Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB... Thỏa mãn BPT[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT ĐỒN THƯỢNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2012
Mơn: TỐN; Khối A, B
Thời gian làm bài: 180 phút
PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 điểm)
C©u I (2,0 điểm) Cho hàm số
2 1 1
x y x
cĩ đồ thị là (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm các giá trị m để đường thẳng y3x m cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng x 2y 2 0 (O là gốc tọa độ)
Câu II (2,0 ®iĨm)
1 Giải bất phương trình x3(3x2 4x 4) x 1 0
C©u III (1,0 ®iĨm) Tính tích phân
2
2 0
1 3 sin 2x 2cos xdx
C©u IV (1,0 ®iĨm) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a AD , 2 2 a
Hình chiếu vuơng gĩc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một gĩc 450 Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a.
C©u V (1,0 ®iĨm) Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh bất đẳng thức
1
y zx z z xy x x yz y
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn
C©u VI.a (2,0 ®iĨm)
1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y 5 0, d2: 3x y 1 0 và điểm I(1; 2)
Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho AB 2 2
2 Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; -1 ;2), B(-2; -2; 1) và mặt phẳng (P) cĩ phương trình
x y z Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB Gọi
là giao tuyến của (P) và (Q) Tìm điểm M thuộc sao cho đoạn thẳng OM nhỏ nhất
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn (1 3 ) i z là số thực và z 2 5 i 1
B Theo ch¬ng tr×nh n©ng cao
C©u VI.b (2,0 ®iĨm)
1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y 5 0, d2: x 3y 5 0 và điểm I(1; 2) Gọi A là giao điểm của d1 và d2 Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại B
AB AC đạt giá trị nhỏ nhất.
2 Trong khơng gian Oxyz, cho A(1;1;0), B(0;1;1) và C(2;2;1) và mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
Trang 2-HÕt -Trường THPT Đoàn Thượng tổ chức thi thử đại học lần 3 vào chiều ngày 05 và ngày 06/05/2012
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
I
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 1 1
x y x
1,00
TXĐ : \ 1
3
( 1)
x
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1) và (1;)
2 1
1
x
x x
0,25
Lập BBT
x 1
-y 2
2
0,25
Đồ thị
6
5
4
3
2
1
-1
-2
0,25
Pt hoành độ giao điểm:
2 1
3 1
x
x m x
2
PT 2x 1 (x1)( 3 x m ) 3x (1m x m) 1 0 (1)
0,25
D cắt (C) tại A và B Pt (1) có 2 nghiệm khác 1
(1 ) 12( 1) 0
( 1)( 11) 0
1
3 (1 ) 1 0
m
m
m m
0,25 Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của (1) Khi đó A x( ; 31 x1m B x), ( ; 32 x2m) 0,25
Trang 3Gọi I là trung điểm của AB
Gọi G là trọng tâm tam giác OAB
;
m m
OG OI G
G d m
11 5
II
1
0 1
1
y
y x
y x
Bpt trở thành x3(3x2 4 )y y2 0
0,25
TH 1 y 0 x1 Thỏa mãn BPT
TH 2 y 0 x 1 Chia hai vế cho y3 ta được
x t y
và giải BPT ta được t 1
0,25
2
0
1 0
x x
x
y
x x
0,25
1
2
x x
x x
1 5 1
2
x
Vậy tập nghiệm của BPT là S =
1 5 1;
2
0,25
2
cos2x(2 cosx 1) 1 2sin x cosx
(cos x sin x)(2 cosx 1) (cosx sin x)2 2 2
(cosx sin x)(2cosx 1) cosx sin x (2)
0,25
2 (2) 2 cosx(cosx sin x 1) 0
2 cos x 1
4
Vậy pt có nghiệm là
4 ,
2 , x k2
0,25
Trang 4Tính tích phân I =
2
2 0
1 3 sin 2x 2cos xdx
1,00
sin 3 cos 0 tan 3
3
x x x x k
Do
0;
2
x
0,25
0
3
0
3 (sinx 3 cos )x dx (sinx 3 cos )x dx
0
3 cosx 3 sinx cosx 3 sinx
0,25
AC và SD theo a.
1,00
Gọi H là trọng tâm tam giác BCD Theo GT SH (ABCD)
Gọi
2
O AC BD CH CO AC a AH AC HC a
SA tạo với đáy góc 450 suy ra SAH 450 SH AH 2a
0,25
Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD thì
3
.2 2 2
Gọi M là trung điểm của SB Mặt phẳng (ACM) chứa AC và // SD
Do đó d SD AC( ; )d SD ACM( ;( ))d D ACM( ;( ))
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ Khi đó
2 4 2 (0;0;0), ( ;0;0), (0; 2 2 ;0), ; ; 2 , ( ; 2 2 ;0)
A B a D a S a C a a
0,25
Trang 55 2 2
M a
( ; 2 2 ;0)
AC a a
5 2 2
AM a
(2 2 ; ; 2 )
AC AM a a a
Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có vtpt n (2 2; 1; 2)
nên có phương trình là
2 2 2 2
8 1 2 11
x y z d D ACM
0,25
V
Chứng minh
1
y zx z z xy x x yz y
1,00
Ta có (y zx z )2 ( y y. x z. z z. )2 (y x z y z z )( )
0,25
2 2
y z x y z
VT (1)
1
y z z x x y
0,25
xy xz yz yx zx zy xy yz zx
Chứng minh được (x y z )2 3(xy yz zx ) Suy ra VT (1) 2 1 1
VI.a 1
Viết ptđt đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho AB 2 2 1,00
1 ( ; 3 5); 2 ( ; 3 1)
A d A a a B d B b b
( 1; 3 3) 0; ( 1; 3 1)
IA a a IB b b
I, A, B thẳng hàng
1 ( 1)
3 1 ( 3 3)
b k a
IB k IA
Nếu a 1 b 1 AB4 (không TM)
Nếu
1
1
b
a
0,25
M
H O B
D
C
A
S
Trang 6 2
AB b a a b t t t a b
2
2
5
t
t t
t
0,25
t a b b a x y
t a b b a x y 0,25
2
Gọi I là trung điểm của AB
3 3 3
; ; ( 1; 1; 1)
2 2 2
I AB
Pt (Q) là
3 0 2
x y z
0,25
Đường thẳng đi qua điểm
7 1
;0;
4 4
I
và có vtcp u (2; 1; 1)
Pt tham số của là
7 2 4
1 4
y t
0,25
2
M M t t t OM t t
OM nhỏ nhất
; ;
t M
VII.a
Tìm số phức z thỏa mãn (1 3 ) i z là số thực và z 2 5 i 1 1,00
Giả sử z x yi , khi đó (1 3 ) i z (1 3 )(i a bi ) a 3b(b 3 )a i 0,25
(1 3 ) i z là số thực b 3a 0 b3a 0,25
2 5 1 2 (5 3 ) 1 ( 2) (5 3 ) 1
z i a a i a a 0,25
Vậy
7 21
2 6 ,
5 5
z i z i
0,25
VI.b 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại B và C sao
AB AC đạt giá trị nhỏ nhất
1,00
1 2, 1 2 ( 2;1)
Gọi H là hình chiếu của A trên BC.
AB AC AH
0,25
Trang 72 2
1
AH
Khi đó qua I và có vtpt n AI ( 1; 1)
2
Tìm M thuộc (P) sao cho MA2 + MB2 + MC2
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất MG nhỏ nhất M là hình chiếu của G trên
1; ;
3 3
G
Tìm được
14 13 41
; ;
33 33 33
M
VII.b
Giải hệ phương trình
2
1,00
Đk Giải hệ phương trình
(1) 2 log (1x x y) 2 2 log y 1 x 6
2 2logx y 2 2log y 1 x 6
0,25
Đặt tlog (1x y2) ta được
2 2
2 2t 6 2t 4t 2 0 t 1
t
2 1
y x Thế vào (2) ta được
2 0
0 (KTM)
x
x x
x
Vậy x2,y1
0,25