DE HSG

Nếu đổi vị trí chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì được một sô có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu là 45.. Gọi M là trung điểm AB.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUỲNH LƯU

KIỂM TRA HỌC SINH XẾP LOẠI HỌC LỰC GIỎI

Năm học 2009-2010

Môn: Toán 8 - Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: (3,0 điểm)

a, Tìm số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 3 Nếu đổi vị trí chữ số hàng chục

và chữ số hàng đơn vị thì được một sô có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu là 45

b, Với n là số tự nhiên, chứng minh rằng n5 và n có chữ số tận cùng bằng nhau

Câu 2: (2,0 điểm) Cho a + b = x + y; a2 + b2 = x2 + y2

Chứng minh rằng: a2010 + b2010 = x2010 + y2010

Câu 3: (2,0 điểm)

a, Giải phương trình: x4  x3  2 x  4 0 

b, Giải hệ phương trình:

2

3





Câu 4: (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo Vẽ

góc xOy = 450 sao cho Ox cắt BC tại G (G nằm giữa B, C) Oy cắt DC tại H (H nằm giữa D, C) Gọi M là trung điểm AB

Chứng minh rằng:

a, ΔHOD đồng dạng ΔOGB.

b, GM // AH.

Câu 5: (1,0 điểm) Cho ΔABC biết góc A bằng 2 lần góc B và bằng 4 lần góc C.

Chứng minh rằng:

AB  BC  AC .

Hết

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUỲNH LƯU

HƯỚNG DẪN CHẤM

Kiểm tra HS học lực giỏi - Năm học 2009-2010

Môn: Toán Lớp 8

1 a) Gọi số cần tìm là ab

ta có ab ba 45 (10a b ) (10 b a ) 45  a b 5(*)

mà ab3 a b 3 a b 3;6;9;12;15;18(**)

Từ (*) và (**) suy ra a + b = 9; 15

Với

a b b



Với

5

10 vô lý 15

a b

a

a b





 



Vậy số phải tìm là 72

b) Xét n5 – n = n(n4 – 1) = n(n2 + 1)(n – 1)(n + 1)

= n(n2 – 4 + 5)(n – 1)(n + 1)

= (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n +2) – 5n(n – 1)(n + 1)

Vì (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n +2)10, 5n(n – 1)(n + 1) 10

Suy ra điều phải chứng minh

0,5

0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

2 Từ a + b = x + y (*)

 a – x = y – b

Mặt khác a2 + b2 = x2 + y2

 a2 – x2 = y2 – b2  (a + x)(a – x) = (y + b)(y – b)

 (a + x)(a – x) = (y + b)(a – x)



0(**) (***)

a x

a x b y





Với

2010 2010 2010 2010

a b x y

a x

  







Với

2010 2010 2010 2010

a b x y

a x b y

  





  

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

0,5

0,5

0,5

0,5

3 a, x4 + x3 + 2x -4 =0  (x - 1)(x + 2)(x2 + 2) = 0 => x=1 hoặc x = -2

b,

2

3

1 0



4 1

y y







2

y

y





1

1

G

B M

A

D

1

+) Với y   2 x  1, z  1

+) Với y  2  x  1, z  1

4 a,  HOD + O1=1350

OGB + O1=1350 nên HOD

= OGB

->ΔHOD đồng dạng ΔOGB (g.g)

b, từ câu a, suy ra :

HD DO

OB BG đặt BM = a

Thì AD = 2a , OB = OD = a 2

Ta có HD.BG = OB.OD = a 2.a 2

=2a.a =AD.BM

=> HD

BM

BG => ΔAHD đồng dạng

với ΔGMB(c.g.c)

=> AHD = GMB do đó 

HAB = GMB => MG // AH

1

1

5 Gọi D là giao điểm của AB

với đường trung trực của đoạn BC

Khi đó ta có:

ΔBCD cân tại D, ΔACD cân tại C

AB AB

DB DC CA

CA DB

    

(1)

Do CA là phân giác

AB AD AB AD

BC DC BC DB

(Vì DC

=DB) (2)

Cộng theo vế (1) và (2) ta được:

1

AB AB AB AD

ACBC DBDB   ACBC AB

1

D

C B

A

2

3

4

Đề thi HSG Toỏn 8 - cấp huyện

Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn

b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên

dơng của n

c) Nếu a chia 13 d 2 và b chia 13 d 3 thì a2+b2 chia hết cho 13

Câu2 : Rút gọn biểu thức:

a) A= bc

(a − b)(a −c ) +

ca (b − c)(b − a) +

ab (c −a)(c −b)

b) B = (x +1

x)6−(x6

+ 1

x6)−2

(x +1

x)3+x3+ 1

x3

Câu 3: Tính tổng: S =

1

1 3 +

1

3 5 +

1

5 7 + … +

1 2009.2011

Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh rằng biểu thức sau

không phụ thuộc vào các biến x, y, z :

Câu 5: Giải phơng trình:

69 x 67 x 65 x 63 x 61 x

5

1942 1944 1946 1948 1950

Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy = 600 quay quanh

điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E Chứng minh :

a) BD.CE= BC2

4

b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của BDE và CED.

c) Chu vi ADE không đổi.

Đáp án và biểu điểm

điểm

1

a, Thực hiện chia

2

m

n 1

 



1

n 1 

0.5

Hay n + 1 1; -1  Khi đó : n + 1 = 1  n = 0 Z ( t/m)

n + 1 = -1  n = -2  Z (t/m)

b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) 3 +2(n+1) =

Khi đó : 3(n+1)  3

n( n +1) (n+ 2) là tích của 3 số nguyên dơng liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 0.5

a2 + b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13q + 3) 2 = = 13( 13k2 +4k +13 q2 + 4q +1)  13 1

2

a) A=

(a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c)        (đổi dấu)

= … =

(a b)(a c)(b c) (a b)(a c)(b c)

b) Ta có:

6

1 x

x



2 3

3

2

Tử thức:

6 6 6

2 3

3

2 3

3

1 x x



=

3 3

Mộu thức:

3 3 3

3 3

Rút gọn ta có: B = 3(x +1

x)

4

3

S =

2

xyz x yz xy xyz y yz 1 z zx       

= xy xz

xy (xz+z +1) +

1

1+z +zx +

z

1+z +zx =

1+z +xz 1+z +zx = 1 không đổi

2

0.5

 (2011 – x)

1

 2011 - x = 0 ( vì

0

0.5

a,Chứng minh BMD CEM

0,5 2.5 1.5

Vì BM = CM =

BC

2

BC

b, Chứng minh BMD MED

Từ đó suy ra Dˆ1Dˆ2

, do đó DM là tia phân giác của góc BDE Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED

c, Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

Chứng minh DH = DI, EI = EK

Chu vi bằng 2.AH

Kết luận…

1.5

Chú ý: Có nhiều cách khác nhau , nhng có chung 1 kết quả

3 1 2

x

y

E D

B

A