Rèn luyện kỹ năng giải toán vận dụng cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán cực trị về thể tích khối chóp

Trước kì thi TN THPT năm học 2020 - 2021 đến gần, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em học sinh một số kiến thức để có thể lấy được điểm tối đa từ các bài toán liên quan đến thể

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những

con người phát triển toàn diện Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục vàđào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàndiện để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội Để đổi mới sự nghiệp giáo dục vàđào tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có phương phápdạy học môn Toán Chính vì thế trong quá trình dạy học giáo viên cần phát huycao độ tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập, nhằm đạt được kết quảcao nhất trong các giờ dạy Muốn vậy đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu

kĩ chương trình, đối tượng học sinh, đưa ra các phương pháp phù hợp với kiếnthức, với các đối tượng học sinh cần truyền đạt

Những năm gần đây trong đề thi TN THPT và đề thi HSG 12 có cả phần

cực trị về thể tích khối chóp Trước kì thi TN THPT năm học 2020 - 2021 đến

gần, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em học sinh một số kiến thức

để có thể lấy được điểm tối đa từ các bài toán liên quan đến thể tích đặc biệt là

cực trị về thể tích của khối chóp Từ đó tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải toán vận dụng cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán cực trị về thể tích khối chóp’’ Hy vọng nó sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích

cho giáo viên và học sinh Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét vàđánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Kiến thức về thể tích khối chóp, góc và khoảng cách

- Kiến thức về bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopxki

- Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm

- Học sinh lớp 12A35, 12B35 năm học 2020 - 2021 trường THPT Triệu

Sơn 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp

- Sử dụng phương pháp thực nghiệm

- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quanđến đề tài

- Sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải

quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm

được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vaitrò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt độngtương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạycách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là mộtnhiệm vụ quan trọng của người giáo viên.

Trong bài “Khái niệm về thể tích khối đa diện” sách giáo khoa Hình họclớp 12 đưa ra 2 khái niệm về thể tích như sau: “Thể tích khối chóp”; “Thể tíchkhối lăng trụ” Với 2 khái niệm này chúng ta đưa về 2 dạng toán tính thể tíchnhư sau:

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp.

Dạng 2: Tính thể tích khối lăng trụ.

Hai dạng toán trên là 2 dạng toán cơ bản, quan trọng và luôn có mặt trong

đề thi TN THPT và đề thi HSG Đặc biệt là dạng bài vận dụng: cực trị về thểtích khối chóp và cực trị về thể tích khối lăng trụ được phát triển trên nền 2 dạngtoán trên là các bài toán tương đối khó Trong khuôn khổ sáng kiến này tôi chỉnghiên cứu dạng bài về cực trị thể tích khối chóp

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, cónhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134; có nhiều học sinh

là con em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư duy của học sinh chậm,điều kiện kinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởngrất nhiều đến kết quả học tập của các em

Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy một điều đó là để học tốt mônHHKG thì cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phánđoán, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng vẽ hình , kỹ năng trình bày chặt chẽ

và tư duy logic cao, kỹ năng phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đốitượng trong hình không gian Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu củakhông ít học sinh, kể cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại và

sợ học môn HHKG

Hơn nữa việc áp dụng kiến thức về thể tích của học sinh đa số mới chỉ

dừng lại ở mức độ nhận biết, rất ít học sinh thuần thục các kỹ năng và sáng tạo

khi vận dụng kiến thức về thể tích để xử lý các bài toán cực trị, mà đa phần họcsinh tỏ ra lúng túng không định hình được cách giải

Phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm

vụ cho học sinh một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác những bài toán khókhông có trong sách giáo khoa Ngoài ra số tiết theo phân phối chương trìnhdành cho phần này rất ít nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Hệ thống kiến thức đã học cho học sinh trước khi tiếp nhận kiến thức mới.

+) Công thức tính thể tích khối chóp:

13

trong đó

C

+) Bất đẳng thức Côsi cho n số không âm:

Cho n số không âm x x1, , ,2 x n

.+) Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm

Bước 2: Tìm cực trị của biểu thức cần tính bằng việc sử dụng bất đẳngthức hoặc sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

2.3.3 Hướng dẫn và rèn luyện một số dạng cực trị về thể tích khối chóp thường gặp giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn, chính xác.

Dạng 1: Tìm cực trị về thể tích của khối chóp có 3 cạnh đôi một vuông góc.

Giả sử cho hình chóp S ABC có SA SB SC, , đôi một vuông góc với nhau.Khi đó:

với SH ABC tại H ;

H là trực tâm tam giác ABC

+ Dạng này thường dùng bất đẳng thức Côsi để xử lý cực trị

Nhận xét: Trước hết tôi đưa ra một ví dụ khá đơn giản với mục đích giúp

học sinh có thể tiếp cận dạng toán cực trị về thể tích một cách dễ hiểu nhất và làm nhanh nhất.

Ví dụ 1: Trên ba tia Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một, lần lượt, ,

lấy các điểm , , :A B C OA a OB b OC c ,  ,  Giả sử A cố định còn , B C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn: OA OB OC  Tính thể tích lớn V của tứ max

Bước 1: Tính thể tích khối chóp O ABC dựa vào giả thiết.

Bước 2: Khai thác giả thiết OA OB OC  và sử dụng linh hoạt bất đẳng

thức Côsi để suy ra giá trị lớn nhất của thể tích

Ví dụ 2: Cho tứ diện S ABC có SA AB AC, , đôi một vuông góc với nhau,

độ dài các cạnh BC a SB b SC c ,  ,  Tính thể tích lớn V của tứ diện S ABC

A

24

Bước 1: Tính thể tích khối chóp S ABC dựa vào giả thiết.

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy ra giá trị lớn nhất của thể tích

Nhận xét: ví dụ 2 này khó hơn ví dụ 1 ở chỗ tìm được mối quan hệ giữa

, ,

x y z và a b c, ,

trước khi áp dụng bất đẳng thức Côsi.

Ví dụ 3: Cho tứ diện S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,

3

 

B

2 2

Bước 1: Tính thể tích khối chóp S ABC dựa vào giả thiết Khai thác tính

chất của tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy ra giá trị nhỏ nhất của thể tích

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương: 2 2 2

Ví dụ 4: Cho tứ diện O ABC có OA OB OC, ,

đôi một vuông góc Gọi

Bước 1: Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng ABC.

Sử dụng tính chất H là trực tâm tam giác ABC  (OA ABC;( ))OAH  ;

dựa vào giả thiết bài toán.

+ Thường dùng bất đẳng thức Côsi hoặc đạo hàm để xử lý cực trị

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

max

V 

B

803

max

V 

C

203

max

V 

D V  max 24

Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích khối chóp S ABCD dựa vào giả thiết

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi hoặc xét hàm để suy ra giá trị lớnnhất của thể tích

Lời giải:

c b

a h

B A

H

4 203

D S

2

40 3

sử dụng cách xét hàm số

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,

cạnh bên SA b SA , ABCD Điểm M thay đổi trên cạnh CD , H là hình chiếu vuông góc của S trên BM Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp

M H

K

Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,

cạnh bên SA a SA , ABCD Trên SB SD lần lượt lấy hai điểm ,, M N sao

Nhận xét: ở bài này ta dễ dàng thiết lập biểu thức thể tích khối chóp, tuy

nhiên cái khó của bài toán chính là việc áp dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi, điều này đòi hỏi học sinh biết cách vận dụng bất đẳng thức một cách thuần thục.

Dạng 3: Tìm cực trị về thể tích của khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy.

Đối với dạng này đường cao của mặt bên vuông góc với đáy và chính làchiều cao của hình chóp, khi đó:

dựa vào giả thiết bài toán

+ Thường dùng bất đẳng thức Cosi hoặc đạo hàm để xử lý cực trị

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB SC  Tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc

với đáy Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S ABCD

A

40

803

Nhận xét: đây là một ví dụ ở mức độ vận dụng thấp về cực trị thể tích

khối chóp Lập biểu thức tính thể tích khối chóp theo biến là độ dài của một cạnh chưa biết của hình chữ nhật Sau đó sử dụng bất đẳng thức hoặc xét hàm rồi lập bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất của thể tích.

Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích khối chóp S ABCD dựa vào giả thiết

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy ra giá trị lớn nhất của thể tích

V 

A

B S

a

C

3

43

a

D

3

23

khi SH lớn nhất Vì tam giác SAB

vuông tại S nên :

SA SB SH

Dạng 4: Tìm cực trị về thể tích của khối chóp đều.

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều

và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

+ Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Cácmặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

+ Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi , M N là hai điểm

thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC BD sao cho , AMN luôn vuông góc với mặtphẳng BCD Gọi  V1, V2 lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể

tích khối tứ diện ABMN Tính V V1 2

AH  AMN hay MN luôn đi qua H

Bước 2: Quan sát hình, dựa vào dữ kiện bài cho đánh giá nhận xét tích

BM BN lớn nhất, nhỏ nhất khi nào để suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của thể

tích

Lời giải:

Gọi H là tâm tam giác BCD , ta

có AH BCD, mà AMN  BCD

nên AH AMN hay MN luôn đi qua

H Ta có

33

Do MN luôn đi qua H và M

chạy trên BC nên BM BN. lớn nhất khi

M C  hoặc N D khi đó 1

224

V 

BM BN. nhỏ nhất khi MN CD khi //

23

V V 

.

Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi , M N là hai điểm

theo thứ tự di động trên hai cạnh AB AC sao cho , (DMN) ( ABC) Khi thể tích

tứ diện AMND đạt giá trị lớn nhất, giá trị của tổng AM AN bằng bao nhiêu?

Trích đề minh họa học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa 2020-2021

Đây cũng là dạng bài trong câu 50 đề Sở GD Sơn La năm 2020-2021 Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích tứ diện ABMN dựa vào giả thiết Chú ý rằng:

Bước 2: Viết biểu thức tính thể tích tứ diện ABMN , rồi áp dụng bất đẳng

thức Côsi để suy ra giá trị lớn nhất của thể tích

N

Đặt AM x AN y ;  Dựng

Do DMN ABC DH ABC

giác đều ABC Trong tam giác vuông DHA:

Ta có: S AMN S AMHS ANH

Nhận xét: hai ví dụ trên giả thiết tương tự nhau, tuy nhiên với cách hỏi

khác nhau đã tạo nên hai bài toán riêng biệt tạo hứng thú, khơi dậy được đam

mê học toán cho các em đặc biệt là những học sinh khá, giỏi.

Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh bằng a , góc tao bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng  Tìm  để S ABCD là lớn nhất

Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích hình chóp đều S ABCD theo 

Bước 2: Thiết lập hàm số và lập bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của thể tích

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của CD

D S

M K

Đặt: t 1 2tan21

Lập hàm tính thể tích theo t suy ra được:

3

0 max

Ví dụ 1: Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các cạnh còn lại đều

bằng 2 3 Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất

A x  14 B x 3 2 C x  6 D x 2 3.

Trích mã đề 110 năm 2017 Phân tích:

Bước 1: Tính thể tích tứ diện ABCD dựa vào giả thiết

Bước 2: Viết biểu thức tính thể tích tứ diện ABCD , rồi xét hàm số và lập

bảng biên thiên để suy ra giá trị lớn nhất của thể tích

2

6124

R

x

Và: ID2BD2 R2

Khảo sát và lập bảng biến thiên

của hàm số trên suy ra được: Vmax 3 3

Dấu “=” xảy ra khi: x 3 2

Nhận xét: ví dụ 1 này có rất nhiều cách giải khác nhau, ở đây tác giả

giới thiệu hai cách khai thác lời giải ngắn gọn giúp học sinh có cái nhìn dễ hiểu,làm nhanh và chính xác nhất

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có SA1;SB2;SC  Gọi G là3

trọng tâm ABC Mặt phẳng   đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh

T 

B min

37

Bước 1: Sử dụng điều kiện đồng phẳng của các vectơ

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để suy ra giá trị nhỏ nhất

G là trọng tâm ABC nên             SG 13              SA SB SC                              

Nhận xét: ta có thể dùng phương pháp đặc biệt hóa để giải ví dụ trên Vì

bài toán trên đúng với mọi hình chóp nên đúng trong trường hợp hình chóp có 3 cạnh đôi một vuông góc rồi tọa độ hóa.

max

V 

B

2 33

max

V 

C

23

max

V 

D

3 22

max

V  Phân tích:

Bước 1: Dựng hình để xuất hiện một tứ diện vuông mới và sử dụng tínhchất của tứ diện vuông đó

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm giá trị lớn nhất của khối chóp

V 

A

C B

D

E

F S

Nhận xét: Bài này có thể làm theo cách khác: khai thác tính chất tứ diện

gần đều: đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với hai cạnh đó.

2.3.4 Hệ thống bài tập tự

Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 Gọi , M N là hai điểm

theo thứ tự di động trên hai cạnh AB AC sao cho , (DMN) ( ABC) Khi đó thểtích tứ diện AMND đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Trích đề thi thử Sở GD Sơn La năm 2020-2021

Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có thể tích bằng V , đáy ABCD là hình

bình hành Mặt phẳng  P song song với ABCD cắt các đoạn , , , SA SB SC SD

tương ứng tại M N E F, , , (M N E F, , , khác S và không nằm trênABCD ) Các

điểm H K P Q, , , , tương ứng là hình chiếu vuông góc của M N E F, , , lên

ABCD Thể tích lớn nhất của khối đa diện MNEFHKPQ là:

Trích đề thi thử của trường THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc- Lần 3 năm 2018

Bài 3: Cho khối chóp S ABC cóSA a SB a ,  2,SC a 3 Thể tích

Bài 4: Cho hình chóp .S ABC có độ dài các cạnh SA BC x  ,

SB AC y  , SC AB z  thỏa mãn x2y2z29 Tính giá trị lớn nhất củathể tích khối chóp S ABC

Trích đề thi thử của trường THPT chuyên Thái Nguyên - Lần 2 năm 2018

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có thể tích là V Điểm M thay đổi trong tam

giác BCD Các đường thẳng qua M và song song với AB AC AD lần lượt cắt, ,các mặt phẳng ACD , ABD , ABC tại , , N P Q Giá trị lớn nhất của khối MNPQ là:

Trích đề thi thử của trường Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An- Lần 1 năm 2018

Bài 6: Khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a

SA SB SC a   , cạnh SD thay đổi Thể tích lớn nhất của khối chóp S ABCD

Bài 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh

bên SA a 3, SAABCD Điểm M thay đổi trên CD , H là hình chiếu của

S lên MB Khi M thay đổi trên CD , tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp

Bài 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 , cạnh

bên SA2, SAABCD Trên AB AD lần lượt lấy hai điểm ,, M N sao cho

T 

C

2 34

D

139

T 