Tài liệu GIẢI PHÁP THƯƠNG LƯỢNG NASH trong kinh tế vi mô pptx

Trong chương này, tôi sẽ nghiên cứu giải pháp thương lượng do Nash đề xuất.2 Giải pháp thương lượng Nash được định nghĩa bằng một công thức tương đối đơn giản, và có thể được áp dụng cho

KINH TẾ VI MÔ

Bài đọc

(Bài đọc thêm tự chọn của Bài giảng 20, thứ 4, 14/11/2006)

Niên khóa 2007-2008

1 Nguồn: Chương 2, “The Nash Bargaining Solution”, trong cuốn Bargaining Theory with Applications

(Abhinay Muthoo, 1999), Cambridge University Press

GIẢI PHÁP THƯƠNG LƯỢNG NASH 2.1 Dẫn nhập

Một giải pháp thương lượng có thể được diễn giải như một công thức xác định một

kết quả duy nhất cho từng tình huống thương lượng của một lớp các tình huống

thương lượng nào đó Trong chương này, tôi sẽ nghiên cứu giải pháp thương lượng do

Nash đề xuất.2 Giải pháp thương lượng Nash được định nghĩa bằng một công thức

tương đối đơn giản, và có thể được áp dụng cho một lớp tình huống thương lượng

rộng lớn – và những đặc điểm này tạo nên tính hấp dẫn cho giải pháp Nash trong các

ứng dụng Tuy nhiên, lý do quan trọng nhất khiến chúng ta nghiên cứu và áp dụng

giải pháp thương lượng Nash là bởi nó có những nền tảng chiến lược vững chắc; một

số mô hình thương lượng trong lý thuyết trò chơi đã nghiêng về việc sử dụng giải

pháp này Các mô hình thương lượng chiến lược này sẽ được nghiên cứu trong những

chương sau, trong đó tôi sẽ đề cập đến những lý do tại sao, khi nào, và làm thế nào sử

dụng giải pháp thương lượng Nash

Mặt khác, mục đích chính của chương này là tìm hiểu thấu đáo về định nghĩa

giải pháp thương lượng Nash, mà trong bối cảnh cụ thể, sẽ giúp chúng ta có thể dễ

dàng mô tả đặc điểm và sử dụng giải pháp này trong các ứng dụng khác

Trong phần kế tiếp, tôi sẽ định nghĩa và mô tả giải pháp thương lượng Nash

của một tình huống thương lượng cụ thể, trong đó có hai người tham gia thương

lượng về việc phân chia một ổ bánh (hay “thặng dư”) có độ lớn cố định Mặc dù trong

thực tế loại tình huống thương lượng này không hiếm nhưng mục đích chính của phần

này là giới thiệu một vài khái niệm chính có liên quan trong việc định nghĩa giải pháp

thương lượng Nash trong một bối cảnh cụ thể và tương đối đơn giản Phần 2.3 bao

gồm hai ứng dụng của giải pháp thương lượng Nash Ứng dụng thứ nhất là hối lộ và

kiểm soát tội phạm, và ứng dụng thứ hai là sự sở hữu tài sản tối ưu (phần này không

dịch – ND)

Sau khi đã hiểu các khái niệm và kết quả trong phần 2.2, chúng ta sẽ có thể

hiểu phần 2.4 một cách tương đối dễ dàng; trong phần này, tôi định nghĩa và mô tả

giải pháp thương lượng Nash dưới dạng tổng quát hơn và tương đối trừu tượng Phần

2.5 bao gồm ba ứng dụng sâu hơn của giải pháp thương lượng Nash - một là thương

lượng giữa công ty và công đoàn, hai là sản xuất tập thể trong tâm lý ỷ lại, và ba là

mở rộng ứng dụng về tình huống hối lộ và kiểm soát tội phạm đã nghiên cứu trong

phần 2.3.1

Phần 2.6 chứng minh rằng giải pháp thương lượng Nash là giải pháp thương

lượng duy nhất khả dĩ thỏa mãn bốn thuộc tính Cho dù những thuộc tính này thường

được gọi là các tiên đề, nhưng người ta vẫn có thể tranh luận liệu một thuộc tính nào

đó trong những thuộc tính này có thật sự có tính chất tiên đề hay không Bất luận

trong trường hợp nào, các nền tảng “tiên đề” đều thú vị và mang lại những ý nghĩa

nhất định cho giải pháp thương lượng Nash Một ý nghĩa then chốt là: giải pháp

2 Giải pháp thương lượng Nash và khái niệm về trạng thái cân bằng Nash là những khái niệm không

liên quan gì với nhau, ngoại trừ sự kiện là cả hai khái niệm này đều là thành quả sáng tạo của cùng một

người

thương lượng Nash có thể bị tác động bởi thái độ đối với rủi ro của những người tham

gia

Trong phần 2.7, tôi chỉ ra rằng định nghĩa về giải pháp thương lượng Nash

trình bày trong phần 2.2 và phần 2.4 không thể mang lại một cách diễn giải tự nhiên

cho giải pháp này Một định nghĩa khác (tương đương) sẽ được trình bày trong phần

2.7, cho thấy rằng giải pháp thương lượng Nash có thể được diễn giải như một thông

lệ thương lượng ổn định

Phần 2.8 định nghĩa và mô tả các giải pháp thương lượng Nash bất cân xứng

Các dạng khái quát hoá của giải pháp thương lượng Nash này tạo điều kiện thuận lợi

để chúng ta xem xét đến những yếu tố bổ sung của một tình huống thương lượng, có

thể được xem là phù hợp với kết quả thương lượng (Các phần 2.6, 2.7, và 2.8 không

dịch – ND)

2.2 Thương lượng chia bánh

Hai người A và B thương lượng về việc phân chia một ổ bánh có độ lớn π, trong đó π

> 0 Tập hợp các thỏa thuận có thể có là x = {(x A , x B ) : 0 ≤ x A ≤ π và x B = π - x A },

trong đó xi là phần bánh dành cho người tham gia i (i = A, B) Đối với mỗi i ∈ [0, π],

U i (x i ) là độ thoả dụng của người tham gia i khi thu được phần bánh xi trong ổ bánh,

trong đó hàm thỏa dụng của người tham gia i là U i : [0, π] →ℜ Hàm này có tính

tăng dần nghiêm ngặt và có dạng lồi Nếu những người tham gia không đạt được thỏa

thuận, thì người tham gia i sẽ đạt được độ thoả dụng di trong đó d i ≥ U i (0) Có một

thỏa thuận x ∈ X sao cho U A (x) > d A và U B (x) > d B, điều này đảm bảo rằng có một

thỏa thuận giúp đôi bên cùng có lợi

Cặp độ thỏa dụng d = (d A , d B ) được gọi là điểm bất đồng (disagreement point)

Để định nghĩa giải pháp thương lượng Nash của tình huống thương lượng này, trước

tiên ta cần định nghĩa tập hợp Ω bao gồm những cặp độ thỏa dụng có thể có (possible

utility pairs) mà đôi bên có thể đạt được thông qua thỏa thuận Ứng với tình huống

thương lượng vừa mô tả trên đây, Ω = {(u A , u B ) : có một x ∈ X sao cho U A (x A ) = u A và

U B (x B ) = u B }

Chọn một độ thỏa dụng uA tuỳ ý cho người tham gia A, trong đó u A∈ [U A (0,

U A (π)] Từ tính đơn điệu nghiêm ngặt của Ui, có một phần bánh x A∈ [0, π] sao cho

U A (x A ) = u A ; nghĩa là, x A = − 1

A

U (u A ), trong đó − 1

A

U là ký hiệu hàm nghịch đảo của

UA.3 Vì vậy:

)) ( (

)

A A B

u

Trong đó, g(u A ) là độ thỏa dụng mà người tham gia B sẽ đạt được khi người tham gia

A đạt được độ thỏa dụng uA Ngay lập tức, ta suy ra rằng Ω = {(u A , u B ) : U A (0) ≤ u A ≤

U A (π) và u B = g(u A )}; nghĩa là, Ω là đồ thị của hàm số g : [U A (0), U A (π)] →ℜ

3 Ta nên lưu ý rằng hàm nghịch đảo U A−1là một hàm số có tính tăng dần nghiêm ngặt và có dạng lõm,

miền xác định của hàm số này là đoạn [U A (0), U A (π)] và miền giá trị của hàm số này là đoạn [0, π]

Giải pháp thương lượng Nash (NBS – Nash bargaining solution) của tình

huống thương lượng mô tả trên đây là một cặp độ thỏa dụng duy nhất, ký hiệu

B

N

A u

u , ), là nghiệm của bài toán tối đa hoá sau đây:

max (u A – d A )(u B – d B ) (u A , u B ) ∈ Θ

trong đó, Θ≡ {(u A , u B ) ∈Ω : u A≥ d A và u B≥ d B } ≡ {(u A , u B ) : U A (0) ≤ u A≤ U A (π), u B

= g(u A ), u A≥ d A và u B≥ d B }

Bài toán tối ưu vừa phát biểu trên đây có một nghiệm duy nhất, vì (u A – d A )(u B

– d B ), thường được gọi là tích số Nash (Nash product), thì liên tục và gần như có dạng

lồi nghiêm ngặt (lồi về phía gốc tọa độ - ND), hàm số g giảm dần nghiêm ngặt và có

dạng lồi (như được phát biểu dưới đây trong Bổ đề 2.1), và tập hợp Θ là một tập hợp

không rỗng.4 Hình 2.1 minh họa giải pháp thương lượng Nash Vì N

A

u > d A và N

B

u >

d B , cho nên trong giải pháp thương lượng Nash, những người tham gia đạt được thỏa

thuận về phần bánh được chia cho mỗi bên là: ( , ) 1( ), 1( N))

B B

N A A

N B

N

Bổ đề 2.1 Hàm số g có tính giảm dần nghiêm ngặt và có dạng lồi

Chứng minh: Xem phần Phụ lục

4 Thật ra, có một thể liên tục của các cặp độ thỏa dụng (u A , u B ) ∈ Θ sao cho u A > d A và u B > d B

Hằng số

Hình 2.1: uN là giải pháp thương lượng Nash của tình huống thương lượng mà trong

đó tập hợp Ω của các cặp độ thỏa dụng khả dĩ có thể đạt được thông qua thỏa thuận là

đồ thị của hàm số g, và d là điểm bất đồng

2.2.1 Mô tả đặc điểm

Định đề 2.1 Trong tình huống thương lượng mô tả trên đây, nếu đạo hàm của hàm số

g tồn tại (differentiable), thì giải pháp thương lượng Nash là nghiệm duy nhất của hệ

phương trình sau:

A A

B B

d u u g

−

−

=

trong đó, g’ là ký hiệu đạo hàm của g

A

u > d A và N

B

u >

d B , giải pháp này có thể được mô tả bằng cách tìm giá trị của uA mà làm cho (u A –

d A )(g(u A ) – d B ) đạt giá trị tối đa Định đề được suy ra ngay lập tức bằng đạo hàm bậc

nhất

Hình 2.2: Khi đạo hàm của hàm số g tồn tại, giải pháp thương lượng Nash là điểm

duy nhất trên đồ thị g có độ dốc của đường thẳng LN bằng với giá trị tuyệt đối của độ

dốc của tiếp tuyến duy nhất TN

Điều cần lưu ý trong một số ứng dụng là đặc điểm hình học sau đây của giải

pháp thương lượng Nash – đặc điểm này có giá trị khi hàm số g có thể lấy đạo hàm và

được suy ra từ Định đề 2.1 Giải pháp thương lượng Nash là điểm uN duy nhất trên đồ

thị có đặc điểm là độ dốc của đường thẳng nối giữa điểm uN và d bằng với giá trị tuyệt

đối của độ dốc tiếp tuyến với đồ thị g tại uN Điều này được minh hoạ trong hình 2.2

Ta hãy xem một điểm u bất kỳ về phía bên trái của uN Độ dốc của đường L nối các

điểm d và u tăng lên so với độ dốc của đường LN, trong khi giá trị tuyệt đối của độ

dốc tiếp tuyến T với đồ thị g tại u giảm xuống so với giá trị tuyệt đối của độ dốc tiếp

tuyến TN Do đó, độ dốc của đường L lớn hơn so với giá trị tuyệt đối của độ dốc tiếp

tuyến T Bằng lập luận đối xứng, ta suy ra rằng độ dốc của đường nối điểm d với một

điểm trên đồ thị g về phía bên phải giải pháp thương lượng Nash sẽ nhỏ hơn giá trị

tuyệt đối của độ dốc tiếp tuyến với đồ thị g tại điểm đó

Kết quả trong hệ quả sau đây của Định đề 2.1 có thể hữu ích trong việc ứng

dụng

Hệ quả 2.1 Trong tình huống thương lượng mô tả trên đây, nếu hàm số g có thể lấy

đạo hàm, thì phần bánh N

A

x mà người tham gia A được hưởng trong ổ bánh theo giải pháp thương lượng Nash là nghiệm duy nhất của phương trình:

) (

'

) ( )

( '

) (

A B

B A B

A A

A A A

x U

d x U

x U

d x U

−

−

−

=

−

π

π

,

và phần bánh của người tham gia B trong giải pháp thương lượng Nash là

N

A

N

của hàm số g (theo uA) và lưu ý rằng U i (x i ) = u i và x i = − 1

i

U (u i )

Bây giờ tôi sẽ mô tả đặc điểm của giải pháp thương lượng Nash khi không giả

định rằng hàm số g có thể lấy đạo hàm Tuy nhiên, vì g có dạng lồi, cho nên nó có thể

lấy đạo hàm “gần như tại mọi điểm” Nhưng cũng có thể giải pháp thương lượng

Nash nằm chính xác tại điểm mà g không thể lấy đạo hàm.5 Vì g có dạng lồi, cho nên

đạo hàm về phía bên trái và bên phải của điểm đó đều tồn tại Gọi g’(u A -) và g’(u A +)

lần lượt là đạo hàm bên trái và bên phải của hàm số g tại uA Vì g có dạng lồi, nên

g’(u A -) ≥ g’(u A +) Kết quả sau đây có thể dễ dàng được chứng minh, và được minh

họa trong hình 2.3

Định đề 2.2 Trong tình huống thương lượng mô tả trên đây, nếu hàm số g không thể

lấy đạo hàm tại giải pháp thương lượng Nash, thì sẽ tồn tại một số k, trong đó,

A

u -) ≥ k ≥ g’( N

A

u +), sao cho giải pháp thương lượng Nash là nghiệm duy nhất của hệ phương trình sau đây:

A A

B B

d u

d u k

−

−

=

Như minh họa trong hình 2.3, giải pháp thương lượng Nash là điểm uN duy

nhất trên đồ thị g có đặc điểm là độ dốc của đường LN nối điểm uN và d bằng với giá

trị tuyệt đối (tức là -k) của độ dốc tiếp tuyến TN nào đó với đồ thị g tại uN

5 Trong chương 8, chúng tả sẽ nghiên cứu một mô hình thương lượng ứng với trường hợp này

Hình 2.3 Khi hàm số g không thể lấy đạo hàm, giải pháp thương lượng Nash

là điểm duy nhất trên đồ thị g có độ dốc đường LN bằng với giá trị tuyệt đối của độ

dốc tiếp tuyến TN nào đó

Nhận xét 2.1 (So sánh tĩnh – comparative-statics) Ta có thể chứng minh được

những kết quả sau đây bằng cách sử dụng các đặc điểm hình học của giải pháp thương

lượng Nash, như minh họa trong hình 2.2 và 2.3 Vì giải pháp thương lượng Nash của

tình huống thương lượng mô tả trên đây phụ thuộc vào điểm bất đồng, tôi nhấn mạnh

điều này bằng cách viết giải pháp thương lượng Nash là N

A

B

u (d)) Gọi d và d’ là

hai điểm bất đồng khác nhau sao cho d’ i > d i và d’ j = d j (j ≠ i) Nếu hàm số g có thể lấy

vi phân tại N

A

u (d), thì N

i

u (d’) > N

i

j

u (d’) < N

j

u (d) Mặt khác, nếu hàm số g

không thể lấy vi phân tại N

A

u (d), thì N

i

i

u (d) và N

j

j

u (d)

2.2.2 Các ví dụ

Ví dụ 2.1 (Qui tắc chia phần còn lại) Giả sử UA (x A ) = x A đối với mọi x A∈ [0, π] và

U B (x B ) = x B đối với mọi x B∈ [0, π] Điều này có nghĩa là đối với mỗi uA ∈ [0, π],

g(u A ) = π - u A và d i≥ 0 (i = A, B) Áp dụng Định đề 2.1, ta suy ra:

) (

2

1

A B

N

2

1

B A

N

Như vậy,

) (

2

1

B A A

N

2

1

B A B

N

vốn có thể được gán cho cách diễn giải sau đây Trước tiên những người tham gia

đồng ý cho mỗi người tham gia i (i = A, B) được hưởng một phần bánh d i trong ổ

bánh (phần bánh này mang lại cho người tham gia đó một độ thỏa dụng bằng với độ

thỏa dụng mà người này đạt được nếu không có thỏa thuận), rồi sau đó họ chia đều

phần bánh còn lại π – d A – d B Lưu ý rằng phần bánh N

i

x của người tham gia i tăng

dần một cách nghiêm ngặt theo d i và giảm dần nghiêm ngặt theo dj (j ≠ i)

Ví dụ 2.2 (Ghét rủi ro) Giả sử U A (x A ) = x đối với mọi xγA A∈ [0, π] , trong đó 0 < γ

< 1, U B (x B ) = x B đối với mọi x B∈ [0, π] và d A = d B = 0 Điều này có nghĩa là đối với

mỗi uA∈ [0, π], g(u A ) = π - 1 /γ

A

u Áp dụng Hệ quả 2.1, ta suy ra:

γ

γπ

+

= 1

N A

γ

π

+

= 1

N B

Khi γ tăng dần, N

A

B

x tăng dần Ở mức giới hạn, khi γ → 0, N

A

x → 0 và

N

B

x → 1 Người tham gia B có thể được xem là một người trung tính với rủi ro (vì

hàm thỏa dụng của B là hàm tuyến tính), trong khi người tham gia A là người ghét rủi

ro (vì hàm thỏa dụng của A có dạng lồi nghiêm ngặt), trong đó mức độ ghét rủi ro của

A giảm dần trong γ Ứng với cách diễn giải theo hàm thỏa dụng này, ta thấy phần

bánh của người tham gia A giảm dần khi A trở nên ghét rủi ro hơn

2.3 Các ứng dụng

2.3.1 Hối lộ và kiểm soát tội phạm

Một cá nhân C quyết định xem có nên đánh cắp một số tiền nhất định π hay không,

trong đó π > 0 Nếu C đánh cắp số tiền, thì xác suất xảy ra tình huống C bị viên cảnh

sát P bắt được là ζ Viên cảnh sát này có thể bị mua chuộc, và thương lượng với tội

phạm về số tiền hối lộ b mà C sẽ trao cho P để đổi lấy việc P không báo cáo vụ đánh

cắp của C với chính quyền

Tập hợp những thỏa thuận có thể có giữa hai người là tập hợp những cách

phân chia số tiền đánh cắp có thể đạt được giữa hai người (giả định rằng số tiền đánh

cắp có thể được phân chia một cách hoàn hảo); tập hợp những cách phân chia này là :

{(π - b, b) : 0 ≤ b ≤π} Viên cảnh sát sẽ báo cáo vụ đánh cắp với chính quyền khi và

chỉ khi họ không thể đạt được thỏa thuận Trong trường hợp đó, kẻ phạm tội sẽ phải

nợp một khoản tiền phạt Điểm bất đồng (d C , d P ) = (π(1 – v), 0), trong đó v ∈ (0, 1] là

tỷ lệ nộp phạt Độ thỏa dụng đối với mỗi người tham gia nhờ thu được x đơn vị tiền tệ

là x

Tình huống thương lượng mô tả trên đây là một trường hợp đặc biệt của ví dụ

2.1, và như vậy, ngay lập tức ta suy ra rằng giải pháp thương lượng Nash là N

C

u = π[1 – (v/2)], và N

P

u = πv/2 Số tiền hối lộ gắn liền với giải pháp thương lượng Nash là b N

= πv/2 Lưu ý rằng, cho dù tiền phạt không bao giờ được nộp cho chính quyền, tỷ lệ

nộp phạt vẫn ảnh hưởng đến số tiền mua chuộc mà kẻ phạm tội trao cho viên cảnh sát

ăn hối lộ

Ứng với kết quả này của tình huống thương lượng trên đây, bây giờ tôi sẽ đề

cập đến vấn đề liệu kẻ phạm tội có nên thực hiện hành vi phạm tội hay không Độ

thỏa dụng kỳ vọng đối với kẻ phạm tội khi đánh cắp được số tiền trên là ζπ[1 – (v/2)]

+ (1 – ζ)π, vì với xác suất ζ, kẻ phạm tội sẽ bị cảnh sát bắt (trong trường hợp đó, độ

thỏa dụng của kẻ phạm tội là N

C

u , và với xác suất 1 - ζ, kẻ phạm tội sẽ không bị cảnh

sát bắt (trong trường hợp đó, hắn sẽ giữ toàn bộ số tiền đánh cắp được) Vì độ thỏa

dụng của kẻ phạm tội khi không đánh cắp số tiền là bằng không (0), vụ đánh cắp sẽ

không xảy ra nếu và chỉ nếu π[1 – (ζv/2)] ≤ 0 Nghĩa là, vì π > 0, hành vi phạm tội sẽ

không xảy ra nếu và chỉ nếu ζv ≥ 2 Vì ζ < 1 và 0 < v < 1 có nghĩa là ζv < 1, ứng với

tỷ lệ nộp phạt bất kỳ v ∈ (0, 1], và xác suất bị bắt bất kỳ ζ < 1, hành vi phạm tội sẽ

xảy ra Vì vậy, phân tích này khẳng định nhận thức thông thường rằng nếu người ta

trốn được khoản tiền phạt thông qua hành vi hối lộ, thì tiền phạt không có vai trò

2.3.2 Sở hữu tài sản tối ưu (không dịch)

2.4 Định nghĩa tổng quát

giải Ω là một tập hợp những cặp độ thỏa dụng khả dĩ mà hai bên có thể đạt được

thông qua thỏa thuận, và điểm bất đồng d = (d A , d B ) là cặp độ thỏa dụng có thể đạt

được nếu những người tham gia không thể đi đến thỏa thuận.7 Chúng ta chỉ giới hạn

sự chú ý trong phạm vi những vấn đề thương lượng thỏa những điều kiện được trình

bày dưới đây trong các giả định 2.1 và 2.2

Giả định 2.1 Biên giới Pareto Ωe của tập hợp Ω là đồ thị của một hàm số có dạng

lồi, được ký hiệu là h, mà miền xác định của hàm số này là một đoạn I A ⊆ℜ Ngoài

ra, có một độ thỏa dụng u A ∈ I A sao cho u A > d A và h(u A ) > d B 8

Giả định 2.2 Tập hợp Ωw của các cặp độ thỏa dụng có hiệu quả Pareto yếu là một

tập hợp đóng.9

6 Ứng dụng nghiên cứu ở đây sẽ được mở rộng trong phần 2.5.3

7 Nếu (u A , u B ) ∈ Ω, thì điều này có nghĩa là có một thỏa thuận giúp mang lại cho người tham gia i (i =

A, B) một độ thỏa dụng u i ∈ ℜ

8 Một cặp độ thỏa dụng (u A , u B ) ∈ Ω e nếu và chỉ nếu (u A , u B ) ∈ Ω và không tồn tại một cặp độ thỏa

dụng khác (u’ A , u’ B ) ∈ Ω sao cho u’ A ≥ u A , u’ B ≥ u B và đối với một i nào đó, u’ i > u i

9 Một cặp độ thỏa dụng (u A , u B ) ∈ Ω w nếu và chỉ nếu (u A , u B ) ∈ Ω và không tồn tại một cặp độ thỏa

dụng khác (u’ A , u’ B ) ∈ Ω sao cho u’ A > u A , u’ B > u B Lưu ý rằng Ω e ⊆ Ω w

Lưu ý rằng (theo định nghĩa biên giới hiệu quả Pareto), h có tính giảm dần

nghiêm ngặt Tập hợp tất cả những vấn đề thương lượng thỏa Giả định 2.1 và Giả

định 2.2 được ký hiệu là ∑ Nghĩa là, ∑ ≡ {(Ω, d) : Ω ⊂ ℜ2, d ∈ ℜ2, và cặp (Ω, d)

thỏa Giả định 2.1 và Giả định 2.2}

Định nghĩa 2.1 Giải pháp thương lượng Nash (NBS) là một hàm số fN : ∑ → ℜ2,

được định nghĩa như sau: Đối với mỗi vấn đề thương lượng (Ω, d) thỏa Giả định 2.1

và Giả định 2.2, giải pháp thương lượng Nash f N (Ω, d) ≡ N

A

f (Ω, d), N

B

f (Ω, d) là

nghiệm duy nhất của bài toán tối đa hoá sau đây:

max (u A – d A )(u B – d B ) (u A , u B ) ∈ Θ

trong đó, Θ≡ {(u A , u B ) ∈Ωe : u A≥ d A và u B≥ d B } ≡ {(u A , u B ) : u A∈ I A , u B = h(u A ), u A

≥ d A và u B≥ d B }

Bài toán tối đa hoá trên đây có một nghiệm duy nhất, vì (u A – d A )(u B – d B ),

thường được gọi là tích số Nash, thì liên tục và gần như có dạng lồi nghiêm ngặt (về

phía gốc tọa độ - ND), và vì Giả định 2.1 ngụ ý rằng hàm số h có tính giảm dần

nghiêm ngặt và có dạng lồi, và tập hợp Θ là một tập hợp không rỗng Ta cũng nên lưu

ý rằng giải pháp thương lượng Nash có đặc điểm là N

i

f (Ω, d) > d i (i = A, B)

Chọn một vấn đề thương lượng tuỳ ý (Ω, d) ∈ ∑ Giải pháp thương lượng

Nash của vấn đề thương lượng này sẽ nằm trên đồ thị h Gọi I A≡ [ u , A u A ], trong đó,

A

A u

u ≥ Miền giá trị của hàm số h là h(I A ) = {u B∈ℜ : có một u A∈ I A sao cho u B =

h(u A )} Từ Giả định 2.1, ta suy ra rằng h(I A ) = [ u , B u B ], trong đó, h( u A ) = u B ≥ u B

= h( u A ) Ngoài ra, Giả định 2.1 ngụ ý rằng d A < u A , và d B < u B Tuy nhiên, đối với

một i nào đó (i = A hoặc i = B hoặc i = A, B), Giả định 2.1 không loại trừ khả năng

xảy ra d i≤ u i

Nếu d A ∈ I A và d B ∈ h(I A ) – từ thảo luận trên đây, điều này có nghĩa là d i ≥

i

u (i = A, B) – thì giải pháp thương lượng Nash được minh họa trong hình 2.1 với g

được thay bằng h.10 Một cách cụ thể, giải pháp thương lượng Nash nằm bên trong của

đồ thị h; nghĩa là, N

A

f (Ω, d) ∈ ( u , A u A ) và N

B

f (Ω, d) ∈ ( u , B u B ) Tuy nhiên, nếu đối

với một i nào đó, (i = A, hoặc i = B, hoặc i = A, B), d i ≤ u i , thì giải pháp thương

lượng Nash có thể (nhưng không nhất thiết) là một trong hai góc của đồ thị h; nghĩa

là, giải pháp thương lượng Nash N

A

f (Ω, d) có thể bằng ( u , A u B ) hoặc ( u , A u B ), như

được minh họa trong hình 2.5

10 Ta nên lưu ý rằng trong tình huống thương lượng cụ thể được nghiên cứu trong phần 2.2, biên giới

Pareto Ω e = Ω, tập hợp các cặp độ thỏa dụng có thể đạt được thông qua thỏa thuận, và vì thế, Ω e là đồ

thị hàm số g Ngược lại, trong một vấn đề thương lượng tuỳ ý (Ω, d) ∈ ∑ , biên giới Pareto Ωe ⊆ Ω,

nghĩa là, biên giới Pareto không nhất thiết phải bằng Ω