SKKN kinh nghiệm giải toán bằng phương pháp đồ thị

II ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI..  Lập bảng biến thiên chung rồi vẽ đồ thị hàm số.. 2 Các điều cần nhớ:  Các phép biến đổi chính trong phần này là phép đối xứng qua các

A PHƯƠNG PHÁP I) BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ:

1) Cho phương trình: F(x, m) = 0 (1), m là tham số.

 Biến đổi phương trình (1) về dạng f(x) = g(m) (2)

 Trong cùng hệ trục Oxy, vẽ 2 đường (C): y = f(x)

và đường thẳng : y = g(m)

 Số hoành độ giao điểm của (C) và  là số nghiệm của phương trình (1)

2) Chú ý:

a) Đường thẳng  có ba dạng sau:

 : y = g(m)   là đường thẳng // trục Ox

 : y = kx + m   là đường thẳng có hệ số góc k

 : y = m(x - x0) + y0   là đường thẳng quay quanh một điểm cố định A(x0; y0)

b) Nếu F(x; m) = 0 có nghiệm x thoả mãn điều kiện   x  

 Ta chỉ vẽ đường (C): y = f(x) với x  [; ]

 Biện luận theo m chọn nghiệm thuộc đoạn [; ]

c) Nếu phải đặt ẩn phụ, ta biện luận để tìm ẩn số phụ, sau đó biện luận

để tìm m

II) ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.

1) Dạng tổng quát:

 Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối

 Dựa vào định nghĩa:













A nÕu A

-0 A nÕu

A

 Viết hàm số về dạng được cho bởi nhiều công thức

 Khảo sát hàm số ứng với từng công thức

 Lập bảng biến thiên chung rồi vẽ đồ thị hàm số

2) Các điều cần nhớ:

 Các phép biến đổi chính trong phần này là phép đối xứng qua các trục toạ độ Cơ sở của nó là các nhận xét sau đây:

 Hai điểm (x; y) và (x; -y) đối xứng nhau qua trục hoành

 Hai điểm (x; y) và (-x; y) đối xứng nhau qua trục tung

 Hai điểm (x; y) và (-x; -y) đối xứng nhau qua gốc toạ độ O

 Đồ thị hàm số y = f(x) và đồ thị hàm số y = -f(x) đối xứng nhau qua trục hoành

3) Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp:

a) Dạng đồ thị (C1) của hàm số: y = f x

Ta có: y = f x =    

   









 0 x f nÕu x

f

-0 x f nÕu

x f

 Vẽ đồ thị (C): y = f(x)

 Đồ thị (C1) gồm 2 phần:

 Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x)  0)

 Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua Ox

b) Dạng đồ thị (C2) của hàm số: y = f x

Ta có y = f x =  

 









 0 x nÕu x

-f

0 x nÕu

x f

 Vẽ đồ thị (C): y = f(x)

 Đồ thị (C2) gồm 2 phần:

 Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0)

 Phần đối xứng của phần đồ thị trên trục Oy

c) Dạng đồ thị (C3) của hàm số: y  f x

Ta có: y  f x   

 













x f y

x

(Do đó y  f x được coi là hàm đa trị của y theo x)

 Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x)

 Đồ thị (C3) gồm hai phần:

 Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành

 Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox

d) Dạng đồ thị của hàm số: y =  

 x g

x f

Ta có: y =  

 x g

x f

=

 

   

 

   



















0 x f nÕu x

f

-0 x f nÕu

x g

x g

x f

 Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =  

 x g

x f

 Đồ thị (C4) gồm hai phần:

 Phần đồ thị của (C) ứng với f(x)  0

 Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) < 0 qua trục hoành

e) Dạng đồ thị (C5) của hàm số: y =  

 x g

x f

 Các bước làm tương tự như phần d)

 Chú ý: g(x)  0

f) Dạng đồ thị (C6) của đồ thị hàm số: y = f x  g x

Ta có: y = f x  g x =      

     















0 x f u nÕ x

g x f

-0 x f u nÕ

x g x f

 đồ thị (C6) gồm hai phần:

 Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x)  0

 Phần đồ thị của hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < 0

 Mở rộng:

Vẽ đồ thị hàm số: y = f1 x  f2 x   f k x g x

 Ta vẽ đồ thị trên các khoảng mà ở đó biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không đổi dấu

g) Dạng đồ thị (C7) của hàm số: y = f x

 Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x)

 Sau đó vẽ đồ thị (C2) của hàm số: y = f( x )

 Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = f x .

Tóm lại ta thực hiện dần các bước như sau:

y = f(x)  y = f( x )  y = f x

B CÁC BÀI TẬP MẪU:

Bài số 1:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x4 - 2x2- 1

b) Với những giá trị nào của m thì phương trình: x4  2x2  1 = log2m

có 6 nghiệm phân biệt?

Giải:

 TXĐ: D = R Hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng

 Sự biến thiên:

 Chiều biến thiên: y' = 4x3 - 4x

y' = 0  4x(x2 - 1) = 0  



























2

1 1

0

y

y x

x

Bảng xét dấu y':

Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-; -1) (0; 1)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (-1; 0); (1; +)

 Cực trị:

 Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 1 và yCĐ = -2

 Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 0 và yCĐ = -1

 Giới hạn:

xlim

Đồ thị hàm số không có tiệm cận

 Tính lồi lõm và điểm uốn:

y" = 12x2 - 4 = 0  x = 

3

3  y =

-9 14

-3

3

3

Bảng biến thiên:

x

-3

3

y +

CT

U 1

-9 14

CĐ

U 2

-9

14

CT

+

 Vẽ đồ thị:

 Giao với trục Ox: y = 0  x4 - 2x2 - 1 = 0  x =  1  2

 Giao với trục Oy: x = 0  y = -1

 Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng

 Các điểm khác: (2; 7)















9

14

; 3 3

b) Phương trình: x4  2x2  1log2 m có 6 nghiệm phân biệt khi đồ thị hàm số: y = x4  2x2  1 cắt đường thẳng y = log2m tại 6 điểm phân biệt

 Vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = x4  2x2  1

Ta có: y =      

   













0 x f nÕu x

f

-0 x f nÕu

x f x

f

Vậy đồ thị (C1) gồm hai phần:

 Phần đồ thị (C) ứng với f(x)  0 có nghĩa là phân đồ thị nằm phía trên trục Ox

 Phần đồ thị đối xứng (C) nằm phía dưới trục hoành

 Vẽ đường thẳng D: y = log2m; D // Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung

độ bằng log2m

Nhìn vào đồ thị: ta có kết quả: đường thẳng D cắt đồ thị (C1) tại 6 điểm  1 < log2m < 2  2 < m < 4

KL: Vậy phương trình: x4  2x2  1log2 m có 6 nghiệm phân biệt  2 < m < 4

Bài số 2:

Cho hàm số: y = f(x) =

1

2



x

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = f1(x) =

1

2



x

x

(Vẽ hình riêng)

c) Dùng đồ thị (C1) để biện luận theo tham số m số nghiệm x thuộc đoạn [-1; 2] của phương trình: m 1x  m0 (*) (ĐH QG

HN - 1999)

Giải:

a)

 TXĐ: D = R \ {1}

 Sự biện thiên:

 Chiều biến thiên: y' =

- 1 0

2

2 



 hàm số luôn nghịch biến với x  1

 Cực trị: Hàm số không có cực trị

 Giới hạn:











2 lim

lim

1

x y

x











2 lim

lim

1

x y

x x

 đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng

1

2 lim











x y

x

x  đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang

 Bảng biến thiên:

-y

2

-

+

2

 Vẽ đồ thị:

 Giao với trục Ox: (0; 0)

 Giao với trục Oy: (0; 0)

 Các điểm khác: (2; 4); 









 3

4

;

2 ; (3; 3); 









 ;2 2 1

Nhận xét: Đố thị nhận giao điểm I(1; 2) của 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng

b) Suy ra đồ thị (C1): y =  

1

2





x

x x

f

Ta có y =  























0 x u nÕ x

-1

2x

-1 x 0, x u nÕ 1

2

x

x x

f

Nhận xét: Đây là hàm chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

 Đồ thị (C1) gồm hai phần:

 Phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy

 Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua trục Oy

 Chú ý:  Lấy đối xứng cả đường tiệm cận đứng qua trục Oy ta được đường thẳng x = -1

Vẽ đồ thị (C1):

c) Ta có: m 1x  m0  m x  2x  m0  mx  1  2x

x

x



 1

2

(*) với x 1

Vì nếu x 1 thì m - 2 - m = -2 = 0 (Vô lý)  phương trình không có nghiệm bằng 1

Số nghiệm của phương trình (*)  [-1; 2] là số hoành đô giao điểm của

đồ thị (C1) với đường thẳng d: y = , ta có d // Ox; với x  [-1; 2]

Nhìn vào đồ tịh ta có kết quả:

 Nếu m < 0 thì phương trình (*) có 2 nghiệm đơn

 Nếu 0 < m < 4 thì phương trình (*) vô nghiệm

 Nếu m = 0 thì phương trình (*) có 1 nghiệm kép

 Nếu m > 4 thì phương trình (*) có 1 nghiệm đơn

Bài số 3:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x3 + 3x

b) Từ đó suy ra đồ thị (C1) của hàm số: y  x3 3x

Giải:

a)  TXĐ: D = R

 Sự biến thiên:

 Chiều biến thiên: y' = -3x2 + 3 = -3(x2 - 1)

y' = 0  

























2

2 1

1

y

y x

x

Xét dấu y':

-Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1)

Hàm số nghịch biến trên (-; -1) ; (1; +)

 Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 1  yCĐ = 2

Hàm số đạt cực đại tại xCT = -1  yCT = -2

 Giới hạn:













x x

y

x

xlim lim 3 3  đồ thị không có tiệm cận.  Tính lồi lõm và điểm uốn:

y" = -6x ; y" = 0  x = 0  y = 0

Bảng xét dấu y"

O(0; 0)

Lồi

 Bảng biến thiên:

CT

-2

0

Đ.U

2 CĐ

-

 Vẽ đồ thị:

 Giao với Ox:  3;0 ; 3;0

 Giao vơi Oy: (0; 0)

Các điểm khác: (-2; 2); (2; -2) (1;

2); (-1; -2)

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn

O(0; 0) làm tâm đối xứng

b) Vẽ đồ thị: y  x3 3x

 

















0

x f

x f y x

f y

Đồ thị hàm số (C1) gồm 2 phần:

 Phần đồ thị của (C) nằm phía trên trục hoành

 Phần đối xứng của phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox qua trục Ox

Bài số 4: ĐHKT QDân - 1999

Cho hàm số: y =  

2

1 2





x

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x - 1)2 = 2m x2

Giải:

Ta có y = x - 4 +

2

9



x

a)  TXĐ: D = R\{-2}

 Sự biến thiên:

 Chiều biến thiên: y ' = 1 -

 2

9



x

y' = 0  (x + 2)2

= 9  









 5

1

x x

Lập bảng xét dấu y':

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -5); (1; +)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-5; -2); (-2; 1)

 Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = -5 và yCĐ = -12

Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 1 và yCT = 0

 Giới hạn:

 

















1 lim

lim

2 2

x y

x

cận đứng

 

2

9 lim 4















tiệm cận xiên

 Bảng biến thiên:

y

-

-12 CĐ

-

+

0 CT

+

 Vẽ đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị hàm số

đi qua các điểm (1; 0);











 2

1

;

0 ; (-5; -12); 









 2

3

; 4

và nhận giao điểm I(2; -6) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

b) Ta có: x  12 2m x2 (*)

x

x

2 2

1 2







(*), x  -2

 Nếu x = -2 thì (*)  9 = 2m  m =

2

9

 Nếu x  -2 thì số nghiệm của phương trình (*) là số hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số: y =  

2

1 2





x x

và đường thẳng y = 2m

 Vẽ đồ thị (C1): y =  

2

1 2





x x

Ta có: y =  

2

1 2





x

x

=

 

 





























2 -x u nÕ

2 -x u nÕ

2 1 2 1 2 2

x x x x

Vậy đồ thị (C1) gồm 2 phần:

 Phần đồ thị (C) ứng với x > -2

 Phần đồ thị đối xứng của đồ thị (C) ứng với x < -2 qua trục Ox

 Đường thẳng y = 2m là đường thẳng song song trục Ox cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 2m

Vậy nhìn vào đồ thị ta có kết quả:

 Nếu 2m < 1  m <

2

1 thì phương trình (*) vô nghiệm  Nếu m =

2

1 thì phương trình (*) có 1 nghiệm kép

2

1



m thì phương trình (*) có 2 nghiệm đơn

 Nếu m = 6 thì phương trình (*) có 1 nghiệm kép và 2 nghiệm đơn  Nếu m > 6 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt

Bài số 5 ĐHY Dược TPHCM - 93

Cho (Cm) là đồ thị hàm số: y =

1

2 2







x

m mx x

Vẽ đồ thị (C-1) ứng với m = -1 Từ đó suy ra đồ thị (C) của hàm số:

y =  

1

1 2 1







x

x x

 Với m = -1 ta được y =

1

2 3 2 1

1

2 2















x

x x

x x

 TXĐ: D = R\{-1}

 Sự biến thiên:

 Chiều biến thiên: y' = 2 -

    





















1 1

2 1

2

x x

y' = 0  









 2

0

x x

Bảng xét dấu y':

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -2); (0; +)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2; -1); (-1; 0)

 Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = -2 và yCĐ = -9

Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 0 và yCT = -1

 Giới hạn:







xlim1  x = -1 là phương trình đường tiệm cận đứng

 

1

2 lim 3

2

lim















tiệm cận xiên

 Bảng biến thiên:

-

-9 CĐ

-

+

-1 CT

+

Vẽ đồ thị:

Giao với trục Ox: (1; 0) và











 ;0 2 1

Giao với trục Oy: (0; -1)

đồ thị nhận giao điểm I(-1; -5) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =   f x

x

x x







 1

1 2 1

Ta có: y =  

  

  





































1 x Õu N

1 x Õu N

1

1 2 1

1

1 2 1 1

1 2 1

x

x x x

x x

x

x x

Vậy đồ thị (C) của hàm số gồm 2 phần:

 Phần đồ thị (C-1) ứng với x  1

 Phần đối xứng của đồ thị (C-1) ứng với x < 1 qua trục hoành

Bài số 6: ĐH Mở HN - 99

Cho hàm số: y = x + 1 +

1

1



x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Vẽ đồ thị (C*) của hàm số y =

1

1 1







x

x

c) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

1

1 1







x

 TXĐ: D = R\{1}

 Sự biến thiên: y' =

 2

2 1

2





x

x x

 Chiều biến thiên: y' = 0  x2

- 2 = 0  







 2

0

x x

Bảng xét dấu y':

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; 0); (2; +)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 1); (1; 2)

 Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 0 và yCĐ = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 2 và yCT = 4

 Giới hạn:









y

xlim1  x = 1 là phương trình đường tiệm cận đứng

 

1

1 lim 1

lim















tiệm cận xiên

 Bảng biến thiên:

y

-

0 CĐ

-

+

4

CT

+

Vẽ đồ thị:

Giao với trục Ox và Oy: (0; 0)

Đồ thị đi qua các điểm khác:











  2

1

; 2











 

2

1

;

1 ; (2; 4)

Nhận xét: đồ thị nhận giao điểm I(1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm

đối xứng Giao với trục Ox và Oy: (0; 0)

b) Vẽ (C*): y =

1

1 1







x

 Với x > -1 thì (*) có dạng: y1 = x + 1 +

1

1



x

Vậy đồ thị là phần của (C) tương ứng với x  -1

 Với x < -1 thì (*) có dạng: y2 = -x -1 +

1

1



x

 TXĐ: D = (-; -1)

 Sự biến thiên: y2' = -1 -

 12

1



x < 0

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-; -1)

Cực trị: Hàm số không có cực trị

1

1 lim 1

















tiệm cận xiên

 Bảng biến thiên:

-2 1

Đồ thị (C2) là nhánh

() Vậy đồ thị (C*)

gồm hai phần:

 Phần đồ thị (C1)

 Phần đồ thị (C2)

c)

phương trình:

1

1

1







x

ba nghiệm phân biệt  đồ thị (C*) cắt đường thẳng d: y = m tại 3 điểm phân biệt

 Vẽ đường thẳng D:

y = m, với D là đường thẳng // Ox cắt Oy tại điểm có tung độ bằng m  Nhìn vào đồ thị ta thấy: đường thẳng D cắt (C*) tại ba điểm phân biệt



















4

0 2

1

m

m

KL: Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi















 4

0 2

1

m m

Bài số 7: ĐH SP HN - Khối B - 2001

Cho hàm số: y = x3 - 6x2 + 9x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Từ đồ thị hàm số đã cho suy ra đồ thị của hàm số: y =

x x

x3  6 2 9

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3  6x2 9x - 3 +

m = 0

Giải:

a)  TXĐ: D = R

 Sự biến thiên:

 Chiều biến thiên: y' = 3x2 - 12x + 9

y' = 0  x2

- 4x + 3 = 0  







 3

1

x x

Xét dấu y'

Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-; 1) ; (3; +)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)

 Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 1; yCĐ = 4

Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 3; yCT = 0

 Giới hạn:









xlim

Đồ thị hàm số không có tiệm cận

 Tính lỗi lõm và điểm uốn:

y" = 6x - 12 y" = 0  x = 2  y = 0

Xét dấu y":

Đồ thị lỗi trên khoảng (-; 2)

Đồ thị lõm trên khoảng (2; +)

Đồ thị có điểm uốn là I(2; 2)

 Bảng biến thiên:

y

-

4

U

0 CT

+

 Vẽ đồ thị:

Giao với Ox: (0; 0), (3; 0)

Giao với Oy: (0; 0)

Đồ thị nhận giao điểm I(2; 2) làm tâm đối xứng

Các điểm khác: (-1; -16), (4; 4), (2; 2)

b) Vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = x3  6x2 9x

 Vẽ đồ thị (C2): y = x3  6x2 9x = f x

Ta có f x =  

 











 0 x NÕu

0 x NÕu

x f

x f

Đồ thị (C2) gồm hai phần:

 Phần đồ thị (C) ứng với x  0

 Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Oy

 Vẽ xong đồ thị (C2) thì vẽ đồ thị (C1)

Vậy đồ thị (C1) chính là đồ thị (C2) và đồ thị (C1) ứng với f(x)  0 x