Rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh qua bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

Việc giải các toán bằng phương pháp tọa độ trong khônggian nói chung và giải bài toán viết phương trình đường thẳng nói riêng chứađựng tiềm năng rất lớn trong việc phát triển, rèn luyện

Trang 1

1.MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018, “năng lực là thuộc tính cánhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rènluyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và cácthuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành côngmột loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụthể”

Thông qua chương trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triểnđược năng lực toán học Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau:năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lựcgiải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công

cụ, phương tiện học toán.Tùy vào từng đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt củatừng khối lớp, năng lực toán học của mỗi học sinh được biểu hiện ở các mức độkhác nhau

Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc

“học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tìnhhuống và bối cảnh khác nhau Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực họcsinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúpcác em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp vớiđặc điểm cá nhân

“Phương pháp tọa độ trong không gian” là phần kiến thức trọng tâm củaHình học lớp 12 cũng là nội dung xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT Quốcgia và thi tốt nghiệp Việc giải các toán bằng phương pháp tọa độ trong khônggian nói chung và giải bài toán viết phương trình đường thẳng nói riêng chứađựng tiềm năng rất lớn trong việc phát triển, rèn luyện năng lực tư duy và lậpluận toán học cho học sinh

Với những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài “ Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xuân 2 qua bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz” để nghiên cứu, áp

dụng vào giảng dạy nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục và gópphần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông quaviệc phân loại và tìm lời giải cho bài toán viết phương trình đường thẳng trong

không gian với hệ tọa độ Oxyz

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz nằm

trong chương trình toán học phổ thông

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu chương trình giáo khoa,nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến vấn đề viết phương trìnhđường thẳng trong không gian

Trang 2

- Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy và học phân môn Hình học ở THPT rút ra một số nhận xét và phương pháp giúp học sinh rènluyện năng lực tư duy và lập luận toán học.

- Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy, kiểm tra đánh giá khảnăng tiếp thu kiến thức và năng lực tư duy toán học của học sinh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1 Khái niệm năng lực tư duy và lập luận toán học

Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể môn Toán, năng lực tưduy và lập luận toán học của học sinh ở cấp trung học phổ thông được thể hiệnqua việc:

- Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt pháthiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phứctạp và lí giải được kết quả của việc quan sát

- Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ranhững cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề

- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích,chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học

2.2.2 Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học qua bài toán viết phương trình đường thẳng

Khi giải bài toán viết phương trình đường thẳng, năng lực tư duy và lậpluận toán học của học sinh được thể hiện ở việc:

- Trước hết học sinh cần nắm được quy tắc : muốn viết được phương trìnhđường thẳng thì cần biết hai yếu tố đó là một điểm thuộc đường thẳng và mộtvectơ chỉ phương của đường thẳng đó

- Biết phân tích, so sánh tìm ra điểm giống nhau, khác nhau giữa các dạngtoán với quy tắc trên; xác định yếu tố đã biết là gì, yếu tố cần tìm là gì và tìmnhư thế nào

- Căn cứ vào kiến thức hình học không gian, phương pháp tọa độ trongkhông gian đã học, lập luận để giải quyết vấn đề, đưa bài toán từ lạ về quen

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Sau nhiều năm giảng dạy tại trường THPT Thường Xuân 2, tôi nhận thấy

đa số các em học sinh của nhà trường còn học yếu các môn tự nhiên, đặc biệt làmôn Toán Trong quá trình học, các em thường lúng túng khi phải giải các bàitoán đòi hỏi khả năng tư duy và lập luận toán học Chẳng hạn, ở bài toán viếtphương trình đường thẳng các em viết được phương trình đường thẳng nếu giảthiết cho cụ thể điểm thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương, nhưng sẽ gặp khókhăn nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một điềukiện nào đó, bởi các em không biết cách phân tích, lập luận để tìm ra hướng giải

Từ thực trạng như trên, tôi đã áp dụng đề tài “ Phát triển năng lực tư duy

và lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xuân 2 qua bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz” vào giảng dạy để giúp

các em khắc phục những điểm yếu khi học về mảng kiến thức này

Trang 3

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Giải pháp:

- Hệ thống một số kiến thức liên quan đến phương trình đường thẳng, mặtphẳng; quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian

- Phân loại và hướng dẫn học sinh phân tích tìm cách giải cho bài toán

viết phương trình đường thẳng trong không gianOxyz

- Triển khai dạy trên lớp và kiểm tra đánh giá cuối chuyên đề

Nội dung giải pháp:

2.3.1 Kiến thức cơ bản

1) Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ u d

khác vectơ-không được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của

đường thẳng d nếu giá của u d

song song hoặc trùng với đường thẳng d

2) Khái niệm vectơ chỉ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ n  P

khác vectơ-không được gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) củamặt phẳng  P nếu giá của n P

vuông góc với mặt phẳng  P .3) Quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đườngthẳng và mặt phẳng

+) Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng    P Q hoặc đường,

thẳng d là song song với hai mặt phẳng    P Q thì , u d n P ;n Q 

4) Phương trình của đường thẳng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

Cho đường thẳng d đi qua điểm M x y z 0; ;0 0 và có VTCP

Trang 4

b Phương trình chính tắc của đường thẳng

Nhận xét: Để viết được phương trình đường thẳng ở dạng tham số (hoặc chính

tắc ) cần biết hai yếu tố đó là biết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d

đi qua điểm M0(3;2; 1) có vectơ chỉ phương u  d (2; 1;3)

Trang 5

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A x y z A; A; A và

 B; B; B

B x y z

Ở dạng 2, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho

HS thông qua việc định hướng học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Vẽ hình minh họa

- So sánh dạng 2 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết (điểm thuộc đường thẳng điểm A và điểm B); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương củađường thẳng)

- Phân tích giả thiết đã cho dựa vào hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưabiết, từ đó đưa dạng 2 về dạng 1: Từ định nghĩa VTCP của đường thẳng ta nhận

thấy đường thẳng d đi qua hai điểm , A B nên có VTCP u d  AB

(Đề minh họa thi tốt nghiệp 2021)

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A x y z A; A; A và song song với đường thẳng  cho trước.

Trang 6

HS thông qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:

- So sánh dạng 3 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết (điểm thuộcđường thẳng điểm A); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường

thẳng)

- Dựa vào hình vẽ phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa

biết, từ đó đưa dạng 3 về dạng 1: Đường thẳng d song song với đường thẳng 

- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và có VTCP ud .

Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm ( 1;3; 2)A  

và song song với đường thẳng có phương trình

Trang 7

thẳng)

- Từ hình vẽ phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ

đó đưa dạng 4 về dạng 1: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P nên ta

Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm

Bài tập tương tự: Trong không gian với hệ tọa độOxyz , phương trình nào dưới

đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm (2;3;0)A và vuông góc với mặt phẳng( ) :P x3y z  5 0?

A.

1 331

Trang 8

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với

hai đường thẳng không song song d d1, 2 cho trước.

thẳng)

- Phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa

dạng 5 về dạng 1: Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng d d1, 2 nên ta

có tích có hướng của hai VTCP u d1, u d2

Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm

Trang 9

Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 1;1;3)và hai đường thẳng

 Phương trình nào dưới đây là

phương trình đường thẳng đi qua M vuông góc với và ?



A.

11

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , vuông góc và cắt

đường thẳng d cho trước.1

thẳng)

dạng 6 về dạng 2: Giả sử đường thẳng d cắt d tại điểm M Do 1 d d' nên

- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A M, như dạng 2

Ví dụ 6: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A1;1;1, cắt và

vuông góc với đường thẳng

Trang 10

Đường thẳng d đi qua A1;1;1 và

- So sánh dạng 7 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết (điểm thuộcđường thẳng điểm A); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đườngthẳng)

dạng 7 về dạng 1: Đường thẳng d song song với hai mặt phẳng    P Q nên ta,

có tích có hướng của hai VTPT n  P, n Q

Trang 11

Ví dụ 7: Viết ptts của đường thẳng d đi qua điểm ( 1;3; 2) A   và song song vớihai mặt phẳng: P : x y z   3 0 ; Q : 2 x y z   0

3 2

x y

đường thẳng d vuông góc với hai VTPT n  P, n Q

của hai mặt phẳng hay ta cóthể chọn u d n P ;n Q 

Trang 12

Ví dụ 8: Viết phương trình của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

A thuộc d Vậy, d đi qua A và có VTCP u   d 1; 3; 5 có ptts là:

- So sánh dạng 9 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết; yếu tố nào chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng).

- Từ hình vẽ phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ

đó đưa dạng 9 về dạng 8: Do đường thẳng 'd là hình chiếu vuông góc của d lên

mặt phẳng  P nên 'd là giao tuyến của hai mặt phẳng    P , Q với  Q là mặt

phẳng chứa d và vuông góc với  P

- Nêu cách giải dạng 9

Cách giải:

- Lập phương trình mặt phẳng  Q chứa d và vuông góc với  P

Trang 13

- Do d' P  Q nên ta tìm VTCP và viết phương trình đường thẳng 'dtheo dạng 8

Ví dụ 9: Viết phương trình hình chiếu vuông góc ' d của đường thẳng d có

d là giao tuyến của hai mặt phẳng    P , Q .

Khi đó, VTCP của đường thẳng 'd là u d' n P ;n Q  7;4;1

nên A thuộc 'd Vậy đường thẳng ' d có phương trình tham số là:

Trang 14

Ở dạng 10, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

cho HS thông qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:

- So sánh dạng 10 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết ( điểm thuộcđường thẳng); yếu tố nào chưa biết ( VTCP của đường thẳng)

- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết,

từ đó đưa dạng 10 về dạng 8 hoặc dạng 2 theo hướng:

+) Hướng 1:

Do đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d d1, 2 nên d

là giao tuyến của hai mặt phẳng    P , Q với  P là mặt phẳng chứa A d, 1, còn

Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng d d1, 2 lần lượt là M M1, 2

Tìm tham số , 't t để  AM AM1, 2 cùng phương, suy ra tọa độ điểm M M1, 2. Viết

phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A M, 1như dạng 2

Ví dụ 10: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A1;1;1

Trang 15

- So sánh dạng 11 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết ( chưa có); yếu

tố nào chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng)

- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết,

từ đó đưa dạng 11 về dạng 8 hoặc dạng 2 theo hướng:

+) Hướng 1:

Do đường thẳng d song song với  và cắt d1 nên có một mặt phẳng

 P chứa d d, 1 song song với . Tương tự, đường thẳng d song song với 

và cắt d2 nên có một mặt phẳng  Q chứa d d, 2 song song với .

Vậy: d    P  Q

+) Hướng 2:

Do d song song với  nên u d  u.

Giả sử giao điểm của đưởng thẳng d với hai đường thẳng d d1, 2 lần lượt

là M M1, 2. Khi đó, u M M d, 1 2 cùng phương

- Nêu cách giải dạng 11

Cách giải:

+) Cách 1:

Lập phương trình mặt phẳng P song song với và chứa d1, còn  Q

song song với và chứa d2. Khi đó: d  P  Q nên ta tìm VTCP, điểm

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	1,12 MB