de cuong on tap dai ki 2 du chi tiet

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.. 1..[r]

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

với mọi x K và kí hiệu F x  f x dx 

2 Một số tính chất quan trọng của nguyên hàm

Đạo hàm các hàm sơ cấp

 x n ' nx n 1



' 2

sinxdx cosx C

2 tancos

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số

Phương pháp:

1 Biến đổi hàm số f(x) về những hàm số có

trong bảng nguyên hàm:

1 1 2 2( ) ( ) ( ) n n( )

- Sử dụng các phép biến đổi lượng giác

- Công thức biến đổi tích thành tổng



25 tan 5xdx

27

1( 1)dx





Ta có: F x'( )4sinx(4x5)e x1/ 4cosx(4x5)e x4e x 4cosx(4x9)e x f x( )

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x)

Bài tập:

Bài 1: CMR: hàm F x( ) x2 2x2 là một nguyên hàm của hàm số 2

1( )

Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C

Thay giá trị C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm

( ) 1 sin 3

f x   x biết F(6

)= 0

( ) sin 2 os3 3tan

f x  x c x x biết rằng F  0

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa, tính chất

x dx x



4

1

0( x 2)

8 6.

6

0sin 6 sin 2x xdx





6



0

π 6 sin x sin 4 x dx

7



0

π sin 2 x cos 3 x dx

.8

x dx

x dx



20

4 2 0

x dx







Dạng 2: Tích phân đổi biến số dạng 1

Dấu hiệu nhận biết:

Tích phân chứa a2x2 hoặc 2 2

;

2 2

t  

  để cost 0Tích phân chứa x2 a2 thì đặt cos

a x

= 4



VD 2: Tính

1 2

2

0 1

dx I

x dx x

2+2 x +x2dx(đặt x+1=tant)

9 3x dxx

B2 Đổi biến x = a => u = u(a) ; x= b => u = u(b)

B3 Biến đổi f(x)dx = g(u)du

B4

( )

( ) ( ) ( )

u b b

- Tích phân có chứa lũy thừa, đặc biệt là lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức dưới lũy thừa bằng t

- Tích phân có chứa căn thức, đặt cả căn thức bằng t hoặc đặt biểu thức trong căn bằng t

- Tích phân có chứa mẫu số, đặt mẫu số bằng t

- Tích phân chứa ( ) /( ),sin ( ), os ( ),e ( )x

- Tích phân có chứa cả ;ln

dx x

x , đặt tlnx

- Tích phân có chứa cả f x( )2 và

dx

x , nhân cả tử và mẫu với x rồi đặt tx2

- Tích phân của các hàm số hữu tỉ:

- Nếu mẫu số có nghiệm, đưa về tích phân của hàm số logarit

- Nếu mẫu số vô nghiệm, đưa về dạng x2a2, đặt xa tant

- Tích phân của hàm số lượng giác:

- Biến đổi lượng giác: hạ bậc, biến tích thành tổng, đặt tan2

x

t 

- Bậc lẻ với sin thì đặt tcosx

- Bậc lẻ với cos thì đặt t sinx

- Cận tích phân đối nhau đặt t = -x; bù nhau đặt t  x, phụ nhau đặt t 2 x

0 1

x t

1 tan xcos x dx

VD 5: Tính tích phân I =

ln 2 x

x 2 0

edx(e +1)

Đặt t = ex +1, suy ra dt = exdx



0

π 6 cos x√1+3 sin x dx

(t 1 3sin ) x

6 

1

e 1+ln x



Đáp số:

16 6 33

1 x

dx x





4

2 5 0

sin 2

1 cos

xdx x

Đặt:

( ) P(x)

 Đặt   2

1ln

ln x

dx x

sin 2(1 cos )

xdx x

Phương pháp

Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a x1 x2 bf(x) + 0 - 0 +

Bước 2 Áp dụng tính chất cộng tích phân để tách thành các tích phân rồi tính

.Vậy

59I2

=

VD 2 Tính tích phân

2

2 0

x

0 6

p 2

p2sin x- 1 - 0 +

VD 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y e x1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x 1.

VD 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y = x

 Vậy S =

1 2 2



94

y x



, trục hoành và hai đường thẳng x2, x3.

Bài 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: xy2  4y3, trục tung, trục hoành

x y



 , trục hoành và hai đường thẳng x 0, x 2

30,

12 ysin ,x ycos ,x x0,x 

13 (C):y x 33x2 6x2 và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1

14 (C): y x 2 2x2 và các tiếp tuyến của (C) đi qua

3( , 1)2

Dạng 7: Ứng dụng tích phân để tính thể tích của vật thể khi quay quanh trục hoành, trục tung

1 Công thức tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 Điểm lưu ý đầu tiên hãy xác định xem quay quanh trục hoành hay trục tung

 Đối với bài toán hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường phức tạp (không áp dụng trực tiếp được công thức (1) hoặc (2)), thì nhất thiết phải vẽ hình và xét phương trình tương giao, dựa vào hình vẽ và tính chất chia thể tích để đưa ra công thức phù hợp

 Việc vẽ đồ thị rất quan trọng khi phải tính diện tích, thể tích của những hình gồm nhiều đường, phức tạp

, trục tung và hai đường thẳng y1, y4 khi quay quanh trục tung

Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x

Đáp số: V=

185



Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

khi nó quay xung quanh trục Ox:

 1 3  2;  0;  0;  3 3

y x x y x x

Đáp số: V=

8135



Bài 3 Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y x y x khi quay quanh trục hoành

Bài 4 Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2

x my , trục tung và hai đường thẳng y1, y1 khi quay quanh trục tung (m là tham số khác 0)

Bài 5 Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:,

2, 2 2 3

xy x y  khi quay quanh trục tung

Bài 6 Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Bài 7 Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y x x x y khi nó quay quanh trục Ox

Bài 8 Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y x x x y khi nó quay quanh trục Oy

Bài 9 Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

1

y x , trục hoành và đường thẳng x 4 khi quay quanh trục hoành

Bài tập tích phân tốt nghiệp THPT một số năm gần đây:

1

2

2 0

sin 2

4 cos

x dx x

11 1

4 5ln

e

x dx x





(TN 2011) Đáp số

3815

Số phức a − bi được gọi là số phức liên hợp của số phức a+bi Kí hiệu z= a – bi

Nhận xét: Tính toán trên số phức thật ra không khác gì với phép tính trên tập số thực Chỉ có

điều, bạn hãy xem số phức i là một kí hiệu mà i 2 1

i z i



e) 1 i 33

i i



d) z(7 3 ) i 2 (2 i)2 ĐS: thực 37, ảo -38 e) z(2 3 ) i 2 Đs : thực -5, ảo 12

ĐS: thực -6 ảo 9i) z 

1 24

1

i i

4(1 )(4 3 )

f

2 1

1) Đường thẳng: * x x 0 song song hoặc trùng với trục ảo Oy

* yy0 song song hoặc trùng với trục thực Ox

* ax by c  0 a2b2 0

2) Đường tròn: x a 2y b 2 R hay x2 2y2 2ax 2by c 0

có tâm I a;b 

bán kính R3) Hình tròn: x a 2 y b 2 R2

b)

 

 

2 2

2 2

trong mặt phẳng phức (thực chất là mặt phẳng tọa độ Oxy)

Tập hợp điểm là đường thẳng có phương trình 6x8y 25 0

VD 3: Cho các số phức z1   1 i,z2   1 2i Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức z12, z z1 2,

2 1

c) Là hai trục Ox, Oy d) Là trục ảo Oy trừ điểm 0 1; 

e) Là đường thẳng song song với Oy, cắt Ox tại điểm (5;0)

f) Là đường thẳng song song với Ox, cắt Oy tại điểm (0;-4)

Bài 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từngđiều kiện sau:

c) z 1và phần ảo của z bằng 1

ĐS: a) là đường thẳng 4x8y 3 0

b) là đường thẳng 24x 4y35 0

c) là giao điểm của đường tròn tâm O bán kính bằng 1 và đường y = 1

Bài 3: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn đồngthời z  1 2 và z   z 1 i

Phương trình có hai nghiệm phức: 1,2

Phương trình có hai nghiệm phức: 1,2

e) x2 3x 4 0f) 3x2  x 1 0ĐS

 g) 3 2.x2  2 3.x 2 0 ĐS: 6 (1 )