Nâng cao năng lực giải bài toán trắc nghiệm lượng giác cho học sinh thpt

Dạng 8: Tìm nghiệm và số nghiệm của phương trình lượng giác trong một khoảng cho trước .... Mục tiêu nghiên cứu: Phân loại các bài tập trắc nghiệm về lượng giác và xây dựng hệ thống bài

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

()

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

Nâng cao năng lực giải bài toán trắc nghiệm lượng

giác cho học sinh THPT

Giảng viên hướng dẫn : Th.S Ngô Thị Bích Thủy

Sinh viên thực hiện : Mai Bảo Chi

Lớp : 16ST

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2020

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô khoa Toán – trường Đại học

Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, tôi gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy – người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn những ý kiến góp ý quý báu, sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, các thầy cô, bạn bè, nhất là các bạn lớp 16ST trong quá trình tôi làm khóa luận tốt nghiệp này

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!

Đà Nẵng, tháng 01 năm 2020

Sinh viên thực hiện

Mai Bảo Chi

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

LỜI MỞ ĐẦU 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Mục tiêu nghiên cứu 4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4 Bố cục của khóa luận 4

5 Đóng góp của luận văn 5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 6

1.1 Khái niệm lượng giác của một cung: 6

1.1.1 Khái niệm 6

1.1.2 Hệ quả 6

1.1.3 Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt 6

1.2 Các công thức lượng giác 7

1.2.1 Công thức lượng giác cơ bản 7

1.2.2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệ: 7

1.2.3 Công thức cộng 8

1.2.4 Công thức nhân 8

1.2.5 Công thức hạ bậc 8

1.2.7 Công thức biến đổi tổng thành tích 9

1.3 Các dạng phương trình lượng giác và cách giải 9

1.3.1 Phương trình lượng giác cơ bản 9

1.3.2 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 11

1.3.3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 11

1.3.4 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 11

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH 12

2.1 Bài tập giải bằng máy tính Casio 12

2.1.1 Dạng 1: Bài toán góc và cung lượng giác 12

2.1.2 Dạng 2: Kiểm tra một giá trị là nghiệm của phương trình 13

2.1.3 Dạng 3: Kiểm tra một họ là nghiệm của phương trình 14

2.1.4 Dạng 4: Kiểm tra một tập là TXĐ của hàm số lượng giác 16

2.1.5 Dạng 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác 19

2.1.6 Dạng 6: Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác 22

2.1.7 Dạng 7:Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lượng giác 24

2.1.8 Dạng 8: Tìm nghiệm và số nghiệm của phương trình lượng giác trong một khoảng cho trước 25

2.2 Bài tập sử dụng kết hợp phương pháp truyền thống và máy tính Casio 28

2.2.1 Dạng 1: Cho một tỉ số lượng giác của một góc, tính các tỉ số lượng giác còn lại của góc đó 28

2.2.2 Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức phụ thuộc vào tham số 30

2.2.3 Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác 31

2.2.4 Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm (vô nghiệm) 32

2.2.5 Dạng 5: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác 33

2.3 Một số bài tập tự luyện 34

KẾT LUẬN 46

MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Toán là một môn học tạo nhiều cơ hội cho học sinh phát triển năng lực tư duy và các phẩm chất trí tuệ Dạy toán giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, đặc biệt là tư duy sáng tạo Do đó, người giáo viên cần phải phân loại các bài tập theo các mức độ nhận thức phù hợp

Trong chương trình toán THPT, lượng giác chiếm một phần lớn kiến thức và thời gian Trong các đề thi tốt nghiệp THPT, các bài toán về lượng giác cũng xuất hiện khá nhiều Làm thế nào để giúp học sinh giải nhanh các bài toán về lượng giác trong khoảng thời gian vài phút là vấn đề mà nhiều giáo viên trăn trở nhằm nâng cao chất lượng dạy học

Là sinh viên sư phạm sắp ra trường, tôi chọn đề tài nghiên cứu:“Nâng cao năng lực giải bài toán trắc nghiệm lượng giác cho học sinh THPT”

2 Mục tiêu nghiên cứu:

Phân loại các bài tập trắc nghiệm về lượng giác và xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với các mức độ, nghiên cứu cách giải nhanh nhằm giúp học sinh phát triển năng lực trong giải toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Khóa luận làm rõ các vấn đề sau:

- Hệ thống các kiến thức cơ bản về lượng giác

- Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm lượng giác và cách giải nhanh nhằm phát triển năng lực cho học sinh

4 Bố cục của khóa luận: Gồm 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết:

1.1: Khái niệm lượng giác của một cung 1.2: Các công thức lượng giác

1.3: Các dạng phương trình lượng giác và cách giải

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập lượng giác nhằm phát triển năng lực

cho học sinh:

2.1: Bài tập giải bằng máy tính Casio 2.2: Bài tập sử dụng kết hợp phương pháp truyền thống và máy tính Casio

2.3: Một số bài tập tự luyện

5 Đóng góp của luận văn:

- Về mặt lí luận: tổng hợp các kiến thức lượng giác trong chương trình THPT Từ đó phân tích ý nghĩa của lượng giác trong cuộc sống

- Về mặt thực tiễn: khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Sư phạm Toán sắp ra trường và các bạn đọc quan tâm

CHƯƠNG 1:

CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Khái niệm lượng giác của một cung:

1.1.1 Khái niệm:

Các giá trị sin , cos , tan , cot     được gọi là các giá trị lượng giác của cung

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

xác định

1.2.2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:

a) Cung đối nhau: và :

c) Cung hơn kém : và

d) Cung phụ nhau: và

1.2.3 Công thức cộng:

1.2.4 Công thức nhân:

1.2.5 Công thức hạ bậc:

1.2.6 Công thức biến đổi tích thành tổng:

1.2.7 Công thức biến đổi tổng thành tích:

1.3 Các dạng phương trình lượng giác và cách giải:

1.3.1 Phương trình lượng giác cơ bản:

 Trường hợp Phương trình vô nghiệm

 Trường hợp Phương trình có nghiệm:

 Trường hợp Phương trình vô nghiệm

 Trường hợp Phương trình có nghiệm:

1.3.2 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

1.3.3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a) Khái niệm:

Là phương trình có dạng: , trong đó là các hằng số và là một trong các hàm số lượng giác

b) Cách giải:

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này Cuối cùng, ta đưa về việc giải phương trình lượng giác cơ bản

1.3.4 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

 Chia cả hai vế phương trình cho

 Áp dụng công thức cộng để đưa về phương trình lượng giác

cơ bản

 Giải phương trình lượng giác vừa lập được

CHƯƠNG 2:

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC

NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH

2.1 Bài tập giải bằng máy tính Casio:

2.1.1 Dạng 1: Bài toán góc và cung lượng giác:

- Muốn đổi từ đơn vị độ sang đơn vị rađian ta chuyển máy tính về Mode rađian bằng cách:

+ Nhấn: SHIFT MODE 4 + Nhập số cần đổi vào máy rồi nhấn: SHIFT Ans 1 Muốn đổi từ đơn vị rađian sang đơn vị độ ta chuyển máy tính về Mode

độ bằng cách:

+ Nhấn: SHIFT MODE 3 + Nhập số cần đổi vào máy rồi nhấn: SHIFT Ans 2 = o’’’

Ví dụ 2: Đổi sang độ, phút, giây

2.1.2 Dạng 2: Kiểm tra một giá trị là nghiệm của phương trình:

Ví dụ 3: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

trong khoảng là:

Giải bằng Casio:

- Nhấn: SHIFT MODE 4

- Nhập biểu thức Màn hình xuất hiện:

- Ta nhận xét: chỉ có 3 đáp án B, C, D là thỏa điều kiện trong

+ Nhấn: CALC ta được kết quả bằng 0 + Nhấn: CALC ta được kết quả khác 0

Do đó, và là nghiệm

 Loại đáp án D

 Đáp án đúng là B

2.1.3 Dạng 3: Kiểm tra một họ là nghiệm của phương trình:

*Phương pháp: Kiểm tra một họ là nghiệm của phương trình

,

x  k k

    , a là hằng số Thế vào biểu thức

- Nếu nhận một giá trị khác 0 thì không là nghiệm của phương trình Do đó đáp án được thế chắc chắn là đáp án sai

- Nếu nhận một giá trị bằng 0 thì là nghiệm của phương trình

- Nhấn: CALC được kết quả 0

- Nhấn: CALC được kết quả

 Loại đáp án B

- Ta kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước:

Kiểm tra đáp án D:

+ Nhấn: CALC Ta được kết quả khác 0

 Loại đáp án D + Nhấn: CALC Ta được kết quả khác 0

- Ta kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước Kiểm tra đáp án D

- Nhấn: CALC ta được kết quả khác 0

Giải bằng Casio:

- Nhấn: SHIFT MODE 4

- Nhập biểu thức:

- Nhận xét: xuất hiện ở cả 4 đáp án nên không cần kiểm tra giá trị này,

nó là nghiệm của phương trình

Nhấn: CALC CALC CALC ta được kết quả chỉ có là nghiệm của phương trình

2.1.4 Dạng 4: Kiểm tra một tập là TXĐ của hàm số lượng giác:

*Cơ sở lý thuyết: Tập xác định của một hàm số là tập hợp tất cả các giá trị

của biến số làm cho hàm số có nghĩa

- Nhấn: CALC Màn hình xuất hiện:

Điều này chứng tỏ thuộc TXĐ của hàm số

 Loại đáp án A, B

- Nhấn: CALC Màn hình xuất hiện:

Điều này chứng tỏ không thuộc TXĐ của hàm số

Điều này chứng tỏ thuộc TXĐ của hàm số

- Nhấn: CALC và CALC 0 Màn hình đều báo lỗi, điều này chứng tỏ

và 0 không thuộc TXĐ của hàm số Do đó chưa loại được đáp án nào

- Trong các đáp án còn lại, kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước

- Ta kiểm tra đáp án B Nhấn: CALC màn hình xuất hiện:

Điều này chứng tỏ thuộc TXĐ của hàm số

 Loại đáp án B

- Ta kiểm tra đáp án C.Nhấn: CALC và CALC và CALC

và CALC (đủ một chu kì )

Màn hình đều xuất hiện:

 Đáp án đúng là C

2.1.5 Dạng 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác:

Ở dạng 5, 6 và 7, chúng ta sẽ sử dụng chức năng TABLE của máy tính Casio

để giải

Đôi nét về chức năng TABLE:

- Chức năng: Tính giá trị hàm số tại một vài điểm Ta có thể sử dụng chức năng tính giá trị của hai hàm số và

- Thao tác:

+ Để tính giá trị của một hàm số tại một số điểm Cài đặt bằng cách bấm: SHIFT MODE (SET UP)

+ Tiếp theo bấm Replay xuống, chọn 5 (TABLE) Máy hỏi Select Type,

ta chọn 1 tương ứng với yêu cầu chỉ cần tính giá trị của hàm số tại một điểm Tương ứng với 2 là tính giá trị của đồng thời hai hàm số tại một điểm

- Sau khi cài đặt xong, bạn vào chế độ màn hình bằng cách bấm:

+ Bước 1: MODE 7 , nhập hàm số cần tính + Bước 2: Start: Nhập mốc bắt đầu từ đâu

+ Bước 3: End: Nhập mốc kết thúc tại đâu + Bước 4: Step: Bước nhảy là khoảng cách giữa các điểm đầu mút Bấm = ta được bảng giá trị mong muốn

- Tối đa: Chúng ta chỉ có thể tính tối đa được 30 giá trị cho một hàm số

*Phương pháp tìm GTLN và GTNN của một hàm số y = f(x) trên [a;b]

- Bước 1: Nhấn: (TABLE)

- Bước 2: Nhập biểu thức vào máy

- Bước 3: Nhấn sau đó nhập Start , End , Step

(Có thể lấy từ 29 trở xuống)

(Chia 20 để có được 20 bước nhảy và bảng TABLE có 21 giá trị, như thế là đủ)

Sau đó, ta dựa vào bảng TABLE để tìm GTLN và GTNN

lượt là:

Giải bằng Casio:

- Chuyển máy tính về mode độ: SHIFT MODE 3

(thực tế để mode rađian cũng tính được GTLN và GTNN, tuy nhiên ở mode

độ ta dễ dàng nhận ra giá trị mà tại đó hàm số đạt GTLN và GTNN)

- Nhấn: MODE 7 (TABLE) Nhập biểu thức , màn hình hiển thị:

- Nhấn một số máy tính sẽ hiển thị

- Để xóa hàm này ta nhấn SHIFT MODE 5 1

- Nhấn: = , Start = 0, End = 360, Step =

- Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN là 1 tại hàng thứ 6 và 16, GTLN là 3 tại hàng thứ 11 và 21

- Nhấn: MODE 7 (TABLE)

- Nhấn = , Start = -30, End = 120, Step =

- Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN là 3,8751 ở hàng thứ 3, GTLN là 7 ở hàng thứ 17

- Vì và nên 3,8751 gần với hơn

- Nhấn = , Start = 0, End = 360, Step =

- Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN tại hàng thứ 16 và

- Khi đó,

 Đáp án đúng là C

Ví dụ 12: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều Độ

sâu (mét) của mực nước trong con kênh được tính tại thời điểm (giờ)

  với và k Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn

Vì => (đúng với k  1

 Đáp án đúng là B

2.1.6 Dạng 6: Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác:

*Cơ sở lí thuyết:

- Hàm số tuần hoàn với chu kì và hàm số tuần hoàn

với chu kì là BCNN của và

- End: , Step: đáp án đang kiểm tra

- Nếu các giá trị đều bằng nhau thì đáp án đó là chu kì

- Nếu không phải ta ấn AC rồi kiểm tra đáp án tiếp

- Ta phải thử đáp án chu kì nhỏ nhất trước

- Cụ thể, ta thực hiện như sau:

+ Chuyển máy tính về mode rad: SHIFT MODE 4 + Nhấn: MODE 7 (TABLE)

+ Nhập biểu thức

+ Ta kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước Ta kiểm tra đáp án B: Nhấn = , Start = End = , Step =

Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột có các giá trị không bằng nhau

 Loại đáp án B + Ta kiểm tra đáp án D:

Nhấn: AC = , Start = End = , Step = Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột có các giá trị không bằng nhau

 Loại đáp án D + Thực hiện tương tự ta loại đáp án C + Thử kiểm tra đáp án A:

Nhấn: AC = , Start = End = , Step = Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột có các giá trị bằng nhau

- Ta kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước Kiểm tra đáp án C:

+ Nhấn: = , Start = , End = , Step = + Dựa vào bảng TABLE, ta thấy cột có giá trị không bằng nhau

 Loại C

- Ta kiểm tra đáp án D:

+ Nhấn: AC = , Start = , End = , Step =

+ Dựa vào bảng TABLE, ta thấy cột có giá trị bằng nhau

 Đáp án đúng là D

2.1.7 Dạng 7:Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lượng giác:

*Ghi chú: Sử dụng chức năng TABLE để xét tính đơn điệu của hàm số lượng

giác, có phần hơi không tối ưu cho lắm vì việc giải tự luận là không khó Tuy nhiên, chúng ta vẫn nên làm quen với việc giải dạng toán này bằng TABLE,

sẽ hữu ích cho việc xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12

A.Hàm số nghịch biến B Hàm số đồng biến

C Hàm số nghịch biến D Hàm số nghịch biến

Giải bằng Casio:

- Nhấn: SHIFT MODE 4

- Ta kiểm tra tính đơn điệu bằng cách quan sát giá trị

+ Nếu cột luôn tăng ta kết luận hàm số đồng biến trên khoảng đã xét

+ Nếu cột luôn giảm ta kết luận hàm số nghịch biến trên khoảng đã xét

- Ta kiểm tra đáp án A:

+ Nhấn: MODE 7 (TABLE) + Nhập biểu thức:

+ Nhấn: = , Start = , End = , Step =

+ Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột có lúc tăng lúc giảm

 Loại đáp án A

- Tương tự, ta nhận thấy biểu thức luôn tăng trên khoảng đã cho

 Đáp án đúng là B

2.1.8 Dạng 8: Tìm nghiệm và số nghiệm của phương trình lượng giác trong

một khoảng cho trước:

- Nhấn: = , Start = , End = , Step =

*Lưu ý: Giá trị của hàm số đổi dấu khi đi qua và thì phương trình có một nghiệm trong khoảng

- Dựa vào bảng TABLE ta nhận thấy:

+ Ở hàng thứ 4 và hàng thứ 5, đổi dấu Suy ra có một nghiệm thuộc + Ở hàng thứ 5 và hàng thứ 6, đổi dấu Suy ra có một nghiệm thuộc + Ở hàng thứ 20 và hàng thứ 21, đổi dấu Suy ra có một nghiệm thuộc

Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên

 Đáp án đúng là A