban đầu 6



 

Suy ra đáp án D

Nhận xét: Với bài toán đồ thị này, ta sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục cho kết

quả khá nhanh

Bài tập 6 Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 8 cm Biết

trong một chu kì, khoảng thời gian để chất điểm có tốc độ không nhỏ hơn 40 3

cm/s là 3

T

Chu kì dao động của chất điểm là

Hướng dẫn giải:

Khoảng thời gian 3

T

ứng với góc quét

2

3





 

Khi vật có tốc độ v 40 3cm s/ thì vận tốc

của vật có giá trị v40 3cm / s hoặc

v 40   3cm / s

Vẽ vòng tròn lượng giác ta dễ dàng suy ra

véc tơ OM

phải quay từ vị trí M1 đến M2 và

M3 đến M4

Suy ra

max

A

rad s



Chu kì dao động của chất điểm

vm

v

M

M2

-

-vm

vm

v

M3

M1

0, 2 10

2.3 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trong năm học 2020 – 2021, tôi được Ban giám hiệu nhà trường phân công giảng dạy ở lớp 12C1 Là một lớp chọn nhưng không phải học lực của HS nào cũng từ khá trở lên Là một ngôi trường làng đũng nghĩa, nên học lực của các em không đồng đều, dẫn đến tôi phải làm một giáo án hợp lí để làm sao các em có học lực trung bình khá cũng có thể tiếp thu được kiến thức của người giáo viên truyền đạt

Trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia tôi nhận thấy dạng bài tập tìm thời gian, quãng đường trong dao động điều hòa xuất hiện khá nhiều trong các đề thi thử của các trường cũng như đề thi của Bộ giáo dục Chính vì vậy dạng bài tập này rất quan trọng, nếu các em HS nắm vững kiến thức của phần này ở chương dao động điều hòa thì có thể làm tốt các bài tập dạng này ở các chương tiếp theo Là một giáo viên có kinh nghiệm trong ôn thi đại học, tôi biết rằng cần phải luôn đổi mới phương pháp giảng dạy, luôn tìm tòi các phương pháp giải bài tập ngắn gọn, dễ hiểu để rút ngắn thời gian làm bài, đáp ứng tốt với kiểu bài thi trắc nghiệm và ôn tập thật kĩ dạng bài tập này để phát huy kĩ năng làm bài và phát huy khả năng tư duy trừu tượng của các em Khi các em học sinh được GV cung cấp đủ kiến thức, với sự cố gắng chăm chỉ của bản thân học tập và rèn luyện, các

em không những nắm vững được lí thuyết mà còn hoàn thành khá tốt dạng bài tập

sử dụng vòng tròn lượng giác đa trục

Để kiểm tra tính hiệu quả của đề tài SKKN, tôi đã chọn lớp 12 C1 có 44 HS

để làm thực nghiệm sư phạm Lúc đầu tôi dạy dạng bài tập này sử dụng vòng tròn lượng giác thông thường chung cho cả lớp để các em HS có cái nhìn tổng quát và

kĩ năng làm bài tập tìm thời điểm, quãng đường…trong dao động điều hòa Sau thời gian 2 tháng, tôi tách lớp 12C1 thành 2 nhóm có năng lực tương đương

- Nhóm 2 là nhóm đối chứng (ĐC) làm theo phương pháp sử dụng vòng tròn lượng giác thông thường (hay còn gọi là giản đồ Fren-nen)