ON THI HINH HOC VAO CAP 3 CO LOI GIAINH20122013

a). A là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác BDE; c). Các đường thẳng CD; EF; AB đồng quy.. Gọi J là giao điểm của DM và AB. Chứng minh IB.IC=IA. Kẻ dây CD song song với AB. Chứng minh [r]

TUYỂN TẬP BÀI TẬP HÌNH HỌC - ÔN TUYỂN SINH VÀO 10

NĂM HỌC 2012 - 2013

Bài 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc

nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N Chứng minh rằng

3)

2

4

AB

AC BD 

4) OC // BM 5) AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD 6) MN  AB

6) CM : MN  AB

- c/m : AC // BD

=>

AN AC CM

ND BD MD => MN // AC (đl đảo đl Talet)

Mà : AC AB

Suy ra đpcm

Hướng dẫn : 1) Chứng minh : AC + BD = CD

- c/m CA = CM và DB = DM 2) c/m :

- OC là phân giác AOM ;OD là phân giác BOM

- AOM MOB 1800

3)

- c/m :

2 2

4

AB

AC BD CM MD OM  

4)

- c/m :

2

AOCABM  AM

5) CM : AB là tiếp tuyến của đ.tròn đường kính CD Gọi I là trung điểm của CD, mà OCD vuông tại O

=> I là tâm của đường tròn đường kính CD ngoại tiếp OCD

- c/m : OI là đường trung bình của hình thang ABDC => OI 

AB tại điểm O  I

, suy ra đpcm

Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn (O) đường kinh BH cắt AB tại D, vẽ

đường tròn (O’) đường kính CH cắt AC tại E Chứng minh rằng :

1) AD.AB = AE.AC

2) DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)

3) Tứ giác BDEC nội tiếp được

4) So sánh diện tích tứ giác DEO’O và diện tích tam giác ABC

1) Áp dụng hệ thức lượng c/m :

- AD.AB = AE.AC (= AH 2 ) 2)

- c/m : ADHE là HCN

=>DOI=HOI(c.c.c);EO’I = HO’I (c.c.c) 3)

- c/m : ADE ECB (BAH)

4)

'

DEO O

ABC

S OD O E DE OO DE

BC AH S

Bài 3 : Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ các tiếp tuyến AM AN đến (O) với M, N là các tiếp

điểm; lấy H thuộc dây MN, đường thẳng vuông góc OH tại H cắt AM tại E và AN tại F

1) Chứng minh : H, O, E, M cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh tam giác OEF cân

3) Hạ OI vuông góc với MN Chứng minh OI.OE = OM.OH

1) Chứng minh : H, O, E, M cùng thuộc một đường tròn (HS

tự chứng minh)

2) Chứng minh tam giác OEF cân.

- c/m : các tứ giác OHEM; OHNF nội tiếp

=> OEH OMH  ; OFH ONH  (1)

- c/m : OMN cân => ONH OMH (2)

- Từ (1) và (2) => đpcm 3).Chứng minh OI.OE = OM.OH

- c/m : IOM đồng dạng HOE

Bài 4 : Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB đến (O) với B, C là các tiếp điểm, từ M là

điểm trên cung nhỏ BC hạ MH, MI, MK lần lượt vuông góc với BC, AB, AC tại H, I, K

1) Chứng minh các tứ giác BHMI, CHMK nội tiếp;

2) Chứng minh MH2 = MK.MI

3) Gọi giao điểm của BM và HI là P; giao điểm của CM và HK là Q CM: tứ giác MPHQ nội tiếp; 4) Chứng minh : PQ // BC

1) Chứng minh các tứ giác BHMI, CHMK nội tiếp;(HS tự chứng minh)

2) Chứng minh MH 2 = MK.MI

- MIH MBH MCK MHK

- IHM IBM BCM HKM

=> IMH HMK => đpcm 3) Chứng minh tứ giác MPHQ nội tiếp;

- PMQ PHM MHQ   1800

=> PMQ PHQ  1800

4) Chứng minh : PQ // BC.

- MPQ MHQ MCK   MBC => đpcm

Bài 5 : Cho (O;R) đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax và trên tiếp tuyến đó lấy một điểm P sao cho AP>R Từ

P kẻ tiếp tuyến với (O) tại M

1) CMR : Tứ giác APMO nội tiếp

2) Chứng minh : BM // OP

3) Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N Chứng minh OBNP là HBH

4) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J Chứng minh ba điểm I; J; K thẳng hàng

1) Tứ giác APMO nội tiếp

HS tự chứng minh 2) Chứng minh : BM // OP.

-

2

MBO POA  AOM

=> đpcm 3) Chứng minh OBNP là HBH

- c/m : PO // = BN 4) Chứng minh ba điểm I; J; K thẳng hàng.

- c/m : JOP JPO (POA )=>JPO cân tại J

=> JK OP (1)

- c/m : I là trực tâm của JPO => JI OP (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Bài 6:Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn ( O; R ), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC ( C, B ) là hai tiếp

điểm) và các tuyến ADE đến ( O ) Gọi H là trung điểm của DE

1/ Chứng minh năm điểm A, B, H, O,C cùng thuộc đường tròn;

2/ Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC;

3/ DE cắt BC tại I Chứng minh AB2 = AI AH;

4/ Cho AB = R 3 ; OH = 2

R

Tính IH theo R

a)

- c/m : OHA  900

Khi đó : OHA OBA OCA   900

=> A;B;H;O;C thuộc đường tròn đkính OA b)

- c/m : AB AC  AB AC  AHB AHC

c) Gọi K là giao điểm của OA và BC

- c/m : Tứ giác OKIH nội tiếp

=> AKI AHO g g( )

- c/m : AI.AH = AK.AO = AB 2

d)

- AB R 3;OB R  OA2.R

2

R

AH OA OH

Nên :

5 15

2

AI

AH R

Bài 7: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( O ), M là điểm di động trên cung nhỏ BC Trên đoạn

thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MB

1/ Chứng minh: DMB là tam giác đều;

2/ Chứng minh: MB + MC = MA;

3/ Chứng minh tứ giác ADOB nội tiếp được;

4/ Khi M di động trên cung nhỏ BC thì điểm D di động trên đường cố định nào?

a) CM : Tam giác DMB đều

- c/m : MBD cân có BDM  600

b) CM : MB + MC = MA

- c/m : MBC = DBA (c.g.c)

- c/m : MB + MC = MD + DA c) CM : Tứ giác ADOB nội tiếp

- c/m : ADB AOB 1200 và D;O là 2 đỉnh kề của tứ giác ADOB.

=> A;O;D;B cùng thuộc 1 cung chứa góc 120 0 dựng trên AB=>

Tứ giác ADOB nội tiếp d)

- Ta có : ADB 1200 Mà AB cố định

=> D thuộc cung chứa góc 120 0 dựng trên AB

- Do : M  B D B và M  C DA

Vậy khi M di động thì D di chuyển trên cung AOB chứa góc

120 0 dựng trên dây AB

Bài 8: Cho đường tròn ( O ; R ) và dây BC, sao cho BOC  1200 Tiếp tuyến tại B,C của đường tròn (O) cắt nhau tại A

1/ Chứng minh ABC đều Tính diện tích tam giác ABC theo R;

2/ Trên cung nhỏ BC lấy điểm M Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB, AC lần lượt tại E, F Tính chu vi

AEF

 theo R;

3/ Tính số đo của EOF ;

4/ OE, OF cắt BC lần lượt tại H, K Chứng minh FH OE và ba đường thẳng FH, EK, OM đồng quy

a) CM : ABC đều, tính S ABC ?

- c/m : ABC cân tại A có BAC  600

- Khi đó : AB OB tgAOB R  3

Nên :

.3 sin 60

ABC

S BC AI BC AB IBA

b) Tính EOF  ?

1

60 2

c m EOM BOM MOF MOC

EOF BOM MOC

c) CM : FH OE; FH; EK, OM đồng quy

- HOF HCF 600, nên HOCF nội tiếp

=> HOF HCF 900, nên FH OE

- c/m : BOKE nội tiếp => EK OF

Khi đó : OM; FH; EK là 3 đường cao của OEF

=>OM; FH;EK đồng quy tại trực tâm của OEF

Bài 9: Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính cố định vuông góc AB và CD.

1/ Chứng minh ACBD là hình vuông;

2/ Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ) Trên tia đối của tia EA lấy điểm M sao

cho EM = EB Chứng minh ED là phân giác của góc AEB và ED // MB

3/ Chứng minh CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trên đường tròn mà ta phải xác định tâm

và bán kính theo R

a) CM : ACBD là hình vuông

- c/m : ACBD là HBH (vì OA = OB = OC = OD)

Mà : AB CD tại O

=> đpcm b) CM : ED là p.giác của AEB và ED // MB

- c/m :

AED DEB 450

- c/m : EBM vuông cân tại E

=>

EBM DEB 

, suy ra đpcm c) CM : CE là trung trực BM và M di chuyển trên đường tròn

mà ta phải xác định tâm và bán kính theo R.

- c/m :

   1350

CEM CEB 

=> CEM CEB c g c( )

=> CM = CB , mà EM = EB (cmt),Suy ra đpcm

- c/m : CM = CB = CA

Mà CB và CA cố định

=> M thuộc đường tròn (C; CA)

Bài 10: Cho hai đường tròn (O;R ) và (O/; r ) cắt nhau tại A và B ( với R>r và tâm của đường tròn nầy nằm ngoài đường tròn kia ) Đường thẳng OA cắt (O) tại C và cắt ( O/ ) tại E Đường thẳng AO/ cắt (O/ ) tại F và cắt ( O ) tại D Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác CDEF; ODEO/ nội tiếp được;

b) A là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác BDE;

c) Các đường thẳng CD; EF; AB đồng quy

a) CM : CDEF; ODEO’ nội tiếp

- c/m : CDF CEF  900=> CDEF nội tiếp

- c/m : OO’ // CF =>

EOO EDO ECF

=> ODEO’ nội tiếp b) CM : A là tâm của ngoại tiếp BDE

- c/m : C; B; F thẳng hàng, nên BACD; ABFE là các tứ giác nội tiếp khi đó :

+

EDA EDB ECF

=> DA là phân giác EDB

+

DEA AEB CFD

=> EA là phân giác DEB

=> đpcm c) CM : CD; EF; AB đồng quy Gọi K là giao điểm của CD và EF

- c/m : A là trực tâm của KCF => KA CF

Mà : AB CF

Nên B; A; K thẳng hàng => đpcm

Bài 11: Cho đương tròn ( O; R ) và đường kính AB ; CD vuông góc với nhau Gọi M là một điểm trên cung

nhỏ BC

a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình vuông;

b) AM cắt CD lần lượt ở P và I Gọi J là giao điểm của DM và AB Chứng minh IB.IC=IA IM ;

c) Chứng minh JI là tia phân giác của góc CJM;

d) Tính diện tích tam giác AID theo R

a) CM : ACBD là hình vuông

- c/m : OA OC OB OD AC   ; BDtại O b) CM : IB.IC = IA.IM

- c/m : ACI BMI(g.g) c) CM : JI là phân giác góc CJM

- c/m : IMJ IBJ 450, nên BMIJ nội tiếp

=> IMB IJB  900, suy ra IJ // CD

- Khi đó : MJI JDCJCD IJC

=> JI là phân giác góc CJM d) Tính S AID

2

S S S  AB CD R

Bài 12: Cho đường tròn tâm O, từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn ( O ), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với

đường tròn ( B, C là hai tiếp điểm ) Kẻ dây CD song song với AB Đường thẳng AD cắt đường tròn ( O ) tại E

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp;

b) Chứng tỏ AB2 = AE AD

c) Chứng minh AOC ACB và tam giác BDC cân;

d) CE kéo dài cắt AB ở I Chứng minh IA = IB

a) CM : Tứ giác ABOC nội tiếp (HS tự c/m) b) CM : AB 2 = AE.AD

- c/m : ABE ADB(g.g) c) CM : AOC ACB và BDC cân

- c/m : AOCACB

 1

2BOC



- c/m :

BCD BDC CBA

=> BDC cân

d) CM : IA = IB

- c/m :IB 2 = IE.IC (1)

-

IAE ICA EDC

=> IAE ICA(g.g)

=> IA 2 = IE.IC (2); từ (1) và (2) => đpcm

Bài 13: Cho nửa đường tròn ( O ) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn.

Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C

a) Chứng minh AMNBMC

b) Chứng minh : ANM BMC;

c) DN cắt AM tại E và CN cắt MB tại F Chứng minh rằng EFAx,

d) Chứng tỏ M cũng là trung điểm của DC

a) CM: AMN BMC

- c/m : AMN BMC (cùng phụ với NMB)

b) CM : ANM BMC

- c/m : AM = MB ; MAN MBC ;AMN BMC

c) CM : EF Ax

- c/m : Các tứ giác ADMN; BCMN nội tiếp

=>AMN ADN ; BMC BNC , mà AMN BMC

=> ADN BNC => AND BNC 900

Khi đó : EMF ENF  1800

=> Tứ giác MENF nội tiếp

=> EMN EFN CNB 

=> EF // NB hay EF //AB

Mà AB Ax

=> đpcm d) CM : M là trung điểm DC

- c/m : NDC vuông cân tại N

Bài 14: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt nửa đường

tròn tại C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt tại I

a/ Chứng minh tam giác ABI vuông cân;

b/ Lấy D là một điểm trên cung nhỏ BC, gọi J là giao điểm của AD với Bt CMR : AC.AI = AD AJ; c/ Chứng minh tứ giác JDCI nội tiếp được;

d/ Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn cắt Bt tại K Hạ DH vuông góc với AB Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm của DH

a) CM : ABI vuông cân

- c/m :  vuông ABI có

45 2

IAB COB b) CMR : AC.AI = AD AJ

- c/m :

   450

CDA AIJ 

=> ACD AJI (g.g)

c) CM : JDCI nội tiếp (HS tự cm) d) CM : AK qua trung điểm M của DH

- c/m : KDB cân tại K, nên : KDB KBD

Mà : KDB KDJ 90 ;0 KBD DJB  900

=> KDJ KJD , nên KDJ cân tại K

Khi đó : KJ = KD = KB (1)

- Mặt khác : Do DH // BJ (cùng vuông góc với AB)

=>

DM AM MH

JK AK KB (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Bài 15: Cho đường tròn ( O ) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau Trên OC lấy điểm N; đường

thẳng AN cắt đường tròn ( O ) tại M

a/ Chứng minh tứ giác NMBO nội tiếp được;

b/ CD và đường thẳng MB cắt nhau tại E Chứng minh MC và MD là phân giác góc trong và góc ngoài của góc AMB;

c/ Chứng minh hệ thức AM DN = AC.DM;

d/ Nếu ON = MN Chứng minh MOB là tam giác đều

a) CM : NMBO nội tiếp (HS tự cm) b) CM : MC; MD là phân giác góc trong và góc ngoài AMB

- c/m : BMD DMA AMC CMI    450

c) CM : AM.DN = AC.DM -c/m : ACM DNM (g.g)

d) Nếu ON = MN CMR : MOB là tam giác đều.

- c/m : vuông OBN = vuông MBN (CH-CGV)

=> MB = OB = OM ( = bán kính) Suy ra đpcm

Bài 16:Cho đường tròn ( O ) đường kính AB và d là tiếp tuyến của ( O ) tại C Gọi D; E theo thứ tự là hình

chiếu của A và B lên đường thẳng d

a/ Chứng minh CD = CE; b/ AD + BE = AB

c/ Vẽ đường cao CH của tam giác ABC Chứng minh AH = AD và BH = BE;

d/ Chứng tỏ rằng CH 2 = AD BE;

e/ Chứng minh DH song song với CB

a) Chứng minh CD = CE;

- c/m : AD // OC // BE ( cùng  DE) Nên ABED là hình thang, mà OA = OB

=> CD = CE

(đt qua trung điểm 1 cạnh bên và // với 2 đáy)

b) CM : AD + BE = AB

- c/m : CO là đường trung bình của h.thang ABED

=> AD + BE = 2.OC = AB c) Chứng minh AH = AD và BH = BE;

- c/m :

DCA ACH ABC

=> vuông DAC = vuông HAC (CH-GN) Suy ra : AH = AH

- c/m : tương tự vuông HBC và vuông EBC d) CM : CH 2 = AD BE

- c/m : CH 2 = AH.HB = AD.BE e) CM : DH // CB

- c/m : ADCH nội tiếp

=>

AHD ABC DCA

, mà AHD ABC; đồng vị

Suy ra đpcm

Bài 17: Cho nửa đường tròn ( O ) đường kinh AB Trên nửa đường tròn lấy điểm M, trên AB lấy điểm C sao

cho AC < CB Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn, đường thẳng qua M và vuông góc với MC cắt Ax tại P; đường thẳng qua C và vuông góc CP cắt Py tại Q Gọi D là giao điểm của CP và AM; E là giao điểm của CQ và BM; chứng minh rằng:

a) Tứ giác ACMP nội tiếp được;

b) AB song song với DE;

c) Ba điểm M, P, Q thẳng hàng

a) CM : Tứ giác ACMP nội tiếp (HS tự cm) b) CM : AB // DE

- cm : CEMD nội tiếp

=> MED MCD MAP MBA   

Mà MED MBA ; là 2 góc đồng vị => đpcm

c) CM : M, P, Q thẳng hàng

- c/m : MCQ MDE MAB MBQ  

=> BQMC nội tiếp

=> CMQ BCQ  900

=> MQMC tại M, mà MPMCtại M

=> đpcm

Bài 18 : Cho nửa đường trong ( O ) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn Trên nửa

mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax, tia BM cắt Ax tại I Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H và cắt AM tại K

a) Chứng minh IA2 = IM.IB

b) Chứng minh : tam giác BAF cân;

c) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi;

d) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp

a) CM : IA 2 = IM.IB

- c/m : AIM BIM (g.g) b) Chứng minh : tam giác BAF cân;

- c/m : MBE MAE EAI  EBA

=> BE là phân giác góc ABF

Mà : BEAF

Nên BE là phân giác và cũng là đ/cao của BAF

Suy ra đpcm c) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi

- c/m : Do BAF cân tại B ; BE là p.giác … Nmà H; K BE là trung trực của AF

=> HA = HF ; KA = KF (1)

- AKH có AE là p.giác cũng là đường cao

=> AKH cân tại A , suy ra : AH = AK (2)

Từ (1) và (2) => đpcm d) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp.

- c/m : K là trực tâm của BAF

=> KF  AB , nên KF // AI ( cùng  AB) Suy ra : MFK MIA 

- Khi đó : Để tứ giác AKFI nội tiếp

MFK IAK AIF

AIF IAK 450

   (do IMA AMB 900)

<=> Sd AM  900hay M là điểm chính giữa AB

Baì 19: Cho tam giác ABC có A = 1v và AB > AC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm

A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và nửa đường tròn đường kính HC Hai nửa đường tròn này cắt AB

và AC tại E và F Giao điểm của FH và AH là O Chứng minh:

a) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật;

b) Tứ giác BEFC nội tiếp được

c) FE là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn

a) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật;

- c/m : BEH 90 ;0 HEC900(gnt chắn ½ đ.tròn)

=> EAF AEH AFH 900, suy ra đpcm b) Tứ giác BEFC nội tiếp được

- c/m :

AEF FCB AHF

c) FE là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn Gọi I, Q lần lượt là tâm của hai nửa đường tròn

- c/m : OEI OHI c c c ; OFQOHQ c c c 

=> OEI OHI  90 ;0 OFQ OHQ  900

=> FEEI tại E; EFFQ tại F

Mà : E I F;  Q

Suy ra : EF là tiếp tuyến chung

Bài 20: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) D và E theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung

AB; AC Gọi giao điểm của DE với AB và AC theo thứ tự là H và K

a) Chứng minh tam giác AHK cân;