Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán 8 tại trường THCS chu văn an nga sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓAPHÒNG GD & ĐT NGA SƠN ------SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC TOÁN 8 TẠI TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN HUYỆN N

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN

- -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC TOÁN 8 TẠI TRƯỜNG

THCS CHU VĂN AN HUYỆN NGA SƠN

Người thực hiện: Mai Văn Trường

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vi công tác: Trường THCS Chu Văn An

SKKN thuộc lĩnh vực ( môn ): Toán

THANH HÓA NĂM 2021

SKKN……….

2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN……… 3

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện………. 32.4 Hiệu quả của

1 MỞ ĐẦU.

1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong chương trình THCS, môn toán chiếm một vai trò rất quan trọng Vớiđặc thù là một môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp học sinh pháttriển năng lực tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi khám phá tri thức, và khảnăng vận dụng những kiến thức, hiểu biết của mình vào thực tiễn cuộc sống Màtoán học còn là môn khoa học công cụ giúp các em học tốt các môn học khác vàgóp phần phát triển năng lực cho học sinh một cách toàn diện

Chính vì thế việc giúp các em học sinh yêu thích, say mê toán học, giúp các

em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức cũng như kèmcặp, phụ đạo cho học sinh yếu kém trong học toán là một yêu cầu tất yếu đối vớigiáo viên dạy toán Nhất là đất nước ta đang trong thới kỳ hội nhập, thời kỳ côngnghiệp hoá, hiện đại hoá, rất cần những con người năng động, sáng tạo có hiểubiết, có tri thức

Trong quá trình dạy toán 8 tôi nhận thấy khi biến đổi đồng nhất các biểuthức hữu tỷ, chứng minh chia hết, giải phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyêncủa phương trình, chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình… có nhiềubài toán phải biến đổi đa thức thành nhân tử Chính vì vậy giáo viên cần phảicung cấp cho các em một cách hệ thống các phương pháp phân tích đa thứcthành nhân tử vì nó là công cụ giải toán rất hữu hiệu, giải quyết đa số các dạngtoán trong chương trình môn toán lớp 8 và là cơ sở cho các em học tiếp ở cáclớp trên

Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này:

“ Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán lớp 8

tại trường THCS Chu Văn An huyện Nga Sơn”

- Học sinh vận dụng thành thạo, có hiệu quả việc phân tích đa thức thành nhân

tử để giải một số bài tập liên quan

1.3 Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp phân tích thành nhân tử và các

dạng bài tập ứng dụng phương pháp phân tích thành nhân tử cho đối tượng họcsinh lớp 8 trường THCS Chu Văn An huyện Nga Sơn tỉnh Thanh Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu Khi nghiên cứu đề tài này tôi đã sử dụng các

phương pháp: Khảo sát thống kê, kiểm tra đánh giá thu thập thông tin số liệu, từ

đó xây dựng cơ sở lí thuyết vững chắc và kết hợp nhuần nhiễn các phương phápdạy học như: Nêu và giải quyết vấn đề, Vấn đáp gợi mở, Phân tích tổng hợp, …trong quá trình sử dụng sáng kiến

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm Ngoài việc sáng kiến kinh

nghiệm rất có hiệu quả trong giảng dạy học sinh đại trà, Sáng kiến còn là nguồntài liệu rất hữu ích cho các thầy cô giáo và học sinh tham khảo trong công tácbồi dưỡng học sinh giỏi các cấp

2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

- Phân tích đa thức thành nhân tử, là một trong những chuyên đề toán họcquan trọng có liên quan đến rất nhiều các chuyên đề Đại số lớp 8 và các lớp họcsau này

- Kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những kĩ năng biếnđổi đầu tiên của chương trình đại số

- Để phân tích một đa thức thành nhân tử, ta không chỉ sử dụng mộtphương pháp mà ta có thể phối hợp sử dụng nhiều phương pháp khác nhau

- Đặc biệt trong dạy học toán theo chương trình đổi mới thì việc dạy họctheo phương pháp tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, học sinh đượctiếp cận kiến thức một cách chủ động sáng tạo, từ những bài toán cụ thể, cácphương pháp giải cụ thể, sẽ giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản một cáchchắc chắn, và tạo ra sự hứng thú, say mê học tập tìm tòi nghiên cứu các bài tậpnâng cao

- Dạy học hướng dẫn học sinh “ Phân tích đa thức thành nhân tử và

ứng dụng trong dạy học toán lớp 8” không chỉ phát huy tính năng động sáng

tạo cho học sinh mà nó còn phát huy được khả năng liên hệ kiến thức cũ và mớicho học sinh Bên cạnh đó nó còn có tác động tích cực đến khả năng vận dụngkiến thức đã học vào thực tế đời sống hàng ngày Từ đó giúp các em tiến bộ hơn,thành đạt hơn trong học tập, cũng như trong đời sống, để các em có thể hoànthành ước mơ, hoài bão của mình trong đời sống, và kế thừa sự nghiệp của đấtnước, tiếp thu vận dụng sáng tạo nền văn minh của nhân loại

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.2.1 Đối với giáo viên: Có thể nói phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở để

các em có thể biến đổi, rút gọn các biểu thức đại số và đây là một trong những

kỹ năng quan trọng trong học đại số Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy có nhiềugiáo viên chưa thực sự chú trọng đến vấn đề này, mà lúc nào cũng yêu cầu họcsinh phải rút gọn thành thạo các biểu thức đại số Trong khi đó: Để rút gọn đượcbiểu thức đại số, thì học sinh phải biết cộng trừ các phân thức đại số ⇒ phải biết

quy đồng mẫu các phân thức ⇒ phải biết tìm mẫu chung ⇒ phải biết phân tích

các mẫu thức thành nhân tử

2.2.2 Đối với học sinh:

- Trong thực tế hiện nay mức độ biến đổi tính toán của các em là rất hạn chế

- Trong cấu trúc các đề kiểm tra, đề thi vào lớp 10 THPT, đề thi học sinh giỏiTHCS luôn có phần kiểm tra kĩ năng tính toán, rút gọn biểu thức

- Có thể áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để giải một số dạng toánnâng cao rất hiệu quả trong dạy bồi dưỡng học sinh giỏi

- Khảo sát học sinh về phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng tại hai lớp8A và 8B trường THCS Chu Văn An huyện Nga Sơn năm học 2019 – 2020 kếtquả phản ánh như sau:

- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành nhân tử

- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh

- Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán để

từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh

- Thấy được tầm quan trọng của ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử tronggiải toán.

2.3 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức.

2.3.1.1 Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung:

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a 4x2 – 12x = 4x(x – 3)

b 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)

= 2(x – y)(5x +4y)

Chú ý:

- GV cần nhấn mạnh cách xác định nhân tử chung cho học sinh.

- Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.

- Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức, chẳng hạn:

- x4y2 - 8x2y - 16 = - (x4y2 + 8x2y + 16) = - (x2y + 4)2

2.3.1.3 Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5)

- Thông thường mỗi nhóm phải xuất hiện nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức

- Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm khác nhau

Chẳng hạn ở ví dụ b ta có thể nhóm bằng cách khác như sau:

ax + x + a + 1 = (ax + a) + (x + 1) = a(x + 1) + (x + 1)

= (x + 1)(a + 1)

- Nếu đa thức có nhân tử chung thì nên đặt nhân tử chung trước khi nhóm.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2

= 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)

= 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2]

= 5x3y2(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z)

2.3.1.4 Phương pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Đối với cách này để tách một cách nhanh chóng ta thường dựa vào nghiệmcủa đa thức

Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức

- Định nghĩa nghiệm của đa thức

Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0, như vậy nếu đa thức f(x)

có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a

Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các định lý sau:

- Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là nghiệm của

đa thức.

- Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng

các hệ số của luỹ thừa bậc lẻ thì - 1 là nghiệm của đa thức.

- Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì nghiệm

nguyên đó sẽ là ước của hệ số tự do.

- Định lý 4: Đa thức f(x) với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỷ

x = q p thì p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất

* Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do, không là nghiệm

của đa thức có thể dùng nhận xét sau:

Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì

1

) 1 (

+

−

a f

đều là số nguyên.

Phân tích đa thức bậc hai: F(x) = ax2 + bx + c

* Cách 1: Tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho: b1.b2 = a.c

Trong thực hành ta làm như sau:

Bước 1: Tìm tích a.c

Bước 2: Tìm hai số nguyên có tích bằng a.c mà có tổng bằng b

Ví dụ: Phân tích đa thức: x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 = (x2 – x) - (2x – 2)

4 − 2

- Nếu b 2 – 4ac < 0 thì F (x) không phân tích được

- Nếu b 2 – 4ac > 0 thì F (x) sẽ phân tích được thành hai đa thức bậc nhất.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1

= (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4)

* Chú ý : Đa thức thuần nhất ax 2 + bxy + cy 2 khi phân tích thành nhân tử ta cũng làm tương tự như đa thức bậc hai một biến.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2

Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y)

= (x - y)(4x - 3y)Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2

f(1) = 4 - 13 + 9 - 18 = - 18

f(-1) = - 4 - 13 - 9 - 18 = - 44

Hiển nhiên ± 1 không là nghiệm của f(x), ta thấy:

) 1 3 (

2.3.1.5 Phương pháp 5: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Thêm bớt cùng một số hạng để xuất hiện hằng đẳng thức

- Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phương thì mới làm tiếp bài toán được.

Thêm bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện thừa số chung

Ví dụ: x7 + x2 + 1 = x7 - x + x2 + x + 1

= x(x3 + 1)(x3 - 1) + (x2 + x + 1)

= x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)[x(x3 + 1)(x - 1) + 1)]

= (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 - x + 1)

2.3.1.6 Phương pháp 6: Phương pháp đổi biến

Thực hiện đổi biến của đa thức đã cho được đa thức mới có bậc nhỏ hơn và đơngiản hơn

Các ví dụ:

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12

Ta thấy nếu đặt (x2 + x) = y thì đa thức có dạng y2 + 4y - 12

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3Các hệ số ± 1; ± 3 là Ư(3) nhưng không phải là nghiệm của đa thức nên

đa thức không có nghiệm hữu tỷ

Như vậy, đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)Phép nhân này cho kết quả:

= + +

bd

bc

ad

d b

=

−

= +

14 3

8 6

c a

ac

c a

Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)

* Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải trên bằng cách hạng tử:

x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

= x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + 3

= x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3)

= (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)

2.3.1.8 Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị riêng

Trong phương pháp này trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biếncủa đa thức rồi gán cho các biến giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)

Nếu thay x bằng y thì P = y2(y - z) + y2(z - y) = 0

Như vậy P chứa thừa số x - y Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên P chứa

x - y thì cũng chứa y - z và z - x

Vậy dạng của P là k(x - y)(y - z)(z - x)

Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z

2.3.2.2 Giải phương trình bậc cao:

f(x) = 0 nếu có nghiệm thường được giải bằng cách phân tích f(x) thành nhân tử

Đặt x - 7 = y, phương trình đã cho là (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16

⇔ 2y4 + 12y2 + 2 = 16 ⇔ y4 +6y2 + 1 = 8 ⇔ y4 +6y2 - 7 = 0

⇔ (y2 - 1)(y2 + 7) = 0

(y2 + 7) > 0 với mọi y nên (y2 - 1) = 0; y = ± 1 tức là x = 6, hoặc x = 8

Vậy x = 6 và x = 8 là nghiệm của phương trình

2.3.2.3 Tìm điều kiện xác định và rút gọn một phân thức

Muốn tìm điều kiện xác định và rút gọn một phân thức đại số bao giờ ta cũngphải phân tích mẫu thức và tử thức thành nhân tử

Ví dụ: Tìm điều kiện định và rút gọn phân thức sau

Từ bảng xét dấu ta có nghiệm của bất phương trình là: - 3 < x < 4

2.3.2.5 Tính giá trị của biểu thức:

Ví dụ: Cho x4 + y4 = 1 Tính giá trị của biểu thức: M = 3x8 + 4x4y4 + y8 + 2y4

Ví dụ: Chứng minh rằng với x, y ≠ 0, chứng minh: x4 + y4 ≤ 62 26

x

y y

x + .

2.3.2.8 Giải bài toán liên quan đến số nguyên tố:

Ví dụ 1: Tìm số nguyên tố a sao cho 2a + 1 là lập phương của một số

Giải

* Nếu a là số chẵn, ⇒ a = 2 Thì 2a + 1 = 5 (loại)

* Nếu a là số lẻ, thì 2a + 1 cũng là một số lẻ

Khi đó ta có: 2a + 1 = (2k + 1)3 ⇔ 2a + 1 = 8k3 + 12k2 + 6k + 1 ( k ∈ N) ⇔a = k(4k2 + 6k + 3)

m2 + 2n2 – 2mn = 1 ⇔ (m – n)2 = 1- n2 ⇒ -1 ≤n≤ 1

⇒ n = 1, hoặc n = 0

* Nếu n = 1 thì m = 1 (Thoả mãn) Vì m4 + 4n4 = 5 là số nguyên tố

* Nếu n = 0 thì m = 1 (Loại) Vì m4 + 4n4 = 1 không phải là số nguyên tố Vậy với m = n = 1 thì m4 + 4n4 là số nguyên tố

2.3.2.9 Giải phương trình nghiệm nguyên:

Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x + y = xy

1 1

1 1

Vậy phương trình có hai nghiệm là: (2 ; 2) và (0 ; 0)

22) x4 + 324 23) a7 + a5 + 1

24) a7 - 1 25) (x - a)4 + 4a4

n chia hết cho 24 (n là số tự nhiên)

3) n3 - n chia hết cho 6

4) n4 - 1 chia hết cho 8

2.3.3.4 Tìm tất cả các số tự nhiên n để các số có dạng:

1) n3- n2 + n- 1 2) n3- 6n + 4 3) n5 - 2n3 – n - 14) n3- 4n2 + 4n- 1 5) n3- 6n2+ 9n - 2 6) n3 - n2- n - 2

Là số nguyên tố

2.3.3.5 Cho: a + b + c = 1 và 1 +1 +1= 0

c b

a Tính giá trị của biểu thức

12

2

2

≤ +

−

−

x

x x

2.3.3.8 Giải các phương trình nghiệm nguyên:

1) y3 – x3 = 91 2) 3x3 – xy = 1

3) p(x + y) = xy với p là số nguyên tố

2.3.3.9 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

2)

a

b b a b

a − ≥ − ( với a > 0, b > 0)

3) 2 4

ab b

a

ab ≤ + ( với a > 0, b > 0)

2.3.3.10 Tính giá trị của biểu thức:

1) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị của biểu thức:

A = (1 + )( 1 )( 1 )

a

c c

b b

2

2 5 2

2 3

2

+ + +

+ +

y y

y

y y

2) P =

ca bc ab c b a

abc c

b a

−

−

− + +

− + +

2 2 2

3 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Với những kinh nghiệm như đã trình bày, sau nhiều năm dạy và bồi dưỡnghọc sinh giỏi toán lớp 8, bản thân tôi thấy trình độ học sinh được nâng lên rõ rệt.Hầu hết học sinh đã nắm vững các phương pháp phân tích thành nhân tử đơngiản, học sinh khá giỏi đã sử dụng linh hoạt các phương pháp như đặt ẩn phụ,thêm bớt, hệ số bất định vào việc phân tích các đa thức phức tạp thành nhân

tử Học sinh còn tỏ rõ sự sáng tạo hơn trong quá trình giải bài tập, một bài tậpcác em có thể giải theo nhiều cách, sau đó các em lựa chọn cách giải dễ hiểunhất để trình bày

Mặt khác qua việc áp dụng kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử để giảimột số dạng toán khá phổ biến trong chương trình trung học cơ sở, một lần nữanói lên tầm quan trọng của việc phân tích đa thức thành nhân tử Điều đó cònkhẳng định, để trở thành học sinh khá giỏi, học sinh không thể thiếu được kĩnăng này Chính vì thế chất lượng học sinh ngày một tăng lên thể hiện qua kếtquả khảo sát học sinh đại trà ở hai lớp 8A và 8B trong năm học 2020 – 2021 nhưsau:

Lớp Số HS kiểm tra Số bài đạt yêu cầu Số bài chưa đạt yêu cầu