Phân dạng và phát triển các dạng toán tìm max – min của số phức từ đề thi minh họa TNTHPT quốc gia 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN DẠNG VÀ PHÁT TRIỂN CÁC DẠNG TOÁN TÌM MAX – MIN CỦA SỐ PHỨC TỪ ĐỀ THI MINH HỌA TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA N

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN DẠNG VÀ PHÁT TRIỂN CÁC DẠNG TOÁN TÌM MAX – MIN CỦA SỐ PHỨC TỪ ĐỀ THI MINH HỌA

TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2021

Người thực hiện: Trịnh Cao Cường Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

6 1.5 Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2

8 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

9 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

nghiệm

3

11 2.3.1 Hệ thống lý thuyết và các dạng toán cơ bản Max – min

số phức

4

12 2.3.2 Một số bài toán sử dụng phương pháp tìm Max – min

của số phức trong đề thi minh họa và phát triển dạng toán

10

Các từ viết tắt trong sáng kiến

SKKN: Sáng kiến kinh nghiệm

GD – ĐT : Giáo dục và đào tạo

I – MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục và đào tạo, phát triển nguồn nhânlực ở nước ta được nêu trong văn kiện Đại hội XII, Đảng ta đưa ra đường lối đổimới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực, xác địnhđây là một kế sách, quốc sách hàng đầu, tiêu điểm của sự phát triển, mang tínhđột phá, khai mở con đường phát triển nguồn nhân lực Việt Nam trong thế kỷXXI, khẳng định triết lý nhân sinh mới của nền giáo dục nước nhà “dạy người,dạy chữ, dạy nghề”, về thực chất, là một cuộc cách mạng trong lĩnh vực này,hiệu ứng của nó sẽ làm biến đổi tích cực nhiều mặt của đời sống xã hội ViệtNam, là sự vun trồng “nguyên khí quốc gia”, làm cho nền học vấn nước nhàhưng thịnh, đất nước phát triển bền vững

Ngày 31 tháng 1 năm 2017, Bộ GD-ĐT đã chính thức ban hành Thông tưQuy chế thi THPT quốc gia và xét công nhận tốt nghiệp THPT năm 2017 Trong

đó, những thông tin mới nhất về kỳ thi THPT Quốc gia 2017 và xét tuyển Đại

học, cao đẳng sắp tới được quy định cụ thể như sau: Hình thức thi “ Các bài Toán thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan” Môn Toán: Trắc nghiệm 50

câu trong thời gian 90 phút [2]

Lí thuyết về số phức là một ngành toán học mới,mà học sinh còn nhiều bỡngỡ vì một thời gian dài học quen với số thực.Với mục đích mở rộng tập hợp số

để cho phương trình bậc n luôn có n nghiệm trên một tập hợp số khác tập hợp sốthực Chính vì lẽ đó lí thuyết số phức ra đời và được đưa vào trong chương trìnhtoán lớp 12 nhằm cung cấp cho học sinh THPT những kiến thức cơ bản về sốphức và trong các đề thi THPTQG, cho thấy vị trí quan trọng của ngành toánhọc này

Để có thể học tốt số phức học sinh phải nắm vững các khái niệm và cáckiến thức cơ bản của số phức đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó đểgiải quyết các bài toán và tình huống cụ thể Qua thực tiễn giảng dạy số phứctrong các đề thi THPTQG, TNTHPT từ năm 2017 đến nay mức độ số phứctrong các đề thi THPTQG và TNTHPT tăng dần, tôi nhận thấy: Bài toán tìmMax, min (VD - VDC) liên quan đến số phức có trong đề minh họa TNTHPT

2021 đa số HS gặp rất nhiều khó khăn chưa biết sử dụng linh hoạt kiến thứctổng hợp để giải quyết các bài toán cụ thể

Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 12, học sinh thi TNTHPT giải

quyết được vấn đề, tôi đã chọn đề tài:“ Phân dạng và phát triển các dạng toán

tìm Max – min của số phức từ đề thi minh họa TNTHPT quốc gia 2021 ” 1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của Đề tài này là nghiên cứu, định hướng tư duy chodạng toán tìm Max – min của số phức Nó chứa đựng những kĩ năng cơ bảnquan trọng mà người dạy và người học cần phải nắm được thì mới giải quyết tốtcác bài toán tìm Max - min Đồng thời chứa đựng những ý tưởng, kĩ thuật, vậndụng các năng lực tư duy toán học

Xây dựng một tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và các em họcsinh, giúp giáo viên dễ dàng truyền thụ kiến thức cho học sinh và với học sinh

có tâm thế sẵn sàng, không ngại khó khi đứng trước dạng toán này.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

* Phương pháp sử dụng quỹ tích của số phức để tìm Max – min của số phức vàbiểu thức của số phức

* Một số phương pháp, kĩ năng, được phối kết hợp khi giải quyết một bài toántìm Max – min

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Tự giải các bài toán về tính Max – min trong tập hợp số phức, kết hợp vớikinh nghiệm về chuyên môn để giải quyết bài toán phù hợp nhất

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Trong năm học 2017 – 2018 tôi đã làm SKKN “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán phần số phức theo hình thức trắc nghiệm trong đề thi THPT quốc gia” (Xếp loại C) để cung cấp cho HS kiến

thức vận dụng giải quyết bài toán số phức trong 3 mức độ: Nhận biết, thông hiểu

và vận dụng Trong sáng kiến này tôi cung cấp cho HS phương pháp để áp dụngbài toán số phức mức độ: Vận dụng, vận dụng cao dạng bài toán Max – min của

số phức

Phần nhận biết : Tập trung vào việc hiểu định nghĩa, tìm phần thực phần ảo

của số phức, số phức liên hợp, phép toán số phức, biểu diễn hình học của sốphức, tìm môđun của số phức Học sinh không những nắm vững định nghĩa màcòn phải linh hoạt khi chọn đáp án trắc nghiệm Chú ý đọc kĩ đề và hiểu từ khóatrong câu hỏi

Phần thông hiểu : Học sinh vận dụng nhuần nhuyễn thành thạo các kiến

thức định nghĩa, tìm phần thực phần ảo của số phức, số phức liên hợp, phép toán

số phức, biểu diễn hình học của số phức, tìm môđun của số phức để làm Kếthợp thêm kiến thức giải phương trình bậc hai và bậc bốn với hệ số thực trên tậpnghiệm phức

Phần vận dụng: Học sinh vận dụng thành thạo kiến thức về số phức và kiến

thức về giải phương trình, hệ phương trình và Max – min số phức dạng cơ bản

Phần vận dụng cao: Học sinh vận dụng các kiến thức tổng hợp để giải bài

toán Max – min số phức [2]

II – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Theo GS.TS Đinh Quang Báo:“ Năng lực là khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kỹ năng thái độ và hứng thú để hành động một cách phù hợp và có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống ” (Hội thảo

“Đổi mới chương trình và sách giáo khoa Giáo dục phổ thông – kinh nghiệm

Quốc tế và vận dụng vào Việt Nam” do Bộ GD – ĐT tổ chức 10 - 12/12/2012

tại Hà Nội)

Chương trình dạy học theo định hướng phát triển năng lực là dạy học địnhhướng kết quả đầu ra, với các mục tiêu: đảm bảo chất lượng đầu ra của việc học,phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng năng lực vận dụng trithức trong tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho con người năng lực giảiquyết các tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp

Cấu trúc chung của năng lực gồm bốn thành phần: năng lực chuyên môn, năng lực phương pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể.

Đánh giá kết quả học tập theo năng lực cần chú trọng khả năng vận dụng

sáng tạo tri thức trong những tình huống khác nhau , (theo Leen pil, 2011) “ là đánh giá kiến thức, kỹ năng và thái độ trong bối cảnh có ý nghĩa” Đánh giáthành tích học tập theo quan điểm phát triển năng lực không giới hạn vào khảnăng tái hiện tri thức mà chú trọng khả năng vận dụng tri thức trong việc giảiquyết các nhiệm vụ phức hợp

Do vậy, vai trò của người thầy chính là sắp xếp cấu trúc, nội dung,phương pháp giảng dạy mỗi chuyên đề khoa học, logic để tạo tiền đề cho họcsinh dễ tìm hiểu và có thể phát triển việc học với những mức độ khác nhau

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

SỐ PHỨC TRONG MA TRẬN TỔNG QUÁT ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

TỪ 2017 – 2021 [5]

Mức độ kiến thức đánh giá

Tổng số câu hỏi

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng cao

A

73

S 

B S 5 C S 5 D

73

Câu 4 (THPTQG 2018 – mã 101 - VDC) Xét các số phức z thỏa mãn

z i z   2 là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm

biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức

41

iz w

z





 làmột đường tròn có bán kính bằng

2.3 Phương pháp để giải quyết vấn đề

2.3.1 Hệ thống lý thuyết và các dạng toán cơ bản

 z  z'  z z' z  z' kz k z k ,  



2 2

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

+ Cho số phức z thỏa mãn z a bi  z , tìm z Min Khi đó ta có

- Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với

 ; 

A a b

+ Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di . Tìm zmin Ta có

- Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

+ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi   R 0 z z 0 R

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

+ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2 ,a a c   Khi đó ta có

- Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là Elip:

Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z 1  z z 2 2 ,a z 1 z2 2a và

 z1z2 z1  z , dấu "=" khi 2  z1 kz với k ≥ 0 Dùng cho BĐT Mincopxki2

 z -z1 2 z + z , dấu "=" khi 1 2  z1 kz với k ≤ 0 Dùng cho BĐT véctơ.2

 z1z2 z - z , dấu "=" khi 1 2  z1 kz2với k ≤ 0

 z -z1 2 z - z , dấu "=" khi 1 2  z1 kz với k ≥ 0 2

c Các dạng toán cơ bản tìm Max – min của số phức [6]

 Dạng 1: Cho số phức z thoả mãn z z 1  z z2 Tìm GTNN của P z z3

Phương pháp: Đặt M z A z ;  1 ;B z 2 ;C z 3 là điểm biểu diễn của các số

phứcz z z z Khi đó từ giả thiết ; ; ;1 2 3 z z 1  z z2 suy ra MA MB hay tập hợp

điểm biểu diễn của số phức z là đường trung trực  của đoạn AB Ta có:

3

P z z CM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của C lên   Pmin d C ;

 Dạng 2: Cho số phức z thoả mãn z z 0 R

Tìm GTNN, GTLN của P z z1

Phương pháp: Đặt M z I z ;  0 ;E z 1 lần lượt là các điểm biểu diễn của các

số phức z z z Khi đó từ giả thiết ; ;0 1 z z 0 R  IM  R M thuộc đườngtròn tâm I bán kính R Ta có: P z z1 ME lớn nhất  MEmax và

P  ME Khi đó: Pmax IE R và Pmin IE R

 Dạng 3: Cho số phức z thoả mãn z z 1  z z2

Tìm GTNN của P z z3  z z 4

Phương pháp: Đặt M z A z ;  1 ;B z 2 ;H z 3 ;K z 4 là các điểm biểu diễn số

phức z z z z z Khi đó từ giả thiết ; ; ; ;1 2 3 4 z z 1  z z2 suy ra MA MB , tập hợp

điểm biểu diễn của số phức z là đường trung trực  của AB

Phương pháp: Đặt M z A z ;  1 ;B z 2 ;H z 3 ;K z 4 lần lượt là điểm biểu

diễn của các số phức z z z z z Khi đó từ giả thiết ta có: ; ; ; ;1 2 3 4 z z 1  z z2 suy

ra MA MB hay tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường trung trực của AB Gọi I là trung điểm của HK

Phương pháp: Đặt M z A z ;  1 ;B z 2 ;I z 0 lần lượt là điểm biểu diễn của

các số phức z z z z Khi đó từ giả thiết ; ; ;1 2 0 z z 0  R IM R  Tập hợp điểm biểu diễn M của số phức z là đường tròn tâm I bán kính R Gọi E là trung điểm của AB

Ta có:

2 2

2 w1 2 w2

z  z   N thuộc đường trung trực  của đoạn AB

Ta có: P MN , do đó: Pmin d I ;  R

 Dạng 7: Cho hai số phức z z thoả mãn 1; 2 z1 w1 R1 và z2  w2 R2 trong

đó w ;w là các số phức đã biết Tìm GTNN, GTLN của biểu thức 1 2 Pz1 z2

Phương pháp: Đặt M z 1 ;N z  2 ; w ;I 1 Kw2 Ta có

z  R  M thuộc đường tròn tâm I bán kính R 1

z  R  N thuộc đường tròn tâm K bán kính R 2

P MN Dựa vào các vị trí tương đối của hai đường tròn để tìm MNmax;MNmin.

2.3.2 Một số bài toán sử dụng phương pháp tìm Max – min của số phức trong đề thi minh họa và phát triển dạng toán [7]

Xét hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 1, z2  và 2 z1 z2  3 Giá trị lớn nhấtcủa 3z1z2  5i bằng

A 5 19. B 5 19 C  5 2 19 D 5 2 19.

Phân tích

+ Đây là dạng toán tìm Min,Max mođun của số phức

+ Với giả thiết z1 1, z2  ; 2 z1 z2  3 ta có điều gì?

+ Tìm giá trị lớn nhất của 3z1z2  5i sử dụng phương pháp nào?

Lời giải

Chọn B Đặt z1= +a bi z, 2= + với , , ,c di a b c dÎ ¡

Theo giả thiết thì a2 + =b2 1, c2+d2=4, (a c- )2+ -(b d)2= 3

Do đó a2- 2ac c+ + -2 b2 2bd+d2 = Þ3 ac bd+ =1

Cho số phức z thỏa mãn z z 2 2 z z  2i 12. Gọi M,m lần lượt là giátrị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P z 4 4  i Tính  M m

A 5  130 B. 5 61 C 10 130 D. 10  61

Phân tích

+ Với giả thiết z z 2 2 z z  2i 12. tập hợp biểu diễn số phức là gì ?+ Điểm nằm ngoài hình thoi thì khoảng cách từ điểm đó đến các điểm thượcmiền trong của hình thoi cả các điểm trên hình đó lớn nhất và nhỏ nhất khi nào?

Tập hợp điểm N x y( ; )biểu diễn số phức zthuộc miền trong của hình thoi

ABCD (tính cả trên các cạnh – hình) với A( 1; 4); (5;1); ( 1; 2); ( 7;1) B C   D Xét điểm I(4; 4) nằm ngoài hình thoi và P z 4 4 i IN

Theo hình vẽ: + IN đạt giá trị lớp nhất khi ND MID 121 9  130

+ IN dạt giá trị nhỏ nhất khi NH ( H là hình chiếu của I trên AB)

Câu 3: (VD) Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1  3i 5  2và iz2  1 2  i  4.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  2iz1  3z2

và iz2  1 2 i    4  3 z2  6 3  i  12  2

Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2iz1, B là điểm biểu diễn số phức 3z2

Từ  1 và  2 suy ra điểm A nằm trên đường tròn tâm I 1 6; 10   và bán kính

Ta có T 2iz13z2 AB I I 1 2 R1R2  122 132  4 12 313 16 Vậy maxT  313 16

Câu 4: (VD) Cho số phức z có phần ảo khác 0 và w 2 2

z z



 là một số thực Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K  z 4i 2

A 2 2 2 B 2 3 2 C 4 2 D 2 2

Phân tích:

+ Với z a bi  theo giả thiết tìm mối liên hệ của ,a b

+ Sủ dụng bất đẳng thức Bunhia Copski để giải quyết bài toán

Lời giải Chọn CĐặt z a bi  với ,a b  và b 0 Ta có

+ Tập hợp biểu diễn số phức z1và z2 theo giả thiết là gì?

+ Khoảng cách từ 1 điểm thuộc đường tròn đến đường thẳng cố định lớn nhất vànhỏ nhất khi nào?

Lời giải Chọn B

Khi đó z1  z2 là khoảng cách từ 1 điểm thuộc d đến 1 điểm thuộc ( ) C

Suy ra: min  

55

P MN d I   R    

Câu 6: (VD) Cho các số phức z w, thỏa mãn

3 55

w i 

và

5

24

w

i

z   Giátrị lớn nhất của biểu thức P z 1 2 i  z 5 2 i bằng

5

24

Tính T a b 

A

52

T 

32

T 

132

T 

92

2

z  i

thì tập hợp điểm biểu diễn số phức z là gì?

+ Dùng phương pháp tọa độ trong phẳng để giải bài toán

Lời giải Chọn A Gọi M x y I ;  ; 3; 1  lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z và

3 i

133

R 

cóphương trình:  32  12 13 

(với H1;2 là trung điểm của AB).

Do đó Pmin  HMmin  M M0 Phương trình HI: 3x2y 7 0

254;

2

M M

Gọi I4;5, J1;0 Gọi A B, lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z1, 2.

Khi đó A nằm trên đường tròn tâm I bán kính R 1, B nằm trên đường tròn tâm J bán kính R 1 Đặt z  x yi x y; , R.

A B



 

Vậy M  z z1 2 AB 20 2 5

Câu 9: (VDC) Cho các số phức w, z thỏa mãn

Chọn C Gọi z x y   i, với x y  , R Khi đó M x y ;  là điểm biểu diễn cho số

phức z Theo giả thiết, 5w 2 i  z 4  5 w i    2 i  z 45i

+ Gọi M là điểm biểu diễn số phức u

5 103

A B

Phương trình đường thẳng AB: 3x y 6

+ Goị N là điểm biểu diễn số phức v:

+ Với 2 z1  i z1  z1  2i và z2 i 10 1 thì tập hợp điểm biểu diễn số phức

1, 2

z z là gì?

+ Dùng phương pháp tọa độ trong phẳng để giải bài toán

Lời giải Chọn AGọi z1 a bi a b ,   Ta có

Ta có: z2  i 10 1  Tập hợp điểm N biễu diễn z là đường tròn 2  C có tâm

+ Với z 2 3i   z i 2 5 thì tập hợp điểm biểu diễn số phức z là gì?

+ Dùng phương pháp tọa độ trong phẳng để giải bài toán

Lời giải Chọn C