Ứng dụng phép biến đổi laplace để giải các bài toán trong vật lý

Ta có thể giải những phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng và phương trình tích phân khó, phức tạp bằng các bài toán đại số trên ảnh của hàm thông qua biến đổi Laplace.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA VẬT LÝ

PHAN THỊ KIM UYÊN

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đà Nẵng, 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA VẬT LÝ

PHAN THỊ KIM UYÊN

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: Vật lý học Khóa học: 2016 - 2020 Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Văn Hiếu

Đà Nẵng, 2020

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến quý Thầy, Cô giáo trong khoa Vật Lý, trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng! Những năm qua đã tận tình chỉ dạy và trang bị cho tôi những kiến thức cần thiết trong suốt thời gian ngồi trên ghế giảng đường, làm nền tảng cho tôi có thể hoàn thành được bài luận văn này

Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến Thầy đã hướng dẫn tôi là PGS.TS Nguyễn Văn Hiếu! Thầy đã tận tình giúp đỡ định hướng cách tư duy và cách làm việc khoa học tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được tìm hiểu thêm kiến thức Toán và ứng dụng từ lý thuyết của những bài toán Vật lý cho đến thực tiễn

Đó là những góp ý hết sức quý báu không chỉ trong quá trình thực hiện luận văn này mà còn là hành trang tiếp bước cho tôi trong quá trình học tập và lập nghiệp sau này.Vì kiến thức của bản thân còn hạn chế nên trong quá trình thực tập, việc hoàn thành bài luận văn này tôi không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được những ý kiến đóng góp từ Thầy, Cô khoa Vật lý

Kính chúc Ban Giám Hiệu nhà trường, đặc biệt là các Thầy, Cô khoa Vật lý luôn vui vẻ, khỏe mạnh và gặt hái nhiều thành công trong công việc!

MỤC LỤC

DANH MỤC CỤM TỪ THAM KHẢO III

A MỞ ĐẦU 1

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục tiêu đề tài 1

III Nhiệm vụ nghiên cứu 2

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

IV Phương pháp nghiên cứu 2

V Tổng quan về phương pháp nghiên cứu 2

B NỘI DUNG 4

CHƯƠNG I: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4 1.1 Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange 4

1.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 4

1.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao 7

1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng 14

1.2 Phương pháp ảnh Laplace 17

1.2.1 Hàm gốc 𝑓(𝑡) 17

1.2.2 Biểu diễn của các hàm đơn giản 17

1.2.3 Bảng đối chiếu gốc và ảnh 19

1.2.4 Những tính chất của phép biểu diễn 20

1.2.5 Các định lý biểu diễn 22

CHƯƠNG II: VẬN DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 24

2.1 Phương trình vi phân bậc một 24

2.2 Phương trình vi phân cấp hai 27

2.3 Hệ phương trình vi phân 32

CHƯƠNG III: ÁP DỤNG GIẢI BÀI TẬP VẬT LÝ 40

3.1 Phần Cơ học 40

3.2 Phần Điện học 47

3.3 Phần Cảm ứng điện từ 61

C KẾT LUẬN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

DANH MỤC CỤM TỪ THAM KHẢO

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Để nâng cao hiệu quả và vận dụng tốt các phương pháp giải những bài toán trong Vật lý, các nhà giáo dục luôn tìm cách nghiên cứu, áp dụng, đổi mới phương pháp giảng dạy Hiện nay, nhiều phương pháp dạy học nói chung và Vật lý nói riêng mang lại hiệu quả cao như: phương pháp chuẩn độ, phương pháp thực nghiệm, phương pháp

mô phỏng, phương pháp đồ thị

Trong đó phương pháp mô hình hóa là một trong những phương pháp nhận thức khoa học được vận dụng vào trong dạy học ở hầu hết các môn học, đặc biệt là trong giảng dạy và nghiên cứu Vật lý Nó thể hiện trước hết ở tính sâu sắc, tính hệ thống của các kiến thức từ đó tạo điều kiện cho sinh viên phát hiện những mối liên hệ giữa các hệ thống khác nhau ở các phần khác nhau của Vật lý Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình hóa là dựa trên các tính chất khác nhau liên quan đến tính đồng dạng Vật lý của các đối tượng nghiên cứu Ta có thể giải những phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng và phương trình tích phân khó, phức tạp bằng các bài toán

đại số trên ảnh của hàm thông qua biến đổi Laplace Các phép biến đổi cho chuyển đổi

như vậy được gọi là phép tính toán tử

Trong một số bài toán về dao động, chẳng hạn như những bài toán vi phân liên quan đến điều kiện biên, điều kiện ban đầu nếu giải bằng phương pháp truyền thống là rất phức tạp và dài Tuy nhiên, nếu sử dụng phương pháp ảnh Laplace ta có thể đơn giản hóa bài toán

Đối với các bài toán khó ở phần Điện học và Từ học trong phạm vi nâng cao phương pháp ảnh Laplace là cần thiết và không thể thiếu Phương pháp ảnh Laplace được vận dụng để giải cả một hệ thống các bài tập liên quan chứ không riêng một hay hai bài tập đơn lẽ Vì tính chất quan trọng của phương pháp ảnh Laplace, tôi quyết

định chọn đề tài “Sử dụng phương pháp ảnh Laplace để giải các bài toán trong Vật lý” Đề tài có thể giúp tôi hoàn thiện và bồi dưỡng năng lực tư duy giải toán của mình,

là tài liệu hữu ích cho sinh viên và các giáo viên đồng nghiệp tham khảo

2 Mục tiêu đề tài

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một, hai và hệ phương trình vi phân trong Vật lý bằng phương pháp ảnh Laplace

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Giới thiệu nội dung, cơ sở lý thuyết các phương pháp (ảnh Laplace, biến thiên hàm số) giải phương trình vi phân

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một, hai và hệ phương trình vi phân bằng hai phương pháp trên từ đó rút ra nhận xét và so sánh

Xây dựng, phân loại hệ thống bài tập theo từng chuyên đề Cơ – Điện – Từ giúp cho quá trình dạy cũng như học được thuận lợi

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng đề tài hướng đến các phương trình vi phân bậc một, hai và hệ phương trình vi phân

Phạm vi nghiên cứu là các bài toán Vật lý ở phần Cơ – Điện – Từ

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp mô hình hóa dựa trên các tính chất khác nhau liên quan đến tính đồng dạng Vật lý của đối tượng nghiên cứu ở đây là phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân tạo điều kiện cho mình phát hiện những mối liên hệ giữa các hệ thống khác nhau

Phương pháp thu thập các bài báo khoa học, các sách vở có liên quan đến đề tài khóa luận, tìm hiểu chúng và trình bày các kết quả về đề tài theo hiểu biết của mình Phương pháp hệ thống, khái quát được sử dụng sau khi thu thập cho kết quả để có cái nhìn tổng quát và cụ thể cho từng phương pháp giải từ đó rút ra nhận xét

Sử dụng các kết quả biến đổi tích phân, hàm biến phức,

6 Tổng quan về phương pháp nghiên cứu

Về hướng nghiên cứu của đề tài đã có nhiều tác giả thực hiện và công bố trên nhiều bài báo và các trang thông tin điện tử Tuy nhiên, họ vẫn chưa đưa ra được so sánh, ưu, nhược điểm của phương pháp Laplace với các phương pháp khác

Ở bài nhiên cứu này tôi đã hệ thống các bài toán Vật lý phần Cơ-Điện-Từ và giải bằng phương pháp Laplace để thấy được sự ngắn gọn và độ chính xác của

phương pháp này Từ đó, định lượng các bài toán về dao dộng cưỡng bức, tắt dần, của một số công thức Vật lý ở THPT Bên cạnh, đó các bài toán vi phân có

độ khó, phức tạp cao như đạo hàm riêng hay dao động mạng thì tôi vẫn chưa giải quyết được hoàn toàn

B NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1.1 Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

1.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

a Định nghĩa

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là những phương trình tuyến tính đối với

hàm số chưa biết và đạo hàm của nó Phương trình tuyến tính có dạng:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) (*) hay

𝑦′+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) Trong đó 𝑝(𝑥) và 𝑓(𝑥) sẽ được coi là các hàm biến số liên tục của 𝑥 tại miền cần lấy tích phân phương trình (*)

Nếu 𝑓(𝑥) = 0 thì phương trình (*) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất Trong phương trình tuyến tính thuần nhất các biến số được phân ly:

b Phương pháp giải

Để tính tích phân phương trình tuyến tính không thuần nhất:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥), (*)

Ta áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrage Khi áp dụng phương pháp này, trước tiên ta tích phân phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng

𝑑𝑥 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 0, Nghiệm tổng quát của nó, như tìm ở trên, có dạng:

𝑦̅ = 𝐶 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥Khi 𝐶 cố định, hàm số 𝐶𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 là nghiệm của phương trình thuần nhất Để thỏa mãn phương trình không thuần nhất, khi coi 𝐶 là hàm số của 𝑥, tức là 𝐶(𝑥), ta

thực hiện việc thay biến

𝑦̅ = 𝐶(𝑥) 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥trong đó 𝐶(𝑥) là hàm số chưa biết của 𝑥

và nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

𝑦∗ = 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑥)𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 nhận được từ (1.2) khi 𝐶1 = 0

Tuy nhiên, trong các bài ví dụ cụ thể dưới đây và các bài toán về sau, việc sử dụng công thức cồng kềnh và khó nhớ (1.2) là không thích hợp, nên ta sẽ lặp lại một phần quá trình tính toán trên sẽ dễ dàng hơn nhiều

Ví dụ: Giải các pt sau

1+𝑥 + 𝑥

𝑑𝑥 𝑥(1+𝑥) = 𝐶 𝐼 Với 𝐼 = ∫𝑥(1+𝑥𝑑𝑥 ) =∫ (1𝑥−1+𝑥1 )𝑑𝑥 =∫1𝑥𝑑𝑥 −∫1+𝑥1 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥|− 𝑙𝑛|1 + 𝑥|

=> 𝐼 = 𝑙𝑛 | 𝑥

1+𝑥| => NTQ của pt (3) là: 𝑦̅ = 𝐶. 𝑥

𝐶′(𝑥) 𝑥

1 + 𝑥 +

1 (1 + 𝑥)2 𝐶(𝑥) − 𝐶(𝑥) 1

(1 + 𝑥)2 = 1 <=> 𝐶′(𝑥) =1+𝑥

Như đã biết, NTQ của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất bằng tổng của một NR của nó và NTQ của phương trình thuần nhất tương ứng Vì nghiệm của pt vi phân tuyến tính không thuần nhất có quan hệ chặt chẽ với nghiệm của pt thuần nhất tương ứng Cụ thể là các tính chất sau:

i) Hiệu hai nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất là một nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng

ii) Tổng của một nghiệm của phương trình không thuần nhất và một nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng là nghiệm của phương trình không thuần

nhất

Tìm nghiệm riêng của pt không thuần nhất dựa vào nghiệm tổng quát của pt thuần nhất

Giả sử 𝑢1(𝑥), 𝑢2(𝑥), … , 𝑢𝑛(𝑥) là n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình

thuần nhất tương ứng và NTQ của nó là 𝑢(𝑥) = 𝐶1 𝑢1(𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑢𝑛(𝑥)

Xem các hằng số 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 như là các hàm theo biến x (biến thiên hằng số), ta

sẽ nghiệm của (1.5) dưới dạng:

𝑦(𝑥) = 𝐶1(𝑥) 𝑢1(𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛(𝑥) 𝑢𝑛

Ta thay 𝑦(𝑥) cùng với các đạo hàm của nó vào phương trình (1.5) để tìm các hàm

𝐶𝑗(𝑥) Vì ta chỉ có một phương trình vi phân trong khi có n ẩn là các hàm 𝐶𝑗(𝑥) nên ta

có thể chọn thêm n − 1 hệ thức khác giữa các 𝐶𝑗(𝑥) miễn là đủ để giải các hàm này

Cụ thể, ta sẽ chọn các 𝐶𝑗(𝑥) thoả n − 1 hệ thức sau:

b Phương pháp giải

- TH1:

Cho 𝑛 = 2, phương trình vi phân có dạng như sau:

𝑦′′+ 𝑝 𝑦′ + 𝑞 𝑦 = 𝑓(𝑥) (1.8)trong đó 𝑝, 𝑞 là hai hằng số, 𝑓(𝑥) liên tục trên miền 𝐷 nào đó

Giả sử 𝑦1, 𝑦2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính trên miền 𝐷 của pt trên Tìm

nghiệm tổng quát có dạng 𝑦 = 𝐶1(𝑥) 𝑦1(𝑥) + 𝐶2(𝑥) 𝑦2(𝑥)

- Đầu tiên, tìm nghiệm tổng quát của pt thuần nhất:

𝑦̅ = 𝐶1 𝑦1(𝑥) + 𝐶2 𝑦2(𝑥), 𝐶1và 𝐶2là hằng số = 𝐶1 𝑒−2𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒−2𝑥

=> NR của pt (a) là:

𝑦∗ = 𝐶1(𝑥) 𝑒−2𝑥 + 𝐶2(𝑥) 𝑥𝑒−2𝑥Trong đó 𝐶1(𝑥), 𝐶2(𝑥) là hàm số theo biến 𝑥 thỏa mãn hệ pt sau:

𝑦̅ = 𝐶1 𝑦1(𝑥) + 𝐶2 𝑦2(𝑥), 𝐶1 và 𝐶2 ∈ 𝑅 = 𝐶1 𝑒𝑥 + 𝐶2 𝑒2𝑥

=> NR của pt (b) là:

𝑦∗ = 𝐶1(𝑥) 𝑒𝑥 + 𝐶2(𝑥) 𝑒2𝑥Trong đó 𝐶1(𝑥), 𝐶2(𝑥) là hàm số theo biến 𝑥 thỏa mãn hệ pt sau:

𝑒𝑥 𝐶2′ = 𝑥 + 1

=> 𝐶2′(𝑥) = ∫(𝑥 + 1) 𝑒−𝑥𝑑𝑥 Đặt { 𝑢 = 𝑥 + 1

Giả sử 𝑦1, 𝑦2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính và nghiệm tổng quát của pt (1.13)

có dạng:

𝑦̅ = 𝐶1 𝑦1(𝑥) + 𝐶2 𝑦2(𝑥)

Ta tìm nghiệm riêng của pt không thuần nhất (12) có dạng sau:

𝑦∗ = 𝐶1(𝑥) 𝑦1(𝑥) + 𝐶2(𝑥) 𝑦2(𝑥)Nếu ta biết được một nghiệm 𝑦1(𝑥) là nghiệm riêng Tìm nghiệm riêng thứ hai ở dạng: 𝑦2(𝑥) = 𝑦1(𝑥) 𝑢(𝑥)

𝑦1 𝑧′ + (2𝑦1′ + 𝑝𝑦1) 𝑧 = 0 Giải pt trên bằng kỹ thuật tách biến, ta được:

Ta có, NR của pt không thuần nhất (1.12) có dạng:

𝑦∗ = 𝐶1(𝑥) 𝑦1(𝑥) + 𝐶2(𝑥) 𝑦2(𝑥)

=> (𝑦∗)′ =𝐶1′(𝑥) 𝑦1(𝑥)+ 𝐶1(𝑥) 𝑦1′(𝑥)+ 𝐶2′(𝑥) 𝑦2(𝑥)+ 𝐶2(𝑥) 𝑦2′(𝑥)

=> (𝑦∗)′′ = 𝐶1′′ 𝑦1+ 2𝐶1′ 𝑦1′ + 𝐶1 𝑦1′′ + 𝐶2′′ 𝑦2+ 2𝐶2′ 𝑦2′ + 𝐶2 𝑦2′′Thay 𝑦∗, (𝑦∗)′, (𝑦∗)′′vào pt (1.12), suy ra:

{ 𝐶1′ 𝑦1 + 𝐶2′ 𝑦2 = 0

𝐶1′ 𝑦1′ + 𝐶2′ 𝑦1′ = 𝑓(𝑥)Giải hệ pt tìm 𝐶1′, 𝐶2′ => 𝐶1(𝑥), 𝐶2(𝑥)

Ví dụ: Giải các pt sau

a 𝑦′′−1

𝑥𝑦′ = 𝑥 Biết NTQ của pt thuần nhất tương ứng là 𝑦̅ = 𝐶1+ 𝐶2 𝑥2.

=> NR của pt (a) có dạng: 𝑦∗ = 𝐶1(𝑥) + 𝐶2(𝑥) 𝑥2

Ta tìm 𝐶1(𝑥), 𝐶2(𝑥) theo hệ pt sau:

𝑦∗ = (−2𝑥2𝑙𝑛|𝑥| + 𝑥2) 𝑥 + 2𝑥2 𝑥𝑙𝑛|𝑥| = 𝑥3Vậy, NTQ của pt (b) là: 𝑦 = 𝑦̅ + 𝑦∗ = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑙𝑛|𝑥| + 𝑥3

1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

trong đó 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 là ma trận vuông cấp n

Nếu 𝑓(𝑡) = 0, ta có hệ tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

b Phương trình đặc trưng

- Tìm nghiệm cơ bản của pt thuần nhất (1.16):

𝑦 = (𝑦1, … , 𝑦𝑛) với 𝑦𝑗 = 𝜑𝑗𝑒𝜆𝑡Thay 𝑦𝑗 vào hệ pt (1.14) với 𝑓(𝑡) = 0, sau khi thu gọn ta được hệ pt:

Ví dụ: Giải các hệ pt vi phân sau

′ = 4𝑥 − 3𝑦

𝑦′ = 6𝑥 − 7𝑦 , 𝑥(0) = 2, 𝑦(0) = −1Hệ pt thuần nhất có ma trận hệ số: 𝐴 = |4 −3

{2𝜑1− 3𝜑2 = 06𝜑1− 9𝜑2 = 0 => 𝜑1 =3

2𝜑2Chọn 𝜑2 = 2 => 𝜑1 = 3

=> 𝑥1 = 3𝑒2𝑡, 𝑦1 = 2𝑒2𝑡Với 𝜆2 = −5, tọa độ vector riêng của hệ pt là:

{9𝜑1− 3𝜑2 = 06𝜑1− 2𝜑2 = 0 => 𝜑1 =1

3𝜑2Chọn 𝜑2 = 3 => 𝜑1 = 1

=> 𝑥2 = 𝑒−5𝑡, 𝑦2 = 3𝑒−5𝑡

{ 𝑥(𝑡) = 𝑅𝑒 [𝑌(𝑡)] = 𝑒

4𝑡(𝐶1 𝐶𝑜𝑠3𝑡 + 𝐶2𝑆𝑖𝑛3𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝐼𝑚 [𝑌(𝑡)] = 𝑒4𝑡(𝐶1 𝐶𝑜𝑠3𝑡 − 𝐶2𝑆𝑖𝑛3𝑡)

𝑦(0) = 2𝐶1+ 3𝐶2 = −1

=> { 𝐶1 = 1

𝐶2 = −1Thay 𝐶1, 𝐶2 vào pt (1.19), NTQ:

{3𝑖𝜑1− 3𝜑2 = 03𝜑1+ 3𝑖𝜑2 = 0 => 𝜑1 = −𝑖𝜑2Chọn 𝜑2 = 𝑖 => 𝜑1 = 1

1.2 Phương pháp ảnh Laplace

Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân của hàm số 𝑓(𝑡) từ miền thời gian sang miền tần số phức 𝐹(𝑝) Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số Giải ra nghiệm

là các hàm ảnh trong không gian 𝑝, chúng ta dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực 𝑡.Vì vậy, nó hữu ích trong giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các hệ cơ học

Giả sử 𝑓 là hàm số phức của biến số thực 𝑡 sao cho tích phân:

hội tụ ít nhất đối với một số phức 𝑝 = 𝑎 + 𝑏𝑖, còn 𝐹 được xác định bằng đẳng thức:

𝐹(𝑝) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡

∞ 0gọi là ảnh Laplace Để chỉ mối quan hệ này ta ký hiệu 𝑓(𝑡) ≓ 𝐹(𝑝) hay 𝐹(𝑝) ≒ 𝑓(𝑡) hoặc 𝐹(𝑝) = 𝐿 [𝑓(𝑡)]

1.2.1 Hàm gốc 𝒇(𝒕)

Là hàm phức biến thực thỏa mãn các điều kiện sau:

i) 𝑓(𝑡) liên tục hay liên tục từng khúc trên trục 𝑡 với 𝑡 ≥ 0

ii) 𝑓(𝑡) = 0 khi 𝑡 < 0

iii) 𝑓(𝑡) có bậc mũ: ∃ 𝑀 > 0, 𝑠 ≥ 0, ∀𝑡 > 0 sao cho |𝑓(𝑡)| ≤ 𝑀 𝑒𝑠𝑡

 Định lý 1: Giả sử 𝑓(𝑡) là hàm gốc với chỉ số tăng 𝑠0 Khi đó tích phân laplace (**) hội tụ với mọi 𝑝 có Re 𝑝 > 𝑠0

 Định lý 2: Nếu 𝑓(𝑡) là hàm gốc với chỉ số tăng 𝑠0, thì 𝐹(𝑝) là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng Re 𝑝 > 𝑠0

Ghi chú: Nếu 𝑓(𝑡) là hàm gốc thì các hàm 𝑡𝑛𝑓(𝑡) với 𝑛 > 1 cũng là hàm gốc với cùng chỉ số tăng của 𝑓(𝑡)

1.2.2 Biểu diễn của các hàm đơn giản

Ví dụ:

a Hàm đơn vị 𝑢(𝑡) = { 0, 𝑡 < 0

1 , 𝑡 ≥ 0Ảnh Laplace của hàm u là:

𝐹(𝑝) = ∫ 𝑒−𝑝𝑡

∞ 0

𝑢(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−𝑝𝑡

∞ 0

Ghi chú: Các hàm hyperbol 𝑠ℎ𝜔𝑡 = 𝑒𝜔𝑡−𝑒−𝜔𝑡

2 , 𝑐ℎ𝜔𝑡 =𝑒𝜔𝑡+𝑒−𝜔𝑡

2

1.2.4 Những tính chất của phép biểu diễn

a Tính chất tuyến tính

𝛼𝐹 (𝑝

𝛼) = 1

Lấy ảnh Laplace hai vế pt trên, ta có:

𝐿 [𝑆𝑖𝑛𝑡

𝑡 ] = ∫ 𝑑𝑞

𝑞2+ 1

∞ 𝑝

Áp dụng công thức (1.26) và kết quả của bài ví dụ trên, suy ra:

𝐿 [∫ 𝑆𝑖𝑛𝑞

𝑞

𝑡 0

+ 𝑆𝑖𝑛𝑡 ∗ 𝑡 = ∫0𝑡𝑆𝑖𝑛𝑢.(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢 = −(𝑡 − 𝑢) 𝐶𝑜𝑠𝑢|0𝑡 −∫0𝑡𝐶𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 = 𝑡 − 𝑆𝑖𝑛𝑡

b Ảnh của tích chập

Định lý Borel: Biểu diễn của tích chập của hai hàm f(t) và g(t) bằng tích các biểu diễn của f(t) và g(t), tức là

Nếu { 𝐿 [𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑝)

𝐿 [𝑔(𝑡)] = 𝐺(𝑝) thì {

𝐿 [𝑓 ∗ 𝑔] = 𝐹(𝑝) 𝐺(𝑝)

𝐿−1[𝐹(𝑝) 𝐺(𝑝)] = 𝑓 ∗ 𝑔Ví dụ:

3𝑡∗ 𝑆𝑖𝑛𝑡] (sử dụng công thức (1.27) và tra bảng đối chiếu 1.2.3)

= 5

𝑃+

4𝑝(𝑝2− 4)2+ 𝑝 + 2

CHƯƠNG II: VẬN DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

2.1 Phương trình vi phân bậc một

Giải các phương trình vi phân bậc một sau:

 Phương pháp biến thiên hằng số

- Tìm nghiệm tổng quát của pt thuần nhất:

𝐶′(𝑥) 𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥 𝐶(𝑥) + 𝑒−𝑥 𝐶(𝑥) = 2

<=> 𝐶′(𝑥) = 2𝑒𝑥

=> 𝐶(𝑥) = ∫ 2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2𝑒𝑥

=> 𝑦∗ = 2𝑒𝑥 𝑒−𝑥 = 2 Vậy NTQ của pt (a) là:

𝑦 = 𝑦̅ + 𝑦∗ = 𝐶 𝑒−𝑥 + 2 Theo đề, ta có: 𝑦(0) = 0 => 𝐶 = −2

 Phương pháp biến thiên hằng số

- Tìm nghiệm tổng quát của pt thuần nhất:

𝐶′(𝑥) 𝑒2𝑥 + 2𝑒2𝑥 𝐶(𝑥) − 2𝐶(𝑥) 𝑒2𝑥 = 3𝑒2𝑥

<=> 𝐶′(𝑥) = 3

=> 𝐶(𝑥) = ∫ 3 𝑑𝑥 = 3𝑥

=> 𝑦∗ = 3𝑥𝑒2𝑥Vậy NTQ của pt (b) là:

𝑦 = 𝑦̅ + 𝑦∗ = 𝐶 𝑒2𝑥 + 3𝑥𝑒2𝑥Theo đề, ta có: 𝑦(0) = 0 => 𝐶 = 0

=> 𝑦 = 3𝑥𝑒2𝑥Phương pháp Laplace

- Giả sử 𝑦(𝑥) ≓ 𝐹(𝑝) hay 𝐿 [𝑦(𝑥)] = 𝐹(𝑝)

Lấy ảnh Laplace hai vế pt (b), ta được:

𝐿 [𝑦′(𝑥)] − 2𝐿 [𝑦(𝑥)] = 3𝐿 [𝑒2𝑥]

Phương pháp biến thiên hằng số

- Tìm nghiệm tổng quát của pt thuần nhất:

Nhận xét: Phương pháp biến thiên hằng số và Laplace đối với pt vi phân cấp một cho

kết quả giống nhau Tuy nhiên, phương pháp Laplace ngắn gọn thuận tiện cho việc

giải toán hơn

2.2 Phương trình vi phân cấp hai

Giải các phương trình vi phân cấp hai sau:

a 𝒚′′+ 𝟐𝒚′ + 𝟓𝒚 = 𝑺𝒊𝒏𝒕, 𝒚(𝟎) = 𝟎, 𝒚′(𝟎) = 𝟏

 Phương pháp biến thiên hằng số

- Tìm nghiệm tổng quát của pt thuần nhất:

𝑘2+ 2𝑘 + 5 = 0 (2.4)

=> 𝑘 = −1 ± 2𝑖 = 𝑎 ± 𝑏𝑖 NTQ của pt (2.4) có dạng:𝑦̅ = 𝑒𝑎𝑡 [𝐶1𝐶𝑜𝑠𝑏𝑡 + 𝐶2𝑆𝑖𝑛𝑏𝑡]

=𝑒−𝑡.[𝐶1𝐶𝑜𝑠2𝑡 + 𝐶2𝑆𝑖𝑛2𝑡]

- Tìm nghiệm riêng 𝑦∗ của pt (a):

NR có dạng: 𝑦∗ = 𝑒−𝑡 [𝐶1(𝑡)𝐶𝑜𝑠2𝑡 + 𝐶2(𝑡)𝑆𝑖𝑛2𝑡]

=> 𝑦∗ = 𝐶1(𝑡) 𝑦1(𝑡) + 𝐶2(𝑡) 𝑦2(𝑡) Với 𝐶1(𝑡), 𝐶2(𝑡) thỏa hệ pt sau:

Giải hệ pt trên, ta được:

𝑦′(0)= 1 => 𝐶2 = 9

20Biến đổi một số công thức lượng giác để thu gọn 𝑦(𝑡), ta được NTQ của (a) là:

 Phương pháp Laplace

2 − 3 + 4𝑖 = 𝐶(1 − 3 + 4𝑖)(1 − 1 − 2𝑖 − 2𝑖) => 𝐶 = 1

20+ 9

40𝑖 Thay 𝐴, 𝐵, 𝐶 vào pt (2.5)

 Phương pháp biến thiên hằng số

- Tìm nghiệm tổng quát của pt thuần nhất:

𝑘2+ 4𝑘 + 4 = 0 (2.6)

=> 𝑘 = −2 (nghiệm kép)NTQ của pt (2.6) có dạng:𝑦̅ = 𝑒𝑘𝑡 [𝐶1 𝑡 + 𝐶2]

=𝑒−2𝑡.[𝐶1 𝑡 + 𝐶2]

- Tìm nghiệm riêng 𝑦∗ của pt (b):

NR có dạng: 𝑦∗ = 𝑒−2𝑡 [𝐶1(𝑡) 𝑡 + 𝐶2(𝑡)]

=> 𝑦∗ = 𝐶1(𝑡) 𝑦1(𝑡) + 𝐶2(𝑡) 𝑦2(𝑡) Với 𝐶1(𝑡), 𝐶2(𝑡) thỏa hệ pt sau:

 { 𝐶1

′(𝑡) 𝑡 + 𝐶2′(𝑡) = 0, (𝑒−2𝑡 ≠ 0)

𝐶1′(𝑡)[1 − 2𝑡] − 2𝐶2′(𝑡) = 𝑡2𝑒2𝑡Giải hệ pt trên, ta được:

{ 𝐶1

′(𝑡) = 𝑡2𝑒2𝑡

𝐶2′(𝑡) = −𝑡3𝑒2𝑡Tính tích phân cho 𝐶1′(𝑡) và 𝐶2′(𝑡), ta được:

𝑦 = 𝑦̅ + 𝑦∗

Theo đề, ta có: { 𝑦(0) = 0 => 𝐶2 = −

3 8

𝑦′(0)= 0 => 𝐶1 = −1

4NTQ của (b) là:

2 (𝑝+2)2 = 𝐴 + 𝐵 𝑝 + 𝐶 𝑝2+ 𝑝3 𝐺(𝑝) (2.8) Với 𝐺(𝑝) = 𝐷

(𝑝+2)2+ 𝐸

𝑝+2+ Chọn 𝑝 = 0, thay vào pt trên:

=> 𝐵 = −1

2

- Để tìm 𝐶 ta đạo hàm hai lần hai vế pt (2.8), ta được:

12(𝑝 + 2)4 = 2𝐶 + 6𝑝 𝐺(𝑝) + 3𝑝2 𝐺′(𝑝) + 3𝑝2 𝐺′(𝑝) + 𝑝3 𝐺′′(𝑝)

(𝑝+2) 4 = 2𝐶 + 6𝑝 𝐺(𝑝) + 6𝑝2 𝐺′(𝑝) + 𝑝3 𝐺′′(𝑝)+ Chọn 𝑝 = 0, thay vào pt trên:

𝑝 3+ 𝐵

𝑝 2 +𝐶

𝑝+ Chọn 𝑝 = −2, thay vào pt trên:

𝑝3 +−

12

𝑝2 +

38

𝑝 +

−14(𝑝 + 2)2+ −

38

𝑝 + 2

Lấy nghịch ảnh ta được nghiệm của pt là:

 Phương pháp biến thiên hằng số

Xét hệ pt thuần nhất tương đương: {𝑥′ = 𝑥 + 2𝑦

𝑦′ = 𝑥Hệ pt thuần nhất có ma trận hệ số: 𝐴 = |1 2

{−𝜑𝜑 1+ 2𝜑2 = 0

1− 2𝜑2 = 0 => 𝜑1 = 2𝜑2Chọn 𝜑2 = 1 => 𝜑1 = 2

=> 𝑥1 = 2𝑒2𝑡, 𝑦1 = 𝑒2𝑡Với 𝜆2 = −1, tọa độ vector riêng của hệ pt là:

{2𝜑1+ 2𝜑2 = 0

𝜑1− 𝜑2 = 0 => 𝜑1 = −𝜑2Chọn 𝜑2 = −1 => 𝜑1 = 1

=> 𝑥2 = 𝑒−𝑡, 𝑦2 = −𝑒−𝑡

Vì NR của hệ pt thuần nhất có dạng: 𝑌∗ = 𝐶1(𝑡) 𝑦1+ 𝐶2(𝑡) 𝑦2

=> {𝑥∗ =2𝐶1(𝑡) 𝑒2𝑡 + 𝐶2(𝑡) 𝑒−𝑡

𝑦∗ =𝐶1(𝑡) 𝑒2𝑡− 𝐶2(𝑡) 𝑒−𝑡 (2.30)