Nâng cao, phát triển một số dạng toán mức độ vận dụng, vận dụng cao chương 2 mặt nón – mặt trụ mặt cầu hình học 12

Trong đề thi trước đây các câu của “ Chương 2: Mặt nón – mặt trụ - mặt cầu ” không có trong đề, hoặc nếu có thì chỉ dừng ở mức độ dễ, nội dung mang tính hàn lâm, do đó khi ôn thi cho học

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi : Hội đồng sáng kiến: Sở GDĐT Ninh Bình.

Kính gửi : Hội đồng sáng kiến: Sở GDĐT Ninh Bình

Họ và tên: Ngô Thị Yến

Chức vụ: Giáo viên

Trình độ chuyên môn: Đại học

Đơn vị công tác: Trường THPT Kim Sơn B – Ninh Bình

Hộp thư điện tử: ngoyenksb@gmail.com ĐT: 0965791238

Phần trăm đóng góp : 100%

I Tên sáng kiến:

“ Nâng cao, phát triển một số dạng toán mức độ vận dụng, vận dụng cao chương 2: mặt nón – mặt trụ - mặt cầu hình học 12.”

Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học môn Toán

II Nội dung sáng kiến:

1 Giải pháp cũ thường làm:

Hiện nay với hình thức thi trắc nghiệm, nội dung thi Chương 2: Mặt nón – mặt trụ - mặt cầu đã thay đổi rất nhiều so với trước đây nên cách dạy và học chương này theo kiểu cũ đã không còn phù hợp Trong đề thi trước đây các câu của “ Chương 2: Mặt nón – mặt trụ - mặt cầu ” không có trong đề, hoặc nếu có thì chỉ dừng ở mức độ dễ, nội dung mang tính hàn lâm, do

đó khi ôn thi cho học sinh chỉ cần tập trung một số dạng toán cụ thể là được

Trong đề thi đại học cũ (từ năm 2002 đến 2016) có duy nhất một câu liên quan tới nội dung Chương 2: Mặt nón – mặt trụ - mặt cầu

Câu IV (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C   có AB a , góc giữa hai mặtphẳng A BC  và ABC bằng  60 Gọi 0 G là trọng tâm tam giác A BC Tính thể tích khốilăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Tuy nhiên hiện nay trong đề thi trắc nghiệm mới nội dung chương này đã xuất hiện nhiều hơn,

có nhiều nội dung lạ, đa dạng, nhiều câu hỏi mang tính thực tế, đặc biệt là những câu vận dụng,vận dụng cao nhằm phân loại học sinh khá giỏi

Dưới đây tôi xin minh họa những câu thuộc chủ đề MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU trong đề thi mới.

Câu 44 Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R  Mặt phẳng (P) cách O một khoảng bằng 1 và3

cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H Gọi T là giao điểm của HO với (S), tính thể tích V của khối nón đỉnh T và đáy là hình tròn (C)

Đề minh họa năm 2017 – 2018

Câu 14 Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 a 2và bán kính đáy bằng a Độ dài

đường sinh của hình nón đã cho bằng:

2

a

.

Câu 33 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 tính diện tích xung quanh S của hình trụ có xq

một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao tứ diện ABCD

Câu 27 Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3mm và chiều cao

bằng 200mm Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn bán kính 1mm Giá định

3

1m gỗ có giá a (triệu đồng), 1m3than chì có giá 8a (triệu đồng) Khi đógiá nguyên liệu làm

một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A.9,7.a (đồng). B 97,03.a (đồng). C 90, 7.a (đồng). D 9, 07.a (đồng).

Đề minh họa năm 2018 – 2019

Câu 7 Thể tích khối cầu bán kính a bằng:

kính đáy và chiều cao tương ứng là r , 1 h , 1 r , 2 h thỏa mãn 2 2 1

12



r r , h2 2h (tham1khảo hình vẽ) Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 30 (cm ) , thể tích khối3trụ H bằng1

3r h

Câu 22 Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần

lượt bằng 1m và 1,5m Chủ cơ sỏ dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và

có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể trên Bán kính đáy của bể nước dư định làm gần nhất vớikết quả nào dưới đây?

Câu 39 Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 3 Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với

trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18 Diện tích xungquanh của hình trụ đẫ cho bằng:

Đề minh họa lần 1 năm 2019 – 2020

Câu 3: Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng

3rl.

Câu 22 Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng

qua trục, thiết diện thu được là một hình vuông Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:

Câu 40 Cho hình nón có chiều cao bằng 2 5 Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình

nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng 9 3 Thể tích của khối nón được giớihạn bởi hình nón đã cho bằng:

A 32 5

Đề minh họa lần 2 năm 2019 – 2020

Câu 8 Cho khối nón có chiều cao h 3 và bán kính đáy r  Thể tích khối nón đã cho bằng 4

Câu 32: Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A , AB a và AC2a Khi quay tam

giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón

Diện tích xung quanh của hình nón bằng

A 5 a 2 B 5 a 2 C 2 5 a 2 D 10 a 2

Câu 44: Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a Khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song

song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a ,thiết diện thu được là hình vuông.Tính

thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ đã cho

A 216 a 3 B 150 a 3 C 54 a 3 D 108 a 3

Như vậy nếu dạy và học theo nội dung cũ sẽ không giải quyết được hết các vấn đề của chủ đề

Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu, đặc biệt là một số câu ở mức độ vận dụng, vận dụng cao chưa từng

xuất hiện trong các đề thi trước đây như các bài toán thực tế, min max về mặt nón, mặt trụ và mối quan hệ giữa mặt nón, mặt trụ và mặt cầu.

2 Giải pháp cải tiến:

Trước thực tế đó tôi đã đầu tư nghiên cứu đưa ra các sáng kiến để có thể giải quyết trọn

vẹn các vấn đề nâng cao của chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Đặc biệt tập trung vào các dạng

toán vận dụng, vận dụng cao dễ xuất hiện trong đề thi mới

Sáng kiến đã được trình bày một cách khoa học, có hệ thống, đầy đủ các dạng toán, đầy

đủ hướng dẫn giải Học sinh có thể tự học, phù hợp với phương pháp dạy học tích cực mới lấyhọc sinh làm trung tâm Chắc chắn sáng kiến sẽ giúp ích rất nhiều cho các thầy cô và các em họcsinh mong muốn đạt điểm cao trong kì thi trung học phổ thông quốc gia sắp tới

2.1 Cơ sở lý luận:

Toàn bộ các kiến thức cơ bản tôi đã tóm tắt chi tiết theo từng chương nhằm giúp người đọc dễ theo dõi và ghi nhớ, đi kèm với đó là các ví dụ minh họa có định hướng cách giải và lời giải cụ thể và các bài tập áp dụng tương ứng theo từng đơn vị kiến thức có đầy đủ cách định hướng giải( xem phần phụ lục của sáng kiến)

Dưới đây là các nội dung chính của sáng kiến

CHƯƠNG 1 Mặt nón, khối nón.

CHƯƠNG 2 Mặt trụ, khối trụ.

CHƯƠNG 3 Mặt cầu, khối cầu.

CHƯƠNG 4 Quan hệ mặt nón, mặt trụ.

CHƯƠNG 5 Quan hệ mặt nón, mặt cầu.

CHƯƠNG 6 Quan hệ mặt trụ, mặt cầu.

CHƯƠNG 7 Quan hệ mặt nón, mặt trụ, mặt cầu.

2.2 Giải pháp mới

Do nội dung kiến thức khá nhiều, tổng chủ đề chúng tối viết khoảng 154 trang đi kèm với nó là nhiều dạng toán mới, nhiều giải pháp để giải quyết các dạng toán mới nên không thể giới thiệu đầy đủ các giải pháp mới trong sáng kiến này, tôi xin phép chuyển toàn bộ nội dung sang phần phụ lục Dưới đây tôi chỉ xin giới thiệu qua một số nội dung tiêu biểu đảm biểu tiêu chí mới lạ kèm cách giải quyết sáng tạo

b là phân số tối giản Tính

giá trị của biểu thức T  3a2  2b3

Định hướng giải

Để tính giá trị của biểu thức T  3a2  2b3 bắt buộc phải đi tìm a b, hay tìm tỉ số

b SH

  ; Tìmr là bán kính đường tròn tâm H và độ dài

đường cao hình nón OH theo x

- B 2 : Viết công thức tính thể tích khối nón theo x

- B 3 : Dùng bất đẳng thức Côsi hoặc phương pháp hàm số để tìm GTLN.

- B 4 : Kết luận.

Lời giải Chọn A

B BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Câu 1. Cho ABC đều cạnh a và nội tiếp trong

đường tròn tâm O , AD là đường kính của đường tròn

tâm O Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho

phần tô đậm quay quanh đường thẳng AD bằng:

- B 1 : Gọi thể tích của khối tròn xoay sinh ra do phần tô đậm quay quanh đường thẳng

AD ; hình tam giác ABC quay quanh đường thẳng AD; do hình tròn đường kính AD

quay quanh đường thẳng AD lần lượt là V , 1 V ,2 V 3

- B 2 : Tính V1V V3 2

- B 3 : Kết luận.

Đáp án Chọn C

Câu 1. Tại trung tâm một thành phố người ta tạo ra điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón

có kích thước như sau: chiều dài đường sinh l10m, bán kính đáy R5m Biết rằng

tam giác SAB là thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm SB Trang trí một

hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C trên mặt nón Xác định giá trị ngắn nhất của chiều

dài dây đèn điện tử

Nhận xét:

Cắt hình nón theo đường sinh SA và trải phẳng ra ta được hình quạt có bán kính SA

Cắt hình nón theo đường sinh SA và trải phẳng ra ta được hình quạt có bán kính

Câu 2. Một sinh viên ở trọ sử dụng một xô đựng

nước có hình dạng và kích thước như hình vẽ,

trong đó đáy xô hình tròn có bán kính bằng 20

cm, miệng xô là đường tròn có bán kính 30 cm,

chiều cao xô là 80 cm Mỗi tháng sinh viên đó

dùng hết 10 xô nước đầy Hỏi sinh viên đó phải trả

bao nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước do

chủ nhà trọ quy định là 20000 đồng/m3 (số tiền

được làm tròn đến đơn vị đồng)?

A 42116 đồng B 35279 đồng.

C 38905 đồng D 31835 đồng.

Thể tích một xô nước đó là :

19 0, 2 0,3 0,2 0,3 0,8



D BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Câu 1. Alexander Đại đế khi chinh phục Ba Tư đã xuất khẩu thành thơ:

“Ta đem quân đến đâyMười vạn binh sĩ khỏeMỗi người một nắm đấtNém lại thành núi cao

Ta đứng trên đỉnh núiNhìn ra biển mênh mông”

Biết mỗi nắm đất có thể tích trung bình 343 cm , “núi cao” có dạng hình nón, đường 3sinh tạo với đáy góc 45o Chiều cao của “núi” gần nhất với số nào sau đây?

CHƯƠNG 2 MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ

PHẦN II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO.

DẠNG 1 HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ.

Dạng 2 VÍ DỤ MINH HỌA.

Câu 1. Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D. ¢ ¢ ¢ ¢ có

ABCD là hình vuông và thể tích không đổi bằng 54

Khối hộp chữ nhật ABCD A B C D. ¢ ¢ ¢ ¢ nội tiếp trong một

hình trụ Diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất bằng:

V

x x

Câu 5. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng chiều cao

và bằng 2a Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm O¢ lấy điểm B Đặt a là góc giữa AB và đáy Biết rằng thể tích khối tứ diện OO AB¢ đạt giá trị lớn nhất Khẳng định nào sau đây đúng?

+ Gọi A¢ là hình chiếu của A lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm O¢.

+ Gọi B¢ là hình chiếu của B lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm O

+ Gọi R là bán kính của đường tròn tâm O , suy ra: R = 2a

Ta có: a = BAB· ¢Þ AB¢= 2 tanR a Gọi I là trung điểm của AB¢Þ OI ^AB¢.+ Ta có:

y

- ¥

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Vmax khi = 1

- B 1 : Gọi M là trung điểm của OO¢

Gọi A , B là giao điểm của mặt phẳng ( )a và đường

tròn ( )O vàH là hình chiếu của O trên AB Trong

Câu 9. Cho hình trụ có chiều cao h= 2a , các đường tròn đáy lần lượt là(O R và ;  ) (O R với ';   ) R =a Biết AB là đường kính cố định của

đường tròn (O R và MN là một đường kính thay đổi trên đường;  )

tròn (O R sao cho AB và MN không đồng phẳng Tính giá';    )

trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABMN

DẠNG 2 BÀI TOÁN THỰC TẾ HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ.

V R

p. D. = 32

V R

p.

Định hướng giải

- B 1 : Biểu diễn diện tích toàn phần của hình trụ là S qua thể tích khối trụ là V và tp

bán kính R của đường tròn đáy khối trụ

- B 2 : Dùng bất đẳng thức Cô si hoặc phươn pháp hàm số để tìm GTNN.

- B 3 : Kết luận.

Lời giải Chọn D

V p

1 0000 / m2 Hỏi khi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao

h và bán kính R của đáy là bao nhiêu ?

h

3122

h

2132

h R

Định hướng giải

- B 1 : Gọi R h, lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của bể hình trụ Biểu diễn h theo R Chi phí sản suất là:T = Chi phí làm đáy + Chi phí làm thân + Chi phí làm nắp, biểu diễn chi phí này theo R

- B 2 : Dùng bất đẳng thức Cô si hoặc phươn pháp hàm số để tìm GTNN.

- B 3 : Kết luận.

Đáp án Chọn A

Gọi R h, lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của bể hình trụ

Thể tích khối trụ = 2 = ( )3 Þ =

2

150150

Hai hình tròn làm hai đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh của thùng đựng dầu(vừa đủ) Biết thùng đựng dầu có thể tích bằng 50,24 lít (các mối ghép nối khi gò hànchiếm diện tích không đáng kể, lấy p= 3,14) Tính diện tích của tấm thép hình chữ nhậtban đầu?

CHƯƠNG 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU

DẠNG 1 MẶT CẦU – KHỐI CẦU

C VÍ DỤ MINH HỌA.

Câu 1 Cho mặt cầu ( )S tâm O và bán kính R Ba điểm A , B , C di động và nằm trên mặt

cầu ( )S Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức P AB 2BC2CA2 là bao nhiêu?

Kết luận.

Lời giải Chọn A

Gọi O , 1 G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm ABC

1

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

Dễ thấy OO1(ABC) nên R2 R12 OO12  R12 R2 OO12

Ta đi chứng minh 2 2 2 1 2 2 2

3

GA GB GC  AB BC CA Thật vậy, xét ABC có M là trung điểm của BC, ta có:

Dấu “” xảy ra khi và chỉ khi O O 1G hay ABC đều và (ABC chứa tâm ) O củamặt cầu.

Vậy MaxP9R2

D BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Câu 1. Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2;3;3;2 (đơn vị độ

dài) đôi một tiếp xúc với nhau Mặt cầu nhỏ tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên cóbán kính bằng

DẠNG 2 MẶT CẦU – TỨ DIỆN THƯỜNG

a

297.2

a

297.3

a

S   D

297.5

a

Định hướng giải

- B 1 : Gọi H là trung điểm của BCtính AH

- B 2 : Gọi M là trung điểm AC, trong mp

ABC vẽ đường trung trực  AC cắt AH tại

O Tính RAI  AO2AN2

- B 3 : Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp S ABC

Lời giải Chọn A

Gọi H là trung điểm của BC

2 2

Gọi M là trung điểm AC, trong mp ABC

vẽ đường trung trực AC cắt AH tại O O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Trong AMO vuông tại M 

2

24

2 2cos

Gọi N là trung điểm SA Trong mp SAH vẽ trung trực  SA cắt đường thẳng qua O

và vuông góc mp ABC tại I I  là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Câu 1. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt bên SAB là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a diện tích xung

quanh S của mặt cầu ngoại tiếp khối hình chóp xq S ABC

- B 1 : Gọi I là trọng tâm tam giác ABC  I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, N là trung điểm của AB

Từ I dựng trục d của đáy ABC

Trên cùng mặt phẳng chứa SN và d,từ G dựng đường vuông góc với SN cắt d tại

O Olà tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC

xq

S  R

Đáp án Chọn A

A VÍ DỤ MINH HỌA.

Dạng 5.Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên

SABlà tam giác đều và SAB  ABCD Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoạitiếp hình chóp đó

Chứng minh SHABCD với SH AB H, AB.

Gọi Elà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SAB, kẻ  2 SABtại E  2 làtrục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

    1 2 I I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

Qua O, kẻ  1 ABCD thì 1 là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Do SAB  ABCD nên kẻ SH ABthì SHABCD

Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SAB và kẻ 2  SABtại E thì

2 là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

 1 cắt 2 tại I : tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

Tứ giác OHEI có 3 góc vuông , ,O H E nên là hình chữ nhật

A BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Dạng 6.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 6, mặt bên SABlàtam giác cân tại Svà nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có góc ASB 1200 Tínhdiện tích S của mặt cầu ngoài tiếp hình chóp mc S ABCD

DẠNG 6 MẶT CẦU – LĂNG TRỤ

A VÍ DỤ MINH HỌA.

Câu 1. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC A B C Giả sử 1 1 1

1,

BC a AA h Khi R ngắn nhất thì tam giác ABC là:

C tam giác vuông tại A D tam giác nhọn.