Rèn luyện năng lực giải toán tìm cực trị của hàm hợp cho học sinh lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP CHO HỌC SINH LỚP 12 Người thực hiện:Lê Thị Tuyết Nhung C

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP CHO HỌC SINH LỚP 12

Người thực hiện:Lê Thị Tuyết Nhung Chức vụ : Tổ trưởng chuyên môn.

SKKN thuộc môn : Toán

THANH HÓA, NĂM 2021

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 1

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3

2.3.1 Trang bị cho học sinh kĩ năng đọc thông tin của hàm

số từ đồ thị, từ bảng biến thiên, kĩ năng tính đạo hàm

của hàm số hợp

3

2.3.2 Thành thạo các phép biến đổi đồ thị để giải quyết tốt

các bài toán cực trị của hàm hợp có chứa dấu giá trị

tuyệt đối

12

2.3.3 Nắm vững các phương pháp tìm giá trị của tham số để

phương trình f x m có nghiệm, làm công cụ hỗ trợ

giải quyết các bài toán cực trị chứa tham số

13

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

17

3.2 Kiến nghị

Tài liệu tham khảo

Danh mục các đề tài SKKN tác giả đã được hội đồng

cấp ngành sở GD&ĐT đánh giá đạt từ loại C trở lên

Phụ lục

18192021

1.MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

“Khái niệm hàm số là khái niệm then chốt của toàn bộ toán học”[1]

Chủ đề cực trị của hàm số là một trong những nội dung trọng tâm củachương trình giải tích 12 Bài tập về cực trị của hàm số hợp rất đa dạng nênkhi tiếp cận các dạng bài tập này, học sinh gặp không ít khó khăn khi tìm tòilời giải

Những năm gần đây, trong các đề thi thử, đề thi THPTQG xuất hiện cácbài toán cực trị của hàm hợp Đây là những bài toán hoàn toàn mới lạ đối vớihọc sinh, những bài tập này thường là những bài tập ở mức độ vận dụng, vậndụng cao, với ý đồ phân loại học sinh khá, giỏi nên đã làm cho nhiều học sinhcảm thấy lúng túng trong quá trình tìm tòi lời giải Do đó nhiệm vụ đặt ra chocác thầy cô dạy toán là làm thế nào để học sinh tiếp cận dạng toán này mộtcách hiệu quả, vận dụng tốt các kiến thức đã học vào làm bài tập thành thạo.Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần hàm số,thông qua việc rèn luyện năng lực giải toán cực trị của hàm hợp cho học sinhcuối cấp THPT Mặt khác khơi gợi niềm đam mê, yêu thích bộ môn Toán vàtạo sự tự tin cho các em học sinh trong các kỳ thi.Từ kinh nghiệm của bảnthân trong quá trình giảng dạy kết hợp với sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp

ở các tài liệu Toán, tôi lựa chọn đề tài:

“Rèn luyện năng lực giải toán tìm cực trị của hàm hợp cho học sinh lớp 12”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu những khó khăn, vướng mắc của học sinh khi giải bài toán tìmcực trị của hàm hợp Phân tích, tìm tòi và xây dựng phương pháp giải thôngqua các ví dụ mẫu Đề xuất hệ thống bài tập vừa sức, hướng dẫn học sinhnghiên cứu, tìm tòi những bài tập cùng loại, nâng dần mức độ khó khăn, gópphần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trong trường phổ thông cũngnhư tích luỹ kinh nghiệm cho bản thân

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải các bài toán tìm cực trị của hàm hợp ở các đề thithử THPT Quốc gia của các trường THPT, các Sở GD&ĐT trên cả nước, đềthi THPT Quốc gia các năm gần đây của Bộ GD&ĐT

Các vấn đề tôi trình bày trong đề tài nhằm nâng cao năng lực giải bàitoán tìm cực trị của hàm hợp cho đối tượng học sinh lớp 12 trong kì thi THPTQuốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Sáng kiến này dựa trên phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết, hệthống lại kiến thức cơ bản có liên quan, xây dựng hệ thống bài tập vận dụngkiến thức cũ và tổ chức thực hiện

Thực tiễn dạy học cũng như việc dự giờ, trao đổi chuyên môn với đồngnghiệp cũng giúp cá nhân tôi hoàn thiện cơ sở lý luận và tổ chức triển khai ápdụng

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Nắm vững và vận dụng được kiến thức cơ bản vào trong những trườnghợp cụ thể, nhận ra những bài toán tương tự với bài toán đã biết, qui bài toán

xa lạ thành bài toán quen thuộc, gần gũi, từ đó vận dụng những kiến thứcđược học vào giải thành thạo các bài tập

Trong khuôn khổ của đề tài, tôi chủ yếu tập trung vào việc phân tích cácbài toán để học sinh nắm vững cách giải quyết từng dạng toán cụ thể, từ đócác em sẽ biết làm các bài tương tự Để làm được điều này tôi xin nêu lại một

số nội dung kiến thức cơ bản học sinh cần nắm vững khi học chủ đề cực trịcủa hàm số hợp

Nội dung 1: Bài: Cực trị của hàm số (sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao)

- Khái niệm cực trị của hàm số

- Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

- Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

- Các qui tắc xác định điểm cực trị

Nội dung 2: Sơ lược về tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa độ (mục 4,

Bài: Đại cương về hàm số- sách giáo khoa đại số 10 nâng cao)

Nội dung 3: Một số tính chất liên quan tới cực trị của hàm số chứa dấu trị

Mặc dù trong quá trình giảng dạy, giáo viên đã cung cấp các kiến thức

cơ bản, đã trình bày và hướng dẫn cho học sinh các dạng toán về cực trị củahàm hợp, nhưng thực trạng cho thấy có không nhiều học sinh dám tiếp cậnvới dạng toán này, một bộ phận học sinh cảm thấy ngợp vì độ khó, mới lạ, đadạng của các bài tập về cực trị, hơn nữa khi làm các bài tập này, nếu khôngnhanh nhạy và lựa chọn đúng hướng sẽ làm mất không ít thời gian của họcsinh.Vì những lí do trên, tôi nhận thấy ngoài việc cung cấp cho học sinhnhững kiến thức nền vững chắc thì cần tạo nhiều cơ hội giúp các em cọ xátvới các dạng toán về cực trị của hàm hợp Đặc biệt đứng trước một câu hỏitrắc nghiệm khách quan có nhiều công cụ để giải, nhưng việc phân tích, phánđoán và lựa chọn để nhanh chóng đi tới đáp số của bài toán là điều quantrọng, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức chắc chắn và một chút “nhạy cảm”toán học, mà điều này phải được rèn giũa thường xuyên trong quá trình họctoán

Các bài toán về cực trị hàm hợp còn khá mới mẻ không chỉ đối với họcsinh mà ngay cả với giáo viên, chưa có bộ giáo án hoàn chỉnh, phân dạng cácloại bài tập và bài tập cho học sinh luyện tập.

Nội dung cực trị của hàm hợp chưa được khai thác nhiều, tài liệu thamkhảo còn rất ít Chưa có tài liệu chính thống nào viết về quy trình giải toáncực trị hàm hợp cho học sinh Học sinh còn lúng túng, không có hướng giảiquyết khi đứng trước bài toán tìm cực trị của hàm hợp Tôi cho rằng, nguyênnhân chủ yếu là do đây là phần kiến thức mới, học sinh chưa được hướng dẫn

và giảng dạy phần này một cách có hệ thống Về phía giáo viên, một số chưagiành thời gian nghiên nội dung này, số khác chưa cập nhật kịp thời nhữngnội dung mới trong đề thi THPTQG của Bộ

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Trang bị cho học sinh kĩ năng đọc thông tin của hàm số từ đồ thị,

từ bảng biến thiên, kĩ năng tính đạo hàm của hàm số hợp.

Trong giải pháp này, khi giảng dạy chủ đề hàm số cho học sinh từ cáclớp dưới-người thầy nên tận dụng các cơ hội rèn luyện cho học sinh một số kĩnăng như tính đạo hàm của hàm số hợp, kĩ năng đọc thông tin từ đồ thị hoặc

từ bảng biến thiên (đồ thị đi qua điểm nào, khoảng đồng biến, nghịch biến của

đồ thị, điểm cực đại, cực tiểu, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trênkhoảng, đoạn tính liên tục, ) cho học sinh

Dạng 1 Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y= f x( ), tìm cực trị của hàm số y= f u x( ( ))

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số yf 3  x2 là A 1 B 3 C 4 D 2

Phân tích : Bài toán yêu cầu xác định số điểm cực trị nên phải tìm số nghiệm

đơn hoặc nghiệm đơn bội lẻ của phương trìnhg x  0 với g x f 3  x2( mà có thể không cần phải lập bảng biến thiên của hàm số) Việc tìm nghiệmcủa phương trình g x   0đòi hỏi học sinh phải có các kỹ năng như tínhđạo hàm của hàm hợp, đọc bảng biến thiên, tìm nghiệm của phương trình

(x  2 là hai nghiệm đơn, x 0 là nghiệm

bội ba).Vậy hàm số có 3 điểm cực trị Chọn đáp án C.

Hàm số    3 

g x f x x đạt cực tiểu tại điểm x0 Giá trị x0 thuộc khoảng nào

sau đây A.1;3 B. 1;1 C.0; 2 D.3; 

Phân tích:Bài toán không yêu cầu tìm số điểm cực trị như ở ví dụ 1 mà yêu

cầu phải xác định được cụ thể điểm cực tiểu của hàm số Do đó ngoài việc phải xác định được số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình

  0

g x  thì chúng ta cần phải lập được bảng biến thiên của hàm số yg x 

với g x( ) f x 3 x và căn cứ vào bảng biến thiên để đi đến kết luận

Ví dụ 3: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên

Số điểm cực đại của hàm sốy g x     f 2  x2 2020là A 1.B 3.C 2

D 4

Phân tích : Ở ví dụ này chúng ta thấy rằng hàm số cần tìm cực trị là hàm

hợp có lũy thừa, vì vậy học sinh phải có kỹ năng tính đạo hàm của hàm sốhợp Tương tự như các ví dụ trên, đi tìm được nghiệm của g x và xét dấucủa g x để tìm được số điểm cực đại của hàm số.Việc xét dấu của g x 

chúng ta cần phải quan sát kỹ bảng biến thiên đã cho để xét dấu f 2  x và

tục trên Rcó đồ thị được cho như hình vẽ bên

Số điểm cực tiểu của hàm số y f f x   là

A 5 B 2 C 4 D 6

Phân tích : Việc giải ví dụ 4 tương tự như ví dụ 3 Tuy nhiên học sinh phải

đọc được thông tin từ đồ thị: hàm số f x  đạt cực trị tạix 0hoặc x 2 ( cũngchính là nghiệm của f x ) từ đó sẽ tìm được các nghiệm của g x với

Do đó phương trình g x  0 có 4 nghiệm bội lẻ là x 0,x 2,x a x b ,  (x 0

là nghiệm bội ba ).Tuy nhiên để xác định số điểm cực tiểu, học sinh cần lậpbảng biến thiên:

Dựa vào BBT suy ra hàm số y f f x   có hai điểm cực tiểu.Chọn đáp án B.

Nhận xét : Để xét dấu của g x  chúng ta chỉ cần rút ra được g x  0 có 4 nghiệm bội lẻ do đó sẽ đổi dấu qua các nghiệm đó nên học sinh chỉ cần xét dấu của g x  trên một khoảng và suy ra được dấu g x trên các khoảng còn lại được phân cách bởi các nghiệm.Chẳng hạn,với x    ;0

 

0

0 0

Ví dụ 5:Cho hàm số f x  liên tục trên Rvà có

5

0.

4

x f x

(hai giá trị này làm cho biểu thức 2

5 4

x

x  nhận giá trị bằng 1) mặc dù vẫn là

nghiệm của g x  nhưng không phải là điểm cực trị của hàm số g x  ;Ta gọi

5 0 4 5 1

5 2 4

4 0

x x x

x x x

2

x x x x x

Điểm khác của ví dụ này so với ví dụ 5 là: ở ví dụ 5 dễ dàng tìm được nghiệm

cụ thể của f x  từ đó sẽ tìm được các nghiệm cụ thể của g x .Còn ở ví dụ 6

ta chỉ tìm được nghiệm của f x  thuộc các khoảng    ; 1 ; 1;1 ; 1;     do

dó để tìm được nghiệm của g x  ta phải kết hợp với kỹ năng tìm số nghiệmcủa phương trìnhx2  2x m ,m thuộc các khoảng    ; 1 ; 1;1 ; 1;    

nghiệm phân biệt khác -1

Do đó y ' 0 có 5 nghiệm đơn phân

biệt Vậy hàm số yf x 2  2x có 5

điểm cực trị

Nhận xét: Trong bài này ta đã sử

dụng phương pháp đồ thị để biện luận

số nghiệm của phương trình

Ví dụ 7 (Mã đề 104 - 2019) Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số

=0 Một số học sinh do không đọc kỹ đề bài hoặc do thói quen nên mặc định

các giá trị x xuất hiện trong bảng biến thiên là nghiệm của phương trình f’(x)=0 Do đó học sinh cần được trang bị tốt các phương pháp giải và biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số, đặc biệt là kỹ năng sử dụng bảng biến thiên, sử dụng đồ thị để đọc số nghiệm của phương trình ( hay số giao điểm của 2 đồ thị)

Từ bảng biến thiên trên ta có  

2 2

2

3 2

được thêm hai nghiệm

mới phân biệt khác 1

tìm được thêm hai

nghiệm phân biệt khác

xét dấu của nó Tìm được các nghiệm của g x  đòi hỏi học sinh phải khéo léokhi tìm nghiệm của phương trình f x ( 2  2 )x x2  2x 1 Quan sát hai vế củaphương trình ta lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ, đưa về phương trình dạng

f t  t không đổi dấu qua t 1 do đó g x ( ) không đổi dấu qua x  1 2

2.3.2 Thành thạo các phép biến đổi đồ thị để giải quyết tốt các bài toán cực trị của hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Giáo viên cần cho HS thấy được khi tịnh tiến đồ thị như thế thì số điểm cực trị của đồ thị mới không thay đổi.

Suy ra: f x cùng dấu với  x x 1  x x 2  x x 3.

2

0 3

m m

m m

Ví dụ 12:Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

y= x - mx + m + -m có bảy điểm cực trị khi

và chỉ khi đồ thị hàm số y= -x4 2mx2 + 2m2 + -m 12 cắt trục hoành tại bốnđiểm phân biệt

cực trị là A.2 B 3 C 1 D 4.

Phân tích: Điều cần lưu ý ở ví dụ này là tìm được 3 nghiệm của f x ( ) trong

đó x 1 là nghiệm bội chẵn nên không là điểm cực trị của f x( ) Từ đó cũngtìm được điều kiện để  3 2 

f x  x m  ta đưa về giải 3 phương trình

x  x m x3 3x2m 1 (2), x3 3x2m 2 (3).Nhận thấy rằng phươngtrình (1) và phương trình (3) có nghiệm không trùng nhau còn nghiệm củaphương trình (2) nếu có sẽ là nghiệm bội chẵn của g x  nên không là điểmcực trị của g x .

Vậy hàm số y g x  có 8 điểm cực trị khi và chỉ khi mỗi phương trình(2)vàphương trình (3) phải có ba nghiệm phân biệt khác 0 và khác 2

Bảng biến thiên của hàm số y h x  

Từ bảng biến thiên, ta thấy điều

kiện để mỗi phương trình

Nhận xét :Để làm xong bài toán này đòi hỏi học sinh phải biết cách cô lập m

và sử dụng bảng biến thiên để tìm số nghiệm của mỗi phương trình

Ví dụ 14: Cho hàm số yf x  có đạo hàm

 

yf x liên tục trên R và có đồ thị như hình

Có bao nhiêu số nguyên m   2019;2019 để

Phân tích: Ở ví dụ 13, bài toán cho biểu thức của f x  nhưng ở ví dụ này

giả thiết lại cho đồ thị của f x .Quan sát đồ thị ta thấy f x ( ) có 3 nghiệm

phân biệt nên hàm f x ( ) có dang f x a x  2 x 2 x 5 ( a 0) Từ đó

đưa về bài toán có dạng như ví dụ 13

Bài toán trở thành tìm m để các phương trình  3 ;  4 đều có 2 nghiệm phân

biệt khác nhau và khác  1 đồng thời x 1 thuộc tập xác định hàm số

Kết hợp điều kiện m   2019;2019 , m Z Suy ra m 1; 2; 3; 4 .Chọn D.

Ví dụ 15: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên

tục trên R Đồ thị của hàm sốyf 5 2  x như

hình vẽ sau Có bao nhiêu giá trị thực của tham

số mthuộc khoảng  9;9 thỏa mãn 2m R và

x x

x x

có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ

Đặt t 4x3   1 t  12x2 Suy ra t là hàm số đồng biến trên R Ứng với mỗigiá trị của t ta có một giá trị của x Số nghiệm của phương trình (1) bằng sốnghiệm của phương trình   1 0.

số yf 4x3  1 có 3 điểm cực trị chúng ta sử dụng tính chất 1 ở mục 2.1 đưabài toán về tìm số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Trong quá trình giảng dạy toán, cá nhân tôi luôn có ý thức trang bị đầy

đủ cho học sinh những kiến thức cơ bản và nền tảng nhất Trên cơ sở trang bịcho học sinh những kiến thức nền về chủ đề hàm số, mối quan hệ giữa hàm sốvới đồ thị, bảng biến thiên và đạo hàm của nó, xây dựng một hệ thống bài tậpphù hợp, giúp học sinh định hướng và lựa chọn cách thức giải một số dạngtoán trực tiếp liên quan đến cực trị của hàm hợp một cách nhanh chóng Sángkiến kinh nghiệm đã phân tích từng ví dụ cụ thể qua đó giúp học sinh địnhhướng và sớm tìm hướng giải quyết bài toán liên quan một cách nhanh chóng

và thuận tiện, là một trong những công cụ hữu ích trong quá trình học, ôn thihọc sinh giỏi, ôn thi THPTQG của học sinh cũng như làm tài liệu tham khảocho các đồng nghiệp giáo viên trong quá trình giảng dạy của mình

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận.

Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm, tôi xin mạn phép trình bày

một vài giải pháp nhỏ khi dạy chủ đề cực trị của hàm hợp cho học sinh Việcphân chia các dạng toán chỉ mang tính tương đối, tuy nhiên sáng kiến kinhnghiệm cũng có thể được xem như một dạng bài tập hữu ích cho quý thầy côđồng nghiệp và học trò trong quá trình ôn luyện của mình

3.2 Kiến nghị

Với những sáng kiến kinh nghiệm được đánh giá và xếp loại cao ở hội đồngkhoa học nghành, mong rằng sẽ được phổ biến rộng rãi để các đồng nghiệp cóthể tham khảo phục vụ tốt cho công tác giảng dạy Với mong muốn này, tôicũng muốn các nghiên cứu về đề tài cực trị của hàm hợp được bổ sung đểtôi có thể tiếp tục học tập, nghiên cứu và hoàn thiện hơn nữa sáng kiến củamình

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung củangười khác