Những sai lầm thường gặp khi vận dụng định lý, tính chất trong quá trình giải toán hình học không gian

Tuy nhiên đây cũng là một trong các môn học mà ngoài việc cung cấp chohọc sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian còn rèn luyện cho họcsinh nhiều đức tính, phẩm chất của co

MỤC LỤC

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Hình học là phần tương đối khó trong chương trình toán THPT, đặc biệt làhình học không gian ở lớp 11 và lớp 12 Phần hình học không gian này đòi hỏihọc sinh phải nắm vững lý thuyết, có tư duy Toán nhất định mới có thể vẽ đượchình, đọc được hình rồi từ đó mới giải được các bài toán Chính vì vậy nênnhiều học sinh rất ngại khi học và làm các bài toán về hình học không gian

Tuy nhiên đây cũng là một trong các môn học mà ngoài việc cung cấp chohọc sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian còn rèn luyện cho họcsinh nhiều đức tính, phẩm chất của con người lao động mới : cẩn thận, chínhxác, có tính kỉ luật, tính phê phán, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo chohọc sinh

Thông thường khi vận dụng các định lí để chứng minh các tính chất hoặc

để tính toán, học sinh thường gặp các sai lầm:

- Phát biểu một định lí không chính xác

- Vận dụng các định lí trong trường hợp thiếu điều kiện

- Sử dụng tùy tiện các định lí về tương quan giữa các đường thẳngtrong mặt phẳng đem mở rộng cho trường hợp trong không gian

Thực tiễn trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh các lớp 11 rất engại học môn hình học không gian, về phần giáo viên cũng gặp không ít khókhăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập

hình học không gian Từ những lý do đó tôi chọn đề tài “Những sai lầm thường gặp khi vận dụng định lý, tính chất trong quá trình giải toán hình học không gian”

2 Mục đích nghiên cứu.

Giúp học sinh khắc phục các sai lầm khi giải toán hình học không gian

Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh Tìm ra phương pháp dạy họcphù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh

3 Đối tượng ngiên cứu:

Một số định lý, tính chất của hình học không gian và ứng dụng của nó

Học sinh khối 11,12 năm học 2020-2021

4 Phương pháp nghiên cứu:

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứutôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:

Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…).Phương pháp đàm thoại phỏng vấn

PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIỀN KINH NGHIỆM:

( ) ( ),( ) ,( )

d Diện tích hình chiếu của đa giác: Gọi S là diện tích của đa giác (H)

trong (P), S’ là diện tích của hình chiếu (H’) của H trên (Q), ϕ =

a Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ

dài đoạn vuơng gĩc vẽ từ điểm đĩ đến đường thẳng (mặt phẳng).

b Khoảng cách giữa đường thẳng vằ mặt phẳng song song bằng

khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.

c Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ

một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

d Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

+ Độ dài của đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng đĩ

+ Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đĩ đến mặt phẳngsong song với nĩ và chứa đường thẳng cịn lại

+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa haiđường thẳng đĩ

1.3 Khối đa diện và thể tích của chúng

1.3.1 Thể tích của khối hộp chữ nhật: V abc=

với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.

1.3.2 Thể tích của khối chĩp

1 3

= đáy

với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chĩp

1.3.3 Thể tích của khối lăng trụ:

đá y

V S= h

với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ

1.3.4 Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện

c Tính đa diện bằng cách bổ sung

Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác so chokhối đa diện thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thểtích

d Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích

Ta có thể vận dụng tính chất sau:

Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với bất kì các điểm A, A’ trên

Ox; B, B’ trên tia Oy, C, C’ trên tia Oz ta đều có:

OABC

OA B C

V OA OB OC

V ' ' ' =OA OB OC'. '. '

2 Thực trạng áp dụng lý thuyết để giải các bài toán hình học không gian

Thông thường khi vận dụng các định lí để chứng minh các tính chất hoặc

để tính toán, học sinh thường gặp các sai lầm

Vấn đề 1: Phát biểu một định lí không chính xác.

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA

vuông góc với đáy Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tamgiác vuông

ba đường vuông góc) ⇒∆SBC vuông tại B

Chứng minh tương tự ⇒∆SDC vuông tại D

→ Thiếu sót chủ yếu ở lý luận trên đây là:

- Phát biểu định lý ba đường thẳng vuông góc một cách không chính xác

- Vận dụng các định lí trong trường hợp thiếu điều kiện

- Sử dụng các định lí về tương quan giữa các đường thẳng trong mặt phẳng đem

mở rộng cho trường hợp trong không gian

Bài tập tương tự: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a) Chứng minh các mặt bên là những tam giác vuông

b) Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC, SD tạiB’, C’, D’ Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ vuông góc với SB

c) Đặt BM = x Tính độ dài đoạn SK theo a và x Tính giá trị nhỏ nhất củađoạn SK

Vấn đề 2: Vận dụng các định lí trong trường hợp thiếu điều kiện

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác, đáy ABC là một tam giác vuông góc ở

đỉnh B Cạnh bên SA vuông góc với đáy Từ A kẻ các đường AK vuông góc SB

và AH vuông góc với SC Chứng minh rằng SC vuông góc với HK và AK vuônggóc với HK

Giải: Theo giả thiết:

SC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng ấy, nghĩa là phải lýluận như sau:

Tương tự chứng minh lại cho trường hợp SC ⊥ HK

Bài tập tương tự: Cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm

trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau Gọi H và K lần lượt là trung điểm của

AB, CD và E, F lần lượt là trung điểm của SA, SB

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) và tan của góc giữa haimặt phẳng (SAB) và (SCD)

b) Gọi G là giao điểm của CE và DF Chứng minh CF vuông góc với SA

và CF vuông góc với SB Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (GEF) và (SAB).Hai mặt phẳng này có vuông góc với nhau không?

Vấn đề 3: Sử dụng các định lí về tương quan giữa các đường thẳng trong mặt phẳng đem mở rộng cho trường hợp trong không gian.

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Qua đỉnh C của đáy dựng một mặt

phẳng vuông góc với cạnh bên SA Mặt phẳng này cắt các cạnh SA, SB, SD ởcác điểm M, N, P Chứng minh NP//BD

Giải: Kẻ đường cao SH

cùng vuông góc với đường thẳng SA

nên chúng song song với nhau

Vậy BD//NP

→Trong ví dụ này, kết luận dựa trên định lí : “Hai đường thẳng cùng vuông gócvới một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau’’ Đó là một định lí của hìnhhọc phẳng Nhưng việc mở rộng ra trong hình học không gian thì đó lại là mộtmệnh đề sai Về bài này, ta phải lí luận như sau :

Vì BD ⊥ SA và SA⊥(COMN) nên theo định lí “Một đường thẳng và mộtmặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau “

ta có BD//(CPMN)

Ta lại có (SBD) chứa BD và (CPMN)//BD nên giao tuyến của chúng làNP//BD

(Hoặc chứng minh NP và BD cùng vuông góc (SAC))

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật, cạnh

SA vuông góc với mặt đáy Từ đỉnh A kẻ các đường AH vuông góc với SB, AIvuông góc với SC, AK vuông góc với SD Chứng minh rằng tứ giác AHIK nộitiếp được

Theo giả thiết AH⊥(SBC) mà

IH thuộc (SBC) cho nên AH⊥HI ⇒

→ Sai lầm chủ yếu của chứng minh trên đây là chưa chứng minh rằng tứ giác

AHIK là một tứ giác phẳng nghĩa là 4 điểm A, H, K, I cùng nằm trên một mặtphẳng Cần chứng minh bổ sung lời giải trên đây bằng một chứng minh nữa

Lý luận tương tự SC⊥(AKI) (2)

Vì qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta chỉ có thể dựng được mộtmặt phẳng vuông góc với đường thẳng ấy nên rõ ràng hai mặt phẳng (AHI) và(AKI) trùng nhau do vậy 4 điểm A, H, I, K cùng nằm trên một mặt phẳng suy raAHIK là một tứ giác phẳng

Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông góc

tại A và B, SA vuông góc với đáy Cho biết AB = BC = a ; AD = SA = 2a

a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp Tính góc nhị diên cạnh SD.b) Một mặt phẳng (P) qua CD và trung điểm M của cạnh SA Tính diệntích mặt cắt của hình chóp do mặt phẳng (P) tạo ra

c) Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được chia bởi mặt phẳng (P)

AC a MCA

S S

c ϕ

=

tức là

·osMCA

ABCD MNCD

c) Phương pháp tính tỉ số thể tích Với một góc tam diện Sabc và các cặp điểm

(A’,A), (B’,B), (C’,C) lần lượt nằm trên các tia Sa, Sb, Sc ta luôn có :

Để có được hình chiếu của MNCD trên đáy, từ N trong mặt phẳng (SAB)

ta kẻ NA’⊥(ABCD) và hình chiếu của thiết diện MNCD trên đáy là tứ giác

AA’CD Và như vậy ta có

2 A'BC

- Góc tam diện SACD với các cặp điểm (A,M), (C,C), (D,D)

- Góc tam diện SABC với các cặp điểm (A,M), (B,N), (C,C)

Ta dễ dàng thấy rằng các hình chóp S.ABCD, S.ACD, S.ABC có đường

cao chung và có đáy lần lượt là

2

32

NA = a

)

3 '

3

5

59

9

MNCD ABCD

S ABCD

a V

⇒

.

45

S MNCD MNCD ABCD

V

Bài tập tương tự: Cho khối chóp A MNPQ có đáy là hình bình hành Gọi H là

trung điểm AN Một mặt phẳng (P) đi qua HM và song song với QN chia khốichóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

BÀI TẬP THÊM Bài 1 Cho hình chóp S.MNPQ có đáy là hình chữ nhật và SM vuông góc với

mặt phẳng (MNPQ) Gọi ME, MF là đường cao của các tam giác SMN và SMQ.Chứng minh EF song song với NQ

Bài 2 Cho hình chóp S.HIJK có đáy HIJK là hình chữ nhật, gọi M, N là trung

điểm HI, JK và giả sử SH = SI Chứng minh rằng JKvuông góc với mặt phẳng(SMN)

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nữa hình lục giác đều và SA vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) Một mặt phẳng qua A vuông góc với SD tại D1 cắt

Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều Hai mặt phẳng (SAC),

(SAB) cùng vuông góc (ABC) Gọi M là trung điểm BC còn G và H lần lượt làtrực tâm hai tam giác ABC và SBC Chứng minh rằng

a SA⊥(ABC)

b SB⊥(CGH)

c (SAM)⊥(SBC)

d GH⊥(SBC)

Bài 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a đường cao bằng h.

Một mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc với SC, cắt SB; SC; SD theo thứ tự tạiB’, C’, D’

a h phải thỏa mãn điều kiện gì để C’ không vượt ra ngoài đoạn SC? Khi

đó hãy tính thiết diện AB’C’D’

Bài 8 Trong một hình hộp đứng, đáy là một hình bình hành có góc nhọn là α vàmột cạnh bằng a Qua cạnh đáy này và cạnh đối diện của đáy trên ta đựng mộtthiết diện Thiết diện này có diện tích là Q và hợp với đáy một góc β Tính thểtích và diện tích xung quanh của hình hộp.

Bài 9 Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt trên đường tròn đáy một cung α vàtạo với đáy một góc β Tính thể tích hình nón nếu khoảng cách từ tâm đáy hìnhnón đến mặt phẳng là m

Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a Đường cao

SA = h Từ tâm O của đáy ta kẻ OC1⊥SC

a) Chứng minh rằng OC1 là đường vuông góc chung của BD và SC Gọi ϕ

là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) Tính sin2

ϕ

Từ đó chứng minh ϕ >2

3 Kết quả nghiên cứu đề tài

Sau khi sử dụng đề tài vào thực nghiệm giảng dạy, chúng tôi tiến hành khảosát HS qua một bài kiểm tra 15 phút Nội dung của bài kiểm tra kiến thức các bàithuộc phần hình học không gian lớp 11 cho 2 lớp 11B2 là lớp thực nghiệm vàlớp 11B3 là lớp đối chứng, phần hình học không gian 12 cho 2 lớp 12A2 là lớp

thực nghiệm và 12A1 là lớp đối chứng tôi thu được kết quả như sau:

Bảng khảo sát kết quả học tập của HS sau thực nghiệm

Số lượng (em)

Tỉ lệ (%)

Số lượng (em)

Tỉ lệ (%)

Số lượng (em)

Tỉ lệ (%)

PHẦN III KẾT LUẬN.

Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy tôirút ra được một số kết quả như : Đã hình thành phương pháp tư duy, suy luậnlogic toán học cho học sinh THPH từ đó tránh được một số sai lầm thường gặp

mà sáng kiến kinh nghiệm nêu ra Bước đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệuquả qua việc kiểm nghiệm thực nghiệm sư phạm Bên cạnh đó sáng kiến nàycũng giúp cho giáo viên, học sinh những yêu cầu nhằm thúc đẩy quá trình giảngdạy và học tập môn HHKG được tốt hơn

Đối với giáo viên: đã góp phần tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội trithức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thếngại, sợ khi tiếp cận nội dung môn học Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy họckết hợp môn học sẽ trở lên hấp dẫn và người học thấy được ý nghĩa của mônhọc

Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri của

HS, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thứctrong tình huống đa dạng

Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩnăng giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hìnhthành tính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và pháttriển nhân cách của các em

Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạyhọc phù hợp

Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các emkhông cảm thấy áp lực trong học tập

Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở họcsinh

Khi giải một bài toán hình không gian nên đặt câu hỏi bài này đã gặp ở đâuchưa, có bài nào tương tự trong hình học phẳng không? có thể phân bài nàythành các bài toán nhỏ dễ giải nó được không?

Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh

Về phía học sinh: rèn luyện khả năng tiếp thu kiến thức mới tốt hơn khi biếtphân tích một bài toán HHKG Các em có thể vận dụng các qui trình hay cácphương pháp giải các bài toán không gian vào các bài tập cụ thể Các em đã biếthuy động các kiến thức cơ bản, các tri thức liên quan để giải các bài tập toán,biếtlựa chọn hướng giải bài tập phù hợp Trình bày lời giải hợp lý chặt chẽ, ngắngọn và rõ ràng hơn, đặc biệt tránh những sai lầm khi vận dụng các định lý hay

sự liên hệ thiếu điều kiện giữa hình học phẳng và hình học không gian

Có ý thức học tập, hiểu vấn đề một cách sâu sắc Liên hệ với các kiếnthức đã được học Biết chuyển ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Toán.

Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên

đề tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế Rất mong được sự đóng gópcủa các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2021

Tôi xin can đoan sáng kiến trên là do tôiviết không sao chép của người khác

Người viết

Nguyễn Thị Bé

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bộ giáo dục và đào tạo (2007) Hình học 11 Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

2 Bộ giáo dục và đào tạo (2007) Bài tập Hình học 11 Nhà xuất bản Giáo dục,

Hà Nội

3 Bộ giáo dục và đào tạo (2007) Hình học 12 Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

4 Bộ giáo dục và đào tạo (2007) Bài tập Hình học 12 Nhà xuất bản Giáo dục,

Hà Nội

5 Bộ giáo dục và đào tạo (2000) Hình học 11 Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

6 Bộ giáo dục và đào tạo (2000) Bài tập Hình học 11 Nhà xuất bản Giáo dục,

Hà Nội

7 Chủ biên: Nguyễn Đức Đồng (2001) Tuyển tập 500 bài toán Hình học không

gian chọn lọc Nhà xuất bản Thanh Hóa Thanh Hóa

PHỤ LỤC Phụ lục 01

Kiểm tra 15 phút hình học không gian 11

Họ, tên thí sinh: Lớp: 11

Câu 1: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CDuuur uuur=

B Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB BC CD DAuuur uuur uuur uuur r+ + + = 0

C Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB AC ADuuur uuur uuur+ =

D Cho hình chóp S.ABCD Nếu có SB SD SA SCuur uuur uur uur+ = + thì tứ giác ABCD là hình

uuur r uuur r uuur r

gọi G là trọng tâm củatam giác BCD Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Khẳng định nào sau đây sai ?