Phân dạng một số phương pháp giải bài toán ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng

Khi học vấn đề này nhìnchung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phântích , thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc khônggiải được, đặ

I MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay, tích phân cùng với các khái niệmkhác góp phần quan trọng trong môn Giải tích toán học, là một trong những cơ sở

để nghiên cứu Giải tích hiện đại Muốn học sinh học tốt được tích phân thì mỗingười Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵntrong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách gậpkhuôn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động Nếu chỉ dạy họcnhư vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quảhọc tập sẽ không cao Nó là một trong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đàotạo các em thành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứngvới những đổi mới diễn ra hàng ngày

Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng ở chươngtrình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn Hầu hết các em học sinh thường

có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng Khi học vấn đề này nhìnchung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phântích , thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc khônggiải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tíchmới tính được Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo córất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục

“những sai lầm đó” Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tíchphân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế

Theo một số ý kiến phản ánh của các trường đại học thì những em đạt thànhtích cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia cũng như kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2019– 2020 khi vào học không biết hoặc yếu trong quá trình phân tích, trình bày mộtvấn đề chuyên sâu nào đó, do đó từ năm học 2021 – 2022 trở đi Bộ GD&ĐT cũngnhư sở GD&ĐT Thanh Hóa dự kiến trong các bài thi đánh giá sẽ kết hợp giữa hìnhthức thi tự luận và trắc nghiệm khách quan, trong đó phần thi tự luận sẽ giao trongphần VD và VDC, khi đó những học sinh thường dùng các kỹ năng máy tính haynhững suy luận không cơ sở khoa học để tìm đáp án, cũng như những học sinh

“khoanh bừa” đáp án không may trúng sẽ gặp rất nhiều khó khăn Do vậy việc dạyhọc để học sinh hiểu bản chất của toán học là rất quan trọng Ngoài ra việc tínhdiện tích hình phẳng bất kỳ cũng là những kiến thức thực tế cần thiết, qua đó đểthấy được vẽ đẹp của Toán học có sự liên kết với thực tế giúp các em yêu thíchmôn Toán hơn

Từ những lý do trên tôi chọn đề tài “ PHÂN DẠNG VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG

PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ” phần nào sẽ giúp các em giải quyết được phần nào

các vấn đề trên

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và môn Giải tích

12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủđộng và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh cóphương pháp học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay

- Nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân, đặc biệt là tích phân cóchứa dấu giá trị tuyệt đối, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắc phụcnhững khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng Từ đó giúphọc sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích mà học sinh đã học ở lớp dưới, thấyđược tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học,học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân.

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Chương : Nguyên hàm,Tích phân và chủ yếu là một số dạng toán liên quan đếndiện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :

a Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

- Nghiên cứu đề thi thử THPT quốc gia của bộ giáo dục và các trường phổ thông,trường đại học trong cả nước

b Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung ứng dụng của tích phân

- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học

- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua cáctiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

II NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận

Phần các bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số làmột trong những phần quan trọng trong chương trình THPT; là một phần khôngthể thiếu trong các kỳ thi vào đại học, cao đẳng trong những năm gần đây

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn các em thường dùng hai phương phápchính là: Dùng công thức và vẽ đồ thị sau đó dựa vào đồ thị để tính Trong đó cónhững dạng toán mà việc dùng công thức để tính là rất khó khăn và dễ bị sai, khi

2.3 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng

Bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa

số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:

- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng

Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng

đã học trước đây ( diện tích đa giác , thể tích các khối đa diện …).Học sinh khôngtận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứuvấn đề này

-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” đểgiúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng Từ đó học sinh chưathấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng

-Học sinh chưa thực sự hứng thú và chưa có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đềnày, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu

- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng một cách máy móc ,khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu cácbiểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ diện tích.Đây là một trong những khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải

-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

I f x dx f x dx Học sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức f(x) không đổi dấu trong khoảng (a ; b).

Ví dụ :

3 2

+ Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối

+ Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối

- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ đạo và để học sinh tham khảo Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ

thị và vận dụng vào giải toán Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình

phẳng Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng, gần gũi thực tế hơn, hứng thú hơn

- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải, số còn lại để học sinh tự thảo luận làm nhóm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên

2.4 Giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề

Dạng 1: Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a x b , 

Giả sử hàm số y f x  liên tục trên đoạn a b ; 

( )

b

a

S f x dx (1) ( Sách giáo khoa giải tích 12CB)

 Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải khử dấu giá trị

thức f(x) Thường có hai cách làm như sau:

-Cách 1: Dựa vào các định lí về dấu của biểu thức để xét dấu của biểu thức f(x) -Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn a b để suy ra dấu của f(x); 

2 Một số bài tập vận dụng

Bài 1

Giải.

Cách 4: Quan sát diện tích cần tính là một hình thang vuông, áp dụng công thức

1 A

B

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) y x 3  3x2 2, trục

phẳng (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau.(Theo đề thi thử THPT quốc gia

2017 của trường chuyên ngoại ngữ )

Giải

Để giải bài này ta phải dùng phương pháp đồ thị để xác định được hình phẳng của 2 phần được giới hạn bởi những đường nào ,từ đó ta mới tính được diện tích của chúng

Gọi S là diện tích của hình phẳng (H) Đoạn thẳng AB chia hình phẳng (H) thành

Nhận xét: Qua bài tập này ta thấy nếu không vẽ đồ thị thì chỉ xác định được diện

tích của hình phẳng (H), còn 2 phần mà hình phẳng (H) được đoạn thẳng AB chia

ra ta không hình dung được hình dạng cũng như công thức tính diện tích của nó là

gì và việc giải quyết bài toán là gặp khó khăn Do vậy sử dụng đồ thị trong trường hợp này là phương án giải quyết bài toán khả thi nhất

Nhìn vào đồ thị trên ta thấy :

S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 1 y 1

Nhận xét : Qua 2 bài tập 3,4 ta thấy phương pháp sử dụng đồ thị là phương

pháp vẽ đồ thị và chia diện tích thành các phần sẽ làm cho bài toán trở nên đơngiản làm cho việc tính diện tích trở nên nhanh gọn và chính xác hơn

Dạng 2: Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

1/ Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) , y = g(x) có đồ thị là (C’ ).

Nếu hai đồ thị (C ) và (C’) có điểm chung là điểm M(x 0 ; y 0 ) thì cặp số (x 0 ; y 0 )

Hoành độ x 0 của điểm M là nghiệm của phương trình ( ) f x g x( ) (*)

Phương trình (*)được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Thay x = x 0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm

2/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số :

,

x a x b a b  

( ) ( )

b

a

S f x  g x dx

(Theo sách giáo khoa giải tích 12 –CB)

Muốn tính được diện tích S cần khử được dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức cần tính tích phân Cách khử được áp dụng bởi 1 trong 3 cách như ở mục I ở trên

Đồ thị hai hàm số y x 2  3x2 và y x  1như sau :

-3 -2 -1

3 2 1

-3 -2 -1

3 2 1

Theo đề bài phương trình có hai nghiệm 0 x 1x2 thỏa mãn  

 

1 2

1 2

322

Dạng 3: Hình phẳng được giới hạn bới ba đồ thị hàm số

Để tính được diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số trở lên bắt buộc ta phải vẽ hình để xác định được hình phẳng và chia nhỏ hình phẳng đó thành các hình phẳng có dạng như ở mục I hoặc II

Phần 2: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2, đường thẳng

Dựa vào đồ thị trên ta thấy :

Trên đoạn 2 1;  thì x2 2x3, trên đoạn 1 3;  thì 2x 3 x2

Vậy nên diện tích cần tính là :

Dạng 4 Bài toán diện tích hình phẳng có liên qua đến hàm hợp

Để giải quyết được các bài toán ở dạng này ta cần một số kỹ năng

Bài 9 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên , đồ thị hàm số y f x  như hình

Nhận xét Trên đây là một số bài toán về tính diện tích của hình phẳng ở các dạng

khác nhau và mỗi dạng cũng có những cách giải khác nhau Tuy nhiên phương pháp sử dụng đồ thị thì bài toán rõ ràng , dễ hiểu và trực quan hơn, nhiều bài toán khó vẫn giải được dễ dàng

Dạng 5 Ứng dụng diện tích hình phẳng để giải quyết một số bài toán đại số

Sử dụng các kết quả của các dạng trên vào các bài toán đại số như so sánh giá trị hàm số, min, max…

Bài 10 Cho hàm số y f x  Đồ thị của hàm số yf x  như hình bên Đặt

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:1

Gắn cánh cửa vào hệ tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm giữa của

chân cánh cửa (như hình vẽ 2)

Khi đó cánh cửa là 1 parabol có đỉnh I0 4; và cắt trục Ox tại hai điểm có hoành

Diện tích của cánh cửa là :

Một công ty quảng cáo X muốn làm 1 bức tranh trang trí hình MNEIF(Như hình

vẽ ) ở chính giữa của 1 bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC=6m, chiều dài CD=12m Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN=4m, cung EIF có dạng là một phần của cung parabolcó đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua 2

nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?(Trích đề khảo sát chất lượng lớp 12 của

SGD&ĐT Thanh hóa năm 2017)

Dựa vào hình vẽ trên ta có diện tích của bức tranh là:

2 2

0 0

Vậy số tiền cần làm nên bức tranh đó là: T=900.000.S=20.800.000(đồng)

Bài 14 Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ

dài trục bé bằng 10m, Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục

bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000

được làm tròn đến hàng nghìn)( Theo đề thi thử của BGD &ĐT)

Giải

Chọn hệ trục tọa độ O xy để gắn mảnh vườn sao cho gốc tọa O trùng với tâm của

elip, trục Ox trùng với trục lớn của elip, trục Oy trùng với trục bé của elip

Khi đó ta có phương trình của elip là:

y x 3  x2 2, trục hoành Ox và các đường thẳng x1;x2.

Bài 2 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x 4, trục

Bài 3 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

1

x y x

Bài 6 Tính diện tích của hình phẳng sau được giới hạn bởi các đường 2

x y x



, y 0và đường thẳng (d) đi qua hai điểm 2 0; , ; 0 2

Bài 7 Ông B có một khu vườn được giới hạn bởi parabol y x 2 và đường thẳng

25

một đường thẳng đi qua O và một điểm M trên parabol để trồng một loài hoa Hãy

2

(đvdt) (Theo đề thi thử THPT quốc gia 2017 trường chuyên đại học Vinh)

Bài 8 Cho  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y x, y x  2 và trục

Bài 9 Cho hàm số f x xác định và liên tục trên đoạn   5 3;  có đồ thị như hình

Bài 10 Cho hai hàm số f x  a x2 b x2 c x 2 và g x  dx2 ex2 (a, b, c,

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho

Bài 11 Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

Tính diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch

Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng , tài liệu đã giúp tôi thu được nhiều kết quả khả quan Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài toán tính diện tích của hình phẳng ở chương trình giải tích 12 Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan, cũng đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học Từ đó các em học sinh có hứng thú và học tốt vấn đề này

2.6 HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI :

Qua qúa trình giảng dạy tự chọn và ôn luyện cho các lớp có trình độ tương đương vào buổi chiều để so sánh tôi thấy kết quả thực nghiệm tốt hơn nhiều so với lớp đốichứng cụ thể tỉ lệ học sinh khá, giỏi nâng lên, học sinh yếu, kém và trung bình giảm xuống

pháp giải một dạng bài toán là tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh chủ động tư duy, tìm tòi ứng dụng và sáng tạo trong quá trình giải toán Đồng thời giúp học sinh có mối liên hệ qua lại giữa các dạng bài toán có liên quan

Qua kinh nghiệm nhỏ này tôi muốn vận dụng phương pháp mới vào quá trình giảng dạy đặc biệt là ôn luyện cho học sinh lớp 12 có kiến thức giải phần ứng dụngcủa tích phân vào việc tính diện tích hình phẳng, Giúp học sinh tự tin và vững vànghơn khi ôn thi THPT quốc gia về chuyên đề này

3.2.KIẾN NGHỊ

Với đề tài này tôi đã triển khai trong quá trình dạy học sinh lớp 12 ban KHTN và

các lớp ban Cơ bản học theo khối mang lại hiệu quả là rất tốt Vì vậy tôi hy vọng

đề tài này sẽ đóng góp vào việc giải bài toán đã nêu trên và được đồng nghiệp khaithác mở rộng hơn nữa, là tài liệu tham khảo cho các em học sinh lớp 12 trong quátrình học tập cũng như ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia hàng năm

Mặc dù đã cố gắng biên soạn chuyên đề nhưng không thể tránh khỏi thiếu sót và hạn chế rất mong được sự góp ý của quý bạn đọc và thầy, cô giáo để chuyên đề hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 14 tháng 5 năm 2021 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Bùi Anh Tuấn