Trong baøi treân, hoïc sinh luyeän taäp veà “tính chaát 3 ñöôøng phaân giaùc trong tam giaùc”, tính chaát tam giaùc caân vaø qua ñoù chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng döïa vaøo phöông pha[r]
Trang 1A Đặt vấn đề
1 Cơ sở lý luận
Hình học là một môn học trừu tợng và mới đối với các em học sinh lớp 6, 7, vì ở tiểu học các em chỉ đợc làm quen với hình học qua “nhận biết hình” là chủ yếu, các em cha đợc tiếp xúc nhiều với việc suy luận, chứng minh một vấn đề hình học
Đối với môn hình học 7 các em bắt đầu làm quen với rất nhiều khái niệm hình học mới, bắt đầu làm quen với việc suy luận, chứng minh, đòi hỏi phải có t duy logíc Những khái niệm về hình học lớp 7 là những khái niệm mở đầu, là nền móng cho môn hình học ở các lớp 8, 9 sau này Nếu ngay từ ban đầu các em không nắm chắc kiến thức, không biết vẽ hình, không biết giải quyết các bài tập về hình học thì sẽ dẫn đến tình trạng sợ học hình, chán học hình học và sẽ bị mất gốc về kiến thức
Trong chơng trình hình học lớp 7 toán chứng minh hình học giữ vai trò chủ yếu,
trong đó loại toán chứng minh "ba điểm thẳng hàng" là loại toán khó, có vai trò quan
trọng trong việc rèn luyện và phát triển t duy, nó thờng có mặt trong các bài toán bồi d-ỡng học sinh khá giỏi
2 Cơ sở thực tiễn
Qua thực tế nhiều năm giảng dạy tôi thấy các em thờng gặp khó khăn khi giải loại toán này, đại đa số các em không biết cách chứng minh, không lập luận và trình bày đợc,
do đó thờng có tâm lí chán nản khi gặp loại toán này
Nguyên nhân cơ bản dẫn tới về vấn đề này là do học sinh cha nắm chắc các khái niệm, các tính chất về hình học, cha nắm chắc phơng pháp chứng minh và việc rèn luyện
kỹ năng vận dụng, chứng minh, trình bày còn ít Đó cũng là những vấn đề mà tôi luôn trăn trở khi giảng dạy
Chính từ những thực trạng trên mà tôi xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một
số giải pháp mà tôi đã thực hiện qua đề tài Rèn kỹ năng giải bài tập về chứng minh “
ba điểm thẳng hàng" cho học sinh lớp 7
3 Mục đích của đề tài
1 Cung cấp phơng pháp (thông qua đó củng cố, khắc sâu kiến thức, cách vận dụng kiến thức)
2 Rèn kỹ năng vẽ hình
3 Rèn kỹ năng giải bài tập (rèn các kỹ năng nh phân tích, tổng hợp, suy luận, vận dụng kiến thức vào thực tế, trình bày )
4 Phát triển và nâng cao năng lực t duy
4 Phạm vi thực hiện:
-Đối tợng nghiên cứu: Học sinh lớp 7
-Thời gian thực hiện: Năm học: 2008- 2009; 2009 -2010; 2011-2012
B Giải quyết vấn đề
I Caực phửụng phaựp : Chửựng minh 3 ủieồm thaỳng haứng trong chửụng trỡnh lụựp 7
1.Goực beùt:
ABC = 1800
A, B, C thaỳng haứng
Trang 21 Hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và cùng song song với 1 đường thẳng cho trước
MA // xy
MB // xy
A, M, B thẳng hàng (tiên đề Ơclit)
2 Hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và cùng vuông góc với 1 đường thẳng cho trước
AH xy
BH xy
A, H, B thẳng hàng
3 Ba điểm cùng thuộc tia phân giác của 1 góc
Tia OA là tia phân giác của xOy Tia OB là tia phân giác của xOy
A, O, B thẳng hàng
4 Ba điểm cùng thuộc đường trung trực của 1 đoạn thẳng
H, I, K cùng thuộc đường trung trực của AB
H, I, K thẳng hàng
5 Đường trung tuyến của tam giác phải đi qua trọng tâm
G là trọng tâm của ABC
AM là trung tuyến ABC
A, G, M thẳng hàng
Trang 36 Đường phân giác của tam giác phải đi qua giao điểm chung của 3 đường phân giác
I là giao điểm 2 đường phân giác xuất phát từ đỉnh B và C
AD là phân giác của A
A, I, D thẳng hàng
7 Đường cao của tam giác phải đi qua trực tâm
H là trực tâm ABC
BE là đường cao ABC
B, H, E thẳng hàng
8 Đường trung trực của tam giác phải đi qua giao điểm chung của 3 đường trung trực
O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh
AB và AC
MN là đường trung trực của BC
O, M, N thẳng hàng
9
AOx = α 0 BOx = α 0
O, A, B thẳng hàng
II Một số ví dụ
Để giúp các em có sự định hướng tốt trong khi tìm tòi cách giải Tôi nghĩ, chúng ta có thể giúp các em làm quen với “3 điểm thẳng hàng” ngay từ đầu chương trình toán 7 chúng ta vẫn dạy theo đúng nội dung bài học, nhưng trong tiết luyện tập, chúng ta chọn những bài tập nhỏ, đơn giản, dễ nhìn, những bài tập này vừa vận dụng kiến thức đã học vừa giúp chúng ta giới thiệu cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, mỗi lần một ít – dần dần học sinh sẽ quen và khi gặp những bài
Trang 4toán tổng hợp, phức tạp, học sinh có thể tự tìm được hướng đi và từ đó giải quyết được yêu cầu của đề bài
Ngay từ bài 1: “ Hai góc đối đỉnh” , ta có thể lồng vào bài toán yếu tố “3 điểm thẳng hàng” như sau:
1) Trên đường thẳng AA’ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AA’ vẽ tia OB sao cho AOB = 450 Trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia OC sao cho AOC = 900
a) Gọi OB’ là tia phân giác của A’OC Chứng minh B, O, B’ thẳng hàng
b) Chứng minh AOB và A’OB’ là cặp góc đối đỉnh So sánh AOB và A’OB’
a) C/m: B, O, B’ thẳng hàng
A, O, A’ thẳng hàng AOA’ = 1800 AOC + COA’ = AOA’
900 + COA’ = 1800 COA’ = 1800 – 900 = 900
Vì OB’ là tia phân giác của COA’
COB’ = COA'2 = 9020 = 450 BOB’ = BOA + AOC + COB’
= 450 + 900 + 450
= 1800 Vậy 3 điểm B, O, B’ thẳng hàng
Trong bài này, học sinh vẫn luyện tập về: Tính số đo góc, chứng minh 2 góc đối đỉnh, tính chất 2 góc đối đỉnh Nhưng qua đó, các em biết cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 1
Bài : “ Hai đường thẳng vuông góc” , ta chọn bài tập sau:
2) Cho góc vuông AOB và tia OC nằm trong góc đó Vẽ tia OM sao cho tia OA là tia phân giác của COM Vẽ tia ON sao cho tia OB là tia phân giác của CON Chứng minh: 3 điểm M, O, N thẳng hàng
3)
C/m: M, O, N thẳng hàng
OA là tia phân giác của COM COM = 2 COA
OB là tia phân giác của CON CON = 2 COB MON = COM + CON
= 2 COA + 2 COB = 2.(COA + COB)
Trang 5= 2 AOB = 2 900 = 1800 Vậy 3 điểm M, O, N thẳng hàng
Trong bài này, học sinh vẫn luyện tập về tính chất tia phân giác 1 góc; vẽ góc vuông và qua đó, các em chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 1
Bài : “ Hai đường thẳng song song” , ta chọn bài tập sau:
4) Cho 2 góc AOM và MOB kề bù (theo hình vẽ)
Vẽ tia MC sao cho 2 góc CMO, MOA so le trong và bằng nhau
Vẽ tia MD sao cho 2 góc DMO, MOB so le trong và bằng nhau
Chứng minh : C, M, D thẳng hàng
CMO và MOA là cặp góc so le trong bằng nhau
MC // OA Mà B thuộc đường thẳng OA
MC // AB DMO và MOB là cặp góc so le trong bằng nhau
MD // OB Mà A thuộc đường thẳng OB
MD // AB
Ta có MC // AB (cmt)
MD // AB (cmt)
C, M, D thẳng hàng (Tiên đề Ơclit)
Trong bài này, học sinh luyện tập chứng minh 2 đường thẳng song song và qua đó biết cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 2
Bài : “Định lý ” Học sinh làm bài trắc nghiệm sau:
5) a) Nếu 2 đường thẳng AB và CD cùng song song với đường thẳng xy thì AB // CD b) Nếu 2 đường thẳng AB và AC cùng song song với đường thẳng xy thì A, B, C, thẳng hàng
c) Nếu 2 đường thẳng EF và HK cùng vuông góc với đường thẳng xy thì EF // HK
d) Nếu 2 đường thẳng EF và EH cùng vuông góc với đường thẳng xy thì E, F, H thẳng hàng
Trang 6Học sinh kết luật A, B, C thẳng hàng (dựa vào phương pháp 2)
Và kết luận E, F, H thẳng hàng (dựa vào phương pháp 3)
Bài “ Tam giác bằng nhau - Trường hợp cạnh cạnh cạnh ” Ta chọn bài tập sau:
5) Cho ABC có AB = AC Gọi M là 1 điểm nằm trong tam giác sao cho
MB = MC N là trung điểm BC (theo hình vẽ)
C/m : a) AM là tia phân giác của BAC
b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng
BAM = CAM (ccc) BAM = CAM
AM là tia phân giác ABC (1)
BAN = CAN (ccc) BAN = CAN
AN là tia phân giác BAC (2) Từ (1) và (2) suy ra A, M, N thẳng hàng
Trong bài này, học sinh luyện tập chứng minh 2 tam giác bằng nhau (ccc) và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 4
Bài: “Tam giác bằng nhau – Trường hợp c-g-c ” Ta chọn các bài tập sau:
6) Cho ABC, M là trung điểm BC Vẽ AD // BM và AD = BM (M và D khác phía đối với AB) I là trung điểm AB
C/m: 3 điểm M, I, D thẳng hàng
C/m: 3 điểm M, I, D thẳng hàng
AID = BIM (cgc) I1 = I2
A
M
Trang 7DIM = DIB + I2
= DIB + I1
= AIB
= 1800 ( vì A, I, B thẳng hàng) Vậy D, I, M thẳng hàng
Trong bài này, học sinh vẫn luyện tập chứng minh tam giác bằng nhau (c.g.c) và qua đó ôn lại cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 1
7) Cho ABC, gọi D và E lần lượt là trung điểm AC, AB Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DB Trên tia đối của tia EC lấy điểm N sao cho
EN = EC
a) C/m : A, M, N thẳng hàng
ADM = CDB (cgc)
AMD = CBD Mà 2 góc này ở vị trí so le trong Nên : AM // BC (1)
AEN = BEC (cgc)
ANE = BCE Mà 2 góc này ở vị trí so le trong Nên: AN // BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, M, N thẳng hàng (Tiên đề Ơclit)
Trong bài này, học sinh vẫn luyện tập chứng minh 2 tam giác bằng nhau (cgc) chứng minh 2 đường thẳng song song và qua đó ôn lại cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng (dựa vào phương pháp 2)
8) Cho ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB
Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC
Vẽ AH BC (H BC) Trên DE lấy điểm K sao cho BH = DK
C/m: A, H, K thẳng hàng
ABC = ADE (cgc)
D = B
A
Trang 8Mà 2 góc này ở vị trí so le trong Suy ra: ED // BC
AHB = AKD (cgc)
AKD = AHB = 900
AK ED
Ta có: AK BC (cmt)
AH BC (gt)
A, H, K thẳng hàng Trong bài này, học sinh vẫn luyện tập chứng minh tam giác bằng nhau (cgc), sử dụng kiến thức về 2 đường thẳng song song và qua đó ôn lại cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng (dựa vào phương pháp 3)
Bài “Tam giác cân ”
9) Cho ABC có A = 600 Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giác đều ABM và ACN
a) C/m: 3 điểm M, A, N thẳng hàng
b) C/m: BN = CM
Học sinh dễ dàng chứng minh được 3 điểm A, M, N thẳng hàng (dựa vào phương pháp 1)
10) Cho ABC vuông cân tại A Vẽ ra ngoài ABC tam giác cân BCM có đáy BC và góc ở đáy 150 Vẽ tam giác đều ABN (N thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C
C/m: Ba điểm B, M, N thẳng hàng
ABM = ABC + CBM = 450 + 150 = 600
ABN đều ABN = 600
Trên cùng nửa mặt phẳng, có bờ là đường thẳng AB, ta có
ABM = 600 ABN =600 Vậy B, M, N thẳng hàng
Học sinh luyện tập về tam giác cân, đều, vuông cân và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 10
Bài “ Tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác ” Ta chọn bài tập sau:
A
N
C B
Trang 911) Cho ABC có AD là trung tuyến Trên AD lấy 2 điểm I và K sao cho AI=IK=KD Gọi F và E lần lượt là trung điểm của AB, AC Gọi O là giao điểm của BE và CI
a) C/m: B, K, E và C, K, F thẳng hàng
b) O là trọng tâm của tam giác nào?
c) Tính OE?
a)
ABC có AD là trung tuyến
KD = IK = AI = 13 AD Suy ra: K là trọng tâm ABC
Mà BE, CF là 2 đường trung tuyến của ABC Nên BE, CF phải đi qua trọng tâm K
Vậy B, K, E thẳng hàng
C, K, F thẳng hàng 12) ABC vuông tại A, có BC = 10cm, AC = 8cm Lấy điểm M trên AB sao cho BM
= 4cm Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm DC, gọi N là trung điểm BD
C/m: Ba điểm C, M, N thẳng hàng
Học sinh tính được AB = 6cm (áp dụng định lý Pythagore)
DBC có BA là trung tuyến
và MBBA = 46 = 32 BM = 32 BA
Vậy M là trọng tâm của DBC
N là trung điểm BD suy ra CN là trung tuyến BDC
Trung tuyến CN phải đi qua trọng tâm M
Vậy C, M, N thẳng hàng
Trong bài tập trên, học sinh luyện tập về tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 6
Bài “Tính chất tia phân giác của 1 góc ” Ta chọn bài tập sau:
B
M D
Trang 1013) Cho ABC cân tại A, gọi D là trung điểm BC Từ D vẽ DE AB, DF AC (E AB; F AC)
a) C/m: DEF cân
b) Vẽ BH // DF, CK // DE (H AC ; K AB)
C/m: A, I, D thẳng hàng
C/m: A, I, D thẳng hàng
DE AB ; DF AC
DE = DF Suy ra: D thuộc tia phân giác của BAC
IK AB, IH AC
IK = IH Suy ra: I thuộc tia phân giác của BAC Vậy: A, D, I thẳng hàng
Trong bài trên, học sinh luyện tập về “Tính chất tia phân giác của 1 góc” và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 4
Bài: “Tính chất 3 đường phân giác của tam giác ”
14) Cho ABC cân tại A Vẽ phân giác BD và CE cắt nhau tại I Gọi M là trung điểm BC C/m: A, I, M thẳng hàng
C/m: A, I, M thẳng hàng
ABC có phân giác của B và C cắt nhau tại I, suy ra I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác
ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy nên AM cũng là phân giác
Đường phân giác AM phải đi qua giao điểm I Vậy A, I, M thẳng hàng
Trong bài trên, học sinh luyện tập về “tính chất 3 đường phân giác trong tam giác”, tính chất tam giác cân và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 7
Bài : “Tính chất đường trung trực của 1 đoạn thẳng ”
15) Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC
Chứng minh 3 điểm A, D, E thẳng hàng
A
C
H F
K
A
Trang 11C/m: 3 điểm A, D, E thẳng hàng
AB = AC A thuộc đường trung trực của BC
DB = DC D thuộc đường trung trực của BC
EB = EC E thuộc đường trung trực của BC
Vậy A, D, E thẳng hàng
Trong bài trên, học sinh luyện tập về tính chất trung trực và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 5
Bài : “ Tính chất 3 đường trung trực của tam giác ”
16) Cho ABC cân tại A, M là trung điểm BC Đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở D Chứng minh: A, M, D thẳng hàng
C/m: A, M, D thẳng hàng
AB = AC (gt)
MB = MC (M là trung điểm BC)
Suy ra: AM là đường trung trực của đoạn BC (1)
ABC có đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại D
Suy ra: D là giao điểm 3 đường trung trực trong ABC
Nên: D thuộc đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, M, D thẳng hàng
Trong bài trên, học sinh chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 9
Bài : “Tính chất 3 đường cao ”
C B
D E
A
C B
M D
Trang 1217) ABC caõn taùi A, veừ ủửụứng cao BH vaứ CK caột nhau taùi I Goùi M laứ trung ủieồm
BC Chửựng minh A, I, M thaỳng haứng
C/m: A, I, M thaỳng haứng
ABC coự 2 ủửụứng cao BH vaứ CK caột nhau taùi I neõn I laứ trửùc taõm cuỷa tam giaực
ABC caõn taùi A, coự AM laứ trung tuyeỏn ửựng vụựi caùnh ủaựy neõn AM cuừng laứ ủửụứng cao
ẹửụứng cao AM phaỷi ủi qua trửùc taõm I
Vaọy A, I, M thaỳng haứng
Trong baứi treõn, hoùc sinh chửựng minh 3 ủieồm thaỳng haứng dửùa vaứo phửụng phaựp 8
C Kết luận
1) Kết quả thu đợc
Qua việc rèn kỹ năng giải các bài tập về chứng minh ba điểm thẳng hàng tôi nhận thấy:
Học sinh rất có hứng thú trong học tập, các em đã nắm chắc kiến thức và phơng pháp chứng minh, các em đã đợc nâng cao khả năng suy luận khi giải bài tập hình học
Do vậy tiết học toán chứng minh hình học không trở lên quá nặng nề đối với các em Kết quả là: Các em rất phấn khởi khi học môn hình học, các em làm các bài tập
đ-ợc giao tích cực, không ỉ lại và không tự ti, từ đó càc em nắm chắc bản chất kiến
thức,vận dụng các kiến thức vào giải các bài tập một cách nhuần nhuyễn và linh hoạt
Điểm các bài kiểm tra đợc nâng lên rõ rệt, qua khảo sát đánh giá tôi thu đợc kết quả
cụ thể nh sau
Năm khảo sát Lớp
Điểm đạt
Ghi chú
Y-TB Khá Giỏi
A
C B
H
D
Trang 132008-2009 7A1+7A2 75% 17% 8 % Cha thực hiện ĐT 2009-2010 7A1+7A2 55% 28% 17 % Đã thực hiện ĐT 2011-2012 7A1+7A2 42% 33% 25% Đã thực hiện ĐT
2 Hạn chế của đề tài
- Không có nhiều thời gian cho việc luyện giải bài tập
- Cha đáp ứng tốt cho đối tợng học sinh yếu
- Thời gian kiểm chứng cha nhiều
3 Bài học kinh nghiệm:
Để giúp học sinh nắm chắc kiến thức, có kĩ năng vẽ hình chính xác và khả năng suy luận lôgíc:
- Cần dạy học sinh học toán một cách chủ động, sáng tạo
- Cần tăng cờng việc rèn luyện khả năng tự học, tự đọc của học sinh
- Gần gũi, trao đổi với học sinh, tìm hiểu những vớng mắc của các em để giúp các
em học tập tốt hơn, để ngời thầy tìm ra phơng pháp giảng dạy tối u hơn sao cho các em
dễ tiếp thu hơn
- Mỗi giáo viên cần phải tự tìm tòi và khám phá để nâng cao trình độ, để tích luỹ cho mình vốn kiến thức sâu rộng Có nh thế thì mới đáp ứng đợc nhu cầu phát triển của dạy và học
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong việc “Rèn kỹ năng giải bài tập về chứng minh ba điểm thẳng hàng” Vì giới hạn của bài viết nên cha đa đợc nhiều ví dụ
và kinh nghiệm bản thân còn nhiều hạn chế Tôi rất mong nhận đợc sự góp ý của các bạn đồng nghiệp