SKKN giải pháp mới xây dựng và phát triển hệ thống các bài toán cực trị hình học giải tích trong không gian

Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tôi gồm: công tác Chức danh Trình độ chuyên môn Tỷ lệ % đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến Ghi chú 1 Phạm Thành Trung THPT Nho Quan B Tổ trưởng chuyên môn T

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình

1 Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tôi gồm:

công tác

Chức danh

Trình

độ chuyên môn

Tỷ lệ % đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến

Ghi chú

1 Phạm Thành Trung THPT Nho

Quan B

Tổ trưởng chuyên môn

Thạc sỹ 50% Đồng tác

giả

Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Giải pháp mới xây dựng và

phát triển hệ thống các bài toán cực trị hình học giải tích trong không gian” - Phụ

4 Nội dung sáng kiến

4 1 Thực trạng và giải pháp cũ thường làm - Hạn chế của giải pháp cũ

4 1 1 Thực trạng

Trong chương trình toán THPT các bài toán về cực trị, đặc biệt là các bài toán về cực trị trong hình học luôn là các bài toán khiến học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng

túng Các bài toán trong chương trình SGK lớp 12 hiện hành viết còn rất sơ sài và chủ yếu dừng lại ở mức độ thông hiểu Các dạng bài tập trong sách được viết theo dạng tự luận, được bố trí rời rạc và đan xen toàn bộ nội dung của chương trình Hình học giải tích trong không gian Trong khi đó ở kỳ thi THPT Quốc gia và trong các đề thi minh họa của Bộ giáo dục và Đào tạo trong ba năm vừa qua, nội dung này được đánh giá ở mức độ vận dụng, vận dụng cao

Với các bài toán về cực trị trong hình không gian, hệ thống các câu hỏi được khai thác một cách khéo léo và vận dụng nhiều kiến thức Để giải quyết được bài toán này học sinh không những phải nắm được các kiến thức cơ bản về hình giải tích mà còn phải biết kết hợp khéo léo với các tính chất hình học, các tính chất về véc tơ trong không gian để xử lý

Theo thống kê thì 80% học sinh của trường THPT Nho Quan B khi tham gia thi đại học không giải quyết được các bài toán thuộc mức độ vận dụng và vận dụng cao của dạng toán này Bên cạnh đó với những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải tư duy, phân tích, nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, biết vận dụng nhiều kiến thức liên quan Do đó khi giảng dạy các phần kiến thức thuộc nội dung này hầu như giáo viên gặp phải rất nhiều khó khăn trong việc định hướng cũng như hướng dẫn học sinh tiếp cận lời giải cho bài toán.

là có thể giải quyết được Với các câu hỏi về cực trị trong Sách giáo khoa và sách bài tập chỉ đưa ra lời giải theo một hướng cố định và không có sự phân tích cơ sở để hướng đến lời giải đó.

Hệ thống sách trắc nghiệm trên thị trường tràn lan, viết chủ yếu với hình thức phân dạng và đưa vào nhiều câu hỏi chủ yếu giúp các em luyện tập củng cố các dạng toán đã nêu, chưa thực sự mở cho học sinh các hướng phát triển thông qua một dạng toán cụ thể Do đó ngoài việc phải nhớ nhiều dạng toán các em còn phải nhớ cách làm chi tiết cho từng dạng Điều đó khiến các em cảm thấy rất khó khăn trong quá trình ghi nhớ và vận dụng Hơn nữa với các bài toán đòi hỏi có sự suy luận và liên kết giữa các kiến thức thì hầu như các em không xử lý được.

Do vậy vấn đề đặt ra là khi học sinh làm các bài tập này thường có lời giải theo các dạng toán cố định Với các bài toán về cực trị hầu như trong khuôn khổ sách giáo khoa không đề cập đến vì để xử lý các dạng toán này học sinh cần phải linh hoạt kết hợp các kiến thức đã học ở các bài trước, chương trước hoặc thậm chí là các kiến thức

ở lớp dưới Do đó khi đối diện với các bài toán này trong các đề thi hầu hết các em không đủ khả năng để giải quyết do đó dẫn tới tình trạng học sinh chán nản, không hứng thú vào việc nghiên cứu và giải quyết các dạng bài tập này Điều đó được minh chứng trong các kỳ thì hầu hết các em bỏ các câu hỏi có liên quan đến nội dung này

4 1 3 Hạn chế của giải pháp cũ

- Với việc đưa ra hệ thống các dạng bài toán cố định và mặc định sẵn các phương pháp giải tương ứng khiến học sinh rất vất vả trong việc nhớ các dạng toán và phương pháp tương ứng cho từng dạng.

- Trong các bài tập khác khi đề bài cho không ở dạng chuẩn học sinh không biết cách định hướng và tìm lời giải

- Khi thực hiện theo giải pháp cũ hầu hết học sinh không làm được các bài toán

mà yếu tố đề bài cho ở dạng suy luận

- Hệ thống bài tập chưa thực sự phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay Bài tập còn nặng về các yếu tố ghi nhớ và tính toán theo công thức không phát huy được năng lực sáng tạo của người học Việc khắc sâu đặc điểm và tính chất cũng như phát triển các kiến thức đã được học cùng việc sử lí các tình huống trong các bài toán cụ thể gặp nhiều hạn chế

- Với xu thế dạy học mới, giải pháp cũ bộc lộ nhược điểm rõ rệt, không phát huy được tính chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình giải toán Bên cạnh đó với việc cung cấp quá nhiều dạng toán và phương pháp như các tài liệu hiện nay khiến học

sinh phải chịu áp lực rất lớn trong quá trình học tập, phải ghi nhớ một lượng kiến thức quá lớn Điều này khiến các em mất đi sự sáng tạo và hứng thú trong học tập Đặc biệt

để làm các bài tập theo các dạng này học sinh phải nhớ quá nhiều các công thức các đại lượng liên hệ một cách máy móc.

Với các cách tiếp cận bài toán như giải pháp cũ học sinh rất thụ động Trong quá trình làm bài tập học sinh không tìm đượchứng thú và tự giác Học sinh không nghĩ suy độc lập mất đi sự sáng tạo.

4 2 Giải pháp mới:

Sáng kiến được hình thành theo dạng một chủ đề dạy học Hệ thống lý thuyết được trình bày một cách cô đọng và ngắn gọn nhất Các dạng bài tập được xây dựng một cách hệ thống, có phân chia các mức độ Bài tập được thiết kế theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho học sinh có khả năng phát huy hết năng lực của bản thân

Với bố cục của sáng kiến được chia thành các phẩn rõ ràng Thứ nhất đó là việc trình bài lại hệ thống các kiến thức cơ bản trong chương trình sách giáo khoa mà tối thiểu học sinh cần nắm được Mỗi phần kiến thức học sinh được tiếp nhận đều có các dạng bài tập vận dụng với các mức độ và yêu cầu khác nhau để học sinh luyện tập.

Nêu và định hướng một số phương pháp mới để giải các bài tập trong các đề thi đại học với kiến thức cơ bản nhất Giúp học sinh vận dụng được trực tiếp kiến thức đang học vào sử lý các bài toán liên quan, hình thành con đường tư duy liên tục và các

kỹ năng vận dụng kiến thức vào các tình huống cụ thể.

Trong quá trình hình thành lời giải có sự phân tích về cách tư duy và con đường tìm lời giải trên cơ sở giả thiết từ đó giúp học sinh tạo được thói quen tư duy liên kết khi gặp các bài toán lạ.

4.3 Tính mới, tính sáng tạo:

- Sáng kiến phân tích lời giải và tư duy để hình thành con đường đi đến lời giải một cách tự nhiên nhất Liên kết giữa các dạng toán giúp học sinh hình thành những suy luận hợp lý, tổng quát được bài toán theo nhiều hướng khác nhau

- Các bài toán được nhóm tác giả chia theo trình tự của nội dung các kiến thức được trình bày trong sách giáo khoa để đảm bảo cho học sinh có thể dễ dàng tiếp cận

ngay từ khi được cung cấp kiến thức về lý thuyết Bài tập và ví dụ minh họa được sắp xếp theo hệ thống kiến thức phân dạng mức độ từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao

- Giải pháp mới nhằm giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trong quá trình học tập: Kiến thức cần thiết chỉ nằm trong khuôn khổ của sách giáo khoa hiện hành, không phải nhớ quá nhiều dạng bài tập một cách máy móc, không phải tốn kém trong quá trình mua tài liệu tham khảo

- Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh có thể tự chủ động tìm lời giải độc lập cho một bài toán dựa trên lượng kiến thức đã có sẵn Do đó học sinh có thể chủ động và linh hoạt trước một bài toán không phải áp đặt theo một khuôn mẫu định sẵn.

- Giáo viên có thể dựa vào các kết quả quen thuộc trong sách giáo khoa ra đề bài cho học sinh một cách chủ động không trùng lặp.

- Các giải pháp mới nêu ra đều sử dụng phần lớn những kiến thức mà học sinh được học ngay trên lớp Sự liên kết giữa các phần kiến thức cùng với những định hướng ban đầu khiến cho bài toán trở nên quen thuộc và dễ tiếp cận Việc vận dụng một cách phù hợp vào từng bài toán cụ thể luôn tạo ra sự mới mẻ nhưng cũng rất quen thuộc với học sinh Các bài tập vận dụng giải pháp mới hầu như là những bài toán đã xuất hiện trong các tài liệu tham khảo cũng như trong các Đề thi đại học trong những năm gần đây nhưng được tiếp cận một cách hoàn toàn mới mẻ nhưng đồng thời rất gần gũi với mức độ suy luận của các em học sinh.

5 Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được

5 1 Hiệu quả về kinh tế:

- Học sinh không phải sử dụng quá nhiều tài liệu như việc sử dụng các phương pháp khác Có thể tự sáng tạo hoặc giải các bài toán khác theo phương pháp này Thời gian nghiên cứu và học tập tương đối phù hợp Các em học sinh có thể dựa vào những phân tích về các bài toán trong sáng kiến để đi tìm lời giải cho một bài toán khác, có thể tránh được tình trạng học thêm tràn lan vừa tốn kém vừa không mang lại hiệu quả cao

5 2 Hiệu quả xã hội

+ Chưa mang tính thực tiễn cao: Kiến

thức trình bày còn nặng, thiên về việc

giải bài tập Hệ thống bài tập chưa phù

hợp với phương châm đổi mới giáo

dục hiện nay Các bài tập về cực trị

trong không gian còn sơ sài và nặng về

hình thức tự luận.

+ Có tính thực tiễn cao: Kiến thức chỉ nằm trong SGK hiện hành Sáng kiến tập trung vào việc phân tích tư duy giúp học sinh tìm lời giải Hệ thống ví

dụ và bài tập mang tính sáng tạo, đáp ứng được yêu cầu về đổi mới Bài tập được xây dựng kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm.

+ Học sinh bị động trong tiếp cận bài

toán Phải đọc và học quá nhiều dẫn

đến áp lực trong học tập Phải ghi nhớ

quá nhiều nội dung kiến thức.

+ Học sinh chủ động, sáng tạo trong học tập Phát huy được sự hứng thú và niềm đam mê trong học tập.

+ Việc trình bày các nội dung trong

sách tham khảo còn quá nặng về kiến

thức khiến học sinh khó hiểu dẫn đến

tình trạng học sinh học thêm tràn lan

gây bức xúc cho gia đình và xã hội.

+ Kiến thức đơn giản, không cần học thêm Học sinh có thể tự học theo phương pháp nghiên cứu mà sáng kiến hướng dẫn.

+ Các bài toán trong các kỳ thi Đại học

và Cao đẳng trong 4 năm gần đây

không nằm trong các dạng toán được

trình bày trong sách tham khảo.

+ Các bài toán trong đề thi Đại học và Cao đẳng trong những năm gần đây khi áp dụng sáng kiến là tương đối đơn giản, có thể giải quyết một cách khá dễ dàng.

+ Giáo viên lúng túng trong việc lựa

chọn bài tập, chọn dạng toán vừa đảm

bảo tính hệ thống của chương trình vừa

đảm bảo đáp ứng được sự đổi mới về

kiểm tra đánh giá.

- Giúp giáo viên trong việc dạy học theo phương pháp mới, xác định được các nội dung trọng tâm của bài, giáo viên sử dụng như tài liệu tham khảo,

nó giúp cho giáo viên giảm bớt được nhiều công sức trong việc soạn bài, chuẩn bị bài lên lớp.

+ Chưa đáp ứng được yêu cầu đổi mới

giáo dục Học sinh phụ thuộc vào giáo

viên và các phương pháp, phải ghi nhớ

và tái hiện nội dung của các phương

pháp Khả năng vận dụng thực tiễn

thấp.

+ Chú trọng vào việc phát triển năng lực, phương pháp tiếp cận đa dạng, khả năng vận dụng thực tiễn cao.

6 Điều kiện và khả năng áp dụng:

hữu ích với học sinh ôn thi đại học mà còn hiệu quả với học sinh đại trà khác, giúp các

em nâng cao khả năng tư duy giải quyết các vấn đề liên quan.

6.2 Khả năng áp dụng:

Sáng kiến đã được nhóm tác giả sử dụng trong quá trình giảng dạy, là tài liệu tham khảo cho các em học sinh, các thầy cô trong quá trình ôn thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia tại trường THPT Nho Quan B và có thể áp dụng cho các trường THPT trong tỉnh

Qua sáng kiến cho thấy rằng các bài toán về cực trị Hình giải tích trong không gian có thể tiếp cận được với nhiều đối tượng học sinh, với nền tảng kiến thức chính chỉ giới hạn trong nội dung chương trình sách giáo khoa hiện hành Do đó khả năng áp dụng sáng kiến này vào thực tế là khả quan và dễ thực hiện.

em học sinh Các em học sinh chủ động sáng tạo trong việc phân tích bài toán, dự đoán tính chất và định hướng lời giải cho bài toán.

Trong quá trình giảng dạy tôi đã hướng dẫn cho học sinh nắm được các ý tưởng

cơ bản, các thuật toán thường dùng trong việc giải quyết các bài toán liên quan về các công thức và các dạng bài toán mà hình thức có thể cho ta nghĩ đến hướng giải quyết bằng các con đường khác nhau Thông qua việc phân tích hướng tìm tòi suy nghĩ khác nhau cho cùng một đề toán nhằm rèn luyện cho các em học sinh khả năng tư duy thông qua cách tiếp cận và phát hiện mối liên hệ giữa các đại lượng, phát hiện ra các tính chất

và các hướng giải quyết đặc trưng cho một loạt các bài tập cùng dạng Mấu chốt quan trọng của các bài theo xu thế hiện nay là biết khai thác triệt để giả thiết, vận dụng những yếu tố có mặt trong giả thiết và các tính chất cơ bản đã cho trong giả thiết xây dựng nên mối quan hệ giữa các đại lượng liên quan Từ đó tìm ra con đường giải quyết bài toán.

Khi tiếp cận với phương pháp này một số em học sinh khá giỏi cảm thấy rất thích thú, ham mê tìm tòi phát hiện và đôi khi đưa đến những cách giải sáng tạo và linh hoạt hơn nhiều Các em không phải bó buộc suy nghĩ, phải cố gắng để nhớ nhiều các dạng toán, các phương pháp cụ thể mà chỉ cần nắm vững và kết hợp tốt các bài toán cơ bản trong SGK.

Thông qua các tiết dạy trên lớp, các tiết ôn tập khi triển khai nội dung của sáng kiến hầu hết các học sinh đều nhiệt tình tham gia Đặc biệt là quá trình xây dựng và hình thành nên lời giải của bài toán, các em đều rất chủ động và sáng tạo Điều này cho thấy việc áp dụng sáng kiến trong quá trình giảng dạy đã góp một phần vào việc đổi mới phương pháp giảng dạy hiện nay.

Sáng kiến của tôi đã được áp dụng trong các năm học giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được một số kết quả, đặc biệt là các bài toán có vận dụng các tính chất liên quan được khai thác trực tiếp từ giả thiết Các em hứng thú học tập hơn,

ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã

có kỹ năng giải các bài tập thuộc dạng này Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt

` Việc áp dụng những cải tiến mới đã giúp học sinh giảm được áp lực học tập, giáo viên thoát khỏi cách trình bày hàn lâm về lí thuyết, chất lượng học tập của học sinh tăng, góp phần đẩy mạnh nâng cao chất lượng giáo dục

Xin chân thành cám ơn!

Ninh Bình, ngày 02 tháng 05 năm 2020

ĐẠI DIỆN NHÓM TÁC GIẢ

Phạm Thành Trung

PHỤ LỤC SÁNG KIẾN Phần 1 MÔ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN:

Sáng kiến được thiết kế theo dạng chủ đề dạy học đã được nhóm tác giả áp dụng trong quá trình giảng dạy ôn tập tại nhà trường Tùy theo mức độ của học sinh từng lớp

mà các tác giả đã đưa vào các phần nội dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn.

Nội dung sáng kiến được chia thành các chủ đề dạy học trên cơ sở các mảng kiến thức có liên quan đến nhau Mỗi mảng kiến thức liên quan đều được trình bày khoa học với hệ thống ví dụ được phân thành các mức độ từ vận dụng và vận dụng cao

để thích hợp cho các đối tượng học sinh khác nhau ở trường THPT Nho Quan B.

Với mỗi chủ đề dạy học đều được thiết kế theo cấu trúc: Tóm tắt lại các kiến thức cơ sở, các công thức thường sử dụng và có các ví dụ minh họa cho từng dạng cụ thể Trong mỗi ví dụ ngoài lời giải các tác giả còn đưa thêm các hướng suy luận và mô

tả con đường để dẫn đến lời giải một cách tự nhiên nhất

Sáng kiến ngoài là nguồn tài liệu cho các thầy cô trong quá trình giảng dạy còn

là tư liệu để các em học sinh tự học một cách tốt nhất Các em học sinh có thể đọc lời giải và các hướng dẫn suy luận trong các ví dụ từ đó vận dụng vào làm các bài tập trong hệ thống bài tập được trình bày trong sáng kiến.

Phần 2 XÂY DỰNG VÀ PHÁT TRIỂN HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Trong phần này nhóm tác giả nêu ra một số dạng toán quen thuộc đồng thời phân tích các đặc điểm của dạng toán và các bài toán phát triển có liên quan Trình tự mỗi phần được thiết kế theo sơ đồ: Dạng toán – Phương pháp – Ví dụ ( Có lời giải, phân tích và bình luận) – Bài tập áp dụng.

2.1 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ XÂY DỰNG DỰA TRÊN KIẾN THỨC VỀ TÂM TỶ

CỰ CỦA HỆ ĐIỂM CHO TRƯỚC.

2.1.1 Các kiến thức về tâm tỷ cự của hệ điểm:

2.1.1.1 Khái niệm về tâm tỷ cự:

Cho hệ n điểm và n số thực thoả mãn Khiđó:

* Tồn tại duy nhất điểm sao cho:

1, , ,2 n

A A A k k1, , ,2 k n k k1    2 k n k 0

I k IA k IA1. 1 2 2   k IA n. n 0

* Với mọi điểm luôn có : .

2.1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt của tâm tỷ cự:

a Tâm tỷ cự với hệ hai điểm:

* Khái niệm: Cho hai điểm và hai số thực thoả mãn

+ Tồn tại duy nhất điểm sao cho: + Với mọi điểm ta luôn có :

* Đặc biệt:

+ Khi là trung điểm ta có + Khi là chân đường phân giác trong kẻ từ xuống của tam giác với

b Tâm tỷ cự với hệ ba điểm:

* Khái niệm: Cho ba điểm và ba số thực thoả mãn

+ Tồn tại duy nhất điểm sao cho:

+ Với mọi điểm ta luôn có:

* Đặc biệt:

+ Khi là trọng tâm tam giác ta có + Khi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ta có

2.1.2 Một số bài toán xây dựng dựa trên tính chất tâm tỷ cự:

Chú ý: Trong hình học vị trí của điểm có thể thuộc một số quỹ tích nào đó Do vậy ta có thể xây dựng các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất dưới một số dạng sau:

+ Nếu tùy ý thì khi

+ Nếu thuộc đường thẳng thì khi là hình chiếu của lên

+ Nếu thuộc mặt phẳng thì khi là hình chiếu của lên

+ Nếu thuộc mặt cầu thì khi là giao điểm của và ở vị trí bên trong so với

Từ những nhận xét trên ta có thể đi xây dựng một số bài toán có liên quan đến tâm tỷ cự và các ước lượng hình học cơ bản cụ thể thông qua một số dạng toán điển hình sau đây:

2.1.2.1 Bài toán về giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng:

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , ,

Tìm điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất?

+ Đây là một bài toán khá đơn giản Điểm không bị ràng buộc bởi các yếu tố khác do đó

ta có thể đánh giá trực tiếp qua ước lượng về giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , ,

và mặt phẳng Tìm điểm thuộc mặt phẳng sao cho

M 

M Oxyz A3;  0; 0 B0; 6; 0  C0; 0; 6

 P x y z:   – 4 0 M  P

F MA MB MC   

(1; 2; 2) 2; 1; 3  2; 1; 3 0; 3; 1 

Hướng dẫn: Bài toán có sự xuất hiện của đại lương do đó ta có thể nghĩ đến hướng dùng tâm tỷ cự của hàm số Mặt khác điểm di chuyển tùy ý trên là một điều kiện để ta có thể đánh giá biểu thức

Lời giải

Đáp án B

Gọi là trọng tâm tam giác 

Do đó nhỏ nhất  nhỏ nhất  là hình chiếu của lên

Gọi là đường thẳng qua và vuông góc 

+ Với bài toán này ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp đại số hóa để đánh giá thông qua các ước lượng đại số như sau :

Hướng 2: Sử dụng đánh giá hàm số ( Dùng tính chất hàm bậc hai hoặc đạo hàm)

Ta biến đổi

Đặt là hàm số bậc hai theo biến do đó đạt giá trị nhỏ

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A 1;1;1 , B2;1; 1 ,  C0;4;6 Điểm M

di chuyển trên trục Ox Tìm tọa độ M để P MA MB MC  

Phân tích: Với bài toán này cách tiếp cận hoàn toàn tương tự với hai ví dụ trên Đặc điểm

của bài toán này là sự ràng buộc về vị trí của trên trục

Lời giải

Chọn D

Gọi là trọng tâm tam giác khi đó

Ta có do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi nhỏ nhất hay

là hình chiếu vuông góc của lên nên

là 72 , đạt được khi và chỉ khi x  1

Do đó M1;0;0 là điểm thoả mãn đề bài.

Bài tập tương tự:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ cho , Điểm thay

đổi thuộc mặt phẳng Tìm giá trị của biểu thức khi

1 33

Xét do đó tọa độ điểm cần tìm là:

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác với , ,

Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho nhỏ nhất

Do thuộc mặt phẳng nên để nhỏ nhất hay nhỏ nhất thì

là hình chiếu của trên

Câu 3: Trong không gian , cho mặt phẳng và ba điểm

Điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất Khẳng định nào sau đây đúng?

Do đó đạt giá trị nhỏ nhất thì là hình chiếu của trên

Gọi qua và vuông góc với Khi đó:

Câu 4: Trong hệ tọa độ , cho bốn điểm , , , Tìm tọa độ

điểm trên mặt phẳng sao cho nhỏ nhất

Lời giải

Chọn B

Dễ thấy bốn điểm không đồng phẳng

Gọi là trọng tâm của tứ diện nên và

Phân tích: Trong bài toán có dấu hiệu của tâm tỷ cự do đó ta có thể dùng tính chất của

bài toán tâm tỷ cự để đưa bài toán về việc ước lượng độ dài

121

9154

I IA2 IB 3IC 0

Tọa độ thỏa mãn hệ

Ta có

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng

Vậy tọa độ điểm suy ra

Nhận xét: Với bài toán này ta cũng có thể dùng các ước lượng đại số để đánh giá giá trị

nhỏ nhất hoặc lớn nhất của biểu thức thông qua việc gọi tọa độ kết hợp với các đánh giá về bất đẳng thức đại số hoặc sử dụng tính chất của hàm số.

Ví dụ 2: Trong không gian , cho ba điểm , , và mặt phẳng

Gọi là điểm thuộc thỏa mãn nhỏ nhất Tính tổng

Vì không đổi nên nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất

là hình chiếu vuông góc của lên

Phương trình đường thẳng

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình:

, ,

x y z t

Ví dụ 3: Trong không gian cho , , và mặt phẳng

là điểm thuộc mặt phẳng sao cho biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất khi là hình chiếu vuông góc của

trên mặt phẳng Khi đó tọa độ của thỏa mãn hệ

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm , Tìm toạ độ

điểm trên trục so cho đạt giá trị nhỏ nhất

không đổi nên đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất

là hình chiếu của trên trục

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho 3 điểm , , và

a b c

Chọn D

Với mọi điểm ta có

Chọn điểm sao cho

Suy ra tọa độ điểm là: Khi đó , do đó nhỏ nhất khi là hình chiếu của lên mặtphẳng

Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng là:

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm , , và

mặt cầu Gọi điểm là điểm thuộc mặt cầu sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng

Do đó khi và chỉ khi Suy ra và đồng thời nằm giữa và

Ta có Suy ra toạ độ điểm thoả mãn:

Vì nằm giữa và nên và

c Bài tập:

Câu 1: Trong không gian , cho điểm , và đường thẳng

Tìm tọa độ điểm trên đường thẳng để đạt giá trịnhỏ nhất

Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi có độ dài ngắn nhất, điều này xảy

ra khi và chỉ khi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng

Phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng là

Phương trình tham số của đường thẳng là:

Tọa độ điểm cần tìm là nghiệm của hệ phương trình:

t  M 1; ;8 15 5

8 1 141

x y z t

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và ba điểm

, , Điểm thuộc sao cho

Lúc đó, đường thẳng có phương trình suy ra

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác với , ,

Điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trịnhỏ nhất Tính giá trị của biểu thức

Câu 4: Trong không gian cho ba điểm , , Điểm thuộc mặt phẳng

sao cho đạt giá trị nhỏ nhất là

Lấy là trọng tâm của tam giác

+ Loại C vì không thuộc

+ Lần lượt thay , , vào biểu thức thì

cho giá trị lớn nhất nên ta chọn

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , , và mặt

phẳng có phương trình Gọi là điểm thuộc mặt phẳng sao cho

giá trị biểu thức nhỏ nhất Tính khoảng cách từ đến mặt

33

Gọi là điểm thỏa

.Khi đó

Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất khi và chỉ khi là hình chiếu của lên Suy ra nằm trên đường thẳng qua vuông góc , phương trình

.Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

Khoảng cách từ đến mặt phẳng

Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho , ,

Tìm điểm sao cho đạt giá trịnhỏ nhất

2 2

I  

3 50; ;

Phương trình đường thẳng

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ:

Câu 8: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho 3 điểm , , Điểm

sao cho giá trị của biểu thức nhỏ nhất.Khi đó, điểm cách một khoảng bằng

Vậy khoảng cách

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm và mặt

phẳng Tìm trên điểm sao cho đạt giá trị nhỏnhất Khi đó điểm có tọa độ:

454

44

35

44

2 53

10154

.Gọi là trọng tâm của tam giác , ta có , ta có.

Từ hệ thức ta suy ra :

đạt GTNN đạt GTNN  là hình chiếu vuông góc của trên

Câu 10: Trong không gian tọa độ , cho hai điểm , và mặt phẳng có

phương trình: Gọi là điểm nằm trên sao cho là nhỏnhất Khi đó, tung độ của điểm là:

B

M

Gọi là hình chiếu của lên và là điểm đối xứng của qua

Ta có: Phương trình đường thẳng qua và vuông góc là:

nên thay từ vào ta được

Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm , và mặt

phẳng Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho

đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải Chọn D

I A

Phương trình tham số

Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , và

điểm thuộc mặt cầu Khi biểu thức đạtgiá trị nhỏ nhất thì độ đài đoạn bằng

Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , ,

mặt cầu sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng

a b c  

0

a b c  

125

a b c  12

2.1.2.3 Bài toán về giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng:

với nằm cùng phía với

Ví dụ 1: Trong không gian , cho bốn điểm và

Gọi là mặt phẳng đi qua và tổng khoảng cách từ đến lớnnhất, đồng thời ba điểm nằm về cùng phía so với Trong các điểm sau, điểm nàothuộc mặt phẳng

5 5

2 91; ;

5 5

M M

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , và

đường thẳng Gọi là mặt phẳng chứa sao cho , , ở cùng phía đối với mặt phẳng Gọi , , lần lượt là khoảng cách từ , , đến Tìm giá trị lớn nhất của

Ví dụ 3: Trong không gian cho bốn điểm và Gọi

là đường thẳng đi qua và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm đến làlớn nhất, hỏi đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

Lời giải

Chọn B

Dễ thấy Gọi lần lượt là hình chiếu của trên

Do là đường thẳng đi qua nên

Vậy để khoảng cách từ các điểm đến là lớn nhất thì là đường thẳng đi qua

và vuông góc với Vậy phương trình đường thẳng là Kiểm tra

ta thấy điểm

2.2 CÁC BÀI TOÁN XÂY DỰNG DỰA TRÊN CÁC ƯỚC LƯỢNG VỀ TỔNG ĐỘ DÀI CÁC ĐOẠN THẲNG.

2.2.1 Bài toán 1: Trong không gian cho hai điểm , mặt phẳng Tìm tọa độ điểm thuộc

mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất:

Phương pháp:

* Xét vị trí ương đối của hai điểm so với

* Xảy ra hai khả năng:

+ Nếu nằm về hai phía so với thì do đó đạt

+ Nếu nằm về một phía so với thì :

- Tìm điểm đối xứng với qua

- Viết phương trình đường thẳng Gọi

5 31; ;

2 2

M  

7 53; ;

M - - M(5;7;3 ) M(3;4;3 ) (7;13;5 )

- Với mọi điểm thuộc ta có

Đặc biệt: Bài toán trên còn có thể phát biểu dưới dạng tương tự như sau:

Trong không gian cho hai điểm , mặt phẳng Tìm tọa độ điểm thuộc mặtphẳng sao cho chu vi tam giác nhỏ nhất

Khi đó ta có lời giải hoàn toàn tương tự như sau:

* Xét vị trí tương đối của hai điểm so với

+ Nếu nằm về hai phía so với thì không tồn tại điểm

+ Nếu nằm về một phía so với thì :

- Tìm điểm đối xứng với qua

- Viết phương trình đường thẳng .Gọi

- Với mọi điểm thuộc ta có

- Chu vi tam giác là

- Chu vi tam giác nhỏ nhất bằng khi

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và mặt phẳng

Tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho nhỏ nhấtlà:

Ví dụ 2: Trong không gian cho hai điểm , mặt phẳng

Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho chu vi tam giác nhỏ nhất

x y z t

Lời giải

Ta có suy ra nằm về một phía so với

Gọi là đường thẳng qua vuông góc với Đường thẳng có phương trình :

Gọi đối xứng với qua , khi đó

Ta có , phương trình đường thẳng :

Với mọi điểm thuộc ta có

Chu vi tam giác là

Chu vi tam giác nhỏ nhất bằng khi

Ví dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , ,

Gọi là điểm thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng và đạtgiá trị nhỏ nhất Tính giá trị của

x y z t

+ Viết phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với

+ Khi đó nhỏ nhất khi là giao điểm của với đường thẳng + Xác định giao điểm của và và kết luận là điểm cần tìm

Trường hợp 2: Đường thẳng không vuông góc với đường thẳng

Ta làm như sau

+ Tham số hoá điểm theo phương trình đường thẳng đã cho Tính độ dài

theo một tham số

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức và kết luận

Chú ý: Từ bài toán gốc ta có thể đi giải bài toán tương tự

Trong không gian cho hai điểm và đường thẳng Tìm tọa độ điểm thuộc saocho chu vi tam giác nhỏ nhất

Lời giải bài toán hoàn toàn có thể đưa về lời giải cho bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ cho các điểm , và đường thẳng

Gọi sao cho chu vi tam giác đạt giá trị nhỏ nhất.Tính tổng ?

Ví dụ 2: Trong không gian , cho đường thẳng và hai điểm ,

Biết điểm thuộc sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất là Khi đó, bằng bao nhiêu?

A B C D.

Lời giải Chọn C

Phương trình đường thẳng là:

Xét vị trí tương đối của và ta thấy cắt tại điểm

; nên nằm giữa và Dấu bằng xảy ra khi trùng Vậy

Bài tập áp dụng:

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và điểm

, Điểm thuộc sao cho nhỏ nhất Giá trịcủa bằng

Với mỗi điểm tùy ý, đặt Gọi sao cho đạt giátrị nhỏ nhất Lúc đó, tổng bằng

94

A B C D

Lời giải

Chọn C

Mà nên , , , đồng phẳng và tạo thành tứ giác có hai

đường chéo và cắt nhau tại điểm

Câu 3. Trong không gian , cho ba điểm , , Gọi là

điểm thỏa mãn và đạt giá trị nhỏ nhất Tính

Lời giải

Chọn D

Gọi là trung điểm của , suy ra ;

Phương trình mặt phẳng trung trực của :

Vì nên , nằm về một phía so với , suy ra , nằm về hai phía so với

nhỏ nhất bằng khi

Phương trình đường thẳng : , do đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt cầu

và điểm Một đường thẳng thay đổi qua và cắt tại hai điểm Tìmgiá trị lớn nhất của tổng

1

BC y t z

t x y z

Mặt cầu có tâm , bán kính

Vì nên nằm ngoài đường tròn,

Gọi là góc tạo bởi và Áp dụng định lí Côsin cho tam giác và ta có

Lấy trừ cho vế theo vế ta được

Do đó lớn nhất bằng khi

Câu 5. Trong không gian , cho hình hộp biết , ,

, , điểm thuộc cạnh Giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảngcách là

D' A'(3;0;-1)

C' B'

Phương trình đường thẳng đi qua và nhận làm véc tơ chỉ

phương là

Ta có

,

.Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách là

và đường thẳng Gọi là hai điểmtùy ý thuộc , và thuộc đường thẳng Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức

22

11

A'

B A

K

J I

2.3.1 Một số bài toán liên quan:

Bài toán 1 Cho điểm và đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng chứa

Ví dụ 1: Trong không gian cho điểm và đường thẳng

.Viết phương trình mặt phẳng chứa sao cho lớn nhất

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên và là hình chiếu vuông góc của trên

Theo tính chất đoạn vuông góc và đoạn xiên thì nên lớn nhất khi Vậy mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng vuông góc với tại

Ví dụ 2: Trong không gian cho điểm và đường thẳng

.Viết phương trình mặt phẳng chứa sao cho nhỏ nhất

Khoảng cách nhỏ nhất khi đó A thuộc mặt phẳng tức là ta lập mặt phảng chứ điểm và đường thẳng

Vậy mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng vuông góc với tại