Phân dạng bài toán nguyên hàm liên quan đến phương trình vi phân tách biến giúp học sinh nhận dạng bài toán tốt hơn

Vì vậy với trách nhiệm của mình, tôi thấy cần phải xây dựng thành chuyên đề từ đó rèn luyện kĩ năng nhận dạng, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh để các em không còn e ngại hay lún

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình Giải tích lớp 12 có một phần rất quan trọng của chương trình Toán phổ thông và luôn có mặt trong các đề thi THPTQG trong những năm gần đây đó là phần Nguyên Hàm Đây là nội dung quen thuộc đối với học sinh THPT tuy nhiên với những bài toán không có dạng cơ bản như trong SGK khiến các em vô cùng bỡ ngỡ và không biết cách giải, không biết khai thác từ đâu Do đó hiệu quả học tập và ôn thi của các em không cao Thực

tế yêu cầu trong việc giảng dạy và phương thức thi theo hình thức trắc nghiệm vài năm gần đây , kiến thức toán được mở rộng ra đói hỏi cả giáo viên và học sinh phải nỗ lực và có phương pháp rõ ràng với một số bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách định hướng trong việc tìm lời giải bài toán Vì vậy với trách nhiệm của mình, tôi thấy cần phải xây dựng thành chuyên đề từ đó rèn luyện kĩ năng nhận dạng, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh để các em không còn e ngại hay lúng túng khi gặp các dạng toán này Qua quá trình tích lũy tôi viết sáng

kiến kinh nghiệm: “Phân dạng bài toán nguyên hàm liên quan đến phương trình vi phân tách biến giúp học sinh nhận dạng bài toán tốt hơn”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng toán về tính nguyên hàm liên quan đến biểu thức chứa f x f x f x để học sinh nhìn nhận và giải quyết( ), ( ), ( )' ''

bài toán tốt hơn

Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán Từ đó cung cấp kiến thức quan trọng cho học sinh bước vào các kỳ thi THPTQG và kỳ thi học sinh giỏi của tỉnh Thanh Hóa trong thời gian tới

Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ thống tốt hơn kiến thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong học toán

Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài toán về nguyên hàm có liên quan đến biểu thức chứa ' ''

( ), ( ), ( )

f x f x f x

- Một số đề thi thử THPTQG của các trường trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa cũng như các trường THPT trên cả nước

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 12

- Đánh giá kết quả học tập, kết quả các kì thi THPTQG môn Toán của học sinh lớp 12C1, 12C2 năm học 2019-2020 trường THPT Yên Định 3

- Phân tích, đánh giá, tổng hợp các dạng toán về nguyên hàm liên quan đến biểu thức chứa f x f x f x ( ), ( ), ( )' ''

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận

a Một số kết quả thường dùng

1 Quy tắc tính đạo hàm [1].

2 Các định lý về nguyên hàm [1].

3 Tính chất về nguyên hàm [1].

4 Các phương pháp tính nguyên hàm [1].

Dạng 1: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức dạng

u x f x( ) ( )' u x f x'( ) ( )h x( )

Dạng 2: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức dạng

f x'( ) p x f x( ) ( )h x( )

Dạng 3: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức dạng

f x'( ) p x( ) ( ) f x n  0

b Các ví dụ điển hình

Dạng 1: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức

u x f x( ) ( ) u x f x'( ) ( )h x( )

Phương Pháp

Dễ dàng thấy được u x f x( ) ( )' u x f x'( ) ( )u x f x( ) ( )'

Do đó u x f x( ) ( )' u x f x'( ) ( )h x( ) u x( )(x)

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được u x f x( ) ( )h x x( )d

Dề dàng tính được ( )f x

Ví dụ 1: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm và liên tục trên 1;2 thỏa mãn (1) 1 f 

và x2 3 f x'( ) 2 ( ) 3 xf x  x2 Tính (2)f

( Tuyển tập 3000 bài toán tích phân và số phức –XB năm 2020) Lời giải

'

Thay x  ta được 1

3 2

x

x





Ví dụ 2: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn( ( ))f x' 2  f x f x( ) ( )'' x3  2x và

'

f f  Tính giá trị của f2(2)

A.

43

30 B

16

43

26

15

( Chuyên Bắc Ninh 2019) Lời giải

Ta có

2

f x f x f x x x

'

f x f x x x

Suy ra

4

Từ f(0)f'(0) 1 Suy ra C 1 Vậy

4



Từ (0) 1f  suy ra C 1 Vậy

Do đó

43

15

T 

Ví dụ 3: Cho hàm số ( )f x liên tục và có đạo hàm xác định trên 0;  Biết

rằng f x( ) 0,  x 0;  thỏa mãn f x( )(ln ( ) 1)f x  x f x( ( ) 2 ( )) 0'  f x 

và ln( (2)) ln( (1)) 1f  f  Giá trị tích phân

2

1

( )d

xf x x



nằm trong khoảng nào dưới đây

A 0;6 B  6;12 C  18;24 D  12;18 

( Quảng Xương 1- lần 2 năm 2021)

Lời giải

Từ giả thiết suy ra

 ( ln( ( ))x f x ' 2x 1.

Nguyên hàm 2 vế, ta được:

2

x f x  x x x  x C

Thay x1,x vào 2 vế, ta được: ln( (1))2 f  C 2;2ln( (2))f  C 6

2

ln( ( ))f x x 1 f x( ) e x xf x x( )d xe xdx 20,1

Ví dụ 4: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn: ( ( ))f x' 2  f x f x( ) ( ) 15''  x412 ,x x  

và f(0)f'(0) 1 Giá trị của f2(1) bằng

A

5

( Sở GD&ĐT Bến Tre 2019) Lời giải

Theo giả thiết

 x :( ( ))f x' 2  f x f x( ) ( ) 15"  x4 12 x

 f x f x'( ) ( )'  f x f x( ) ( ) 15"  x412 x

'

f x f x x x x x x

Thay x  vào 0  1 , ta được: f(0) (0)f'  C C  1

Khi đó  1 trở thành: f x f x( ) ( ) 3'  x5 6x2  1

Vậy f2(1) 8.

Ví dụ 5: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn  f x'( ) 2 f x f x( ) ( ) 2''  x2 x  1, x 

và f(0)f '(0) 3. Giá trị của  f(1)2 bằng

19

(Sở GD&ĐT Tỉnh Cần Thơ 2018)

Lời giải

Ta có

      2    

f x f x  f x f x f x

Do đó theo giả thiết ta được  f x f x      2x2 x 1

Suy ra

2

x

Hơn nữa f(0)f '(0) 3 suy ra C  9 Tương tự vì

'

f x f x f x

2 '

x

Vì (0) 3f  nên suy ra C  9.

3

x

Dạng 2: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biếu thức

f x'( ) p x f x( ) ( )h x( ).

Phương pháp

Nhân hai vế với e p x x( )d ta được.

'

f x e  p x e f x h x e   f x e  h x e

Suy ra

( )d ( )d

Từ đây dễ dàng tính được ( ).f x

Bài toán 1: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biếu thức

'( ) ( ) ( )

Định hướng : Bài toán này ứng với trường hợp ( ) 1p x 

Nhân cả 2 vế với e  dx e x

Ví dụ 1: Cho hàm sốy f x( ) có đạo hàm liên tục trên 0;5 thỏa mãn

'( ) ( ) x 3 1 , 0;5

     biết (0) 0f  Tính (5).f

A 5

13

e B 5

9

e C 5

14

e D 5

11

e

( Chuyên Lam Sơn –Thanh hóa năm 2020)

Lời giải

Nhân cả 2 vế với e ta được x

'

2

9

x

14

f

e



Ví dụ 2: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn f x( ) f x'( ) ex

  và (0) 2.f  Tất cả các nguyên hàm của f x e là ( ) 2x

A (x 2)e2x e x C. B (x2)e2x e x C.

C (x 1)e x C. D (x1)e x C.

(Đại học Vinh năm 2019)

Lời giải

Vì (0) 2f  nên C  Do đó 2 f x e( ) 2x (x2) e x

2

f x e x  x  x e  e x  x e  e C  x e C

Chọn đáp án D

Bài toán 2: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biếu thức

'( ) ( ) ( )

Định hướng : Bài toán này ứng với ( )p x  Nên nhân cả 2 vế với 1. ex

Ví dụ 1: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục trên  Biết (0) 5 f  và '( ) ( ) 2 1

f x  f x  x Tính giá trị của (1)f

( Tuyển tập 3000 bài toán tích phân và số phức –XB năm 2020) Lời giải

Nhân cả 2 vế với ex ta được : e f xx '( ) e f xx ( ) (2 x1)ex

'

( ) (2 1) d (2 3) .

e f x x e x x e C

Vậy (1)f  5 2 e

Ví dụ 2: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm liên tục trên  Biết

1 (0)

2

và '( ) ( ) cos

f x f x  x Tính giá trị của ( ).f 

A

1

2 B

1 2



C 1 D 1

( Tuyển tập 3000 bài toán tích phân và số phức –XB năm 2020) Lời giải

Nhân cả 2 vế với ex ta được

e f xx ( )' cos x ex e f xx ( ) cos x exd x

2

x





Suy ra

1 ( ) (sinx cosx) C

2

Vậy

1

2

f  

Bài toán 3: Bài toán nguyên hàm tổng quát liên quan đến biểu thức

'( ) ( ) ( ) ( )

Ví dụ 1: Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên ( ) 0;2



'

3

( ) tan ( )

cos

x

x

Biết rằng 3 ( )f 3 f( )6 a 3 bln 3



trong đó ,

A

14

9 B

2 9



7

4 9



( Sở Bình Phước năm 2019)

Lờigiải

sin ( )' 2

cos

x

x f x

x

 sin ( ) 2 d

cos

x

x

Tính cos2 d

x

x



2

d

cos

u x

v

x

















2

(cos )

f x



Suy ra

5 9 1

a

b









 



Vậy

4 9

Ví dụ 2: Cho hàm số ( )f x liên tục trên 0;  thỏa mãn

2xf x( ) f x( ) 3 x x biết

1 (1) 2

Tính (4)f ?

( Chuyên Lê Hồng Phong -Nam Định Năm 2019) Lờigiải

Định hướng: Đưa biểu thức trên về dạng

x

Nhân cả 2 vế với

1d

2x x

e  x ta được

2

2 2

x

x f x f x

x

3 1

2

Mà

1 (1) 2

2 3

Vậy

2

4 4

2

Ví dụ 3: Cho hàm số ( )f x liên tục trên \1;0 thỏa mãn điều kiện (1) 2ln 2

f  và x x( 1) ( )f x'  f x( )x2  Biết (2)x f  a bln3 a b , 

Gía trị của 2(a2 b2)là

A.

27

3

9

2 ( Lý Nhân Tông-Bắc Ninh-2020)

Lời giải

Chia cả hai vế của biểu thức x x( 1) ( )f x'  f x( )x2  cho (x x x  ta được1)

'

2

1

2

1 d 1

1

x

e

x







 ta được

 

' '

2

1

Vậy

1

Do (1)f 2ln 2 nên ta có

1

Khi đó

1

x



Vậy ta có

Suy ra

Ví dụ 4: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn (1) 4 f  và

với mọi x  Gía trị của (2)0 f

A 5 B 10 C 20 D.15

( Đề Thi KHTN 2019)

Lời giải

x

Nhân cả 2 vế với

1 x 1

x e

x







ta được

' '

2

Do đó

2 ( )

3

f x

x    (1) với C   nào đó.

Vì (1) 4f  theo giả thiết, nên thay x  vào hai vế của (1) ta thu được C=0 từ1

đó f x( )x3 3x2 Vậy (2) 20f 

Ví dụ 5: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên  thỏa mãn

' (x2) ( ) (f x  x1) ( )f x e x và

1 (0) 2

Tính (2)f

A. (2) 3

e

B. (2) 6

e

C.

2 (2)

3

e

D.

2 (2) 6

e

( Tuyển tập 3000 bài toán tích phân và số phức –XB năm 2020) Lời giải

Đưa hệ số của f x về 1 bằng cách chia cả 2 vế cho '( ) x  ta được 1

' 2

x



2

1 ( 1)

x

x







'

(x2)e f x x ( )e x x( 1) ( )f x e x  e x x( 1) ( )f x  e x

Suy ra

2

Mà

1

2

Vậy

1

x e

f x

x



 Khi đó

2 (2)

6

e

Dạng 3: Bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức

f x'( ) p x f x( ) ( )n  0.

Phương pháp:

Chia 2 vế cho  f x( )nta được    

Suy ra  

1 ( )

n n

f x

f x

n

f x

 

Ví dụ 1: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn

4 (2)

19

và f x'( )x f x3 2( ),  x Giá trị của (1)f bằng

A

2

3



B

1 2



C 1 D.

3 4



( Chuyên Thái Bình 2020)

Lời giải

Ta có:

 

 

Theo bài ra

(2)

4 ( )

3

f x

x





 Vậy (1)f  1

Ví dụ 2: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn

1 (2)

25

và f x'( ) 4 x f x3 ( )2,

x

   Giá trị của (1)f bằng

A.

391

400



B

1 40



41 400



1 10



( Đề Thi THPTQG Năm 2018)

Lời giải

' '

2

2

( )

f x

f x

Do

1 (2)

25

nên ta có C  Do đó 9 4

x

Ví dụ 3: Cho hàm số ( )f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn

 f x'( )2 f x e( ) ,x   x

và (0) 2f  Khi đó (2)f thuộc khoảng nào sau đây?

A 12;13 B  9;10 C  11;12 D  13;14 

(Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An -2020)

Lời giải

Vì hàm số ( )f x đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  đồng thời (0) 2f  nên f x  và ( ) 0'( ) 0 f x  , x 0;  

Từ giả thiết  f x'( )2 f x e( ) ,x    suy ra x '( ) ( ) ,2 0; 

x

f x  f x e  x  

Do đó

'

2

2

x

f x

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được ( ) 2 , 0; 

x

f x e C  x   với C là hằng số

Kết hợp với (0) 2f  , ta được C  2 1.

Từ đó, tính được f(2)e 2 1 2 9,81

Ví dụ 4: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn ( ) 0, f x    và có đạo hàm x 0 f x'( ) liên tục trên khoảng 0;  thỏa mãn  f x'( ) (2 x1)f x2( ),  vàx 0

1

(1)

2

Giá trị của biểu thức (1)f  f(2) (2020) f bằng

A

2020

2021



B

2015 2019



C

2019 2020



2016 2021



(Hải Hậu -Nam Định -2020)

Lời giải

Ta có:

2 1

f x



2

1 1 (2)

3 2

1 1

4 3

(2020)

2021 2020

f

f

f

f



 





















Ví dụ 5: Cho hàm số ( )f x liên tục trên , ( ) 0,f x     và thỏa mãnx

1

2

, Biết (1) (2) (2019) 1

a

b

với

a b a b  Khẳng định nào sau đây SAI?

A a b 2019 B ab 2019 C 2a b 2022 D b 2020

( Sở Hà Nội Năm 2019)

Lời giải

Theo bài ra

2 2

f x

(Với C là hằng số thực).

Thay x  vào (1) ta được 1

1

1 2



Vậy

( )

1

f x

Suy ra:

1

2019

2020

a

a b b











Ví dụ 6: Cho hàm số ( ),f x  x , (0) 1f  và f x( ) x1 ( ),f x'   x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A ( ) 2f x  B 2 f x( ) 4

C ( ) 6f x  D 4 f x( ) 6

(Chuyên Thái Nguyên 2019)

Lời giải

Ta có:

f x  x  f x  x    

Mà (0) 1f  nên C 2 f x( )e2 x 1 2 f(3)e2  6

Ví dụ 7: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục trên 2;4 và

f x   x Biết 4 3 ( ) '( ) 3 3, 2;4 , (2) 7

4

Giá trị của ( )f x bằng

A

40 5 1

2



B

20 5 1 4



C

20 5 1 2



D

40 5 1 4



( Chuyên Lê Hồng Phong –Nam Định -2019)

Lờigiải

Ta có: f x'( ) 0,  x 2;4 nên hàm số ( )f x đồng biến trên 2;4

7 (2) 4

Do đó: f x( ) 0,  x 2;4

Từ giả thiết ta có:4x f x3 ( ) f x'( )3 x3  x34 ( ) 1f x    f x'( )3



' '

3

3

( )

4 ( ) 1

f x

f x

Suy ra:

2 3

d 4 ( ) 1

f x



Theo bài ra

Vậy:

3 2

4

x

2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu

Thực trạng đứng trước một bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức chứa f x f x f x ở mức độ vận dụng và vận dụng cao học sinh thường( ), ( ), ( )' ''

lúng túng và đặt ra câu hỏi: Phải định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu ? học sinh không biết giải quyết như thế nào và thường bỏ qua những bài toán này Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán, giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, đưa bài toán ban đầu về những dạng quen thuộc từ đó học sinh sẽ định hình được cách giải Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán

sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán

Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơn

giản Còn khi đưa ra bài toán khác một chút cấu trúc cơ bản học sinh thường tỏ

ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét bài toán nguyên hàm biết phân dạng bài toán Vì vậy, song song với các lời giải, tôi luôn yêu cầu học sinh chỉ ra bản chất và bài tương ứng, từ đó phân tích ngược lại cho bài toán vừa giải Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung được áp dụng có hiệu quả Qua đó giúp học sinh nhận thức, phân tích bản chất của bài toán để bổ trợ cho việc giải bài toán nguyên hàm ở mức độ vận dụng và vận dụng cao là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức chứa f x f x f x ( ), ( ), ( )' ''

2.3 Các giải pháp đã tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề

1 Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

2 Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong

đó yêu cầu khả năng phân tích bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức chứa f x f x f x đưa về các dạng toán điển hình ( ), ( ), ( )' ''

3 Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh

4 Trong mỗi bài toán nguyên hàm liên quan đến biểu thức chứa ' ''

( ), ( ), ( )

f x f x f x đưa về các dạng toán điển hình đều yêu cầu học sinh thực

hiện phân tích bản chất bài toán cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán

5 Cung cấp hệ thống các bài tập để học sinh tự rèn luyện

Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong buổi học thứ nhất, tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đề thi về phần nguyên hàm có liên quan đến biểu thức chứa f x f x f x Yêu cầu học sinh về nhà chuẩn( ), ( ), ( )' ''

bị lời giải, phân loại các bài toán thành các nhóm tương tự nhau cũng như trả lời câu hỏi: bản chất bài toán ấy là gì? Có tổng quát, mở rộng, phân loại dạng toán được không? Bài toán nguyên hàm ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong những đề thi THPTQG môn toán gần đây Vì vậy, để giải được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Từ những giải pháp nêu trên, bản thân tôi thấy các kết quả khả quan:

- Việc tiếp cận các bài nguyên hàm liên quan đến biểu thức chứa

' ''

( ), ( ), ( )

f x f x f x của các em học sinh đã nhanh nhạy hơn, các em đã tự tin khi

tiếp cận dạng toán này

- Không khí lớp học sôi nổi, các em thấy hứng thú với việc tiếp cận vấn đề mới