Ứng dụng của tỉ số thể tích để giải một số bài toán hình học không gian lớp 12

Lý do chọn đề tài Toán học là một ngành khoa học gắn liền với những suy luận logic chặt chẽ, tính chính xác và ngắn gọn.Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một ngành khoa học gắn liền với những suy luận logic chặt chẽ,

tính chính xác và ngắn gọn.Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh rất

e ngại học môn hình học không gian vì các em thường có tâm lí: Bài tập trong phần này quá khó, hình vẽ không trực quan, không biết cách trình bày lời giải một bài toán mạch lạc, logic Chính vì thế có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức

Để tính thể tích khối đa diện ta thường áp dụng hai phương pháp: Phương

pháp thứ nhất là tính trực tiếp thông qua việc tính diện tích đáy và chiều cao của khối đa diện Việc tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp trực tiếp đòi hỏi học sinh phải xác định được chiều cao của khối đa diện và tính chiều cao đó Việc này làm cho một số học sinh gặp khá nhiều khó găn do phải vận dụng các kiến thức về đường thằng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

đã học từ lớp 11 Khi việc xác định và tính chiều cao của khối đa diện gặp khó khăn hoặc khối đa diện cần tính không phải những khối đa diện có công thức

tính thể tích đã học thì ta sử dụng phương pháp thứ hai

Phương pháp thứ hai là phương pháp gián tiếp Để tính thể tích khối đa diện

bằng phương pháp gián tiếp thì học sinh chỉ cần nắm được một số kiến thức cơ bản về thể tích khối chóp, khối lăng trụ và tỷ số thể tích trong khối chóp tam giác Lời giải bài toán tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp thường ngắn gọn, dễ hiểu

Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng những năm gần đây, câu

hình học không gian luôn là câu khó đối với đa số thí sinh, phần lớn các em đã quên các kiến thức hình học không gian ở chương trình hình học lớp 11 Do đó, việc học hình học không gian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ ra rất lúng túng Trước tình hình đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã thử giải các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho được lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình học không gian

ở lớp 11 là có thể làm được

Trước kì thi Đại học – Cao đẳng đến gần, với mong muốn có thể cung cấp

cho các em học sinh thêm một phương pháp để tính thể tích của các khối đa

diện, tôi nghiên cứu và viết đề tài: '' Ứng dụng của tỉ số thể tích để giải một số bài toán hình học không gian lớp 12 ''

1.2.Mục đích nghiên cứu

- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và môn Hình học 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh

có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng ra đề đổi mới hiện nay

- Góp phần gây hứng thú học tập tính thể tích khối đa diện cho học sinh, một trong các phần được coi là hóc búa, đòi hỏi tính tư duy cao và không những chỉ giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các kiến thức

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài được áp dụng trong phần tính thể tích khối đa diện và khoảng cách trong chương trình hình học lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

a Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung

đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

b Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung tính thể tích khối đa

diện

- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.

- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các

tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nhiều năm dạy lớp 12, tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn

khi học chủ đề thể tích khối đa diện, các em nghĩ mình không học được chủ đề này do khối kiến thức khó đòi hỏi nhiều tư duy, nên các em bỏ qua không quan tâm Bản thân tôi qua nghiên cứu các bài tập trong sách giáo khoa, các đề thi trong những năm gần đây, và nhận thấy :

2

- Phần lớn học sinh chưa có phương pháp học phù hợp để học hình học

không gian

- Tài liệu tham khảo còn hạn chế, việc đầu tư thời gian vào bộ môn còn ít

- Trong tiết học lí thuyết học sinh chủ yếu nắm được lí thuyết với một số

dạng bài tập áp dụng đơn giản, chưa thể rèn luyện được kĩ năng giải toán một cách thành thạo Khi về nhà các em không tự mình rút ra được một số vấn đề, một số dạng bài toán cơ bản cần rèn luyện

- Các em còn thiếu ý thức trong học tập, chưa hiểu rõ được sự quan trọng của học tập, nên khi giáo viên yêu cầu học sinh về chuẩn bị bài, hay soạn bài theo nội dung giáo viên hướng dẫn có một số học sinh vẫn chưa tích cực làm theo, thậm chí có học sinh không làm hoặc làm dưới dạng đối phó

- Khi học xong tiết lí thuyết học sinh không biết cách tự mình nắm chắc lí thuyết, rõ ràng sau đó hệ thống lại kiến thức mình học một ngắn gọn vào sổ tay

cá nhân của mình

- Học sinh không biết cách tự mình tham khảo sách giáo khoa một cách chọn lọc, học sinh quá lệ thuộc vào sách giáo khoa, chưa chú trọng những gì thầy cô giảng trên lớp

- Đại đa số học sinh không được tiếp thu nhiều với các dạng toán trong quá trình học tiết lý thuyết ( thời gian ít), khả năng tư duy nhìn chung còn thấp nên thấy lạ với nhiều bài toán

- Học sinh ít chịu tư duy, lập luận không có tính lôgic, thiếu tính cần cù, kiên nhẫn và nhạy bén trong khi giải bài tập Vì đa số học sinh thường có tâm lí sợ sệt, rất ngại khi gặp phải những dạng bài tập khó, phức tạp nên dần dần tạo thành một thói quen là học theo kiểu đối phó

- Phần lớn học sinh không biết cách nhận dạng đề, không nắm bắt được phương pháp giải Chưa biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, chưa biết nhìn bài toán theo không gian và khả năng để vận dụng vào các bài toán tính thể tích khối đa diện nói chung và khối chóp tam giác nói riêng còn rất kém

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1.Thời gian và các bước tiến hành

Tìm hiểu đối tượng học sinh khối 12 các năm học :2018-2019 ,2019-2020,

2020-2021

2.2.2.Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học

Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở ba lớp tôi kiểm tra đầu năm học 2020-2021 : 12 ;12 ;12A1 A2 A trường PT Nguyễn Mộng Tuân, kết quả như3 sau:

Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải được trước khi thực hiện đề tài

2020-2021

1

2

3

Đứng trước thực trạng tên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK Song song với việc cung cấp tri thức tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng giải toán, phát triển tư duy cho học sinh để trên cơ

sở này học sinh không chỉ học tốt phần này mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác

2.2.3 Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên

Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả chưa cao Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ ở các điểm sau:

- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc

- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt

- Học sinh có tâm lí sợ học môn hình học

Đây là môn học đòi hỏi tư duy, thực sự khó đối với học sinh Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng của môn hình học trong đời sống hàng ngày

Giáo viên cần nắm rõ tình hình từng đối tượng học sinh, để có biện pháp giúp

đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém Bằng biện pháp rèn luyện tích cực và phân tích nội dung một cách thích hợp

4

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải

quyết vấn đề

2.3.1 Cơ sở lí thuyết

2.3.1.1 Công thức tính thể tích của khối chóp

1

3

V  B h

trong đó B: diện tích đa giác đáy

h : chiều cao

2.3.1.2 Công thức tính thể tích của khối lăng trụ

V B h

trong đó B: diện tích đa giác đáy

h: chiều cao

2.3.1.3 Công thức tỉ số thể tích của 2 khối chóp

Cho khối chóp SABC , A'SA B, 'SB C, 'SC

Khi đó:

' ' '

SABC

SA B C

V SA SB SC

V SA SB SC .

Đặc biệt : M SC SABM

SABC

V SA SB SM SM

V SA SB SC SC

5

S

A

B

C

D H

A

D

S

M

B'

S

A

B

C A'

C'

B S

C

A

H

A'

B'

C' H'

2.3.2 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

Để thực hiện đề tài cần dựa trên những kiến thức cơ bản sau:

Bài toán1: (Bài4 sgk HH12CB trang25)

Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác điểm S CMR: ' ' '

.

S A B C

S ABC

V SA SB SC (1)

Giải:

Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc

của A và A’ lên (SBC)

Ta có AH//A’H’ Ba điểm S, H, H’ cùng thuộc hai

mp (AA’H’H) và (SBC) nên chúng thẳng hàng Xét 

SAH ta có SA' A H' '

SA  AH (*)

Do đó





' ' ' ' '

.

3

SB C

S A B C

A H S





Từ (*) và (**) ta được đpcm □

Trong công thức (1), đặc biệt hoá, cho B’B và C’C ta được

' ' '

'

S A B C

S ABC

Ta lại có

'

S ABC S A BC A ABC

SA

SA

'.

.

1

A ABC

S ABC

6

Vậy: '.

.

'

A ABC

S ABC

Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây:

Chú ý:

*Nhận xét:

1, Ta có thể chứng minh công thức (1’) bằng công thức tính thể tích :

Gọi H, H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của hình chiếu vuông góc của của S

và A1 lên mp(ABC) Khi đó A,H,H’ thẳng hàng và SH // A1H1 Do đó

SA

A

A

SH

H

A' ' '

 mà V SABC SH.S ABC

3

1

 ; V A ABC A H.S ABC

3

'  Từ đó ta có :

'.

.

'

A ABC

S ABC

V  SA

2, Công thức (1) chỉ dùng cho hình chóp tam giác.Các khối chóp khác muốn

sử dụng công thức này thì phải phân chia thành các khối chóp tam giác

- Các kết quả:

+ Hai khối chóp có cùng diện tích đáy thì tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số hai đường cao.

+ Hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ

số hai diện tích đáy.

+ Hai khối đa diện đồng dạng thì tỉ số thể tích của chúng bằng lập phương tỉ số đồng dạng.

+ Khối chóp và khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau thì thể tích khối chóp bằng 1

3 thể tích của khối lăng trụ.

Từ bài toán trên ta áp dụng giải các bài toán sau các bài toán sau:

Ví dụ minh họa

Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích của các khối đa diện và một số ứng dụng của nó

Dạng 1: Rèn luyện cho học sinh sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán tính tỉ số thể tích các khối đa diện.

Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABCD có SA  ( ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật ABa;AD 2a;SA 2a.Mặt phẳng (  ) qua A vuông góc với SC cắt

SB,SC,SD tại lần lượt là B’,C’, D’ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi mp(  )

*Câu hỏi gợi mở:

-Hai khối đa diện được phân chia có phải là khối chóp đa giác không?

-Phân chia khối chóp tứ giác thế nào để có thể áp dụng bài toán tỉ lệ cơ bản

-Tỉ lệ các đoạn thẳng chia trên các cạn bên có xác định được không?

Giải:

Ta có: AB' SC;BC  AB' (vì BC  (SAB))

SB AB SBC

Tương tự AD ' SC

Do ABCD là hình chữ nhật nên

5

2

2 AD a

AB

AC  

Tam giác SAC là tam giác vuông nên

3

4

2

SC

SA SC SA

SC SC a AC

SA

Tam giác SAB vuông tại A nên

5

4

5

2 ' 2 '

2

SB

SA SB SA

SB SB a

AB

SA

B'

C

B

S C' D'

Tam giác SAD vuông tại A nên

2

2

2 2

2 ' 2 '

2

SB

SA SD SA

SD AD a

AD SA

Ta có V S.AB'C'D' V S.AB'C' V S.AC'D'

5

4

.

' '

' '







SC

SC SB

SB SA

SA V

V

ABC S

C AB

2 1

45

8

.

' '



ABCD

S

C

AB

S

V

V

9

2 9

4 2

1

.

' '

' '







SC

SC SD

SD SA

SA V

V

ACD

S

D

AC

2

1

9

1

.

' '



ABCD S

D AC S

V V

8

Vậy 91 458 1345

.

' ' '







ABCD S

D C AB S

V

V

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'.Gọi M là trung điểm của

'

CC ,I là giao điểm của B'M và BC'.Tính tỉ số thể tích của tứ diện A’ABI và thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

*Câu hỏi gợi mở:

-Vị trí điểm I có gì đặc biệt.Có thể xác định vị trí của nó so với các điểm đã biết không?

-Tứ diện A ’ ABI đưa về hình chóp tam giác với đỉnh nào cho phù hợp?

-Mối quan hệ giữa mặt đáy với các mặt của hình lăng trụ?Thiết lập mối quan hệ với thể tích của tứ diện với thể tích của các khối chóp có thể tính theo tỉ

lệ trong các bài cơ bản

Giải :

Vì BB'// CC'nên

3

2 2

1

' '

' '









B C

IB BB

M C IB

I C

Ta có

' ' ' '

' ' '

' '

' '

1 3

2 3

2 3

2

C B ABC C

B B BB

A C BB

A I ÂB

A

I

ÂBI

' ' '

.

9

2

C B

A

ABC

V

' ' '

'

.



C B

ABC

ABI

A

V

V

I M B'

C'

B A'

* Bài tập tham khảo:

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có

trực tâm H và cạnh bằng a Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,

CA và M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp H.MNP và S.ABC Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP

ĐS: .

.

1 32

H MNP

S ABC

V

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt

phẳng () qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N Tính SM

SC để mặt phẳng () chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau ĐS: SM  3 1

Dạng 2: Ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích

Ví dụ 1: (ĐH khối B – 2008 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,  0

90

BADABC  ,

AB BC a AD   a SA ABCD và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của SA và SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a

Giải:

Áp dụng công thức (1) ta có

.

.

.

.

1 2 1

4

S BCM

S BCA

S CMN

S CAD

Suy ra

2

S BCNM S BCM S CNM S BCA S CAD

Ghi chú:

1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức 1 .

3

V  B h gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối

S.BCNM về tính V SBCA và V SCAD dễ dàng hơn rất nhiều

2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN

Ví dụ 2: (ĐH khối A – 2007 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần

lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Tính thể tích

khối tứ diện CMNP theo a

Giải:

Ta có

10

2a a

2a

A

D

S

P

M

H

N C

S

D

B A

.

1

4 1 ( ) 2

CMNP

CMBD

CMBD M BCD

CSBD S BCD

a

b

Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được

.

.

CMNP

CMNP S BCD

S BCD

V

Gọi H là trung điểm của AD ta có SH AD mà (SAD)  (ABCD) nên

.

96

CMNP

a

Ví dụ 3: (ĐH khối B – 2006 )

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a

2 SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I

là giao điểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có I là

trọng tâm của tam giác ABC, do đó

AO   AC 

AIMN

ACDN

V AC AD   (1)

Mặt khác ACDN 12

ACDS

V SC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra AIMN 121

ACDS

V

a a a

a

(đvtt)

a

a

a 2

I

M

O

C

A

D

B

S

Bài 1: Cho khối tứ diện ABCD có   0  0

ABC BAD  CAD

AB a AC  a AD 3a Tính thể tích tứ diện ABCD

2

ABCD

a

Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông

góc với đáy và SA = 2a Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên

SB và SD Mp(AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a

ĐS:

3 ' ' ' '

16 45

S A B C D

a

Dạng 3: Rèn luyện cho học sinh sử dụng công thức tỉ số thể tích để giải các bài toán về khoảng cách :

Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác định chân đường cao Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao của khối đa diện Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ, trước

mỗi bài toán học sinh tự đặt câu hỏi:” Với điều kiện của bài toán thì việc dựng chân đường vuông góc của điểm đã cho xuống mặt phẳng có thực hiên được không?Nếu khó khăn hoặ c qua phức tạp thì có thể dùng công thức ngược thông qua tỉ số thể thể tích không?Xác định khối chóp cần tính thể tích.”

Phương pháp: Để giải dạng bài toán này chúng ta sử dụng công thức:

1 3

3

V

V B h h

B

Ví dụ 1 : (ĐH khối D – 2008)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC

= a, AA’ = a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C

Nhận xét:

- ta tính được tỉ sốthể tích CAEM

CAEB

V

V

- Nhận thấy .

.

1 2

C AEM

C AEB

V CB 

12