Bài tập Quan hệ vuông góc. Vectơ trong không gian – Toán 12

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song..[r]

CHỦ ĐỀ 2 QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

thẳng AB, điểm O tùy ý.

chúng cùng song song với một mặt phẳng

trong đó a và b không cùng phương

3 Tích vô hướng của hai vectơ:

Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có:              AB u AC v                            ,               

Khi đó: u v ,  BAC (0 0 BAC  180 ) 0

Cho u v  , 0 Khi đó: u v  u v  .cos , u v 

 Với u  0 hoặc v  0, quy ước: u v   0

 Với u v  , 0, ta có: u v u v  0

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Phân tích vectơ Áp dụng

công thức tính tích vô hướng.

 Áp dụng các phép toán đối với vectơ (phép cộng hai vectơ, phép hiệu hai vectơ, phép nhân một vectơ với một số)

 Áp dụng các tính chất đặc biệt của hai vectơ cùng phương, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác

Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC A B C   , M là trung điểm của BB Đặt CA a                            

AM  a c b

   

C

1 2

Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm

thẳng hàng, đường thẳng song song với mặt phẳng, các tập hợp điểm đồng phẳng

 Ứng dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba vectơ đồng phẳng

Ví dụ : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D

không thẳng hàng Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành

Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì              AB CD              

hoặc              AC BD              

Khi đó

Bài 2 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Vectơ a  0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá

của a song song hoặc trùng với đường thẳng d.

2 Góc giữa hai đường thẳng:

Cho a a// ', b b// ' và a', b' cùng đi qua một điểm Khi đó:

Cho a b// Nếu ac thì b c

Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ có thể cắt

nhau hoặc chéo nhau

Xác định góc giữa hai đường thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ :Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A A C  BD B BB BD C A B DC D BC A D Hướng dẫn

Theo tính chất hình hộp, các cạnh bên vuông góc các cạnh đáy nên BB BD

Bài 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG

Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuông

góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó Mặtphẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểmcách đều hai đầu mút của đoạn thẳng

Cho a  và b  , b' là hình chiếu của b lên   Khi đó:

'

a b  a b

5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Nếu d vuông góc với   thì góc giữa d và   là 90 0

Nếu d không vuông góc với   thì góc giữa d và   là thì gócgiữa d và d' với d' là hình chiếu của d trên  

Chú ý: góc giữa d và   là  thì 00   900

Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ : Khẳng định nào sau đây sai ?

A Nếu đường thẳng d   thì d vuông góc với hai đường thẳng trong  

B Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong () thì d  

C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong   thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong  

Bài 4 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

1 Góc giữa hai mặt phẳng:

Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng   và   là  thì  0 ;900 0.

2 Diện tích hình chiếu của một đa giác:

Gọi S là diện tích của đa giác ℋ nằm trong   và S’ là diện tích của

đa giác ℋ’ là hình chiếu vuông góc của đa giác ℋ lên   Khi đó' cos

S S  với  là góc giữa hai mặt phẳng   và  

a a

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có

 

SA ABC và đáy là tam giác vuông

ở A Khẳng định nào sau đây sai?

A SAB  ABC

B SAB  SAC

C Vẽ AH BC, H BC thì góc ASH làgóc giữa hai mặt phẳng SBC và

SBC và ABC là góc giữa hai đường thẳng SH và AH, là góc SHA

D Sai do cách xác định như câu C.

S

B A

C

H

BÀI TẬP NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 1. Trong không gian cho tứ diện đềuABCD Khẳng định nào sau

Câu 2. Trong không gian cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Khi đó 4 vectơ

nào sau đây đồng phẳng?

Câu 4. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ

chỉ phương là u v , Gọi  là góc giữa hai đường thẳng a và b

Khẳng định nào sau đây là đúng:

C Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v   sin 

D Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v   0

Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?

AB BC

thì B là trung điểm của AC

D Cho d ( ) và d' ( )  Nếu mặt phẳng ( ) và ( ) vuông gócvới nhau thì hai đường thẳng d và d' cũng vuông góc với nhau

Câu 11. Cho hình lăng trụ ABC A B C   , M là trung điểm

AM   a c b

1 2

AM   b c a

.

B, C, D không thẳng hàng Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D

tạo thành hình bình hành là:

Câu 17. Cho S ABC. có SAC và SAB cùng vuông góc

với đáy, ABC đều cạnh a , SA 2a Tính góc  giữa SB và (SAC) ?

A   22 47 '0 B   22 79'0 C   37 45'0 D.

0

67 12

Câu 18. Cho SAB đều và hình vuông ABCD nằm trong

2 mặt phẳng vuông góc nhau Tính góc giữa SC và ABCD ?

B AD  a AB BC a SA    vuông góc với mặt phẳng đáy Biết SC

tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 600 Tính góc giữa SD vàmặt phẳng SAC?

0

62 8'

Câu 20. Cho hình chóp S ABC. có SA SB SC   2a, đáy là

tam giác vuông tại A, ABC 60 0, , AB a Tính góc giữa hai mặtphẳng SAC và ABC ?

0

73 53'

Câu 21. Cho S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, SC

tạo đáy góc 450, SA vuông góc với đáy Tính góc giữa (SAB) và

Câu 23. Cho S ABC. có SA SB SC, , đôi một vuông góc Biết

rằng SA SB a SC a  ,  2. Hỏi góc giữa SBC và ABC ?

A   50 46'0 B   63 12 '0 C   34 73'0 D.

0

42 12'

Câu 24. Cho S ABCD. có đáy là hình chữ nhật, AB a SA ,

vuông góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt phẳng đáy góc 450

và hợp với SAB góc 300 Tính góc giữa SBC và mặt phẳngđáy?

0

54 44'

nhật cạnh AB4a,AD3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5 a Tínhgóc giữa SBC và ABCD ?

A   75 46'0 B   71 21'0 C   68 31'0 D.  65 12'0

A Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắtnhau nằm trong   ( ) thì d vuông góc với bất kì đườngthẳng nào nằm trong  

B Nếu đường thẳng d  thì d vuông góc với hai đườngthẳng trong  

C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằmtrong ( )  thì d 

D Nếu d   và đường thẳng a //  thì ad

O Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ?

Câu 28. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt

phẳng vuông góc với đường thẳng  cho trước?

A Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường

thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song

Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5

thì độ dài đường chéo của nó là:

Câu 31. Cho hình chóp S ABCD. có SAABC và ABC

vuông ở B AH là đường cao của SAB Khẳng định nào sau đây

là khẳng định sai ?

A SA BC B AH BC C AH AC D. AH SC.

là hình chiếu của A lên  P M, N là các điểm thay đổi trong  P

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

A Nếu AM AN thì HM HN B Nếu AM  AN thì HM HN

C Nếu AM  AN thì HM HN D Nếu HM HN thì AM  AN

vuông góC Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A Ba mặt phẳng ABC ;ABD ;ACD đôi một vuông góC.

B Tam giác BCD vuông

C Hình chiếu của A lên mặt phẳng BCD là trực tâm tam giác

BCD

D Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.

trực của nó Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

A MAMB M P B MN  P  MN AB

C MN AB MN  P D M P  MA MB

VẬN DỤNG THẤP Câu 35. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Phân tích

Câu 36. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh

bằng a Tích vô hướng của hai vectơ AB

và A C' '

có giá trịbằng:

A a2 B a 2 C a2 2 D

2

2 2

các cạnh AC và BD, G là trọng tâm của tứ diện ABCD và O làmột điểm bất kỳ trong không gian Giá trị k thỏa mãn đẳngthức OG k OA OB OC OD                                                                          

Câu 40. Cho chóp S ABC. có SAB đều cạnh a,ABC

vuông cân tại B và (SAB) ( ABC).

Tính góc giữa SC và (ABC) ?

A   39 12'0 B   46 73'0 C   35 45'0 D   52 67 '0

Câu 41. Cho chóp S ABCD. có mặt phẳng đáy là hình

vuông cạnh a SA a,  3,SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tínhgóc giữa SB và AC ?

Câu 43. Cho chóp S ABCD. có mặt phẳng đáy là hình

vuông cạnh a, SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trongmặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính góc giữa SC và

AD ?

thoi cạnh a ABC, 60 ,0SA vuông góc mặt phẳng đáy là SA a 3.

Tính góc giữa SBC và ABCD ?

A   33 11' 0 B   14 55' 0 C   62 17 ' 0 D   26 33' 0

Câu 45. Cho hình chóp S ABCD. có mặt phẳng đáy là

hình chữ nhật,SAABCD, gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuônggóc của A lên SB và SD Chọn mệnh đề đúng :

A SCAEF B SCADE C SCABF D SC AEC

Câu 46. Cho hình chóp S ABC. có SA SB SC  Gọi H là

hình chiếu vuông góc của S lên ABC Khi đó khẳng định nào

đúng?

A H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

B H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

C H là trọng tâm tam giác ABC

D H là trực tâm tam giác ABC

Câu 47. Cho hình chóp S ABCD. có mặt phẳng đáy là

hình chữ nhật, tam giác SBD đều, SA vuông góc với mặt phẳngđáy Mặt phẳng   đi qua điểm A và vuông góc đường thẳng

SBcắt các đường SB, SC lần lượt tại M , N

1

1 2

Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh

đều bằng a Tính cosin của góc giữa hai mặt bên không liền kềnhau

đều bằng a Tính cosin của góc giữa hai mặt bên liền kề nhau

A

1 3



1

2

đều bằng a Gọi E là trung điểm cạnh SC Tính cosin của gócgiữa hai mặt phẳng SBD và EBD



1

2

mặt phẳng đáy BC 3a, BC P , A P 0 Gọi A là hình chiếuvuông góc của A lên  P Tam giác A BC vuông tại A Gọi  làgóc giữa  P và ABC Chọn khẳng định đúng.

A   300 B   600 C   450 D

2 3

cos 

Câu 52. Cho tam giác đều ABC cạnh a d B, d C lần lượt

là đường thẳng đi qua B, C và vuông góc ABC  P là mặtphẳng đi qua A và hợp với ABC một góc bằng 60o

 P cắt d B,

C

d tại D và E

6 2

6

 

C

6 sin

2

 

D  60o

và ABD cùng vuông góc với mặt phẳng BCD Gọi BE và DF làhai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam

giác ACD, bảy điểm A, B, C, D, E, F , K không trùng nhau.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A ABE  DFK B ADC  DFK

C ABC  DFK D ABE  ADC

của hình vuông ABCD, AB a , SO 2a Gọi  P là mặt phẳng qua

AB và vuông góc với mặt phẳng SCD Thiết diện của  P vàhình chóp S ABCD. là hình gì?

cân

hành

bằng a, M là trung điểm đoạn CD Gọi  là góc giữa AC và BM

Chọn khẳng định đúng?

A 30o

3 cos

4

 

C

1 cos

3

 

3 cos

6

 

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

nào sau đây đồng phẳng?

Câu 3. Cho tứ diện ABCD M N, lần lượt là trung điểm của AB và CD

Chọn mệnh đề đúng:

C D

C

D

MN BD AC MN AC BD

                                                                                         

chỉ phương là u v , Gọi  là góc giữa hai đường thẳng a và b

Khẳng định nào sau đây là đúng:

C Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v   sin 

D Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v   0

Hướng dẫn giải

Ta có:  4        IG IC                     '                2              IC'                IC               CB C B               ' 'C A' '

(Theo tính chất tích

vô hướng của hai vectơ)

Câu 9. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' Đặt              AA'               u

, AB v

,              AC               w

Biểudiễn vectơ BC '

AB BC

thì B là trung điểm của AC

D Cho d ( ) và d' ( )  Nếu mặt phẳng ( ) và ( ) vuông gócvới nhau thì hai đường thẳng d và d' cũng vuông góc với nhau

AM   a c b

1 2

AM   b c a

Hướng dẫn giải

Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì

B, C, D không thẳng hàng Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, khi đó           SA SC SB SD                                                               2SO

.Vậy a c d b   

Do I là tâm hình bình hành ABCD nên

4OI OA OB OC OD                                                                         

1 4 2

OI C A D B A C B D   

                                                                          

1 4

SAC và SAB cùng vuông góc với đáy, ABC đều cạnh a ,

Hướng dẫn giải

Lấy H là trung điểm AC. Dễ chứng minh

BH  SAC suy ra H là hình chiếu vuông

góc của B lên SAC

2 mặt phẳng vuông góc nhau Tính góc giữa SC và ABCD ?

B AD  a AB BC a SA    vuông góc với mặt phẳng đáy Biết SC

tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 600 Tính góc giữa SD vàmặt phẳng SAC?

S

D H

A

Dễ thấy góc giữa SC tạo mặt phẳng đáy

là góc SCA nên SCA  60 0

SA SB SC   a, đáy là tam giác vuông tại A, ABC 60 0, , AB a

Tính góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABC ?

Hướng dẫn giải

Từ giải thiết có .SA SB SC   2a,

nếu ta hạ SH ABC thì H là tâm

đường tròn ngoại tiếp ABC H

tạo đáy góc 450, SA vuông góc với đáy Tính góc giữa (SAB) và

Ta thấy giao tuyến của SAB

và SCD là đường d qua S và

song song với AB.

Dễ chứng minh dSAD nên

góc giữa SAB và (SCD) là DSA

Dễ chứng minh được góc giữa SCD

và đáy là SDA  45 0 nên SA a

Lấy M N, là trung điểm SB SD, . Dễ

rằng SA SB a SC a  ,  2. Hỏi góc giữa SBC và ABC ?

Hướng dẫn giải

S d

D A

S

M

D A

B

C N

Hạ SH BC BC(SAH) Góc giữa (SBC) và (ABC) là SHA .

vuông góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt phẳng đáy góc 450

và hợp với SAB góc 300 Tính góc giữa SBC và mặt phẳngđáy?

Xét SAB có tanSBA  2 nên   54 44'0

nhật cạnh AB4a,AD3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5 a Tínhgóc giữa SBC và ABCD ?

A   75 46'0 B   71 21'0 C   68 31'0 D.  65 12'0

Hướng dẫn giải

Hạ SH (ABCD). Do các cạnh bên

bằng nhau nên H là tâm đường

tròn ngoại tiếp của đáy, tức H là

tâm đáy Lấy I là trung điểm BC

nên góc giữa SBC và ABCD là

A Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắtnhau nằm trong   ( ) thì d vuông góc với bất kì đường thẳngnào nằm trong  

B Nếu đường thẳng d  thì d vuông góc với hai đườngthẳng trong  

C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằmtrong ( )  thì d 

nó vuông góc với hai đường thẳng thì hiển nhiên đúng

 đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằmtrong mặt phẳng () thì nó sẽ vuông góc với mặt phẳng   và

do đó d vuông với mọi đường thẳng nằm trong ( )  là hiển

nhiên đúng

 Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   thì d song songhoặc trùng với giá của véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )  do

đó nếu đường thẳng a //  thì a d là đúng.

O Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ?

Hướng dẫn giải