Phân tích một số sai lầm dễ mắc trong các bài toán liên quan tới khảo sát hàm số

Nhằm giúp các em nắm vững kiến thức, hiểu đầy đủ hơn một nội dung kiến thức và khắc phục một số sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới khảo sát hàm sô tôi chọn đề tài “Phân tích một

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình Giải tích 12, nội dung “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và

vẽ đồ thị hàm số” là một nội dung trọng tâm, chiếm một thời lượng lớn của chương trình Trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia hàng năm số câu hỏi liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thi hàm số cũng chiếm một tỉ lệ lớn (khoảng 10/50 câu) và có đủ

cả bốn mức độ nhận thức (nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao) Trong quá trình giảng dạy và ôn thi THPT Quốc gia tôi nhận thấy nhiều học sinh dễ mắc sai lầm khi giải các bài toán liên qua đến khảo sát hàm số Các sai lầm chủ yếu là

do nắm không vững, hiểu sai vấn đề, nhận thức chưa không đầy đủ về một nội dung nào đó, ngộ nhận bài toán để đưa bài toán về những bài toán đơn giản hoặc quen thuộc Nhằm giúp các em nắm vững kiến thức, hiểu đầy đủ hơn một nội dung kiến thức và khắc phục một số sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới khảo

sát hàm sô tôi chọn đề tài “Phân tích một số sai lầm dễ mắc trong các bài toán liên quan tới khảo sát hàm số”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Phân tích cho học sinh thấy một số sai lầm dễ mắc trong các bài toán liên quan tới khảo sát hàm số Qua đó giúp học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề, vận dụng giải đúng bài toán

Bồi dưỡng cho học sinh thêm về mặt phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Chương I, Giải tích 12) Từ đó phân tích một số sai lầm mà học sinh dễ mắc phải và biện pháp khắc phục

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Nội dung kiến thức Chương I, Giải tích 12: “Ứng dụng đạo hàm đề khảo sát

và vẽ đồ thị hàm số”

Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài)

- Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số

- Liên hệ giữa giữa tính đơn điệu của hàm số với dấu của đạo hàm (Điều kiện

cần, điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên K).

- Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số

- Định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm số (cần phân biệt điểm cực trị của hàm

số với cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm số)

- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

- Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số

- Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số

- Một số nội dung kiến thức liên quan: Công thức tính đạo hàm của các hàm

số, tương giao đồ thị của các hàm số, tam thức bậc hai, định lí Vi-ét

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong thực tế, khi học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị thường gặp phải những khó khăn sau:

- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0

- Hiểu sai điểm cực trị của hàm số với cực trị của hàm số và điểm cực trị của

đồ thị hàm số

- Nhầm lẫn cực đại của hàm số với giái trị lớn nhất của hàm số, cực tiểu của hàm số với giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D

- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc

đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Để giải khắc phục và hạn chế một số sai lầm dễ mắc trong các bài toán liên quan tới khảo sát hàm số tôi đã làm như sau:

- Bổ sung, củng cố lại những nội dung kiến thức mà học sinh năm chưa vững, đang còn hiểu sai về bản chất

- Tiến hành khảo sát để phân loại đối tượng học sinh trong một lớp thành nhiều nhóm, từ đó có phương pháp giảng dạy cho từng nhóm

- Đưa ra một số thí dụ để phân tích cho học sinh thấy được một số sai lầm dễ mắc trong các bài toán liên quan tới khảo sát hàm số

Thí dụ 1 Tìm m để hàm số y x3  3x2  3mx (1) đồng biến trên khoảng

1;

Lời giải sai 1 Hàm số (1) đồng biến trên khoảng 1; khi đạo hàm

2

y  x  x  m có   9 9m 0 m1

Phân tích: Nếu ' 0  thì ' 0y  với mọi x  , suy ra hàm số (1) đông biến trên

,

 suy ra hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; Nhưng khi ' 0).   vẫn có thể xảy ra khả năng hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; (khi cả hai nghiệm của)

của y’ đều nhỏ hơn hoặc bằng 1) Do đó lời giải trên chỉ mới đề cập tới 1 trường

hợp, còn thiếu 1 trường hợp nữa

Lời giải sai 2 Hàm số (1) đồng biến trên khoảng 1; khi

2

2

m x x x

2 (1; )

x

 

Phân tích: Nếu bài toán này, giả thiết 1; được thay bởi  1:  thì lời giải trên thật tuyệt vời Nhưng ở đây, các bạn lưu ý, xét trên tập hợp 1; thì hàm số

f x x  x không có giá trị nhỏ nhất Tức là không tồn tại min ((1; ) 2 )

  

Do

đó kết luận

2 (1; )

   

là sai

Lời giải sai 3 Hàm số (1) đồng biến trên khoảng 1; khi

2

y  x  x  m  x 

2

m x x x

Lập bảng biến thiên của hàm số f x( )x2  2x

+ x

1 f'(x)=2x-2

+∞

0

-1

+∞

Do đó m  1 là các giá trị cần tìm

Phân tích: Vì hàm số (1) có y'3x2  6x  3m là tam thức bậc hai, phương trình ' 0

y  có không quá hai nghiệm, nên (1) đồng biến trên khoảng 1; khi và chỉ khi y'3x2  6x 3m  0, x (1;)

Điều kiện y'3x2  6x  3m0, x (1;) đưa ra ở lời giải vừa nêu trên là không đúng, do đó ở kết luận đã bị thiếu một giá trị m 1

Trên cơ sở phân tích vừa thảo luận ở trên, tôi đề xuất một hướng giải quyết cho bài toán như sau

Lời giải đúng 1 Hàm số (1) có đạo hàm y'3x  6x 3 , 'm  9(m1)

* Nếu ' 0   m thì ' 01 y  với mọi x  , suy ra (1) đồng biến trên khoảng

1;

* Nếu ' 0   m  thì phương trình ' 01 y  có hai nghiệm phân biệt

1,2 1 1

x   m Hàm số (1) đồng biến trên khoảng 1; khi cả hai nghiệm của

y’=0 đều nhỏ hơn hoặc bằng 1, tức là

1

1

1

m

m m

m m

 



 







Từ hai trường hợp trên ta suy ra m 1 là các giá trị cần tìm

Lời giải đúng 2 Hàm số (1) có đạo hàm y'3x2  6x 3mlà tam thức bậc hai, nên đạo hàm có hữu hạn nghiệm trên khoảng 1; , do đó (1) đồng biến trên khoảng

1; khi và chỉ khi  y' 0,  x 1; hay , 2

mx  x  x  Bảng biến thiên của hàm số f x( )x2  2 ,x x(1;).

+ x

1 f'(x)=2x-2

+∞

0

-1

+∞

Do đó m 1 là các giá trị cần tìm.

Thí dụ 2 Tìm m để hàm số y2x3 3mx2  6(m1) (2)x có hai cực trị trái dấu

Lời giải sai Hàm số (2) có hai cực trị trái dấu khi đạo hàm y'6(x2 mx  m 1)

có hai nghiệm trái dấu, điều này tương đương với 1(m 1) 0  m 1.

Phân tích: Đề bài yêu cầu tìm m để hàm số (2) có hai cực trị trái dấu chứ không yêu cầu tìm m để hàm số (2) có hai điểm cực trị trái dấu Điều kiện m  1 là điều kiện cần và đủ để hàm số (2) có hai điểm cực trị trái dấu Ta nhớ lại rằng nếu x0là điểm cực trị của hàm số yf x( )thì giá trị f x( )0 được gọi là cực trị của hàm số và điểm M x f x( ; ( ))0 0 được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số đó

Lời giải đúng 1 Hàm số (2) có đạo hàm y'6(x2 mx m 1) và ' 0y  khi

1

x m hoặc x 1 Do đó đồ thị hàm số (2) có hai cực trị khi và chỉ khi

     Lúc này giả sử A(1: 3 m 4), (B m 1;m36m2 9m4)

là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (2) Hàm số (2) có hai cực trị trái dấu khi

2

m









2

2

m









4 4

1 3

1

m

m

m

 







    



  

Lời giải đúng 2 Do đặc điểm của đồ thị hàm số bậc ba, ta thấy hàm số (2) có hai

cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình 2x3 3mx2  6(m1)x 0 có ba

nghiệm phân biệt, hay phương trình 2x 3mx 6(m1)0 có hai nghiệm phân

biệt khác 0 Điều này tương đương với

2

4

1 3

6( 1) 0

1

m

m m

m

 





    





    





  

Thí dụ 3 Tìm m để đồ thị hàm số y2x3 3mx2  6(m1) (2)x cắt đường thẳng 1: 3mx  y 4 0 tại ba điểm phân biệt

Lời giải sai Xét phương trình

x  mx  m x  mx

2 (x 1) 2x (3m 2)x 4 0

2

1

x





 



Do đó đồ thị hàm số (2) cắt 1 tại ba điểm phân biệt khi phương trình 2

2x (3m2)x 40 có hai nghiệm phân biệt, tức là  (3m2)2 320.

Điều này luôn đúng Vậy với mọi m đồ thì đồ thị hàm số (2) luôn cắt 1 tại ba điểm phân biệt

Phân tích: Phương trình 2x2 (3m2)x 40có hai nghiệm phân biệt thì phương trình x3 3mx2  6(m1)x 3mx  4 chưa chắc đã có ba nghiệm phân biệt, nên

đồ thị hàm số (2) chưa chắc đã cắt 1 tại ba điểm phân biệt

Lời giải đúng Đồ thị hàm số (2) cắt 1 tại ba điểm phân biệt khi phương trình

x  mx  m x  mx có ba nghiệm phân biệt, hay phương trình 2

2x (3m2)x 40 có hai nghiệm phân biệt khác 1 Tức là

2 2

0

m

m m







Vậy với m 0 thì đồ thị hàm số (2) cắt 1 tại ba điểm phân biệt

Thí dụ 4 Tìm m để hàm số yx3  3x2 mx 2 (3) có hai điểm cực trị

1, 2

x x sao cho x1  2x2 1

Lời giải sai 1 Hai điểm cực trị x x1, 2của hàm số (3) chính là nghiệm của phương trình 2

3x  6x m0 (phương trình ' 0y  ) Theo định lí Vi-ét ta có

1 2 2; 1 2

3

m

x x  x x 

Trước hết, do x1 x2 2;x1 2x2 1, nên 1 2

x  x 

Dẫn

tới

m

m

Vậy với

5 3

m 

là giá trị cần tìm

Phân tích: Lời giải vừa nêu trên chưa tìm điều kiện để hàm số (3) có cực trị Ta

cũng thấy rằng để có thể áp dụng định lí Vi-ét ta cũng phải tìm điều kiện để phương trình bậc hai 2

3x  6xm0 có nghiệm

Lời giải sai 2 Hàm số (3) có hai điểm cực trị khi đạo hàm y'3x2  6xm có hai nghiệm phân biệt, hay ' 9 3   m 0 m3 Với m 3 thì phương trình

2

3x  6xm0 có hai nghiệm 1 2

,

, đây chính là

hai điểm cực trị của hàm số (3) Lúc này x1  2x2 1 khi

3

Phân tích: Lời giải trên chưa xét khả năng 1 2

Lởi giải đúng 1 Hàm số (3) có hai điểm cực trị khi đạo hàm y'3x2  6x m có hai nghiệm phân biệt, hay ' 9 3   m 0 m3 Hai điểm cực trị x x1, 2của hàm

số (3) chính là nghiệm của phương trình 2

3x  6x m0 Theo định lí Vi-ét ta có

1 2 2; 1 2

3

m

x x  x x 

Trước hết, do x1 x2 2;x1 2x2 1, nên 1 2

x  x 

Dẫn

tới

m

m

(thỏa mãn điều kiện m 3)

Vậy

5

3

m 

là giá trị cần tìm

Lời giải đúng 2 Hàm số (3) có hai điểm cực trị khi đạo hàm y'3x2  6x m có hai nghiệm phân biệt, hay ' 9 3   m 0 m3 Với m 3 thì phương trình

2

3x  6xm0 có hai nghiệm 1,2

3

m

, đây chính là hai điểm cực trị của hàm số (3) Lúc này x1 2x2 1 khi

5

3





Đối chiếu với điều kiện m 3 ta lấy

5 3

m 

Thí dụ 5 Tìm m để hàm số ymx4 (4)đạt cực tiểu tại điểm x 0 0

Lời giải sai Ta có y'4mx3, và y'' 12 mx2. Hàm số (4) đạt cực tiểu tại điểm

0 0

x  khi và chỉ khi

3 2





Vậy không có giá trị nào của m để hàm số (5) đạt cực tiểu tại điểm x 0 0

Phân tích: Nếu

0 0

'( ) 0

"( ) 0

y x

y x









 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số y, nhưng ngược lại,

nếu x0là điểm cực tiểu của hàm số y thì chưa chắc đã có

0 0

'( ) 0

"( ) 0

y x

y x









 Trong trường hợp xảy ra y x'( )0 y x"( )0 0 thì chưa kết luận được x0có là điểm cực trị của hàm

số hay không, nếu là điểm cực trị thì cũng chưa biết nó là điểm cực đại hay điểm cực tiểu Khi đó, muốn biết cụ thể, ta có thể sử dụng định nghĩa hoặc bảng biến thiên của hàm số

Lời giải đúng Ta có y'4mx3. Nếu m 0 thì ' 0,y     và 'x y không đổi

dấu nên hàm số (4) không có cực trị

Nếu m 0 thì hàm số (4) có bảng biến thiên

-+

0 0

-∞

y y' x

Do đó m 0 cũng không thỏa mãn bài toán

Cuối cùng, khi m 0 thì hàm số (4) có bảng biến thiên

x y' y

0

0

+∞

+∞

+

-Vậy với m 0 thì hàm số (4) đạt cực tiểu tại điểm x 0 0

Thí dụ 6 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong yx3  3x2 (C1) biết tiếp tuyến đi qua điểm (1; 2).M 

Lời giải sai Kiểm tra thấy M(1; 2) (  C1) Đạo hàm của hàm số y x3  3x2 là

2

y  x  x y  Vậy tiếp tuyến của đồ thị (C1) đi qua điểm M chính là tiếp

tuyến của đồ thị (C1) tại M và có phương trình y3(x  1) 2  y 3x 1. Phân tích: Tiếp tuyến của (C1) đi qua M thì M có thể là tiếp điểm, cũng có thể

không phải là tiếp điểm, nên lời giải trên chưa xét đầy đủ các trường hợp

Lời giải đúng Đường thẳng đi qua M và có hệ số góc k có phương trình

( 1) 2

y k x  Đường thẳng này là tiếp tuyến của (C1) khi hệ phương trình sau có

nghiệm

3 2

2







Thay x 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được k 3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y3(x 1) 2  y3x1.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Sau khi tôi cùng các đồng nghiệp nghiên cứu, trao đổi và áp dụng sáng kiến này vào hai nhóm học sinh có lực học và sĩ số ngang nhau thì chúng tôi nhận thấy các học sinh của nhóm được áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thì các em ít mắc sai lầm hơn khi giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Chúng tôi chọn hai nhóm học sinh: Nhóm thực nghiệm gồm hai lớp 12A2 và 12A5, nhóm đối chứng gồm hai lớp 12A1 và 12A4 Cho học sinh hai nhóm làm một số bài tập khảo sát

Bài tập 1 Tìm m để hàm số y2x3  3(m1)x2 6mx  3 m

a) Có hai cực trị cùng dấu

b) Đồng biến trên khoảng ( ;1)

Bài tập 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4  x2 6

a) Biết tiếp tuyến đi qua điểm (0;6).M

b) Biết tiếp tuyến song với đường thẳng có phương trình 6x y 100.

Bài tập 3 Tìm m để đồ thị hàm số

2

1 8

m

yx   mx

đạt cực đại tại điểm x 0 1

Kết quả của hai nhóm được thể hiện thông qua bảng thống kê sau:

- Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2020 - 2021 ở hai lớp 12A2 và 12A5 (Nhóm đối chứng)

Lớp 12 A1 (sĩ số 40)

Lớp 12 A4 (sĩ số 42)

- Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2020 - 2021 ở hai lớp 12A2 và 12A5 (Nhóm thực nghiệm)

Lớp 12A2 (sĩ số 39)

Giải sai phương pháp 09 23%

Lớp 12 A5 (sĩ số 42)

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các các em học sinh như một tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc và đầy đủ hơn

về những sai lầm thường mắc phải khi giải các dạng toán liên quan tới khảo sát hàm số Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình; người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm toán Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm

là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết rất nhiều bài toán ; hơn nữa, những bài toán được giải bằng công cụ đạo hàm thì lời giải cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đẹp hơn Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đối khó, nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định

lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học Đó là chưa kể sách giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và thậm chí mang tính hàn lâm ; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêm khi có cơ hội học sâu hơn (chủ yếu ở bậc Đại học và sau Đại học)

Ở cấp độ trường phổ thông Nguyễn Mộng Tuân, đề tài có thể áp dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học, giúp các em