Hướng dẫn học sinh lớp 11 trường THPT yên định 3 phân loại và giải nhanh bài toán tính góc giữa các yếu tố trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 PHÂN LOẠI VÀ GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍNH GÓC GIỮA CÁC YẾU TỐ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 PHÂN LOẠI VÀ GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍNH GÓC GIỮA CÁC

YẾU TỐ TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Lê Văn Lực Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

Dạng I – Tính góc giữa hai vec tơ trong không gian 6 Dạng II- Tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian 8 Dạng III: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 11

1-MỞ ĐẦU

1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Việt Nam đang trong quá trình hội nhập với thế giới và quá trình toàn cầu hóa

cũng như chúng ta đang trong quá trình công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nướctiến tới là tự động hóa Điều đó đòi hỏi đội ngũ cán bộ, công nhân phải có nănglực chuyên môn vững vàng, năng động, óc tư duy sáng tạo, tính kỷ luật cao

Để đáp ứng nhu cầu đào tạo đội ngũ lao động cho xã hội những năm qua BộGiáo Dục & Đào Tạo đã, đang cải cách giáo dục một cách toàn diện để đào tạo

ra nguồn nhân lực dồi dào đảm bảo về chất và lượng Việc đổi mới trên nhiềuphương diện về nội dung, chương trình, phương pháp dạy và học cũng nhưphương pháp kiểm tra đánh giá

Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động

tư duy sáng tạo của Học sinh; phù hợp đặc điểm của từng lớp học, từng mônhọc, bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹnăng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lại niềm vuihứng thú trong học tập cho học sinh

Trong chương trình môn toán ở trường THPT, phần hình học không gian làmột phân môn khó Vì thế, việc dạy và học hình học không gian là vấn đề đượcnhiều giáo viên giảng dạy môn Toán quan tâm Hình học không gian là một mônhọc khá trừu tượng, đòi hỏi ở học sinh tính sáng tạo cao; vì thế hình học khônggian có khả năng rèn luyện kĩ năng lập luận, óc suy luận phán đoán, tư duylogic, tính cẩn thận cho học sinh

Trong chương trình Hình học 11, bài toán xác định góc giữa các yếu tố trongkhông gian không được trình bày ở một bài cụ thể mà nó được trình bài bằngcác mục nhỏ trong các bài học của chương 3 hình học lớp 11 Trong các đề thiTHPT Quốc gia, kỳ thi học sinh giỏi phần tính góc chỉ chiếm 0.4 điểm trên 10điểm tuy nhiên học sinh muốn giải được các bài tập hình dạng khác thì mục nàycũng phải nắm thật vững kiến thức phần này, đạt được từ điểm 7 trở lên thì yêucầu học sinh phải làm tốt bài toán dạng này là hết sức cần thiết Để làm tốt bàitoán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mốiquan hệ giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng và các khái niệm trong hình họcphẳng

Qua thực tế giảng dạy tại trường THPT Yên Định 3, qua trao đổi với các đồngnghiệp công tác ở các trường khác tôi nhận thấy: các em thường bỏ qua phầnnày hoặc có một số học sinh thực hiện thì việc xác định các yếu tố còn chậm,thường mắc nhiều sai lầm Điều này đòi hỏi chúng ta tìm nguyên nhân, đưa ragiải pháp khắc phục nhằm tạo ra hứng thú cho học sinh trong học tập và gópphần nâng cao chất lượng dạy và học ở bộ môn toán

Đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 11 trường THPT Yên Định 3 phân loại và

giải nhanh bài toán tính góc giữa các yếu tố trong không gian” là nhằm giúp

học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại, ngày càng yêu thích học tập và đặc biệt

là môn Toán, cũng như giúp các em có nền tảng kiến thức vững chắc để các emhọc tốt các môn học khác và thực hiện tốt các kỳ thi sắp tới.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Như đã trình bày ở trên, xuất phát từ nhu cầu thực tiễn giảng dạy ở trườngTHPT Yên Định 3 và thực hiện quá trình đổi mới giáo dục, đề tài được viết vớimục đích:

- Cung cấp tài ôn tập cho học sinh THPT Yên Định 3, để từ đó các em cóthể học tập nghiên cứu và áp dụng vào kì thi THPT Quốc gia và học sinhgiỏi

- Rèn luyện kỹ năng vận dụng lý thuyết và giải bài tập và vận dụng vàothực tiễn từ đó tạo sự tự tin hứng thú học tập cho các em

- Nâng cao khả năng tự học, tự nghiên cứu rèn luyện của học sinh cũng nhưgiáo viên

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứutôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:

- Phương pháp phân tích và hệ thống hóa các tài liệu

Nhằm phân tích các tài liệu có liên quan đến biện pháp giúp đỡ học sinhtrong học tập môn toán ở lớp 11 cấp THPT, trong đó chú trọng sách giáo khoa,sách giáo viên, chương trình giảm tải toán lớp 11 để nắm chuẩn kiến thức, kỹnăng trong dạy học môn toán ở khối lớp này

- Phương pháp phỏng vấn

Nhằm phỏng vấn các giáo viên đang dạy lớp 11 để đưa ra những giải pháptối ưu khi giải bài toán tính góc và phỏng vấn những học sinh lớp 11 để nắmđược mức độ học toán cũng như kỹ năng giải bài toán tính góc của các em

- Phương pháp thực nghiệm

Nhằm khẳng định các biện pháp giúp đỡ học sinh khi thực hành giải toánđặc biệt là giải toán hình học

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1.CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI:

Như chúng ta đã biết trong giảng dạy đã chia ra 3 mức độ của nhận thức là

1) Nhận biết 2) Thông hiểu

3) Vận dụng( vận dụng thấp và vận dụng cao)

Như vậy việc đưa ra các bài tập tuỳ theo mức độ của nhận thức của học sinh

là việc cơ bản khi giảng dạy Để làm tốt việc dạy học phân hóa đối tượng vàđưa ra các bài tập phù hợp thì việc phân dạng, loại bài tập với giáo viên và giúphọc sinh phân dạng toán cũng rất quan trọng và cần thiết cho học sinh dễ hiểu,tạo sự thích thú đam mê trong học tập và khám phá

Ngày nay khi chúng ta đang cố gắng giúp học sinh thấy được việc học các

kiến thức trong sách giáo khoa không xa rời thực tiễn Việc giúp học sinh yêuthích và học tốt phân môn hình không gian là một trong những yếu tố giúp họcsinh thấy được mối liên hệ mật thiết và gần gủi giữa môi trường sống xungquanh các em và các bài học

Ngay từ đầu khi các em mới bắt đầu học hình không gian chúng ta cần giúp

các em làm quen từ từ với các khái niệm trong không gian thông qua các môhình và các công trình thực tiễn quanh ta từ đó giúp các em bắt đầu có sự tưởngtượng không gian Sau khi hình thành tư duy tưởng tượng tốt cùng với được sự

bổ sung kiến thức phân loại chi tiết giúp các em tiếp cận và học tập tốt hơn

Để làm tốt bài tập hình không gian và đặc biệt là tính Góc giữa các yếu tốtrong không gian các em cần hiểu rõ các kiến thức cơ bản như sau:

Một số công thức hình học

+ Hệ thức lượng trong tam giác:

a) Cho tam giác vuông tại A, đường cao AH

H

C

b) Cho tam giác ABC có cạnh a = BC; b=AC; c=AB; bán kính đường

tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r, nửa chu vi p

a b c  bc A b a c  ac B c a b  ab C

2 sin sin sin

Trong không gian cho và là hai vec tơ khác vec tơ – không Lấy điểm A bất

kì gọi B và C là hai điểm sao cho , Khi đó ta gọi góc (

) là góc giữa hai vec tơ và trong không gian, kí hiệu là

Định nghĩa về Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc giữa hai đường thẳnga’và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a, b

Định nghĩa về Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa về Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với haimặt phẳng đó

2.2.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH

NGHIỆM

Thực trạng chung:

Trường THPT Yên Định 3 đặt trên vùng kinh tế còn tương đối khó khăn, trình

độ dân trí còn thấp, phụ huynh học sinh chưa nhận thức được tầm quan trọngcủa việc học tập của con cái nên chưa có sự quan tâm và đầu tư đúng hướng.Năng lực học tập của học sinh còn hạn chế do đầu vào lớp 10 thấp, trong mộtlớp có rất nhiều đối tượng học sinh khác nhau khả năng tự học, tự tìm tòi sángtạo của học sinh gần như chưa có Những năm gần đây do kinh tế thị trường nênnhiều nhà máy xí nghiệp mọc lên nó tuyển dụng một lượng lớn nguồn lao độngtay nghề thấp, nhiều sinh viên đại học ra không có việc làm dẫn đến ý trí học tậpcủa học sinh và phụ huynh bị giảm sút nghiêm trọng Đa số học sinh không cóđầy đủ đồ dùng học tập, sách giáo khoa, sách tham khảo Ngoài thời gian tớitrường các em lại phải giúp bố mẹ công việc gia đình, có những em còn là laođộng chính để nuôi sống gia đình không có nhiều thời gian dành cho học tập.Nên các khái niệm các em thường nắm không vững, hay quên và khó vận dụng

lý thuyết vào việc giải bài tập Đa số học sinh yếu môn hình trong khi đó nhữngnăm gần đây trong các kỳ thi TN- ĐH CĐ lại thường có bài toán hình khônggian hơn nữa lại dạng trắc nghiệm, thông thường các em thường khoanh ngẫunhiên câu này mong chờ ăn may vì đa số các em không tưởng tượng, vẽ hìnhđược nên việc tạo cho các em yêu thích học hình không gian ngay từ lớp 11 làrất cần thiết và cấp bách

Giáo viên:

Hình học nói chung và phần hình học không gian nói riêng yêu cầu người

học và người dạy phải có óc tưởng tượng tốt, tư duy logic Giáo viên phải giúphọc sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc giải bài tập trong khi đó phần lý thuyếthình không gian tương đối nặng, lượng bài tập lớn trong khi thời gian học trênlớp lại rất ít vì vậy mà giáo viên không đủ thời gian để truyền đạt hết các kiếnthức quan trọng, không thể giúp học sinh hoàn thiện kỷ năng giải toán Điều đóbuộc mỗi giáo viên phải tìm ra những phương pháp dạy hợp lí, truyền đạt kiếnthức đầy đủ nhưng phải ngắn gọn và học sinh dễ tiếp thu nhất đồng thời địnhhướng cho học sinh khả năng tư duy, vận dụng linh hoạt và khả năng tự kháiquát Qua đó giúp học sinh không thụ động trong việc học tập lý thuyết

Học sinh: Học sinh chưa có phương pháp học tập khoa học, chưa chịu sử dụng

đầu óc để tư duy, tưởng tượng suy nghĩ, khái quát lại kiến thức được học màcác em thường mang nặng tính chất ỉ lại, học hành mang tính chất đối phó là chủyếu

Với thực trạng như vậy để giúp học sinh phát huy năng lực tư duy logic, tưduy trừu tượng, tính cẩn thận, tạo hứng thú trong học tập và để các em thấyđược môn toán không khó học Đồng thời bổ sung lượng kiến thức đầy đủ mộtcách tổng thể để các em có thể học tốt phần hình học từ đó các em có thể học tốt

môn toán và các môn học khác Tôi xin giới thiệu đề tài:

“Hướng dẫn học sinh lớp 11 Trường THPT Yên Định 3 phân loại và giải nhanh bài toán tính góc giữa các yếu tố trong không gian”

2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:

Theo kinh ngiệm của bản thân tôi thì học sinh muốn học tốt môn học nào đóthì trước hết phải nắm vững chắc lý thuyết đồng thời biết vận dụng linh hoạt lýthuyết vào giải tốt các bài tập từ dễ đến khó chính vì thế để giúp các em học sinhvận dụng được kiến thức vào thực tế thì mỗi giáo viên chúng ta phải biết cáchtruyền đạt kiến thức, và có những phương pháp nào hữu hiệu nhất

Để tạo hứng thú học hình không gian cho học sinh cũng như giúp các em cóthể vận dụng lý thuyết vào việc giải nhanh bài tập trong quá trình giảng dạy vàđặc biệt là trong các tiết ôn tập tôi thường giúp học sinh hệ thống lại các kiếnthức liên quan, sau đó thực hiện các ví dụ từ mức độ đơn giản nhất dần dần nângdần mức độ khó hơn Phân loại bài tập, câu hỏi theo từng đối tượng học sinh.Giúp học sinh một mặt củng cố những kiến thức cơ bản cũng từ đó hình thànhphương pháp giải cho mỗi dạng toán mà các em không cảm thấy bị ngợp hoặcthấy khó quá mà bỏ cuộc

Tính góc trong mọi trường hợp yêu cầu học sinh phải thực hiện hai nhiệm vụ

cơ bản:

+) Xác định góc

+) Tính góc đó

Đó là hai nhiệm vụ cốt lõi của học sinh cần làm tốt bài toán tìm góc của cácyếu tố trong không gian

GIÚP HỌC SINH PHÂN LOẠI VÀ GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN TÍNH GÓC GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG KHÔNG GIAN CHÚNG TA CÓ THỂ

PHÂN THÀNH CÁC DẠNG TOÁN NHƯ SAU:

DẠNG I: TÍNH GÓC GIỮA HAI VEC TƠ

Tuỳ thuộc vào các dữ kiện của bài toán và trình độ nhận thức cũng như chương

trình học của học sinh Để giải bài toán: Tính góc giữa hai vec tơ ta thường thực hiện như sau:

- Thường trong các bài toán đơn giản, đã có sẵn các vec tơ chung gốc

- Có những trường hợp ta giữ lại một vec tơ và dựng một vec tơ có chung gốc với vec tơ đó

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều cạng a tính góc các cặp vec tơ

Hướng dẫn giải: Ta có cos ,  . 20 1

5.4

C'

C

D D'

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Câu 1.(TH) cho hai vec tơ a, b thỏa mãn a  4;b  3;a b   4 Gọi là góc giữa hai vec tơ a, b khẳng định nào đúng?

A 450 B 300 C 600 D 1200

Câu 4 (TH) Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm cạnh AB Khi đó góc

giữa hai vec tơ  AC CH; ;

Câu 9 (VD)Cho tứ diện đều SABC có M, N lần lượt là trung điểm BC và SA

Cô sin của góc giữa hai vec tơ SM BN  ,

Câu 10 (VD) Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với (ABC) Tam giác

ABC vuông tại B, hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) tạo với nhau một góc 600 và

DẠNG II TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

Để tính góc giữa hai đường thẳng a, b ta sử dụng phương pháp như sau:

- Nếu a//b hoặc a trùng với b thì góc giữa chúng bằng

- Nếu a cắt b thì tính góc tạo bởi a và b ta thường gắn nó vào một tam giác nào đó để tính.

- Nếu a và b chéo nhau ta thưc hiện theo các cách sau:

Cách 1:

Bước 1: Tìm góc bằng cách lấy điểm A nào đó( thông thường là lấy

) Qua a dựng a’ và b’ theo thứ tự song song với a và b Khi

đó góc nhọn hoặc vuông tạo bởi a’ và b’ là góc giữa a và b.

Bước 2: Tính góc sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác

Cách 2: Bước 1: Tìm hai vec tơ là hai vec tơ chỉ phương của a và b Bước 2: Tính góc giữa

Bước 3: Suy ra góc giữa 2 đường thẳng a và b.

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng a, b có vec tơ chỉ phương lần lượt là u v , thỏa mãn  u v  , 150 0 Tìm góc giữa a,b

Hướng dẫn giải: Gọi  là góc giữa a, b khi đó ta có   180 0  150 0  30 0

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai tam

giác SAB, SAD vuông tại A SA= Tính góc giữa

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD,

biết AB=CD = a, MN = Tính góc giữa AB và CD

Nhận xét: Nhiều học sinh sẽ nhầm lẫn góc giữa hai đường thẳng IM và IN là góc MIN nên dễ dẫn đến lựa chọn đáp án sai vì góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 0

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Câu 1 (NB) Cho hai đường thẳng a, b có vec tơ chỉ phương u v , Giả sử

0

( , ) 125u v   Tính góc giữa hai đường thẳng a, b

Câu 2 (NB) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có tất cả các cạnh đều bằng a

số đo của góc giữa hai đường thẳng BC, SA bằng

Câu 3 (NB) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB =a;

BC= 2a và SA vuông góc với đáy; SA = 2a Tính góc giữa hai đường thẳng SD

và BC bằng

Câu 4 (TH) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA =

OB = OC Gọi M là trung điểm của BC Tính góc giữa OM và AB

Câu 5 (TH) Cho lăng trụ tứ giác ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ

nhật với AB = a; AD a 3 Tính góc giữa A’C’ và BD

Câu 6.(TH) Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm cỉa BC Khí đó cô sin

của góc tạo bởi hai đường thẳng AB và DM bằng

Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm AC

khi đó ta có IM//AB VÀ IM//CD nên góc giữa AB và CD bằng góc giữa IM và IN Đặt

; Theo định lí cosin

ta có

Câu 7 (VD) Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh đều bằng a Hãy tính góc tạo

bởi hai cạnh đối diện

Câu 8 (VD) Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ Gọi M, N là trung điểm

của AD, BB’ Cô sinh của góc tạo bởi MN và AC’ là

giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

Câu 10 (VD) Cho tứ diện ABCD có AB=BC=CA=4, AD = 5, CD = 6, BD = 7

Góc giữa AB và CD bằng

DẠNG III TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Để tìm góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta thường sử dụng phương pháp như sau:

Cách 1: Bước 1 Tìm

Bước 2.Lấy và dựng vuông góc với (P) tại H

khi đó

Cách 2: Tính gián tiếp theo hai hướng sau:

Hướng 1: Chọn d//a mà góc giữa d và (P) có thể tính được

Từ đó ta có:

Hướng 2: Chọn một mặt phẳng (Q)//(P) mà góc giữa a và (Q) tính được Từ đó ta có: (a, (P)) = (a, (Q))

Ví dụ1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc

với đáy Tính góc giữa CD và (SAD)