Giải pháp, kỹ thuật giải nhanh một số dạng câu hỏi vận dụng trong chương trình môn toán lớp 12 góp phần nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT

Lý do chọn đề tài Trong thực tiễn qua trình dạy học và ôn thi THPT QG, nay là kỳ thi tốt nghiệp THPT, tôi thường tâm đắc với các kỹ thuật giải nhanh một số dạng toán có trong cấu trúc đề

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong thực tiễn qua trình dạy học và ôn thi THPT QG, nay là kỳ thi tốt nghiệp THPT, tôi thường tâm đắc với các kỹ thuật giải nhanh một số dạng toán có trong cấu trúc đề thi trắc nghiệm các năm gần đây, cụ thể là dạng toán xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp, dạng toán tính tích phân của biểu thức

có dạng và dạng toán liên quan đến biểu diễn hình học và cực trị của số phức Những kỹ thuật giải nhanh này tôi thường xuyên áp dụng để giảng dạy cho các lớp ban KHTN giúp giúp các em có thêm hứng thú, tư tin khi gặp các vấn đề, các dạng toán khó xuất hiện trong đề thi, điều này giúp các em giải quyết vấn đề nhanh hơn và góp phần nâng cao kết quả thi TN THPT của bộ môn

Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn

đề tài: “Giải pháp, kỹ thuật giải nhanh một số dạng câu hỏi vận dụng trong chương trình môn Toán lớp 12 góp phần nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2020 –

2021 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tài liệu tham khảo nhỏ giúp các em học sinh khá giỏi lớp 12 trong nhà trường có thêm một phương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán trong

đề thi TN THPT, sau đó là khuyến khích các em dựa vào những điều đã đã học được để sáng tạo ra những bài tập hay trong nội dung thi TN THPT, qua đó giúp các em phát triển tư duy logic, tổng hợp các phần, các chương đã học để chọn nhanh được hướng tiếp cận đối với các câu hỏi trắc nghiệm ở mức độ vận dụng trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào ba nội dung:

- Lớp các bài toán xác định tâm và tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

- Lớp các bài toán về tính tích phân từng phần sử dụng hệ số điều chỉnh

- Lớp các bài toán có mối quan hệ giữa số phức với hình học tọa độ trong mặt phẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra, quan sát

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi gặp dạng toán về xác định bán kính của mặt cầu ngoài tiếp tứ diện học sinh, ở một số bài nếu các em sử dụng phương pháp truyền thống là dựng hình thì thường lúng túng khi đi xác định vị trí của tâm mặt cầu và khó khăn khi đi tìm bán kính của mặt cầu

Khi gặp một số bài toán về tích phân từng phần, nếu không sử dụng phương pháp đều chỉnh hệ số thì việc tính toán thường phức tạp, mất nhiều thời gian, dễ sai đáp số

Khi gặp dạng toán cực trị trên tập số phức được phát triển từ bài toán cực trị hình học thường làm các học sinh kể cả những học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát hiện nút thắt mấu chốt cho đến cách xử lý Đa số các em không nhận ra “bẫy” trong đề bài, sa đà vào tính toán, gây mất thời gian mà thường không thu được kết quả mong đợi

Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để biến đổi bài toán Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách phối hợp giữa tư duy hình học và tính toán đại số

Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài toán loại này ở chương hình học thì làm được khá thành thạo nhưng khi ở chương số phức với ngôn từ, giả thiết khác thì các em lại không phát hiện ra vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà rất lúng túng cứ như là gặp những bài toán mới

Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề cũng như cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Trong phần này, tác giả chủ yếu nêu ý tưởng về các cách thiết kế, xây dựng một số chủ đề dạy học và ý tưởng về hướng giải quyết các yêu cầu đặt ra Do khuôn khổ một SKKN bị hạn chế về số trang nên việc chi tiết hóa cách giải quyết từng bài tập xin phép được dành cho bạn đọc quan tâm vận dụng trong quá trình giảng dạy

2.3.1 Đại số hóa bài toán tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Đối với bài toán xác định tâm và tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp, thông thường ta sử dụng phương pháp dựng hình (gọi là phương pháp

truyền thống) như sau:

B1) Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (là đường thẳng d đi

qua tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy)

Tâm I của mặt cầu sẽ nằm trên trục d.

B2) Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên nào đó, trong trường

hợp một hình chóp có cạnh bên và trục d cùng thuộc mặt phẳng (P) thì trong (P) chỉ cần dựng trung trực của cạnh bên đó Khi đó tâm I của mặt cầu là giao của trục

d và mặt phẳng trung trực (hoặc là giao của d với đường thẳng trung trực)

B3) Sử dụng mối quan hệ tam giác đồng dạng để tính bán kính của mặt cầu Thực hiện theo phương pháp trên nếu bài toán xuất hiện tình huống có một

cạnh bên và trục d cùng thuộc mặt phẳng (P) thì việc xác tâm và bán kính của mặt

cầu là tương đối thuận lợi Trong trường hợp không có bất kỳ cạnh bên nào đồng phẳng với d, khi đó để xác định tâm bắt buộc phải dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên Việc này không dễ dàng với nhiều học sinh, kể

cả học sinh khá giỏi, từ đó các em có tâm lí e ngại hoặc sợ khi gặp phải bài toán loại này.

Sau đây tác giả trình bày phương pháp đại số hóa để tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trong tình huống không có bất kỳ cạnh bên nào đồng phẳng với d:

Giả sử cần tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có đỉnh là S và một đỉnh của đáy là A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và H là chân đường cao hạ từ đỉnh S xuống mặt đáy Khi đó để xác định vị trí tâm và tìm bán kính của

mặt cầu ta thực hiện theo các bước sau:

B1) Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa

giác đáy là đường thẳng d vuông góc với mặt

đáy tại O Tâm I của mặt cầu sẽ nằm trên d.

Đặt ( nếu I và S cùng phía so với

mặt đáy và nếu I và S khác phía)

B2) Ta có hệ thức sau

Giải phương trình tìm được

B3) Kết luận: Bán kính là

x

d R

R

A

O

S

H

I K

Ví dụ 1.1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính bán kính của

Hướng dẫn

d

O H

D

A

S

Gọi H là trung điểm của AB suy ra Dễ thấy tâm I của mặt cầu nằm trên trục d đi qua tâm O của hình vuông ABCD và vuông góc với mặt phẳng (ABCD), I và S cùng phía so với mp (ABCD).

Ví dụ 1.2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi và lần lượt là trung điểm của và Tính bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Hướng dẫn

O

H

N M

D

A

S

d I K

Gọi H là trung điểm của AD suy ra Dễ thấy tâm I của mặt cầu nằm trên trục d đi qua trung điểm O của MN và vuông góc với mặt phẳng (ABCD), I và

S cùng phía so với mp (ABCD).

Nếu đặt thì và

Ví dụ 1.3: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh tam giác đều và tam giác vuông cân tại Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Hướng dẫn

d

N

B

C

S

H

I K

Gọi lần lượt là trung điểm Do tam giác đều nên

Gọi là tâm , dựng trục của tại thì tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm trên

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

Ví dụ 1.4: Cho tứ diện đều cạnh Gọi là trung điểm của ,

lần lượt là hình chiếu của lên và Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Hướng dẫn

d K

A

C

D B

E

H N

M

O

F

I

Gọi H là trọng tâm tam giác khi đó Gọi E là trung điểm của , suy ra Từ E hạ EN vuông góc xuống AC, , suy ra

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ,

Dựng đường thẳng đi qua , vuông góc với

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp thì I nằm trên trục d , I và S cùng phía so với mp (MNCD).

Đặt ta có hệ thức

Ví dụ 1.5: Cho hình chóp tam giác có mặt bên và mặt đáy là các tam giác đều cạnh , cạnh bên tạo với mặt đáy một góc Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

Hướng dẫn

d S

A

B

C

H

M O

I K

Gọi là trung điểm , là hình chiếu của lên

góc giữa và mặt phẳng là

Tam giác có và có nên tam giác đều đường cao cũng chính là đường trung tuyến

Gọi là tâm của tam giác đều Qua dựng đường thẳng vuông góc với

chính là trục của tam giác Dễ thấy tâm I của mặt cầu nằm trên trục d , I và S cùng phía so với mp (ABC).

Ta có hệ thức

2.3.2 Kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh trong bài toán tính tích phân từng phần

Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng rộng rãi trong chương trình phổ thông và tỏ ra hiệu quả khi tính các tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai hàm số khác nhau , trong đó

Suy ra nên xác định không duy nhất, các hàm số có thể sai khác một hằng số ,

Căn cứ vào mỗi bài toán, ta có thể chọn phù hợp sao cho việc tính tích phân được dễ dàng hơn Đây chính là kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh

Hướng dẫn

* Phân tích: Làm theo cách thông thường không chọn hệ số điều chỉnh

Đặt

Việc tính sẽ khó khăn hơn so với tính

Hướng dẫn

Đặt (Ở đây ta chọn hệ số điều chỉnh

)

và là số nguyên tố Tính

Hướng dẫn

điều chỉnh )

là các số nguyên tố và Tính

Hướng dẫn

)

* Phân tích: Làm theo cách thông thường không chọn hệ số điều chỉnh

Đặt

Đến đây nhiều học sinh rất lúng túng, thậm chí là “bó tay” khi đi tính

Qua ví dụ trên ta thấy hiệu quả “tuyệt vời” khi sử dụng hệ số điều chỉnh.

tỉ, là số nguyên tố Tính

Hướng dẫn

Đặt

(Ở đây ta chọn hệ số điều chỉnh )

* Phân tích: Kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh áp dụng rất hiệu quả cho các dạng tích phân sau:

1) với là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ Với dạng này khi tính bằng phương pháp tích phân từng phần ta nên chọn hệ số điều chỉnh sao cho có thể rút gọn được tối đa các nhân tử trong tích phân

2) , với dạng này ta chọn hệ số điều chỉnh là

Thật vậy

3) , với dạng này ta chọn hệ số điều chỉnh là

2.3.3 Hình học hóa bài toán về cực trị và tìm tập hợp điểm trên tập số phức

a) Mối liên hệ giữa số phức và các yếu tố hình học phẳng

- Biểu diễn hình học của số phức với trên mặt phẳng tọa độ là điểm Khi đó

- Biểu diễn hình học của hai số phức và là hai điểm đối xứng nhau qua trục nên nếu quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức và lần lượt là các hình

thì hai hình đó cũng đối xứng nhau qua trục

- Nếu điểm biểu diễn của hai số phức là thì

với là trung điểm đoạn

- Cho điểm biểu diễn của hai số phức là Số phức thay đổi thỏa mãn thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là trung trực của đoạn

- Cho điểm biểu diễn của hai số phức là Số phức thay đổi thỏa mãn thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng

- Cho là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là , một số phức thay đổi thỏa mãn thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức chính là đường tròn tâm bán kính

b) Bài toán cực trị số phức

Ví dụ 3.1: Cho số phức có điểm biểu diễn nằm trên đường thằng

Tính giá trị nhỏ nhất của

A B C D .

Hướng dẫn

Gọi là điểm biểu diễn số phức

A B C D

Hướng dẫn

Gọi và là điểm biểu diễn số phức Từ đề bài ta có:

, hay quỹ tích điểm là đường trung trực đoạn Quỹ tích điểm

Ví dụ 3.3: Cho số phức không phải số thuần ảo thỏa điều kiện

.Giá trị nhỏ nhất của bằng

A 2 B 1 C 3 D 4.

Hướng dẫn

Như vậy bài toán đã trở về dạng giống ví dụ 2

Ví dụ 3.4: Cho các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của

là

Hướng dẫn

Bài toán trở thành: Cho các số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của Như vậy bài toán đã trở về dạng giống ví dụ 2

Ví dụ 3.5: Cho các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của

là

Hướng dẫn

Gọi là điểm biểu diễn số phức , từ điều kiện suy ra được quỹ tích điểm là trục Đặt thì nằm về hai phía trục Khi đó

Ví dụ 3.6: Cho các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn

Gọi là điểm biểu diễn số phức , từ

suy ra được quỹ tích điểm là đường thẳng Đặt thì nằm về cùng một phía với đường thẳng Điểm là điểm đối xứng của điểm qua đường

Ví dụ 3.7: Cho số phức có thì số phức có modun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là

A 2 và 5 B 1 và 6 C 2 và 6 D 1 và 5.

Hướng dẫn

Gọi là điểm biểu diễn số phức Vì nên quỹ tích điểm là đường tròn

Ví dụ 3.8: Cho số phức thoả và Khi đó có giá trị lớn nhất là:

A B C D

Hướng dẫn

Gọi là điểm biểu diễn số phức Vì nên quỹ tích điểm là đường tròn tâm bán kính Đặt thì

.Dễ thấy điểm nằm ngoài đường tròn

Tính

A B C D .

Hướng dẫn

Gọi là điểm biểu diễn số phức thì quỹ tích là đường tròn tâm , bán kính

Ví dụ 3.10: Cho các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của

là

Hướng dẫn

Gọi là điểm biểu diễn số phức , từ điều kiện suy ra được quỹ tích điểm là trục Đặt thì nằm về hai phía trục Khi đó

Ví dụ 3.11: Cho các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ

Hướng dẫn

Gọi là điểm biểu diễn số phức , từ

suy ra được quỹ tích điểm là đường thẳng Đặt thì nằm về cùng một phía với đường thẳng Điểm là điểm đối xứng của điểm qua đường

Ví dụ 3.12: Cho hai số phức thoả mãn và

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Hướng dẫn

Gọi là điểm biểu diễn số phức và ; lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức , Ta có Phương trình đường thẳng

tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đoạn thẳng

Gọi là điểm biểu diễn số phức và là điểm biểu diễn số phức

Ta có Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn có

, suy ra không cắt đường tròn

Gọi là hình chiếu của lên Dễ thấy nằm trên đoạn thẳng Gọi là giao điểm của đoạn với đường tròn

Suy ra

lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Tính

Hướng dẫn

Tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc miền trong của của trong hình thoi (tính cả trên các cạnh) như hình vẽ với

10

8

6

4

2

2

4

C

B D

H

N

Xét điểm , thì nằm ngoài hình thoi và

Theo hình vẽ + đạt giá trị lớn nhất khi , suy ra

+ đạt giá nhỏ nhất khi ( là hình chiếu của trên ),

Ví dụ 3.14: Xét các số phức thỏa và

Hướng dẫn

• tập hợp điểm biểu diễn số phức

là đường tròn có tâm bán kính

• tập hợp điểm biểu diễn số phức

là đường tròn có tâm bán kính

có