Hướng dẫn học sinh nhận dạng và giải bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM ẨN Người thực hiện: Lê Diễm Hương Ch

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN

TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM ẨN

Người thực hiện: Lê Diễm Hương Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán học

THANH HÓA NĂM 2021

Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số yf x 

khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số yf x 

6

2.3.2.2

Dạng 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x  f u x  

khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số yf x 

2.3.2.4 Dạng 4: Tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn liên quan đến tham số khi biết đồ thị hoặc

bảng biến thiên của hàm số yf x  19

Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện, năngđộng và sáng tạo Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sựnghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi mới sự nghiệpgiáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một yếu tố quan trọng là đổimới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp dạy học môn Toán

Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải pháthuy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểmtừng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụngkiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập chohọc sinh.”

Tính đơn điệu của hàm số là một nội dung thường xuyên xuất hiện trong các đề thitốt nghiệp THPT Đặc biệt trong những năm gần đây, tính đơn điệu của hàm số cónhững nội dung hay, khó và thường liên quan đến đồ thị hàm ẩn khi biết đồ thị hoặcbảng xét dấu đạo hàm Với lượng kiến thức khá rộng và cần sự tư duy nhiều hơn từhọc sinh nên tính đơn điệu của hàm số là một trong những phần kiến thức quan trọngcủa học sinh thi tốt nghiệp THPT

Trong những năm trước đây, bài toán tìm các khoảng đơn điệu của hàm số liênquan đến hàm ẩn rất hiếm gặp thậm chí không có trong sách giáo khoa và trong các đềthi THPTQG Năm 2017, khi bộ GD & ĐT quyết định áp dụng phương thức thi trắcnghiệm cho môn toán thì bài toán hàm số liên quan đến hàm hợp đã được coi là bàitoán không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia và bài toán tìm khoảng đơn điệu cùahàm số là cốt lõi để từ đó học sinh có thể giải quết các bài toán liên quan đến cực trị,max,min,… của hàm ẩn Sự đổi mới quyết đoán ấy đã làm thay đổi toàn bộ cấu trúc của

đề thi môn Toán, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra vớihọc sinh không còn đơn thuần là tư duy chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng hơn cả

là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và thao tác tốc độ Để thành công trong việc giảiquyết tốt một đề thi trắc nghiệm Toán thì ngoài việc học sâu cần phải học rộng, nhớnhiều các dạng toán

Trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ, bài toán tìm khoảng đơn điệu của

hàm số và các bài toán liên quan đến hàm ẩn thường nằm ở mức độ kiến thức vận dụng

và vận dụng cao, là bài toán dành cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10 Cái khó ở

bài toán này được đa phần các thầy cô giáo khi giảng dạy đều nhận xét nó nằm ở ba yếutố: yếu tố thứ nhất là đề bài được cho biết bởi đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số

( )

yf x , nếu học sinh không nắm chắc kiến thức sẽ rất dễ sai lầm sang hàm số yf x( )

; yếu tố thứ hai là sử dụng các tư duy tính đạo hàm hàm hợp, tư duy xét dấu, tư duy đồthị hàm số, đây là những tư duy khó đối với học sinh phổ thông; yếu tố thứ ba, bài toánđòi hỏi sự biến đổi phức tạp không phụ thuộc biến số dễ gây sai sót, nhầm lẫn trong tínhtoán cho học sinh Đây là bài toán mới, được áp dụng vào thi cử chưa nhiều, trên thịtrường sách các tài liệu tham khảo còn ít, còn hạn chế cũng như chưa được đầu tư kĩlưỡng về nội dung và hình thức Việc có một tài liệu hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia cácdạng toán khoa học luôn là một nhu cầu cấp thiết cho cả thầy cô và học sinh

Giúp học sinh có một tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải quyết tốt các

bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm số yf x  liên quan đến hàm ẩn và đồ thị hoặcbảng biến thiên của hàm số yf x( ) Từ đó sẽ giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bàitoán tương tự liên quan như tìm cực trị, GTLN,NN của hàm số liên quan đến đồ thịhoặc bảng biến thiên của hàm số yf x( )

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Nội dung là các bài toán về tìm các khoảng đơn điệu của hàm ẩn xuất hiện trongchương trình ôn thi tốt nghiệp môn Toán của THPT

- Một số bài tập vận dụng và vận dụng cao trong các đề thi học chọn học sinh giỏi tỉnh

và các đề thi tốt nghiệp THPT và minh họa các năm gần đây của Bộ GD & ĐT

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn thi, các đề thithử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh vàkhu vực, các báo cáo, luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảng của một số giảng viêntoán,…)

- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động họccủa trò Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm vững những kiếnthức Toán phổ thông nói chung, đặc biệt là xâu chuỗi các nội dung, tạo ra mối liên hệmật thiết giữa các mặt kiến thức là việc làm rất cần thiết Muốn học tốt môn Toán, họcsinh phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận

dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học

đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt.

Khi gặp một bài toán về hàm số liên quan đến hàm ẩn khi biết đồ thị hoặc bảng xétdấu đạo hàm chúng ta có rất nhiều hướng tiếp cận để tư duy ra lời giải Tuy nhiên vớinhững bài toán hay và khó, lối tư duy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức củachương hay kiến thức của cấp học sẽ khiến học sinh khó khăn trong việc tìm ra hướnggiải quyết Vì tính chất phân loại của đề thi THPT Quốc gia hiện nay, bài này đã đặt ramột yêu cầu cao hơn ở học sinh Để giải quyết được bài toán, học sinh cần nắm vữngnhững kiến thức cơ bản của chương hàm số, các phép biến đổi đồ thị đã biết và kiếnthức về đạo hàm hàm hợp, bất phương trình và hệ bất phương trình Tạo ra một mốiliên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức, các kĩ năng, kết hợp lí luận và thực tiễn giúphọc sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sự hứng thú tích cực tronghọc tập, làm cho các em chủ động hơn trong tiếp thu và lĩnh hội tri thức, giúp các emkhông ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, rút ngắn đến mức tối đa thời gian làmbài, suy luận chắc chắn đưa đến kết quả đúng, khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp

dạng toán khó Đây là mục tiêu quan trọng nhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáoviên.

2.2 THỰC TRẠNG

Khảo sát thực tế rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũng như các

trường THPT khác trên địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT Mai Anh Tuấn)

cho thấy học sinh thường không mặn mà lắm với các bài toán liên quan đến hàm ẩn Lí

do được các bạn đưa ra là bài toán này khó, khó ngay từ khâu đọc đề và tư duy hiểu đề,quá trình biến đổi phức tạp, sử dụng rất nhiều đơn vị kiến thức ngoài chương và haygây nhầm lẫn, trong khi điểm số dành cho dạng này trong đề thi chỉ có khoảng 0,4điểm Một phần khó còn do yếu tố tâm lí của học sinh khi nghĩ rằng đây là bài toándành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm Điều này đãdẫn đến một sự thật đáng buồn, phần lớn các bạn học sinh khi ôn thi hay làm thử đề thitrắc nghiệm toán đều bỏ qua hoàn toàn hoặc chỉ khoanh “chùa” đáp án, trong khi bàitoán này không phải bài toán quá khó, bài toán mấu chốt nhất của đề Từ thực tiễn đó đã

thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh nhận dạng và giải bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn”

2.3 GIẢI PHÁP

2.3.1 Hệ thống các kiến thức liên quan:

a) Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số

Cho hàm số yf x( )có đạo hàm trên K

a Nếu f x( ) 0,  x K và f x( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biếntrên K

b Nếu f x( ) 0,  x K và f x( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biếntrên K

* Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số yf x  là:

+ Bước 1: Tìm tập xác định

+ Bước 2: Tính đạo hàm f x( ) Tìm các điểm x i i 1, 2,3, ,n

mà tại đó đạo hàm bằng 0hoặc không xác định

+ Bước 3: Sắp xếp các điểm x i

theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

+ Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

c) Đạo hàm của hàm số hợp

+ Hàm số hợp: Giả sử u g x ( )

là hàm số của x, xác định trên khoảng a b;  và lấy giátrị trên khoảng c d; ; hàm số yf u  là hàm số của u xác định trên c d;  và lấy giá trịtrên  Khi đó ta lập một hàm số yf u( ) f g x   xác định trên a b;  và lấy giá trịtrên  Ta gọi hàm y f g x   là hàm hợp của hàm số yf u  với u g x  

2.3.2 Các dạng bài toán thường gặp:

2.3.2.1 Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số yf x khi biết đồ thị

hoặc bảng biến thiên của hàm số yf x( )

Phương pháp:

Bước 1: Tìm nghiệm x i i 1, 2, ,ncủa phương trình f x  0 (là các hoành

độ giao điểm của đồ thị hàm số yf x( ) với trục hoành)

+ Nếu đồ thị hàm số yf x( )

tiếp xúc với trục hoành ta gọi đó là các nghiệm kép

(nghiệm bội chẵn) của phương trình: f x  0

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x f u x .   .

Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x .

Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm

số.

Cách 2:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x f u x .   .

Bước 2: Hàm số g x  đồng biến  g x  0; (Hàm số g x  nghịch biến

Từ đồ thị hàm số yf x'( )ta thấy f x '( ) 0 với

(1; 4) 1

( 2;1)  và 3;

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số yf x  ta có  

1 0

Ví dụ 2: Cho hàm số f x  , bảng xét dấu của f x  như sau:

Hàm số yf 5 2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

4 3 2

Dựa vào bảng biến thiên hàm số yf 5 2 x đồng biến trên khoảng 4;5 Ta chọn đáp án D

Ví dụ 3: Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu như sau:

Hàm số yf x 2  2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Chọn giá trị x   0  1; 1   2  x2  2x  0 g (0) f (0) 0 

( dựa theo bảng xétdấu của hàm f x( )) Suy ra g x ( ) 0    x  1; 1   2

2 2

x x

x

x x

x x x x

  0

g x 

0 3 2 1

x x x x

Vậy hàm số yf 3  x2 đồng biến trên khoảng 1;0

Ví dụ 7: Cho hàm số y f x  Biết đồ thị hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ bên

Từ bảng trên ta có hàm số g x  f 2x 3x2 đồng biến trên khoảng

1

; 3

 

2.3.2.3 Dạng 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x( )f u x  v x( ) khi biết

đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm sốyf x( )

Phương pháp:

Cách 1:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x f u x .    v x .

Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x .

Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm

số.

Cách 2:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x f u x .    v x .

Bước 2: Hàm số g x  đồng biến  g x  0; (Hàm số g x  nghịch biến

Cách 3: (Trắc nghiệm)

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x f u x .    v x .

Bước 2: Hàm số g x  đồng biến trên K  g x    0, x K ; (Hàm số g x nghịch biến trên K  g x     0, x K ) (*)

Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g x  để loại các

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 2 nên loại hai phương án B.

Ví dụ 2 : Cho hàm số f x  Hàm số yf x'  có đồ thị như hình bên

x y

– 2

4 1

Hàm số g x f 1 2  xx2 x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A

3 1;

và đồ thị hàm số f x'  trên cùng một hệ trục

x y

– 2

4 1

t t

x

g x f x  

đồng biến trên khoảng -1 ; 0

Ví dụ 4: Cho hàm số đa thức f x  có đạo hàm trên  Biết f(0) 0 và đồ thị hàm số

2

h x   f x  x

Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số yf x  và đường thẳng

1 2

y x

, ta có

  0  2;0;4

h x   x 

Suy ra bảng biến thiên của hàm số h x  như sau:

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số g x h x  như sau:

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số g x  đồng biến trên khoảng 0;4

Ví dụ 5: Cho hàm số f x( )liên tục trên ¡ có đồ thị hàm số yf x( ) cho như hình vẽ

3

3 1

1

-1 -1 O

Ta có đường thẳng yx cắt đồ thị hàm sốyf x ( ) tại các điểm

x x x như hình vẽ bên

Dựa vào đồ thị của hai hàm số trên ta có

1 ( )

Dựa vào đồ thị ta thấy

2.3.2.4 Dạng 4: Tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn liên quan đến tham số khi biết

đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số yf x 

Phương pháp:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x f u x .   .

Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x .

Bước 3: Dựa vào bảng dấu và khoảng đơn điệu của hàm số ta tìm được tham

số thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên R Biết hàm số yf x  có đồthị như hình vẽ Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m   5;5 để hàm số

Hàm số g x  f x m   nghịch biến trên khoảng 1;2

m m m

Hướng dẫn: Chọn C

Đặt t x 3 4x m  t  3x2 4 nên t đồng biến trên 1;1 và tm 5;m5

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hàm số f t  nghịch biến trên khoảng m 5;m5

Dựa vào bảng biến thiên ta được

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng  6;6 của tham số m

để hàm số g x  f3 2  x m  x2  m 3x 2m2

nghịch biến trên 0;1.

Khi đó, tổng giá trị các phần tử của S là

nghiệm đều làm đổi dấu đạo hàm nên suy ra g x'   0  x x x2 ; 1     ;x3 .

Vì hàm số nghịch biến trên 0;1 nên g x'   0,  x 0;1 từ đó suy ra

1 1

O

-4

3

3 -4

æ ö÷ç- ¥ ÷

Câu 6

Cho hàm số y=f x( ). Đồ thị hàm số g x( )=f x'( - 2)+2như hình vẽ bên Hàm số y=f x( ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Câu 8 Cho hàm số f x  xác định và liên tục trên R Hàm số yf x  liên tục trên 

2.4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Thực tế cho thấy, với cách phân loại các dạng toán như trên đã tạo được cho họcsinh sự nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm được thời gian hơn trong quá trìnhgiải toán Học sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn trong học tập, biết liên kếtnhiều mảng kiến thức, gắn kết tư duy lí luận với thực tiễn Cách làm trên đã đáp ứngđược nhu cầu học tập tích cực của học sinh Sau khi đã được ôn tập những dạng toán cơbản và phương pháp, học sinh đã tự giải được những bài tập tương tự, nhất là những bàitập nằm trong các đề thi thử của các trường THPT Hiệu quả trong học tập của học sinh

đã được nâng lên rõ rệt

Để có được bài viết trên, tôi đã phải nghiên cứu rất nhiều tài liệu và kiểm chứng quamột số nhóm học sinh có học lực giỏi và khá trong các lớp12 ở trường tôi như lớp 12B,12E, 12K năm học 2020- 2021

Với 10 bài toán trong hệ thống bài tập tự luyện ở trên, mỗi lớp tôi đã chọn ra hai nhóm học sinh với số lượng bằng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tôi cho làm sau khi triển khai bài viết, nhóm II: tôi cho làm trước khi triển khai bài viết, thời gian làm

bài là 25 phút Kết quả thu được cụ thể thể hiện ở bảng sau:

Số học sinh có lời Số học sinh có lời