Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh một số bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Lí do chọn đề tài: Trong chương trình toán học lớp 12, bài toán về cực trị của hàm số giữmột vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi THPT Quốc gia trongnhững năm gần đây vớ

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến 2

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 2

2.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề 3

2.3 1 Hệ thống kiến thức liên quan 3

2.3.2 Hướng dẫn học sinh tiếp cận khái niệm và các quy tắc ……… 5

2.3.3 Hướng dẫn học sinh cách giải quyết một số loại toán ……… 5

2.3.4 Hệ thống bài tập tự luyện……… ….13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến 15

3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 16

3.1 Kết luận 16

3.2 Kiến nghị 16

1.Mở đầu:

1.1 Lí do chọn đề tài:

Trong chương trình toán học lớp 12, bài toán về cực trị của hàm số giữmột vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi THPT Quốc gia trongnhững năm gần đây với các mức độ khác nhau từ dễ đến khó Đối với các bàitoán cực trị khó đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt, nên đối với học sinh đại tràthường để mất điểm trong các kì thi Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốtphần này Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốnkhá nhiều thời gian

Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tậpnày khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập là chủ yếu

Kì thi tốt nghiệp THPT năm học 2020 – 2021 đang đến gần,với mongmuốn có thể cung cấp thêm cho các em học sinh một số kiến thức để có thể lấyđược điểm tối đa các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số, đặc biệt là cực trịcủa hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có chứa tham số

Từ những lý do trên cùng với ý tưởng, giải pháp mà bản thân đã rất tâmđắc tự rút ra trong quá trình thực tế giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia (nay là TN

THPT), tôi đã quyết định chọn đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh một số bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối’’ làm đề

tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2020 – 2021 và hy vọngthông qua đề tài này cung cấp cho học sinh cái nhìn tổng quan hơn về phươngpháp giải để từ đó có định hướng tốt tìm ra lời giải các bài toán về cực trị Rấtmong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để

đề tài được hoàn thiện hơn

Qua đó rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinhnhững năng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Kiến thức về cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

- Kiến thức về so sánh nghiệm của phương trình

- Kiến thức về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

- Kiến thức liên quan đến các phép đối xứng

- Học sinh lớp 12D, 12G năm học 2020 – 2021 trường THPT Nga Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảosát thực tế dạy học phần cực trị của hàm số ở trường THPT Nga Sơn để từ đóthấy được tầm quan trọng của việc áp dụng các phương pháp tìm cực trị của hàmtrị tuyệt đối trong việc nâng cao chất lượng dạy học

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáokhoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và

Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình và tài liệu về dạy học theo định hướngphát triển năng lực học sinh

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyếtmột vấn đề là vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm đượclời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai tròthiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt độngtương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạycách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là mộtnhiệm vụ quan trọng của người giáo viên

Với mục đích giúp học sinh xử lí tốt các bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong bài viết của mình, tôi đề cập đến ba loại toán như sau:

Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách: giải nhanh một số bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối là rất cần thiết vì các lí do sau:

Thứ nhất, học sinh trường THPT Nga Sơn có điểm đầu vào còn thấp, gia đình

có điều kiện kinh tế còn khó khăn dẫn đến khả năng tư duy của học sinh cònchậm ảnh hưởng rất nhiều đến việc tiếp thu kiến thức đặc biệt là những vùngkiến thức khó

Thứ hai, trong sách giáo khoa giải tích lớp 12 chỉ đề cập đến các kiến thức về cực trị của hàm số yf x  thông thường mà không đề cập đến cực trị của hàm trị tuyệt đối, tuy nhiên trong khi các đề thi tốt nghiệp THPT gần đây thì thường xuyên xuất hiện những bài toán về cực trị của hàm trị tuyệt đối Chính vì vậy, trong quá trình giảng dạy và ôn thi giáo viên cần định hướng giúp học sinh tìm tòi,nghiên cứu để các em có thể đưa ra các phương pháp phù hợp cho từng dạng toán về cực trị của hàm trị tuyệt đối Từ đó giúp học sinh có thể tự xử lí được cácbài toán tương tự trong quá trình học tập cũng như khi đi thi

Thứ ba, môn toán đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm, từ đó đòi hỏi học sinh phải giải một bài toán một cách nhanh nhất nhờ vào việc sử dụng các kết quả đã được đúc kết và rút ra ở phần phương pháp, từ

đó tiết kiệm thời gian

Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi đưa ra ba loại toán mà

trong quá trình giảng dạy thường gặp và một số bài tập tự luyện Mong rằng bài

viết này sẽ giúp ích cho một số em học sinh hay chí ít cũng cung cấp cho các em

có một tài liệu hữu ích trong quá trình học tập, đồng thời cùng trao đổi, học hỏi với các đồng nghiệp

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan:

a) Khái niệm cực trị hàm số:

+) Cho hàm số yf x  xác định trên tập D( DR) và điểm x0 D

x được gọi là điểm cực đại của hàm số yf x nếu tồn tại một khoảng a b; 

chứa điểm x0 sao cho:  

+) Cho hàm số yf x  xác định trên tập D( DR) và điểm x0 D

0

x được gọi là điểm cực đại của hàm số yf x nếu tồn tại một khoảng a b; 

chứa điểm x0 sao cho:  

+) Dựa vào dấu của / / 

Đặt vấn đề với các câu hỏi sau:

Câu hỏi 1: Điều kiện cần để hàm số yf x  đạt cực trị là gì?

Câu hỏi 2: Điều kiện đủ để hàm số yf x  đạt cực trị là gì?

Câu hỏi 3: Phát biểu lại các quy tắc tìm cực trị của hàm số yf x ?

Từ đó yêu cầu học sinh tìm cực trị của một số hàm số yf x  Qua đó hình thành các quy tắc tìm cực trị của một số hàm trị tuyệt đối cho học sinh:

2.3.3 Hướng dẫn học sinh cách giải quyết một số loại toán về cực trị của hàm số trị tuyệt đối:

Sau khi đã hình thành các quy tắc cho học sinh, tôi tiếp tục đưa ra một số

loại toán về cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và yêu cầu học sinh vận dụng phương pháp phù hợp để giải quyết:

Loại 1: Tìm cực trị của hàm số có dạng y f x 

Phương pháp:

+) Bước 1: Tìm số điểm cực trị của một số hàm số yf x là a

+) Bước 2: Xét sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số yf x và trục Ox y  0

Phương trình f x   0có b nghiệm phân biệt( là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẽ)

+) Bước 3: Số điểm cực trị của một số hàm số y f x  là tổng: a+b

Đặc biệt : Với hàm số f x =ax 3 bx2 cx d có hai điểm cực trị x x1 , 2 Khi đó

hàm số y f x  có n điểm cực trị thỏa mãn:

+)n  5 f cd.f ct  0(tức là hàm số y f x  có 5 điểm cực trị)

+)n  3 f cd.f ct  0(tức là hàm số y f x  có 3 điểm cực

Đồ thị hàm số yf x  Đồ thị hàm số y f x 

Số cực trị của hàm số yf x  bằng 3 Số điểm cực trị của hàm số y f x  là 7.

Số giao điểm với trục Ox bằng 4 Mỗi một giao điểm là một cực trị.

Số cực trị của hàm số yf x  bằng 3 Số điểm cực trị của hàm số y f x  là 5.

Số giao điểm với trục Ox bằng 3 Khi một điểm cực trị đồng thời cũng là giao điểm

với trục hoành, ta sẽ chỉ tính một loại điểm

Nhận xét: Trước hết tôi đưa ra một ví dụ đơn giản với mục đích giúp học sinh

có thể tiếp cận phương pháp một cách dễ hiểu nhất và nhanh nhất.

Thí dụ 1 2: Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số

+) Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số

+) Bước 3: Áp dụng trường hợp đặc biệt để giải

Nhận xét: Ở thí dụ này học sinh áp dụng một cách dễ dàng vì hàm số đã cho có

 

f x  có nghiệm chứa tham số m Qua đó đòi hỏi các em phải có tư duy và kĩ

năng tính toán tốt hơn.

Thí dụ 2 1: Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số

+) Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số

+) Bước 3: Áp dụng trường hợp đặc biệt để giải

Thí dụ 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

 2   2 

3 17

1 2

3 17 2

2

m

m

 

 





 





Vì m Z  m 0,3

Tổng các giá trị nguyên của tham số m là: S 3

Chọn đáp án B

Nhận xét: Ở hai thí dụ trên hàm số yf x  chỉ là hàm đa thức bậc ba,do đó

học sinh chỉ cần áp dụng các trường hợp đặc biệt mà chưa cần phải tư duy nhiều về nội dung của phương pháp, Chính vì thế trong thí dụ 3(thí dụ này được phát triển từ đề tham khảo của BGD và ĐT năm 2018) sau đây tôi đã cho hàm

em nắm vững tinh thần chung của phương pháp để có thể vận dụng một cách linh hoạt đối với mọi loại hàm số có thể gặp phải khi làm bài tập cũng như khi

đi thi.

Thí dụ 3 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y  3x  15x  60x m có 5 điểm cực trị là:

A 289 B 288 C 287 D 286

Phân tích: +) Bước 1: Xác định loại hàm số yf x  là hàm số bậc 5 +) Bước 2: Tìm số điểm cực trị của hàm sốyf x  là a +) Bước 3: Khi đó phương trình f x   0 phải có 5-a nghiệm phân biệt ( là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẽ) Lời giải: Đặt f x   3x5 15x3 60x m , Ta có: f/ x  15x4 45x2 60

Cho /  2 0 2 x f x x        Ta có: Bảng biến thiên: x   - 2 2 

y’ + 0 - 0 +

y 144 

  -144

Hàm số yf x  có hai điểm cực trị

Suy ra: để hàm số đã cho có 5 cực trị thì phương trình : 3x5  15x3  60x m  0 có tổng số nghiệm đơn và nghiệm bội lẽ bằng 3

Thí dụ 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 1

Bước 1: Tìm số điểm cực trị dương của một số hàm số yf x là a

Bước 2: Kết luận số điểm cực trị của hàm số yf x  như sau:

+) Bằng: 2a+1 nếu x 0 là một cực trị của hàm số yf x  (đồ thị hàm số

 

yf x cắt trục Oy tại 1 điểm)

+)Bằng: 2a nếu x 0 không là một cực trị của hàm số yf x  (đồ thị hàm số

 

yf x không cắt trục Oy tại 1 điểm)

Đặc biệt : Với hàm số f x =ax3bx2cx d có hai điểm cực trị x x x1 , 2 1 x2

Khi đó hàm số yf x  có n điểm cực trị thỏa mãn:

+)n  5 x x1 ; 2  0

+)n  3 x1   0 x2

Nhận xét: Đầu tiên tôi đưa ra hai thí dụ đơn giản yêu cầu học sinh sử dụng các

trường hợp đặc biệt để giải.

m m

dương tức là m 2 0  m   2 2 m 2

Vì m Z  m 1;0;1; 2

Có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn

Chọn đáp án C

Nhận xét: Tiếp theo tôi đưa ra thí dụ mà hàm số có hệ số đầu tiên có chứa tham

số m Đối với trường hợp này thì học sinh thường quên xét trường hợp hệ số đầu tiên bằng không nên hay dẫn đến mất nghiệm Qua đó đòi hỏi các em phải có tư duy và kĩ năng tính toán tốt để tránh sai sót.

Thí dụ 1,2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3

Vậy: m 1thỏa mãn bài toán

TH2: m 1

Ta có: f/ x  3m 1x2  10xm 3  

Mặt khác để hàm số yf x  có 3 cực trị thì hàm số yf x có đúng 1 cực trị dương tức phương trình f x /  0 có hai nghiệm x x1 , 2 sao cho: x1   0 x2

Ta có hai trường hợp sau:

+) Nếu a 0 thì k là số cực trị của hàm số yf ax b c    nằm bên phải đường

Nhận xét: Đối với loại toán này tôi đưa ra hai thí dụ ứng với hai trường hợp

được nêu ra ở phần phương pháp giúp học sinh có vận dụng ngay phương pháp vừa học và khắc sâu kiến thức.

Thí dụ 1 2: Cho hàm số   1 4 3 11 2

f x  x  x  x  x Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m   2019;2020 để hàm số yf x m   1 2020có 7 điểm cực trị :

A 4039 B 2019 C 2020 D 4040

Thí dụ 3 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

Thì: 1 2 0 1

2 2

m

m m

Qua việc phân dạng và đưa ra phương pháp giải tương ứng như trên Hi vọng

rằng nó sẽ giúp học sinh có thể nhanh chóng đưa ra cách giải phù hợp cho từng bài nhằm tiết kiệm thời gian tối đa và có kết quả làm bài chính xác nhất.

Dưới đây là hệ thống bài tập tương tự mà tôi đã siêu tầm được Mong rằng

đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích giúp các em học sinh ôn tập tốt phần kiến thức này:

2.3.4 Hệ thống bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho hàm số y f x x3  2m 1x2 2  m x  2 Tìm tất cả các giá

trị của tham số m để hàm số yf x có 5 điểm cực trị :

Bài tập 5: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f/  x  x 1 x 24x2  4 Số điểm cực trị của hàm số yf x  là :

A 0 B 5 C 2 D 3

Bài tập 6 Cho hàm số y f x  có đạo hàm /    4  5 

f x  x x x Số điểm cực trị của hàm số yf x  là :

Bài tập 14 Cho hàm số y f x  có đạo hàm /  1 2 3

2

f x  x  x và f 0  0 Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m   5;5 để hàm số

  2  2  

g x  f x  f x m có đúng 3 điểm cực trị :

A 4 B 2 C 3 D 5

Bài tập 15: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f/ x x x2  1 x2  2mx 5 ,  x R

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10 hàm số yf x  có 5 điểm cực trị?

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Thông qua việc đưa ra các bước giải cụ thể cho từng dạng toán tìm cực trị

của hàm trị tuyệt đối, đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng từng dạng toántôi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh và đạt độ chính xác cao hơn

Từ đó kết quả kiểm tra tiến bộ rõ rệt

Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 12D và12G mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn và trong thời gian làm bài ngắnhơn nhưng kết quả tốt hơn nhiều Kết quả khảo sát và thực nghiệm cụ thể nhưsau:

Kết quả kiểm tra lần 1

Kết quả kiểm tra lần 2

Bài tập 8, 9, 10,11,12,13,14,15 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4

Kết quả thu được:

Qua quan sát thực tế và các bài kiểm tra về dạng toán này, tôi thấy:

- Học sinh đã định hướng và giải khá nhanh các bài toán tìm cực trị đượctôi sưu tầm từ các đề thi THPT Quốc gia, đề TN THPT của các trường THPTtrong cả nước

- Học sinh đã rèn luyện thành thục kỹ năng tìm cực trị của hàm số, kỹnăng tính toán và phát huy tính sáng tạo tìm tòi lời giải cho một bài toán, mộtdạng toán

- Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động khai thác kiến thức,100% học sinh trong lớp đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và cókết quả tốt hơn khi chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy trên

Từ những kết quả trên tôi khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra là hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học, qua kết quả thực nghiệm, đồng thời với cương vị là người trực tiếp giảng dạy tôi nhận

thấy việc hướng dẫn học sinh giải nhanh một số bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối là rất cần thiết và hiệu quả.

3 Kết luận, kiến nghị:

3.1 Kết luận:

Để phát triển năng lực toán học trong quá trình dạy học bộ môn Toán chúng

ta đi tìm cách nâng cao các yếu tố “Tri thức chuyên môn Toán, kỹ năng làm toán

và thái độ tình cảm đối với môn Toán” Làm được điều này trước hết giáo viênphải cần có năng lực nghiên cứu sáng tạo cái mới (phương pháp mới, kiến thứcmới, bài toán mới ) để nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ của mình luôngiữ vững vai trò là người điều khiển của quá trình dạy học Đối với mỗi dạngtoán người thầy nên hình thành và chú ý rèn luyện, phát triển các năng lực Toán

học cho các em Việc hướng dẫn học sinh giải nhanh một số bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối sẽ giúp học sinh chủ động trong việc phát

hiện ra tri thức và nắm bắt được tri thức để từ đó kích thích sự đam mê, sáng tạotrong học tập bộ môn Toán của học sinh

Bài tập 16,17 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4