Phương pháp sử dụng bất đẳng thức mô đun trong các bài toán về cực trị số phức

MỤC LỤCSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC MÔ ĐUN TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC Người thực hiện: Nguy

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC MÔ ĐUN TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC

Người thực hiện: Nguyễn Tư Tám Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

1 Mở đầu……… 1

1.1 Lý do chọn đề tài………1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….1

1.4 Phương pháp nghiên cứu………1

1.5 Những điểm mới của SKKN……… 1

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………1

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm………1

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………2

2.3 Giải quyết vấn đề……….……….…… 2

I Kiến thức áp dụng ……… 2

II Ví dụ áp dụng……….2

III Bài tập rèn luyện……….13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm…… ……… ……… 14

3 Kết luận và kiến nghị………15

3.1 Kết luận………15

3.2 Kiến nghị……… 15

TÀI LIỆU THAM KHẢO………16

DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC XẾP LOẠI………17

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Bài toán về cực trị số phức là một dạng toán khó của chương số phức lớp 12 Năm 2021 BGD &ĐT có ra đề tham khảo thi TN THPT có một câu về phần này, dẫn tới các em học sinh lớp 12 rất trú tâm nghiên cứu và học tập về phần này

Để giảm bớt sự khó khăn cho các em trong quá trình học tôi đã cố gắng hệ thống kiến thức, tập hợp các dạng toán và phân loại chúng để có thể hướng dẫn các em học tập một cách hiệu quả nhất Các dạng toán mà tôi hệ thống như: Cực trị số phức mà có điểm biểu diễn là đường thẳng, đường tròn, e líp, đa giác,….Với các phương pháp như: PP hàm số, PP biểu diễn hình học, PP sử dụng BĐT Bunhiacopxki, PP lượng giác hóa, PP sử dụng BĐT môđun,…

Trong đó “PP sử dụng BĐT môđun trong các bài toán về cực trị số phức” ở nhiều trường hợp có thể giúp ta giải quyết rất nhanh và gọn gàng bài

toán về cực trị số phức, nên tôi đã lựa chọn đề tài SKKN về phương pháp này để thể hiện trong bài viết

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Xây dựng hệ thống bài tập phát triển về pp sử dụng BĐT mô đun để giải bài toán về cực trị số phức, giúp học sinh học tập phương pháp này một cách hệ thống và dễ dàng hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài viết về một mảng kiến thức phần cực trị số phức thuộc chương trình giải tích lớp 12 THPT Và hướng tới đối tượng học sinh có học lực từ trung bình đến khá, giỏi ở trường THPT Yên Định 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Tôi chủ yếu sử dụng phương pháp thực nghiệm (nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy ở lớp 12A3, 12A4) Ngoài ra còn sử dụng các phương pháp:

- Phương pháp quan sát (công việc dạy - học của các giáo viên và học sinh)

- Phương pháp đàm thoại, phỏng vấn (lấy ý kiến của các giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp)

1.5 Những điểm mới của SKKN.

Xây dựng một cách nhìn có hệ thống, xoáy mạnh vào một phương pháp với những hướng biến đổi linh hoạt, sáng tạo

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

a Cơ sở triết học:

Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, người giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa

biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức

b Cơ sở tâm lí học:

Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục

c Cơ sở giáo dục học:

Để giúp các em học sinh học tập tốt hơn, người giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri thức, cần phải học hỏi và tổng hợp kiến thức cho riêng mình

d Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thông cần

phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tính cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh”

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Kiến thức tương đối mới và khó đối với học sinh, chưa có tài liệu hệ thống viết riêng cho phương pháp này, nên đa số học sinh còn mơ hồ về cách áp dụng

2.3 Giải quyết vấn đề.

I) KIẾN THỨC VẬN DỤNG

Cho hai số phức ta có:

II) VÍ DỤ ÁP DỤNG

VÍ DỤ 1: Cho số phức thỏa mãn

Hãy tìm GTLN, NN của các biểu thức sau:

a)

Bài làm:

a) Áp dụng BĐT mô đun ta có:

Dấu bằng xảy ra khi: .

Dấu bằng xảy ra khi:

Vậy: khi

, khi b) Áp dụng BĐT mô đun ta có:

Dấu bằng xảy ra khi:

Dấu bằng xảy ra khi:

Bình luận: Qua VD1 ta thấy phương pháp sử dụng BĐT mô đun đã giúp giải

quyết rất nhanh bài toán này Nó hiệu quả hơn hẳn các phương pháp khác với nhiều ví dụ nữa

VÍ DỤ 2: Cho số phức thỏa mãn

Hãy tính trong các trường hợp sau:

a) đạt GTLN

b) đạt GTNN

Bài làm:

Dấu bằng xảy ra khi:

b)

Dấu bằng xảy ra khi:

VÍ DỤ 3: Cho các số phức thỏa mãn và

Gọi lần lượt là GTLN, NN của

Hãy tính mô đun của số phức

Bài làm:

*) Điều kiện:

*) Ta có: thay vào giả thiết đầu ta được:

+)

(Lưu ý rằng với cách làm như các VD trên ta dễ thấy luôn có số phức để dấu bằng xảy ra)

VÍ DỤ 4: Cho số phức thỏa mãn Kí hiệu lần lượt là GTLN và

GTNN của biểu thức Tính

Bài làm:

*) Ta có:

*) Áp dụng BĐT mô đun, ta có:

(Nhận xét như trên ta thấy dấu bằng có thể xảy ra)

VÍ DỤ 5: Cho số phức thỏa mãn ,

Tính GTNN của

Bài làm:

(dấu bằng có thể xảy ra)

Vậy:

VÍ DỤ 6: Cho số phức thỏa mãn Tính GTLN của

Bài làm:

*) Điều kiện:

*) Ta có:

Dấu bằng xảy ra khi:

(dễ thấy hệ này luôn có nghiệm thỏa mãn điều kiện)

VÍ DỤ 7: Cho số phức thỏa mãn

Tính tổng GTLN và GTNN của biểu thức

Bài làm:

*) Điều kiện:

*) Ta có:

Áp dụng BĐT mô đun ta có: mà

(các dấu bằng có thể xảy ra)

VÍ DỤ 8: Cho số phức thỏa mãn GTNN của biểu thức là

A 4 B 1 C 3 D 2 Bài làm:

*) Điều kiện:

*) Do:

Dễ thấy dấu bằng xảy ra khi

Vậy: , khi Chọn D

VÍ DỤ 9: Cho số phức thỏa mãn không phải là số thực và là số

thực Tính GTLN của biểu thức

Bài làm:

*) Ta có:

do nên là phương trình bậc hai với các hệ số thực, có là nghiệm

Do không phải là số thực nên phương trình có một nghiệm nữa là Áp dụng

*) Ta có:

Áp dụng BĐT mô đun ta có:

Dấu bằng xày ra khi (thỏa mãn (*))

VÍ DỤ 10: Cho số phức thỏa mãn điều kiện

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Bài làm

Áp dụng BĐT mô đun ta có:

(với )

(dấu bằng có thể xảy ra).

Vậy chọn C.

VÍ DỤ 11: Cho số phức thỏa mãn Tìm GTLN của

Bài làm:

Ta có:

(Hệ này có nghiệm, tức là dấu bằng có thể xảy ra)

Vậy:

VÍ DỤ 12: Cho số phức thỏa mãn

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài làm:

* Ta có: Dễ thấy dấu bằng xảy ra khi

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy: , khi

, khi

VÍ DỤ 13: Cho hai số phức thỏa mãn và

Tìm GTNN của biểu thức

Bài làm

Mặt khác:

(dấu bằng có thể xảy ra)

VÍ DỤ 14: Cho số phức thỏa mãn

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Bài làm

Ta có:

Dễ thấy dấu bằng xảy ra khi Vậy chọn A.

VÍ DỤ 15: Gọi là tập hợp các số phức thỏa mãn và

Tìm lần lượt là các số phức có mô đun lớn nhất và nhỏ nhất trong

Bài làm

Ta có:

*) khi

*) khi

Vậy: ;

VÍ DỤ 16: Cho số phức thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài làm:

Áp dụng BĐT mô đun, ta có:

Dấu bằng xảy ra khi:

(hệ có nghiệm)

VÍ DỤ 17: Cho số phức thỏa mãn , biểu thức

đạt GTNN khi Giá trị của là

A B C D

Bài làm:

*) Trước tiên ta phải cân bằng hệ số trong biểu thức :

*)

Dấu bằng xảy ra khi:

Vậy: , khi Chọn B.

VÍ DỤ 18: Cho hai số phức thỏa mãn điều kiện và

Tính GTNN của biểu thức

Bài làm

*) Áp dụng BĐT mô đun ta có:

VÍ DỤ 19: [Câu 49-ĐỀ THAM KHẢO-BGD 2021]

Xét hai số phức thỏa mãn và GTLN của bằng

Bài làm:

*) Ta đi tính như sau:

Ta có:

Suy ra: (đảm bảo được dấu bằng xảy ra vì số ẩn bằng số phương trình điều kiện)

Vậy: Chọn B

VÍ DỤ 20: Cho hai số phức thỏa mãn ,

GTNN của bằng

A B C D

Bài làm

*) Áp dụng BĐT mô đun, ta có:

*) Ta đi tính như sau:

Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức Ta có:

+)

+)

+)

Ta có:

.

Suy ra: (dấu bằng có thể xảy ra vì số ẩn bằng số phương trình điều kiện)

Vậy: Chọn C

VÍ DỤ 21: Cho hai số phức thỏa mãn và

đạt GTNN, khi đó bằng

A B C D

Bài làm

*)

Dấu bằng xảy ra khi:

p/s: Đa số ở các ví dụ tôi đã nêu trên đều có thể làm theo nhiều cách, nhưng

ở đây tôi chỉ trình bày xuyên suốt một cách là áp dụng BĐT mô đun, để hs

có cái nhìn hệ thống cho phương pháp này Đây là một phương pháp rất hay và hiệu quả để làm các bài toán về cực trị số phức Trong một số ví dụ

dấu bằng xảy ra, và trong thực tế giảng dạy cũng vậy để tiết kiệm thời gian cho học sinh khi làm bài trắc nghiệm thì nhiều bài khi không cần thiết ta chỉ cần chỉ ra dấu bằng có thể xảy ra là được.

III BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1: Cho số phức thỏa mãn

Hãy tìm GTLN, NN của các biểu thức sau:

Câu 2: Cho số phức thỏa mãn

Hãy tính trong các trường hợp sau:

a) đạt GTLN

b) đạt GTNN

Câu 3: Cho các số phức thỏa mãn và

Gọi lần lượt là GTLN, NN của Hãy tính mô đun của số phức

Câu 4: Cho số phức thỏa mãn ,

Tính GTNN của

Câu 5: Cho số phức thỏa mãn Tính giá trị lớn nhất của mô

đun số phức

Câu 6: Cho số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là GTLN, NN của

biểu thức Tính giá trị

Câu 7: Cho số phức thỏa mãn

Tính giá trị nhỏ nhất của

Câu 8: Cho số phức thỏa mãn không phải là số thực và là số

thực Tính GTLN của biểu thức

Câu 9: Cho số phức thỏa mãn Tính GTLN của

Câu 10: Xét hai số phức thỏa mãn

Tính giá trị lớn nhất của

2.4 Hiệu quả của SKKN.

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong quá trình giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng làm các bài toán cực trị số phức cho học sinh Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên tăng, và kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :

Năm

Tổng số

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5 Số

lượng

Tỷ lệ

Số lượng Tỷ lệ

Số lượng Tỷ lệ 2020

-2021

3 Kết luận, kiến nghị.

3.1 Kết luận: Bài viết trên đã thể hiện rất rõ ràng ý tưởng của tôi Mong rằng nó

là một ý tưởng có ích cho các thầy, cô giáo trong việc soạn bài và dạy ôn tập cho học sinh

3.2 Kiến nghị:

Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm tư liệu giảng dạy và làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 08 tháng 05 năm 2021Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh

nghiệm của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Nguyễn Tư Tám

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[I] Đề thi thử của các trường THPT, của các sở GD&ĐT trong cả nước ở các năm 2017, 2018, 2019, 2020, 2021

[II] Các đề minh họa, đề thi của BGD & ĐT ở các năm 2017, 2018, 2019, 2020, 2021

-DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ

CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Nguyễn Tư Tám

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên toán tại trường THPT Yên Định 1

TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại

Kết quả đánh giá xếp loại

Năm học đánh giá xếp loại

1 vận dụng BĐT CôsiDạy học khám phá Sở Giáo Dục &Đào Tạo C 2016 2

Câu hỏi mở ôn tập phần hàm số cho học sinh khối 12

Sở Giáo Dục &