Hướng dẫn học sinh giải nhanh trắc nghiệm bài toán đếm số điểm cực trị của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM BÀI TOÁN ĐẾM SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Người thực hiện: Lê Văn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM BÀI TOÁN ĐẾM SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Người thực hiện: Lê Văn Lâm

Chức vụ: Giáo viên

SKKN môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2021

MỤC LỤC Trang

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

1.2 Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng nghiên cứu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

0101010202

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 042.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Mục tiêu của giải pháp

2.3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp

2 3.2.1GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các dạng câu hỏi

cơ bản

2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh giải nhanh bằng phương pháp

đếm nghiệm phương trình đại số

17

1 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hàm số là một nội dung quan trọng của Toán học phổ thông, được đề cậpxuyên suốt trong chương trình Toán THPT Đây là một vấn đề hay và khó, xuấthiện nhiều ở dạng câu phân loại mức độ cao trong các đề thi Việc giải toán hàm

số cũng rất đa dạng và phong phú, ngoài việc phân loại theo các dạng toán cơbản đặc trưng chúng ta cũng có thể phân loại theo phương pháp giải toán Do sự

đa dạng về dạng toán, phương pháp giải cũng như mật độ xuất hiện dày đặctrong các đề thi nên học sinh có một khối lượng lớn các kiến thức và bài tậpthực hành khổng lồ Vì vậy, nếu không có chiến lược trong cách học phần kiếnthức này học sinh rất dễ sa vào việc chỉ lo giải bài tập toán mà không có nhữngđịnh hướng tư duy phương pháp

Giải bài tập Toán là phần quan trọng, không thể thiếu trong môn Toán học,làm bài tập không những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà

đồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh Bài tập đếm số điểm cực trị của hàm số là một bài toán thuộc chủ đề hàm số, xuất hiện nhiều trong các đề

thi THPT quốc gia ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Tuy nhiên các nội dung

lí thuyết phần này trong hệ thống SGK phổ thông được trình bày khá đơn giản,

và chưa có hướng xử lí nhanh cho thi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) Điều

này gây khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng toán vàphương pháp giải toán cho học sinh

Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương

pháp suy luận giải toán, các kĩ năng thực hành giải nhanh bài toán đếm số cực trị của hàm số Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra

một cách xây dựng các định hướng “giải nhanh trắc nghiệm bài toán đếm số

điểm cực trị của hàm số” theo hướng TNKQ.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra nội dung phương pháp đã trang bịcho học sinh để giải toán đếm số cực trị của hàm số cũng như các kĩ năng giải

nhanh câu hỏi TNKQ Đó là: “ Hướng dẫn học sinh giải nhanh trắc nghiệm

bài toán đếm số điểm cực trị của hàm số ” Từ đó đề ra các giải pháp nhằm

nâng cao hiệu quả giải toán của học sinh trường THPT Hoằng Hóa 3

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các phương pháp giải bài toán đếm số cực trị của hàm số

Các kĩ thuật giải nhanh bài toán đếm số cực trị của hàm số

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề

Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh

Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đềliên quan đến nội dung đề tài

Phương pháp thống kê, phân tích số liệu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1.1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x( )xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b (có thể a là   ; b là ) và điểm x0( ; )a b

Nếu tồn tại số h  sao cho 0 f x   f x 0 với mọi x(x0  h x; 0 h) và

0

x x thì ta nói hàm số ( )f x đạt cực đại tại x0.

Nếu tồn tại số h  sao cho 0 f x   f x 0 với mọi x(x0  h x; 0 h) và

0

x x thì ta nói hàm số ( )f x đạt cực tiểu tại x0.

2.1.2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số yf x( ) liên tục trên

K  x  h x h và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { }x0 , với h  0

Nếu f x  trên khoảng '  0 (x0  h x; )0 và '( ) 0f x  trên ( ;x x0 0 h) thì x0 là

một điểm cực đại của hàm số ( )f x

Nếu f x   trên khoảng 0 (x0  h x; )0 và f x( ) 0 trên ( ;x x0 0h) thì x0 là

một điểm cực tiểu của hàm số ( )f x

2.1.3.Chú ý

Nếu hàm sốyf x( ) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực

đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f x( )0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực

tiểu) của hàm số, kí hiệu là f CÑ(f CT), còn điểm M x f x( ; ( ))0 0 được gọi là điểm

cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của

hàm số

2.1.4 Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2 Tính f x  Tìm các điểm : f x   hoặc0 f x  không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên.Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2 Tính f x  Giải phương trình f x và ký hiệux i là các nghiệm.

Bước 3 Tính f x  và f x i

Trong trang này: Mục 2.1; 2.2 tác giả viết và tổng hợp theo tài liệu tham khảo [1].

2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.2.2 Khó khăn:

Do đây là một nội dung khó, có nhiều câu xuất hiện trong các đề thi với tưcách là câu phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn Vìvậy gây cho học sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực

để vượt qua

Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khốilượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phânbiệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bàitoán

Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưathực sự chú trọng đến tư duy phương pháp, tư duy giải nhanh Do đó hiệu quảhọc và giải toán chưa cao

Việc thi TNKQ đòi hỏi học sinh tư duy nhanh, giải toán nhanh, kĩ năng nhanh nên nhiều học sinh chưa đáp ứng được, nhất là phần vận dụng, vận dụng

cao của hàm số, trong đó có bài toán đếm số cực trị của hàm số

2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.3.1.Mục tiêu của giải pháp

Đưa ra được nội dung phương pháp giải toán, các dấu hiệu nhận biết và phương pháp giải nhanh tương ứng để giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) về số điểm cực trị của hàm số

2 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp

2 3.2.1 GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các dạng câu hỏi cơ bản.

Việc hướng dẫn học sinh giải các dạng câu hỏi cơ bản về số cực trị của hàm số là rất quan trọng Một mặt giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản để tránh các sai lầm giải toán, mặt khác giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán.

Từ đó tăng tốc độ giải toán tiến tới mục tiêu giải nhanh các câu hỏi trong đề thi TNKQ.

Ví dụ 1 Hàm số y x 5  5x3 5x2  3 có bao nhiêu điểm cực trị ?

A 1 B 4 C 2 D 3 [1]

Tư duy: Đây là câu hỏi về số cực trị của một hàm số cho trước Việc giải bài

toán này cần chú ý điều kiện đổi dấu của đạo hàm qua các nghiệm để tránh sai

lầm

Trong trang này: Mục 2.3.1 ; 2.3.2 tác giả tự viết và tổng hợp, ví dụ 1 tham khảo tài liệu [1]

Lời giải

Ta có: y' 5 x4  15x2 10x5 x x 3  3x2

Nhận thấy y ' 0 có các nghiệm đơn x0;x và nghiệm kép 2 x 1.

Khi đó, hàm số đã cho có đúng 2 điểm cực trị Do đó chọn đáp án C

Ví dụ 2 Tìm số điểm cực đại của hàm số yf x , biết hàm số có đạo hàm trên

 và f x' 2x32x2  3x 4 3 x3 x

A 2 B 4 C.8 D.3 [3]

Tư duy: Đây là câu hỏi về số điểm cực đại của một hàm số có đạo hàm cho

trước Việc giải bài toán này cần xét dấu của đạo hàm qua các nghiệm để xác

định được số điểm cực đại

Tư duy: Đây là câu hỏi về số điểm cực trị của một hàm số có bảng biến thiên

cho trước Việc giải bài toán này cần chú ý đến điểm tới hạn của hàm số để xác

định được số điểm cực trị

Lời giải

Từ bảng biến thiên nhận thấy hàm số có 3 điểm cực trị

Do đó chọn đáp án D

Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi

cho rằng y' không xác định tại x 2 thì hàm số không có điểm cực trị x 2.Trong trang này: Ví dụ 2 , ví dụ 3 tham khảo tài liệu [3], [4] , lời giải của tác giả.

Tư duy: Đây là câu hỏi về số điểm cực trị của một hàm số có đồ thị cho trước.

Việc giải bài toán này tương đối đơn giản khi nhận dạng ngay trên đồ thị

Lời giải

Dựa vào đồ thị của hàm số y f x , hàm số có đúng 3 điểm cực trị

Do đó chọn đáp án D

Ví dụ 5 Cho hàm số yf x  Hàm số yf x  có

đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên

Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu

Tư duy: Đây là câu hỏi về điểm cực trị của một hàm số có đồ thị hàm đạo hàm

cho trước Việc giải bài toán này cần chú ý các nghiệm của đạo hàm và việc đổi dấu của đạo hàm qua các nghiệm để tránh sai lầm

Lời giải

Dựa vào đồ thị của hàm số yf x , ta có bảng xét dấu:

Như vậy: trên K, hàm số yf x  có điểm cực tiểu là x1 và điểm cực đại là x2,

3

x không phải là điểm cực trị của hàm số Do đó chọn đáp án D

Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh nhầm với bài

toán cho đồ thị hàm số y f x  như ví dụ 4 nên chọn đáp án A

Trong trang này: Ví dụ 4 , ví dụ 5 tham khảo tài liệu [2], [3] và lời giải của tác giả.

2 3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh giải nhanh bằng phương pháp đếm nghiệm phương trình đại số

Bản chất của việc đếm số cực trị của hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên D là đếm các nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình f x  trên'  0

D

Ví dụ 6 Cho hàm số f x  x3  3x2 2, hàm số yf x 2  x

có bao nhiêuđiểm cực trị ?

nên hàm sốyf x 2  x

có đúng 3 điểm cực trị Do đó chọn đáp án B

Ví dụ 8 Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau

Hàm số yf f x    có bao nhiêu điểm cực trị?

A 2 B.4 C 6. D 8 [4]

Tư duy: Đây là câu hỏi về số điểm cực trị của hàm hợp của hàm số có bảng

biến thiên cho trước Việc giải bài toán này cần chú ý đến việc đếm nghiệm dựa vào bảng biến thiên đã cho để xác định được số điểm cực trị.

Mà f x  có các nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) '  0 x   2;4 .

Căn cứ bảng biến thiên, ta có

Ví dụ 9 Cho hàm đa thức y f x  có đồ thị như

hình vẽ bên Số điểm cực đại của hàm số



[2]

Trong trang này: Ví dụ 8 , ví dụ 9 tham khảo tài liệu [4], [2] và lời giải của tác giả.

Tư duy: Đây là câu hỏi về số điểm cực trị của hàm hợp của hàm số có đồ thị

cho trước Việc giải bài toán này cần chú ý đến việc đếm nghiệm dựa vào đồ thị

đã cho để xác định được số điểm cực trị.

nên hàm sốg x   f x   12 có đúng 3 điểm cực đại Do đó chọn đáp án D

Nhận xét: Một số học sinh lúng túng trong việc sử dụng đồ thị để xét dấu g x' 

2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh giải nhanh bằng phương pháp “truy ngược hàm số”

Trong một số bài toán có giả thiết dạng hàm ẩn, ta có thể “truy ngược hàm số” để chuyển về bài toán với giả thiết tường minh Đây là một thao tác hay để giải nhanh một số bài toán.

Ví dụ 10.Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x'  4x3 2x và f  0 2 Số điểm cực trị của hàm số g x   f x 2  2x 3 2

là

Lời giải

Ta có: f x   4x3 2x dx x  4 x2 C, f  0  2 f x  x4 x2 2.Suy ra f x  có các nghiệm đơn   0 x  và 1 x  và 1 f x  có nghiệm '  0

đơn duy nhất x  Mà 0. g x'  2 2 x 2  f x 2  2x 3 ' f x2  2x 3

Đối với bài toán này ta có thể “ truy ngược ” tìm hàm f x  tường minh, và vì

là hàm đa thức nên có thể xử lí trực tiếp hàm số ( ) ( ( ) )2

với m2;3

Trong trang này: Ví dụ 11 tham khảo tài liệu [3] và lời giải của tác giả.

 

3 3

3

00

có các nghiệm đơn thỏa mãn là x 0;

4.3

y x

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y h x   có duy nhất điểm cực đại không âm.

Do đó chọn đáp án C

Nhận xét

Bài toán này có thể “ truy ngược ” hàm f x tường minh, tuy nhiên việc giải 

toán cũng phức tạp, không phù hợp với tư duy giải nhanh trắc nghiệm

, sau đó đếm số cự đại của hàm h x 

Bìa toán này việc “truy ngược” hàm số tường minh này là khó khăn

Trong trang này: Ví dụ 14 tham khảo tài liệu [2].

Lời giải

Xét hàm số: h x  f x 3  x

, có h x  3x f x2  3  1Vậy: h x  0  3

2

13

y

x



, y f x trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, suy ra

phương trình (2) có hai nghiệm t1  a 0

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số      3

f x

x

Tuy nhiên, dưới cách nhìn “đồ thị tương giao” thì lời giải bài toán

tự nhiên và học sinh thấy dễ hiểu, thấy được “sử dụng đồ thị đề bài để giảitoán”

Trong trang này: Ví dụ 14 tham khảo tài liệu [2].

Ta vẽ đồ thị hai hàm số yf t'  và y t  trên cùng một hệ trục tọa độ 1

Vậy hàm số g x  h x 

có 4 điểm cực tiểu Do đó chọn đáp án A.

2.3.2.5 GP5: Hướng dẫn học sinh giải nhanh bằng phương pháp ghép trục

“Phương pháp ghép trục ” là việc hình thức hóa các bước khảo sát và lập bảng biến thiên hàm hợp bằng việc quy về ghép trục tọa độ Đây là một cách tiếp cận “độc đáo và sáng tạo”, tuy nhiên để thực hành giải nhanh yêu cầu học sinh phải nắm vững bản chất phương pháp.

2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

- Việc rèn luyện và thực hành giải Toán đã giúp học sinh tự tin và có cơ sở phương pháp để giải nhanh câu hỏi TNKQ Từ đó nâng cao dần năng lực giải Toán nói chung và giải bài toán đếm số cực trị của hàm số nói riêng

- Việc xây dựng các giải pháp, các dấu hiệu cũng như sáng tạo các kĩ thuật giải Toán không những giúp học sinh học Toán sáng tạo, kích thích tư duy, sự say

mê học Toán mà còn định hướng cách học cho học sinh ở những nội dung khác của Toán học phổ thông Điều này góp phần rất lớn vào phong trào học tập của học sinh trường THPT Hoằng Hóa 3, đặc biệt là nhóm học sinh chất lượng cao, chinh phục điểm cao ở các kì thi, qua đó giúp nhà trường từng bước cải thiện và nâng dần công tác học sinh mũi nhọn

- Nội dung SKKN cũng đã được trình bày ở Tổ chuyên môn đến các đồng

nghiệp và được các đồng nghiệp áp dụng vào thực tiễn dạy học ở trường THPT Hoằng Hóa 3 Qua thực tiễn nhiều năm đã nhận thấy tính hiệu quả cao của SKKN này cũng như đã tạo ra một cách dạy, một cách tiếp cận độc đáo đến một nội dung Toán học Nó như là bài mẫu để giáo viên có thể áp dụng cho các nội dung khác cũng như tạo nên một phong cách học Toán sáng tạo cho học sinh

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN

Muốn thành công trong công tác giảng dạy trước hết đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết với nghề, phải đam mê tìm tòi học hỏi, phải nắm vững các kiến thức cơ bản, phải tổng hợp các kinh nghiệm áp dụng vào bài giảng SKKN này đã chỉ ra được các dạng toán, các dấu hiệu đặc trưng cũng như các kĩ thuật giải nhanh bài toán đếm số cực trị của hàm số

Giáo viên cần phải biết phát huy tính tích cực chủ động chiếm lĩnh tri thứccủa học sinh Trong quá trình giảng dạy phải coi trọng việc hướng dẫn học sinh conđường tìm ra kiến thức mới, khơi dậy óc tò mò, tư duy sáng tạo của học sinh, tạohứng thú trong học tập, dẫn dắt học sinh từ chỗ chưa biết đến biết, từ dễ đến khó.Trong thực tế vận dụng SKKN không những giúp học sinh trong việc định hướnggiải toán với một nội dung cụ thể mà thông qua đó để học sinh thấy được rằngviệc “ tư duy phương pháp ” và kĩ năng giải nhanh trắc nghiệm bài toán đếm sốcực trị của hàm số là rất tốt và có kết quả Từ đó thôi thúc học sinh tìm tòi sángtạo để trang bị cho mình những quy trình và lượng kiến thức mới

Nội dung kiến thức của SKKN là nội dung được học sinh tiếp cận của lớp 12,

do đó đối với một số học sinh trung bình và trung bình khá thì khả năng vậndụng vào giải toán còn đang lúng túng, nhất là trong các bài toán cần sự linhhoạt lựa chọn phương pháp hay khi gặp bế tắc trong giải toán học sinh thườngkhông chuyển hướng được cách suy nghĩ để giải bài toán ( thể hiện sức “ỳ” tưduy vẫn còn lớn) Vì vậy khi dạy cho học sinh nội dung này, giáo viên cần tạo racho học sinh cách suy nghĩ linh hoạt và sáng tạo trong khi vận dụng giảitoán Điều đó đòi hỏi người giáo viên cần phải khéo léo truyền thụ quy trình vàcách giải toán linh hoạt đối với các bài toán

Khả năng ứng dụng thực tiễn giảng dạy ở nhà trường của SKNN là rấtcao, hầu như giáo viên nào, lớp học nào đều có thể áp dụng vào giảng dạy hiệuquả SKKN này cũng có thể mở rộng ra lớp bài toán khác về hàm số cũng như tưduy phương pháp cho các nội dung khác của Toán học

3.2 KIẾN NGHỊ

Qua sự thành công bước đầu của việc áp dụng nội dung này thiết nghĩrằng chúng ta cần thiết phải có sự đổi mới trong cách dạy và học Không nêndạy học sinh theo những quy tắc máy móc nhưng cũng cần chỉ ra cho học sinhnhững quy trình mô phỏng đang còn mang tính chọn lựa để học sinh tự mình tưduy tìm ra con đường giải toán

SKKN đã tiếp cận đến một vấn đề khó và phổ dụng trong việc dạy họcsinh chất lượng cao, thực tế giảng dạy ở trường THPT Hoằng Hóa 3 nhiều năm

đã cho thấy hiệu quả rõ rệt Vì vậy, các giáo viên khác có thể áp dụng và sángtạo thêm để nâng cao chất lượng học sinh mà mình giảng dạy

Mong rằng qua báo cáo kinh nghiệm này các đồng nghiệp cho tôi thêmnhững ý kiến và phản hồi những ưu nhược điểm của cách dạy nội dung này