Phân loại một số dạng toán thường gặp về số phức theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó giúp học sinh lớp 12 ôn thi tốt

MỤC LỤCSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY TỪ DỄ ĐẾN KHÓ G

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:

PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ

PHỨC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY TỪ DỄ ĐẾN

KHÓ GIÚP HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI TỐT

Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2021

MỤC LỤC Nội dung Trang

1 MỞ ĐẦU …… 2

1.1 Lý do chọn đề tài ……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu ……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu ……… 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu ……… 3

1.5 Những điểm mới của SKKN ……… 3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.3.1 Đặt vấn đề …… 4

2.3.2 Cơ sở lý thuyết ……… 4

2.3.3 Phân loại một số dạng toán thường gặp về số phức 6

Dạng 1: Tổng hợp kỹ năng cộng, trừ, nhân, chia số phức ……… 6

Dạng 2: Phương trình bậc hai với hệ số thực…….……… 7

Dạng 3: Xác định các yếu tố cơ bản của số phức thoả mãn điều kiện cho trước ……… 9

Dạng 4: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức … ……… … 12

Dạng 5: GTLN – GTNN của mô đun số phức……… ………… 14

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giái dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 17

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18

- Tài liệu tham khảo 20

- Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên ……… 21

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài :

Những năm gần đây, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông thường xuyênxuất hiện những bài toán số phức theo các mức độ từ dễ đến khó, đặc biệt từ khimôn Toán trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông chuyển sang hình thức thitrắc nghiệm khách quan thì số phức trong đề thi trắc nghiệm chiếm tỉ trọng khôngnhỏ và càng đa dạng hơn kể cả về dạng toán cũng như mức độ nhận thức, vì vậy nóluôn được sự quan tâm đặc biệt của học sinh cũng như giáo viên

Sự xuất hiện các câu hỏi số phức ở nhiều mức độ khác nhau như nhận biết,thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thônglàm cho không ít học sinh lúng túng khi muốn phân dạng bài tập số phức để tìm tòilời giải Mặt khác với hình thức thì trắc nghiệm thì không những áp lực về kiếnthức mà áp lực về thời gian cũng rất lớn Chính vì vậy định hướng được cách suyluận lôgic và cách giải bài toán để tìm đáp án đúng rất quan trọng trong khi làm bàithi Bên cạnh đó, các tài liệu tham khảo cho những dạng toán trên hầu như chưa có

và chỉ xuất hiện rời rạc ở những bài toán đơn lẻ và trong các đề thi thử Do đó việctổng hợp, phân loại và đưa ra phương pháp giải các dạng toán trên theo các mức độ

là rất cần thiết cho học sinh trong quá trình ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và

tham khảo một số tài liệu, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Phân loại một số dạng toán

thường gặp về số phức theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó giúp học sinh 12 ôn thi tốt” nhằm giúp các em hiểu và có kỹ năng giải quyết tốt các bài

toán số phức để đạt kết quả tốt nhất trong các kì thi

1.2 Mục đích nghiên cứu :

- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng phát triển phẩmchất, năng lực học sinh nhằm phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của họcsinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứngvới xu hướng hiện nay

- Giúp cho học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản về chương số phức, thành thạo khilàm toán trắc nghiệm, sử dụng máy tính cầm tay, giúp giáo viên xây dựng chủ đềdạy học một cách có hệ thống

- Định hướng giải và phân loại các dạng bài tập số phức thường gặp theo các mức độ từ dễ đến khó giúp học sinh giải quyết được các bài toán số phức, đặc biệt các bài toán số phức ở mức độ vận dụng một cách chính xác và nhanh chóng Từ

đó kích thích khả năng tư duy, sự ham hiểu biết của học sinh đối với môn học

1.3 Đối tượng nghiên cứu :

Đối tượng nghiên cứu là phân loại một số dạng toán thường gặp về số phứctheo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó

Đối tượng mà tôi hướng đến là học sinh lớp 12 đang ôn thi tốt nghiệp trung

học phổ thông

1.4 Phương pháp nghiên cứu :

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :

1.4.1 Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục,… có liên quan đến nội dung đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

2 Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung về toán số phức

- Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học

- Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của học sinh trongquá trình giải quyết bài toán số phức Từ đó đề xuất phương án giải quyết, tổng kếtthành bài học kinh nghiệm

1.5 Những điểm mới của SKKN :

Đề tài tập trung hướng dẫn học sinh biết cách phân loại một số dạng toánthường gặp về số phức theo các mức độ từ dễ đến khó thường gặp trong đề thi Đềtài cũng chú ý rèn luyện cho học sinh kỹ năng quan sát, phán đoán hướng làm và

tư duy sáng tạo để giải quyết bài toán

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm :

Để thực hiện tốt Chương trình môn Toán trong Chương trình GDPT 2018 theohướng phát triển phẩm chất, năng lực học sinh đòi hỏi cả giáo viên và học sinh đềuphải nỗ lực hết sức Từ đó hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các

quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng công cụ,phương tiện học toán Góp phần hình thành và phát triển ở học sinh các phẩm chấtchủ yếu và năng lực chung theo với các mức độ phù hợp với môn học

Nhằm phục vụ cho lý luận này tôi dựa theo lý luận rằng : bồi dưỡng cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất của vấn đề rồi sau đó mới tạo cho học sinh khả năng tự học và độc lập trong suy nghĩ, từ đó học sinh có thể tự mình phân loại các dạng bài tập theo chuyên đề Có như thế thì học sinh mới dễ dàng làm tốt bài thi trong kỳ thi tốt nghiệp THPT

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :

Với đề thi trắc nghiệm 50 câu môn Toán hiện nay thì số câu hỏi về số phứcchiếm tỉ trọng kha khá theo các mức độ từ nhận biết đến vận dụng cao Các bài tậpliên quan đến chúng nhiều, phong phú và đa dạng vì vừa liên quan đến kiến thứcđại số vừa liên quan đến kiến thức hình học phẳng

Toán số phức có nhiều dạng hay đã và đang được khai thác trong các đề thitrắc nghiệm khách quan Đứng trước một bài toán này, học sinh các trường THPTnói chung và trường THPT Lê Lợi nói riêng còn có những bài lúng túng Sáng kiếnkinh nghiệm của tôi phân loại một số dạng toán thường gặp về số phức theo cácmức độ từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh giải quyết hiệu quả khi gặp một bài toán

ra được hướng giải quyết ngay, hoặc có em đưa ra được hướng giải quyết thì giải quyết chậm và chưa triệt để bài toán

Vì thế trong thực tiễn giảng dạy và ôn thi tốt nghiệp THPT, tôi phân loại một

số dạng toán thường gặp về số phức trong đề thi nhằm giúp học sinh phát hiện rahướng giải quyết các dạng đó và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT sắptới

2.3.2 Cơ sở lý thuyết :

Căn cứ vào lý thuyết chương Số phức trong chương trình cơ bản Giải tích 12 Tôi tóm tắt nội dung lý thuyết như sau:

1 Định nghĩa số phức

Một số phức là một biểu thức có dạng a bi , trong đó a và b là những số

thực và số i thỏa mãn i 2 1, kí hiệu số phức đó là z và viết z a bi 

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z a bi 

2 Biểu diễn hình học của số phức

Số phức z a bi  , a,b Rđược biểu diễn bởi điểm M a b ;  hoặc u a b ; 

trong mặt phẳng tọa độ Oxy

+ Tính chất phân phối ( của phép nhân với phép cộng)z z 'z'' z z 'z z "

5 Số phức liên hợp và mô đun của số phức

a Số phức liên hợp:

liên hợp của z

* Một số tính chất của số phức liên hợp

, 0

z z

'

z

z z z

2.3.3 Phân loại một số dạng toán thường gặp về số phức :

DẠNG 1: TỔNG HỢP KỸ NĂNG CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC.

Phương pháp chung : Trong dạng này chủ yếu kiểm tra kiến thức và rèn luyện kỹ

năng tính toán của học sinh về các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, kết hợp với một số kiến thức khác về modun của số phức, số phức liên hợp, phần thực

và phần ảo của số phức.

Yêu cầu:- Nắm vững các khái niệm và rèn luyện kỹ năng tính toán chính xác.

- Biết sử dụng máy tính bỏ túi Casio để tính toán và kiểm tra kết quả

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1(Nhận biết) ( Đề minh hoạ lần 1 năm 2021 của Bộ GD & ĐT)

Cho hai số phức z  3 i và w  2 3i Số phức z-wbằng :

A 1 4i B 1 2i C 5 4i D 5 2i Chọn câu B

Ta có : z w 3i  2 3 i  1 2i

Ví dụ 2 (Thông hiểu) ( Đề minh hoạ lần 1 năm 2021 của Bộ GD & ĐT)

' ' z z z

Cho số phức z  3 4i Mô đun của số phức 1 i z  bằng :

Ví dụ 3 (Vận dụng ) ( Đề minh hoạ lần 1 năm 2021 của Bộ GD & ĐT)

Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z  2 và z 2i z   2

phức z1   1 i z, 1   1 2 ,i z3   2 i z, 4  3i Gọi S là diện tích tứ giác ABCD Tính

* Căn bậc hai của số thực a<0 là : i a| |

* Giải phương trình bậc hai trên tập số phức với hệ số thực:

Ví dụ 1(Nhận biết) (Đề thi thử TN THPT của Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hoà

Bình - 2021) Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z22z 5 0 là :

Theo yêu cầu bài toán suy ra nghiệm phức cần tìm là z  1 2i

Ví dụ 2 (Thông hiểu) (Đề thi thử TN của THPT Quế Võ 1 – Bắc Ninh - 2021)

Ký hiệu z z1 , 2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 2z 4 0 Giá trị của

Ví dụ 3 (Vận dụng ) (Đề thi thử TN THPT của Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An -

2021) Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình : z2 a 3z a 2a0

có 2 nghiệm phức z z1 , 2 thoả mãn z1 z2 z1  z2 ?

A 4 B 2 C 1 D 3

Chọn câu A

Ta có  3a2 10a9

+ TH1:   0, phương trình có 2 nghiệm 1,2

3 2

A 12 B 20 C 14 D 8

Bài 4: Gọi z1 và z2 là nghiệm phức của phương trình z2 4z 5 0 Giá trị của

z1  12021z2  12021 bằng :

A 2 i1011 B 21010 C 21011 D 2 i1011

DẠNG 3: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA SỐ PHỨC THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.

Những bài toán dạng này thường cho trong điều kiện có chứa z, z ,|z|

Phương pháp chung:

* Cách 1: Đặt z=a+bi (a, b∈R)

- Đưa các yếu tố bài toán cho về phương trình ẩn a,b

- Dùng các yếu tố hai số phức bằng nhau, modun số phức để đưa về phương

trình, hệ phương trình ẩn a,b

- Giải phương trình, hệ phương trình được a,b

K H

A B

S

D

K H

A B

A A B B







P b

Lời bình: Việc đặt ẩn phụ khi giải toán về số phức góp phần làm cho lời giải bớt

cồng kềnh trong biến đổi, thậm chí là đi nhanh đến kết quả hơn

Ví dụ 4 (Vận dụng ) (Đề thi thử TN THPT của ĐH Hồng Đức – Thanh Hoá -

2021) Có bao nhiêu số phức z thoả mãn đồng thời các điều kiện z 2020i 2021

Vậy có 4 số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 5 (Vận dụng cao) (Đề thi chính thức TN THPT của Bộ GD&ĐT–MĐ 103

- 2018) Có bao nhiêu số phức z thoả mãn điều kiện z z  6  i  2i 7  i z ?

 

f a

8788 27



Đường y = - 4 cắt đồ thị hàm số f(a) tại 2 điểm nên phương trình a313a2  4 0

có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ( do f  1  0)

Mỗi giá trị của a cho ta một số phức z

Vậy có 3 số phức thoả mãn điều kiện

Bài tập đề nghị :

Bài 1 [5] : Cho số phức z thoả mãn z z  2 8i Tìm số phức liên hợp của z :

A 15 8i B 15 2i C 15 7i D 15 8i Bài 2 [6] : Số phức z thoả mãn hệ thức z 2i  10 và z z . 25 là :

A.z 3 4 ,i z5 B.z 3 4 ,i z5 C.z 3 4 ,i z 5 D.z 3 4 ,i z 5 Bài 3 [7] : Tìm số phức z thoả mãn z 1 2 i z  8 14i

B

2 1 2

C

2 4 2

DẠNG 4: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC.

Chủ yếu đề cập đến biểu diễn hình học các số phức hoặc tìm điểm, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn một vài điều kiện nào đó.

Yêu cầu: - Nắm vững các khái niệm điểm biểu diễn hình học, modun của số phức

- Biết vận dụng các kiến thức tổng hợp để biến đổi phương trình, hệ phương trình.

- Biết sử dụng các kiến thức hình học tọa độ trong mặt phẳng vào xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức

Phương pháp chung:

* Cách 1: ( Phương pháp đại số )

- Đặt z x yi x y R( ,  )

- Đưa các yếu tố bài toán cho về phương trình ẩn a,b

- Dùng các yếu tố hai số phức bằng nhau, modun số phức để đưa về phương

trình, hệ phương trình ẩn a,b từ đó xác định được hình dạng của tập hợp

điểm biểu diễn số phức

* Cách 2: ( Phương pháp hình học )

- Đặt z x yi x y R( ,  )

- Sử dụng độ dài véc tơ, khái niệm modun số phức để đưa về hình học suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức.

* Cách 3: ( Trắc nghiệm Casio ) Dùng máy tính Casio để loại trừ phương án sai

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp :

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 (Nhận biết) Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn cho số

phức z thoả mãn điều kiện z2 là một số thuần ảo là:

A Trục hoành (trừ gốc toạ độ O) B Trục tung (trừ gốc toạ độ O)

C Hai đường thẳng y = ±x (trừ gốc toạ độ O) D Đường tròn x2 + y2 = 1

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z là 2 đường thẳng y = ±x (trừ gốc toạ độ O)

Ví dụ 2 (Thông hiểu) Cho các số phức z thoả mãn z i   z 1 2i Tập hợp cácđiểm biểu diễn số phức w  z 2i trên mặt phẳng toạ độ là một đường thẳng

Phương trình đường thẳng đó là :

A 2x y  2 0 B 2x y  2 0 C x3y 4 0 D x 3y4 0 .

Chọn câu D

* Cách 1: ( Phương pháp đại số )

Từ w  z 2i z w 2  i thế vào giả thiết, ta có : w 3 i w 1

Gọi w  x yi x y ,   khi đó ta có:

w 3  i  w 1   x y 3 i  x 1 yi  x  y 3  x 1  y  x 3y 4 0 

* Cách 2: ( Phương pháp hình học )

Từ w  z 2i z w 2  i thế vào giả thiết, ta có : w 3 i w 1 Gọi

M x y biểu diễn số phức w và A0;3 , B1;0 biểu diễn các số phức z1  3 ,i z2  1

trên mặt phẳng phức thì ta có MA MB

Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của AB có phương trình x 3y 4 0

* Cách 3: ( Trắc nghiệm Casio )

Ta cũng gọi w  x yi x y ,   ( chỉ ngầm hiểu – không cần ghi )

mà đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt nên ta vào Mode 2 ( Hoặc Menu 2 ) nhập

2 cặp x y;  khác nhau của một đường thẳng thoả mãn giả thiết

Bấm X Yi  3i  X Yi 1 bấm CALC

- Phương án A: Ta nhập x1,y 0 Không thoả mãn Loại A và do đó loại B

- Phương án C: Ta nhập x2,y 0 Không thoả mãn Loại C Vậy chọn D

Ví dụ 3 (Vận dụng ) (Đề thi thử TN THPT của Chuyên KHTN - 2021) Xét số

phức z thoả mãn

2 2

2 2



B  5 C 2 5 D 5



Bài 2 [10] : Xét các số phức z thoả mãn điều kiện z 2 1i  z i 

là số thực Biếtrằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng có phương trình

ax

y b Mệnh đề nào sau đây sai ?

A a b 2 B a b 2 C a23b4 D 5b2 a6 Bài 3 [11] : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả