Lý thuyết lượng tử về sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn

14 Hình 3.1: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon khi có mặt của từ trường trong dây lượng tử hình chữ nhật .... 46 Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ

KHOA VẬT LÝ -

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

giáo trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng trong suốt bốn năm

học vừa qua, để em có thể học tập và nắm đủ kiến thức để hoàn thành khóa luận tốt

nghiệp này một cách tốt nhất

Qua đây, em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS.Hoàng

Đình Triển đã hướng dẫn và chỉ bảo cũng như giúp đỡ cho em rất nhiều trong suốt quá

trình thực hiện bài khóa luận tốt nghiệp này

Xin chân thành cảm ơn sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của các anh chị và các bạn

trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

Cuối cùng, con xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ đã nuôi dạy con, động viên con

trong suốt thời gian qua, đặc biệt là thời gian học đại học và làm khóa luận tốt nghiệp

này

Đà Nẵng, ngày 24 tháng 04 năm 2015

Trần Thị Phương Trúc

Contents

MỞ ĐẦU 3

1- Lý do chọn đề tài 3

2- Mục tiêu nghiên cứu 4

3- Phương pháp nghiên cứu 4

4- Nội dung và phạm vi nghiên cứu 5

5- Bố cục của khóa luận 5

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU VÀ SỰ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ 6

1.1.Hệ bán dẫn thấp chiều 6

1.2 Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện tử trong bán dẫn khối 13

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ CỦA ĐIỆN TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN 18

2.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn 18

2.2.Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn 19

CHƯƠNG 3: SỰ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN 35

3.1 Hệ số hấp thụ phi tuyến 35

3.2 Kết quả tính số và thảo luận 45

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình1.1:Mô hình cấu trúc của hệ bán dẫn khối 6

Hình1.2:Mô hình cấu trúc của hệ bán dẫn hai chiều 7

Hình1.3:Mô hình cấu trúc của hệ bán dẫn một chiều 7

Hình1.4:Mô hình cấu trúc của hệ bán dẫn không chiều 8

Hình 1.5: Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào năng lượng 9

Hình 1.6 :Tương tác giữa vật chất và sóng điện từ. 14

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon khi có mặt của từ trường trong dây lượng tử hình chữ nhật 46

Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng cyclotron của từ trường trong dây lượng tử hình chữ nhật 47

MỞ ĐẦU 1- Lý do chọn đề tài

Khởi đầu từ những thành công rực rỡ của vật liệu bán dẫn cùng với sự phát triển mạnh mẽ các công nghệ nuôi tinh thể, người ta chế tạo ra nhiều cấu trúc nano Song song với sự phát triển của công nghệ chế tạo là sự phát triển của kỹ thuật đo các hiệu ứng vật lý

ở cấp độ vi mô Trong những thập niên gần đây, cấu trúc tinh thể nano (màng mỏng, siêu mạng, hố lượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử…) được nhiều nhà vật lý trên thế giới quan tâm bởi những đặc tính ưu việt mà cấu trúc tinh thể 3 chiều không có được

Trong các cấu trúc thấp chiều (nano), chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo các hướng tọa độ với một vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bước sóng

De Broglie, lúc này các tính chất vật lý của hệ thay đổi đáng kể Ở đây các quy luật của

cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, khi đó đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là hàm sóng và phổ năng lượng bị biến đổi Phổ năng lượng bị gián đoạn dọc theo hướng tọa độ giới hạn do đó tính chất quang điện hệ cũng bị biến đổi

Chúng ta biết rằng trong hệ một chiều, chuyển động của điện tử bị giới hạn hai chiều,vì vậy chúng chỉ chuyển động tự do theo một chiều Sự giam giữ của điện tử trong những hệ này làm thay đổi đáng kể độ linh động của điện tử Điều này dẫn đến xuất hiện nhiều hiện tượng mới lạ liên quan đến việc giảm số chiều của hệ Các hiệu ứng này rất khác so với các hiệu ứng trong bán dẫn khối thông thường, ví dụ như tương tác điện tử-phonon, hấp thụ sóng điện từ yếu [5]

Chúng ta đã biết khi chiếu chùm bức xạ sóng điện từ vào vật chất, sự tương tác của sóng điện từ với vật chất xảy ra, một phần bức xạ được truyền qua vật chất, một phần bị phản xạ và phần còn lại bị hấp thụ bởi môi trường vật chất Sự hấp thụ sóng điện từ của vật chất đã và đang được nghiên cứu và phát triển cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm với nhiều ứng dụng mạnh mẽ và sâu rộng trong khoa học kỹ thuật Đặc biệt là lĩnh vực kỹ thuật quân sự, vật liệu hấp thụ sóng điện từ đặc biệt được quan tâm nghiên cứu nhằm ứng dụng cho kỹ thuật “tàng hình” cho các phương tiện quân sự

Trên phương diện lý thuyết, bài toán hấp thụ sóng điện từ được xem xét dưới hai quan điểm khác nhau theo sự phát triển của vật lý hiện đại Trên quan điểm lý thuyết cổ

điển, bài toán này đã được giải quyết chủ yếu dựa trên việc giải phương trình động cổ điển Boltzmann Trên quan điểm lý thuyết lượng tử, bài toán hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn thấp chiều đã và đang được nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau như phương pháp Kubo-Mori mở rộng [5], phương pháp phương trình động lượng tử [2]

Để có được những hiểu biết hơn về bán dẫn thấp chiều, sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ cũng như phương pháp phương trình động lượng tử là lý do em lựa chọn đề tài:

“Lý thuyết lượng tử về sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử bị giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.” cho khóa luận tốt nghiệp

2- Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài sẽ nghiên cứu một hiệu ứng trong hệ bán dẫn thấp chiều trên cơ sở lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt: sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong hệ một chiều Thu nhận được các biểu thức giải tích của các đại lượng đặc trưng của hiệu ứng, từ đó khảo sát sự ảnh hưởng của các hiệu ứng lên các tham số đặc trưng của hệ Kết quả thu được của

đề tài sẽ giúp cho bản thân em hiểu biết thêm vật liệu bán dẫn thấp chiều, và sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn cũng như phương trình động lượng tử tạo tiêu đề cho việc tìm hiểu tiếp theo sau này

3- Phương pháp nghiên cứu

Bài toán hấp thụ sóng điện từ có thể giải quyết bằng nhiều phương pháp khác nhau Mỗi phương pháp có một số ưu nhược điểm riêng nên việc áp dụng chúng như thế nào còn tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể Trong khuôn khổ của khóa luận tốt nghiệp, để giải quyết bài toán đặt ra của đề tài, nên lựa chọn phương pháp phương trình động lượng

tử Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều , đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định Xuất phát từ việc giải phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử, hàm phân bố điện tử không cân bằng được tìm thấy, từ đó biểu thức của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh được tính toán giải tích Kết hợp với phương pháp tính số bằng phần mềm tính số Matlab, đây là phần mềm số và mô phỏng được sử dụng nhiều trong vật lý cũng như các ngành khoa học kỹ thuật

4- Nội dung và phạm vi nghiên cứu

Bằng những công nghệ chế tạo vật liệu hiện đại, người ta có thể chế tạo rất nhiều loại bán dẫn thấp chiều Với mục tiêu đã đề ra, đề tài nghiên cứu lý thuyết lượng tử về

sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh khi có mặt của từ trường ngoài với dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn

5- Bố cục của khóa luận

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, khóa luận gồm có

3 chương, 8 hình vẽ, tổng cộng là 52 trang:

Chương I : Tổng quan về hệ thấp chiều

Chương II : Phương trình động lượng tử của điện tử trong dây lượng tử hình chữ

nhật hố thế cao vô hạn

Chương III : Sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình chữ nhật

hố thế cao vô hạn

CHƯƠNG I:

TỔNG QUAN VỀ HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU VÀ

SỰ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ 1.1.Hệ bán dẫn thấp chiều

1.1.1- Khái quát hệ bán dẫn thấp chiều

Hệ bán dẫn thấp chiều là hệ bán dẫn mà trong đó các hạt mang điện(e-,lỗ trống,hoặc các giá hạt (hạt phonon âm,hoặc phonon quang) chuyển động tự do theo hai chiều, một chiều hoặc không chiều Kích thước của những hệ này theo chiều giới hạn có bước sóng Đơ-brơi(10-9-10-10 m) Khi đó năng lượng hàm sóng mô tả trạng thái, mật độ trạng thái thay đổi một cách rõ rệt dẫn đến các tính chất điện, quang của hệ thấp chiều khác biệt với

hệ bán dẫn 3 chiều

trình Bonltan….) mà tuân theo cơ học lượng tử

Việc phân loại tuân theo số chiều không gian mà hạt biến động tự do

• Hệ ba chiều (bán dẫn khối:e- chuyển động tự do theo ba chiều)

Hình1.1:Mô hình cấu trúc của hệ bán dẫn khối

-Năng lượng của e- là liên tục, và điện tử chuyển động gần như tự do

-Hàm sóng mô tả chuyển động là hàm sóng phẳng đơn sắc (sóng Block)

• Hệ hai chiều

Hình1.2:Mô hình cấu trúc của hệ bán dẫn hai chiều

- Chuyển động của điện tử bị giới hạn theo một chiều có kích thước vào cỡ bước sóng De Broglie, trong khi chuyển động của điện tử tự do theo hai chiều còn lại

- Năng lượng theo (Oxy) liên tục,theo Oz gián đoạn

- Hàm sóng theo (Oxy) sóng phẳng đơn sắc, theo Oz sóng đứng

• Hệ một chiều

Dây lượng tử, ống nano cacbon, e- chuyển tự do theo một chiều

Hình1.3:Mô hình cấu trúc của hệ bán dẫn một chiều

- Năng lượng theo Ox liên tục, theo phương Oyz gián đọan

- Hàm sóng theo Ox là sóng phẳng đơn sắc, theo phương Oyz là sóng đứng

• Hệ không chiều (chấm lượng tử)

Hình1.4:Mô hình cấu trúc của hệ bán dẫn không chiều

- Về cơ bản, điện tử bị giới hạn theo cả ba chiều trong không gian, và không thể chuyển động tự do

- Năng lượng gián đoạn theo 3 phương

- Hàm sóng là sóng đứng

Hình 1.5: Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào năng lượng

với (a) bán dẫn khối đa chiều,(b) hố lượng tử hai chiều,(c) dây lượng tử một chiều, (d)

chấm lượng tử không chiều

Cũng như các mức năng lượng trong hệ ba chiều là liên tục, mật độ trạng thái cũng vậy Mật độ trạng thái phụ thuộc theo căn bậc hai vào năng lượng và được cho bởi:

(E)= ∗ℏ Ngược lại, đối với hố lượng tử, sự giới hạn điện tử trong một chiều khiến cho năng lượng

là tổng của các trạng thái lượng tử hoá đi kèm với sự giam giữ:

= ∗ℏMật độ trạng thái trong hố lượng tử liên quan với năng lượng này và được cho bởi:

(E) = 

ℏ ∑ ⊙ ( −  )với ⊙là hàm bậc thang Heavisside Mật độ trạng thái có dạng bậc thang, với mỗi số hạng trong tổng tương ứng có đóng góp từ vùng thứ n Mỗi số hạng độc lập với mức năng

lượng , và cách nhau một khoảng m*/2 ℏ

Mức năng lượng và mật độ trạng thái trong hệ một chiều chịu thêm một giam giữ của điện

tử Lúc này, năng lượng toàn phần là tổng của các mức năng lượng gián đoạn theo hai chiều bị giam giữ và liên tục theo chiều dài của dây Điều này dẫn đến mật độ trạng thái của hệ một chiều có dạng:

! (E) = ℏ∗ ∑

&',&)

&',&) ⊙ (E-%&',&))

Mật độ trạng thái này rất đặc biệt vì nó phân kỳ khi động năng nhỏ (ở đáy của các tiểu vùng n+,n,)

Với hệ không chiều, các mực năng lượng hoàn toàn bị gián đoạn, và với một hệ lý tưởng, mật độ trạng thái là tổng của các hàm delta:

Dùng phương trình Poisson có thể dễ dàng thấy thế có dạng hàm Parabol đối với a

có biên độ:

∆7 = 9:2; Khi a tiếp tục giảm, mức chênh lệch năng lượng e∆7 cũng giảm tới giá trị nhỏ hơn kT, do đó, cho phép ta bỏ qua sự uốn cong vùng năng lượng Trong thực tế người

ta thường tạo các cấu trúc tiếp xúc dị chất nhiều lớp, với một số các hố thế giống nhau được lặp lại một cách tuần hoàn thay vì chỉ có một hố thế duy nhất Các cấu trúc như trên được chia thành hai loại, phụ thuộc vào chiều dày b lớp bán dẫn vùng cấm rộng (ngưỡng năng lượng) Đối với các giá trị b ≥ 100Å, hệ số truyền qua ngưỡng năng lượng của hạt dẫn bởi hiệu ứng xuyên hầm nhỏ không đáng kể, các hố thế lân cận không ảnh hưởng lẫn nhau, và hiệu ứng lượng tử hóa do giảm kích thước mạnh lên đơn giản là do các phần

đóng góp từ mỗi hố thế riêng biệt Những cấu trúc như trên được gọi là cấu trúc nhiều hố lượng tử MQW (multi-quantum-well), được áp dụng để khuếch đại biên độ các hiệu ứng trong đo lường Ví dụ, trong các thực nghiệm về hấp thụ quang học khi biên độ tín hiệu từ một hố lượng tử đơn không đủ mạnh để thu các giá trị có độ tin cậy thấp được

Với chiều dày b của các ngưỡng năng lượng nhỏ hơn, phổ năng lượng của hệ sẽ bị thay đổi Xác suất chuyển tiếp theo cơ chế đường hầm tăng lên sẽ dẫn đến sự tách mức, biến các mức lượng tử hóa do giảm kích thước thành các vùng năng lượng Loại cấu trúc này biến chuyển hoàn toàn thành các cấu trúc mới với tên gọi siêu mạng

Siêu mạng là hố lượng tử đa lớp nhưng độ rộng rào thế là đủ nhỏ để electron có thể chui hầm từ hố này qua hố kia

Trong siêu mạng các lớp được sắp xếp một cách tuần hoàn nên ngoài chu kì của tinh thể còn có thêm chu kì của siêu mạng

Chu kì của siêu mạng lớn hơn rất nhiều so với chu kì của tinh thể Tính chất của siêu mạng khác hẳn so với tính chất của các hố lượng tử đơn

Hệ một chiều

Dây lượng tử thuộc hệ cấu trúc bán dẫn một chiều Trong dây lượng tử, chuyển động của các hạt tải bị giới hạn theo hai chiều giới hạn của dây và nó chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều còn lại Sự giam cầm điện tử trong dây lượng tử làm xuất hiện các hiệu ứng giảm kích thước, hàm sóng và phổ năng lượng trở nên gián đoạn và lượng tử theo hai chiều

Dây lượng tử được chế tạo bằng nhiều phương pháp khác nhau Dây lượng tử được chế tạo nhờ phương pháp epitaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng trên một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này,

có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều

Người ta có thể tạo ra các dây lượng tử có hình dạng khác nhau, như dây hình trụ, dây hình chữ nhật, Mỗi dây lượng tử được đặc trưng bởi một thế giam giữ khác nhau

Bài tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử có thể được giải dễ dàng nhờ giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều:

• Trường hợp vắng mặt của từ trường ngoài

Với các cấu trúc dây lượng tử được chế tạo bằng cách đặt các cổng trên hệ hai chiều, dây lượng tử thường có dạng hình học không xác định và tùy thuộc vào công nghệ chế tạo Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được đề cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết Chúng ta xét trường hợp đơn giản, thế giam giữ điện tử là cao vô hạn, lúc này việc tìm hàm sóng và phổ năng lượng trở nên đơn giản nhờ sử dụng phương pháp phân ly biến số Hàm sóng và phổ năng lượng điện tử là nghiệm của phương trình Schrodinger và được viết dưới dạng:

Ψn,l,Pz(x,y,z) =

DE

• Trường hợp có mặt của từ trường

Giả sử dây lượng tử hình chữ nhật với thế giam giữ điện tử được đặt trong từ trường yếu, hàm sóng của điện tử như trong trường hợp không có từ trường:

Ψn,l,Pz(x,y,z)= #.49GH4I#4sin LM

4 #Nsin OPLM

N Q (1.3) Tuy nhiên, cấu trúc của phổ năng lượng của điện tử dưới ảnh hưởngcủa từ trường

có thay đổi, nó đặt thêm một sự giam hãm đi ện tử bên cạnh sự giam hãm do kích thước Phổ năng lượng của điện tử lúc này được viết như sau:

1.2 Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện tử trong bán dẫn khối.

1.2.1 Sự hấp thụ sóng điện từ

Khi chiếu một chùm bức xạ lazer (sóng điện từ) vào tinh thể bán dẫn, một phần bức xạ bị phản xạ trở lại, một phần được truyền qua và phần còn lại được hấp thụ bởi tinh thể bán dẫn

1 2

4

3

Hình 1.6 :Tương tác giữa vật chất và sóng điện từ

(1) sóng tới,(2) sóng phản xạ,(3)sóng truyền qua,(4)sóng hấp thụ

Phổ hấp thụ sóng điện từ của bán dẫn rất phức tạp, bao gồm ba phần chính: Chuyển dịch trực tiếp, chuyển dịch gián tiếp giữa các vùng hóa trị hoặc chuyển dịch nội vùng Sự hấp thụ do chuyển dịch trực tiếp giữa các vùng dẫn và vùng hóa trị xuất hiện khi điện tử vùng hóa trị hấp thụ một phonon có năng lượng lớn hơn độ rộng vùng cấm và chuyển dịch lên vùng dẫn với vectơ sóng \]^ gần như không đổi, khi đó vùng hóa trị xuất hiện một

lỗ trống có vectơ sóng –\]^ Sự hấp thụ này xảy ra đối với những chất bán dẫn có khe vùng cấm trực tiếp như InSb, InAs, GaAs, GaSb Sự hấp thụ do chuyển dịch gián tiếp giữa vùng dẫn và vùng hóa trị được thực hiện với sự hấp thụ hay phát xạ một phonon Điện tử vùng hóa trị hấp thụ một photon, đồng thời nó hấp thụ hoặc phát xạ một phonon để có thể

di chuyển tới đáy vùng dẫn Chuyển dịch gián tiếp của điện tử thường xuất hiện ở tinh thể bán dẫn có khe vùng cấm gián tiếp như Si, Ge, GaP, …

Ngoài hấp thụ do chuyển dịch giữa các vùng, sự hấp thụ sóng điện từ còn phụ thuộc vào chuyển dịch nội vùng, được thể hiện rõ khi tần số sóng điện từ nhỏ hơn độ rộng vùng cấm Sự chuyển dịch nội vùng là sự hấp thụ sóng điện từ bởi các điện tử tự do có sự đóng góp của phonon Khi đó các điện tử tự do hấp thụ hay phát xạ phonon liên tục để có thể chuyển dịch lên các trạng thái khác

Như vậy, sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn có đóng góp đáng kể các phonon,

cụ thể là tương tác giữa điện tử và phonon

Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ xảy ra khi chiếu một bức xạ điện từ mạnh (trường laze) vào tinh thể bán dẫn Lúc này phổ hấp thụ sóng điện từ phụ thuộc vào bậc cao của cường độ sóng điện từ mạnh

1.2.2 Lý thuyết lượng tử về hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử tự do trong bán dẫn khối

Xuất phát từ Hamiltonian của hệ điện tử-phonon (phonon quang) trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ

H(t)=. ∑ _`^ −H^ a6b^(c)deH^feH^ + ∑ [g]^ g]^;g]^f;g]^+ ∑ hg]^,H^ g]^eH^fg]^f eH^i;$g]^f + ;g]^j (1.5) Trong đó: eH^f, eH^ là toán tử sinh hủy điện tử ở trạng thái `^, ;g]^f, ;g]^ là toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái k^, `^, k^ là xung lượng của điện tử và phonon trong bán dẫn khối, [g]^ là tần số của phonon, hg]^ là hằng số tương tác giữa điện tử và phonon trong bán dẫn khối, b^(c) là thế vectơ của trường điện từ được xác định như sau:

−lb^(c)elc = ]]]]^ sin(nc) mTrong đó, c là vận tốc ánh sáng(vận tốc truyền sóng điện từ), ]]]]^ và n là vectơ cường độ m

Thiết lập phương trình cho z]]]]^,HH|]]]]^,g]^ (c) và giải phương trình đó ta đươc:

zH]]]]^,H|]]]]^,]^ (c)= i∑ h]]]]^| ]]]]^|} lc$~s  x [〈eH]]]]^ff| ]]]]^|eH]]]]^;]]]]^|+ ;$f]]]]^| ;]^〉s− 〈eH]]]]^f|eH]]]]^$ ]]]]^|(;]]]]^|+ ;$f]]]]^|);]^〉s

x exp yiiε€]]]]]^|− ε€]]]]]^− ω‚]]^j(t − t) −†‡„… } (p‹| ]]]]^ − p. ]]]]^)A]]^(t .)dt.

‹ { dt (1.7) Thay biểu thức (1.7) vào phương trình (1.6) và sử dụng phép khai triển:

exp(±izsin(7)) = ∑ $~ (Ž) exp(±‘o7)

Và trong gần đúng bậc hai theo hằng số tương tác điện tử -phonon, ta thu được phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường sóng điện từ được viết dưới dạng:

œ ]]^(c) = −a” “

• cos(nc) + 2 •a ∑ ∑ ’hH^ g]^ g]^’ i2:g]^+ 1jk^oH^(f.+ $.)U

x δ iε€]]^f ]]^− ε€]]^+ ω ]]^− kΩj (1.10)

Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ được cho bởi công thức:

¢ = 8 e¤¥~m〈œ^(c)msin(nc)〉

2.1.1.Trường hợp vắng mặt của từ trường

Chúng ta xét mô hình dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế giam giữ điện tử cao vô hạn Hàm sóng và phổ năng lượng được xác định bởi 2 công thức (1.1) và (1.2) Bỏ qua tương tác của các hạt cùng loại, Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn được viết như sau:

w = ∑,P,H^,P(`^ −a6(b^(c));,P,H^f ;,P,H^ + ∑ [g]^ g]^¬g]^f¬g]^ + + ∑ hg]^­,P,® ,P ®(k^);,P,H^fg]^f

,P, ® ,H^,g]^ ;® ,P ® ,H^(¬g]^+ ¬$g]^f ) (2.1)

Trong đó .P`^ −a6b^(c) được xác định theo biểu thức (1.2), VM °à VX là kích thước của dây theo hai chiều bị giới hạn, ;,P,H^,f (;,P,H^) là toán tử sinh (hủy) của một electron trong dây lượng tử, ¬g]^f(¬g]^) là toán tử sinh (hủy) một phonon ở trạng thái có vecto sóng k^, [g]^ là tần số của phonon, ­,P,® ,P’(k^) là thừa số được xác định như sau:

­,P,® ,P ® (g]^)

= 32 ´(kMVMoo′)(1 − (−1)f® cos kMVM))[(kMVM)´− 2 (kMVM)(o+ o· + ´io+ o·j] x

x ¹LºigNNPP·j (.$($.)»¼»® ‡½¾ gNN))

[(gNN) º $L  (gNN)  (P  fP ® fL º P  fP ® ]  (2.2)

2.2.2 Trường hợp có mặt của từ trường ngoài

Ta xem xét một dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn đặt trong một từ

trường, để đơn giản chúng ta chọn một từ trường đều yếu đặt song song với trục của dây

Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử khi có mặt của từ trường được viết như sau:

Â,®(Ã) = } lC∅$~~ ®(CÉ−;6(`I− kÉ))9GgÉH4∅Â(CÉ-;6`I) (2.4)

ở đây, Ã = ;6kÉ/2 , CÉ và ;6=c/eB lần lượt là vị trí và bán kính quỹ đạo cyclotron

2.2.Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn

Ở đây ta chỉ đi sâu vào phần trường hợp có mặt của từ trường ngoài

Phương trình động lượng tử cho điện tử:

ps = 〈v;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^, wx〉s (2.5) Thay (2.5) vào (2.1) ta được:

〈v;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^, wa+ wHË + wa_HËx〉s =

= 〈v;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^, wax〉s+〈v;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^, wHËx〉s+ 〈v;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^, wa_HËx〉s

=〈Íℎ.〉s+ 〈Íℎ〉s+ 〈Íℎ¹〉sTính:

= ;Â,,P,H^f v;,P,H^, ;Âf ® , ® ,P ® H^ ®;® ,®,P®H^®x +v;Â,,P,H^f , ;Âf ® , ® ,P ® H^ ®;® ,®,P®H^®x;Â,,P,H^

= ;Â,,P,H^f ;Â,f ® ,P®H^®v;Â,,P,H^, ;Â,® ,P ® H^ ®x + ;Â,,P,H^f v;Â,,P,H^, ;Â,f ® ,P®H^®x;Â, ® ,P ® H^ ®

+ ;Â,f ® ,P®H^®v;Â,,P,H^f , ;Â,® ,P ® H^ ®x;Â,,P,H^ + v;Â,,P,H^f , ;Â,f ® ,P®H^®x;Â,,P,H^;Â,® ,P ® H^ ®

= ;Â,,P,H^f ;® ,®,P®H^®0Â,®0,®0P,P®0H^,H^® −;Âf® ,®,P®,H®;Â,,P,H^0Â,®0,®0P,P®0H^,H^®

Ta có: v;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^, ¬H^f¬g]^x = ;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^¬H^f¬g]^ − ¬H^f¬g]^;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^

=¬H^f¬g]^;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^ – ¬H^f¬g]^;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^ = 0

v;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^, ;Âf,,P,H^® fg]^;Â|,|,P|,H^®i¬g]^+ ¬$g]^f jx =

= ;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^;f,P,H^® fg]^;Â|,|,P|,H^®i¬g]^+ ¬$g]^f j

−;Âf,,P,H^® fg]^;Â|,|,P|,H^®i¬g]^ + ¬$g]^f j;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^

= ;Â,,P,H^f i0Â,Â0,0P,P0H^,H^® fg]^ − ;Âf,,P,H^® fg]^;Â,,P,H^j;Â|,|,P|,H^®i¬g]^+ ¬$g]^f j -

−;Âf,,P,H^® fg]^;Â|,|,P|,H^®i¬g]^ + ¬$g]^f j;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^

= ;Â,,P,H^f ;Â|,|,P|,H^®0Â,Â0,0P,P0H^,H^® fg]^i¬g]^+ ¬$g]^f j

−;Âf,,P,H^® fg]^;Â|,|,P|,H^®i¬g]^ + ¬$g]^f j;Â,,P,H^;Â,,P,H^f

−;Â,,P,H^f ;Âf,,P,H^® fg]^;Â,,P,H^;Â|,|,P|,H^®i¬g]^ + ¬$g]^f j = ;Â,,P,H^f ;Â|,|,P|,H^®0Â,Â0,0P,P0H^,H^® fg]^i¬g]^+ ¬$g]^f j

−;Âf,,P,H^® fg]^;Â|,|,P|,H^®i¬g]^ + ¬$g]^f j;Â,,P,H^;Â,,P,H^f

−;Âf,,P,H^® fg]^;Â,,P,H^f ;Â|,|,P|,H^®;Â,,P,H^i¬g]^ + ¬$g]^f j = ;Â,,P,H^f ;Â|,|,P|,H^®0Â,Â0,0P,P0H^,H^® fg]^i¬g]^ + ¬$g]^f j

−;Âf,,P,H^® fg]^;Â|,|,P|,H^®i¬g]^+ ¬$g]^f j;Â,,P,H^;Â,,P,H^f

−;Âf,,P,H^® fg]^i0Â,Â|0,|0P,P|0H^,H^®− ;Â|,|,P|,H^®;,P,H^f j;Â,,P,H^ i¬g]^+ ¬$g]^f j

= ;Â,,P,H^f ;Â|,|,P|,H^®0Â,Â0,0P,P0H^,H^® fg]^i¬g]^ + ¬$g]^f j − ;Âf,,P,H^® fg]^;Â,,P,H^0Â,Â|0,|0P,P|0H^,H^®i¬g]^+ ¬$g]^f j

−i;Âf,,P,H^fg]^;Â,,P,H^¬g]^j − i;Âf,,P,H^fg]^;Â,,P,H^¬$g]^f jxÒsChuyển chỉ số o thành o., Ó thành Ó., N2 thành N1 ta có:

Ð∑Â|,|,P|,H^® ,g]^hg]^­|,P|(kI)Â,®(Ã) i;Â,,P,H^f ;Â|,|,P|,H^$g]^¬g]^j + i;Âf|,|,P|,H^$g]^;Â,,P,H^¬$g]^j∗

−i;Âf|,|,P|,H^fg]^;Â,,P,H^¬g]^j − i;Â,,P,H^f ;Â|,|,P|,H^fg]^¬$g]^j∗

Do ta có:

;Â,,P,H^f ;Â|,|,P|,H^$g]^¬$g]^f = yi ;Â,,P,H^f ;Â|,|,P|,H^$g]^¬$g]^f jf{f

= y¬$g]^i;Â,,P,H^f ;Â|,|,P|,H^$g]^jf{f= i;Âf|,|,P|,H^$g]^;Â,,P,H^¬$g]^f j∗Tương tự: i ;Âf,,P,H^fg]^;Â,,P,H^¬$g]^f j = i;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^fg]^¬$g]^f j∗

Chuyển chỉ số o. thành o· , Ó. thành Ó·, N1 thành N’ ta có:

= Ð∑ ®  ® ,P ® ,H^ ® ,g]^hg]^­® ,P ®(kI)Â, ®(Ã) vi;Â,,P,H^f ;® ,®,P®,H^$g]^¬g]^j +i;Âf® , ® ,P ® ,H^$g]^;Â,,P,H^¬$g]^j∗

−i;Âf® ,®,P®,H^fg]^;Â,,P,H^¬g]^j − i;Â,,P,H^f ;® , ® ,P ® ,H^fg]^¬$g]^j∗xÒs

=− ∑ ® ,P ® ,H^ ® ,g]^hg]^­® ,P ®(kI)Â, ®(Ã)

vz® ,®,P®,H^fg]^,,P,H^,g]^(c) + z,P,H^,Â∗ ® , ® ,P ® ,H^fg]^,$g]^(c)

− z,P,H^,® ,®,P®,H^$g]^,g]^(c) − z,P,H^,Â∗ ® , ® ,P ® ,H^$g]^,g]^(c)x (2.8) Trong đó: zÂ|,|,P|,H^|,Â,,P,H^,g]^(c) = 〈;Âf|,|,P|,H^|;Â,,P,H^¬g]^〉s

Thay (2.6),(2.7),(2.8) vào (2.5) ta được:

ipÊ,»,q]]^ps (s)= − ∑ ® ,P ® ,H^ ® ,g]^hg]^­® ,P ®(kI)Â, ®(Ã)

vz ® , ® ,P ® ,H^fg]^,,P,H^,g]^(c) + z,P,H^,Â∗ ® ,®,P®,H^fg]^,$g]^(c)

− z,P,H^,® ,®,P®,H^$g]^,g]^(c) − z,P,H^,Â∗ ® , ® ,P ® ,H^$g]^,g]^(c)x (2.9) Tính: zÂ|,|,P|,H^|,Â,,P,H^,g]^(c)

Ta có: ipÕÖ|,Ê|,»|,q]]^|,Ö,Ê,»,q]]^,×]]^(s)(s)

ps = 〈[;Âf|,|,P|,H^|;Â,,P,H^¬g]^, w]〉s

〈Íℎc1〉s = 〈[;Âf|,|,P|,H^|;Â,,P,H^¬g]^, ∑Â,,P,H^Â,,P,H`^ −a6b^(c) ;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^]〉s

= 〈∑Â,,P,H^Â,,P,H(`^ −a6(b^(c))v;Âf|,|,P|,H^|;Â,,P,H^¬g]^, ;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^x〉s

Ta tính: v;Âf|,|,P|,H^|;Â,,P,H^¬g]^, ;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^x

=;Âf|,|,P|,H^|;Â,,P,H^v¬g]^, ;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^x +v;Âf|,|,P|,H^|;Â,,P,H^, ;Â,,P,H^f ;Â,,P,H^x¬g]^