Rèn luyện kỹ năng và phát triển năng lực cho học sinh về bài toán tương giao đồ thị hàm số hợp góp phần nâng cao hiệu quả ôn thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT LANG CHÁNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ HỢP GÓP PHẦN NÂNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ

HỢP GÓP PHẦN NÂNG CAO HIỆU QUẢ ÔN THI

TỐT NGHIỆP THPT

Người thực hiện: Lê Thị Tâm

Chức vụ: Tổ Trưởng chuyên môn

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vân đề 6-18

Danh sách SKKN đã được Hội đồng Sở GD&ĐT đánh giá 21

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài:

Đổi mới Giáo dục là một trong những nhiệm vụ hàng đầu của nước ta.Trong đó có đổi mới Chương trình sách giáo khoa giáo dục phổ thông đã quy

định “ Mục tiêu giáo dục phổ thông là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất năng lực công dân phát triển và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệm cho học sinh”  1 Để thực hiện mục tiêu này giáo dục phổ thông cần “ Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lí tưởng, truyền thống văn hóa, lịch sử, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả năng sáng tạo và tự học ”  1

Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong chương trình giáodục phổ thông cũng như trong thực tiễn cuộc sống Học tốt môn Toán học sinh

có khả năng lĩnh hội các tri thức một cách lôgic và khoa học Để đạt kết quả caotrong kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông trước hết họcsinh cần phải nắm vững kiến thức cơ bản đã học và vận dụng những kiến thức

đó vào việc phân tích các bài toán khác Các bài toán hàm hợp được khai thácrất nhiều ở các kỳ thi tốt nghiệp THPT Ngoài việc giải quyết các bài toán tươnggiao đồ thị hàm hợp còn giúp chúng ta giải quyết tốt các bài toán tính đơn điệucủa hàm số hợp, cực trị của hàm số hợp

Làm tốt phần này học sinh có thể giải quyết được các câu vận dụng trongcác kỳ thi tốt nghiệp THPT Từ khi đổi mới cách thức thi tốt nghiệp đến nay bàitoán tương giao đồ thị hàm số hợp là bài toán không thể thiếu trong các kỳ thitốt nghiệp trung học phổ thông, nhưng sách giáo khoa lại chủ yếu đưa ra cácdạng bài toán tương giao của đồ thị hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và hàm

số bậc nhất trên bậc nhất với đường thẳng, không nói đến các bài toán về hàmhợp Do đó bài toán tương giao đồ thị hàm hợp là bài toán mới và học sinh cònnhiều khó khăn trong việc định hướng cách giải bài toán, đặc biệt đối với họcsinh trường THPT Lang Chánh chất lượng đầu vào của các em còn thấp thì tiếpcận với dạng toán này càng khó khăn hơn

Ý thức sâu sắc vị trí quan trọng của dạng toán này trong chương trình thitốt nghiệp THPT cũng như hiểu rõ thực tế học sinh, bản thân tôi luôn trăn trở, nỗlực tìm cách, giúp học sinh phương pháp giải nhanh, chính xác các dạng bài tậpkhó này Để tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập bản thân tôi một giáoviên dạy toán phải định hướng cho học sinh Đó là lý do để tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng và phát triển năng lực cho học sinh về bài toán tương giao đồ thị hàm số hợp góp phần nâng cao hiệu quả ôn thi tốt ngiệp THPT’’

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu của đề tài này định hướng cách giải hai dạng toántương giao đồ thị hàm số hợp để giải quyết các bài toán tìm số nghiệm củaphương trình, và bài toán liên quan đến tham số m Nhằm rèn luyện các kỹ năngtoán học và định hướng cho học sinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy trong công nghệ thông tin( Sử dụng máy tính Casio)

- Năng lực tư duy sáng tạo, định hướng tốt để giải quyết vấn đề

- Kỹ năng vận dụng các kiến thức, phép tịnh tiến, lập bảng biến thiên, vẽ đồthị hàm số

- Phát triển tư duy mối quan hệ giữa bảng biến thiên và đồ thi hàm số

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên của đề tài là phương pháp giải hai dạng toán “Tương giao đồ thị hàm số hợp” Chương I Giải tích 12, từ bài toán đó đưa ra phương

pháp giải các bài toán tìm số nghiệm của phương trình, bài toán có chứa tham số

m Để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của học sinh,

qua đó thấy được sự cần thiết của hai dạng toán “Tương giao đồ thị hàm số hợp” trong chương trình giảng dạy ôn thi tốt nghiệp THPT.

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Để thực hiện đề tài tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp:

+ Nhóm phương pháp lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12- Cơbản và Nâng cao, sách bài tập giải tích 12 Kế hoạch môn học được điều chỉnhtheo công văn số 3280/BGDĐT-GDTrH ngày 06/8/2020 của Bộ trưởng BộGDĐT

+ Nhóm phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra,

khảo sát thực tế dạy học ôn tập phần “ tương giao đồ thị hàm số hợp ” ở trường THPT Lang Chánh để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc “Rèn luyện kỹ năng và phát triển năng lực cho học sinh về bài toán tương giao đồ thị hàm số” Giải tích 12 trong việc nâng cao chất lượng dạy và học.

+ Phương pháp sử dụng toán thống kê: Thống kế tỉ lệ phần trăm

+ Phương pháp so sánh: Đánh giá quá trình thực hiện ở lớp đối chứng vàthực nghiệm nhằm để từ đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận:

2.1.1 Khái niệm kỹ năng giải toán:

Giải một bài toán tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đóchủ thể giải toán còn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hànhđộng theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trongnhững điều kiện khác nhau Trong giải toán, chúng tôi quan niệm về kỹ năng

giải toán của học sinh như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích những trithức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quảmột hệ thống hành động giải toán để đi đển lời giải của bài toán một cách khoahọc” Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường THPT, một trong nhữngyêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương pháp,đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ năng tươngứng, chẳng hạn tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, trithức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động tư duy hàm, ….Tuynhiên tùy theo nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khácnhau Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kỹ năng giải Toán

+ Phương pháp gián tiếp Cung cấp cho học sinh một số các bài toán có

cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra kỹ năng giải toán Đây làphương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá vàkhông đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh

+ Phương pháp trực tiếp Giáo viên soạn thành những bài giảng về những

kỹ năng một cách hệ thống và đầy đủ Phương pháp này hiệu quả hơn và dễnâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết. 2

2.2.2 Vai trò của kỹ năng giải toán.

Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việctruyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thựchiện được phải dựa trên mục đích này Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nóichung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên

hệ giữa học với hành Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết họcthuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụngkhông thành thạo vào việc giải bài tập Có thể nói, bài tập toán chính là “mảnhđất” để rèn luyện kỹ năng giải toán Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán chohọc sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạtđộng chủ yếu khi dạy toán) Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện

kỹ năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:

+ Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, vàmối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tíchđặc điểm bài toán

+ Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bàitập, các đối tượng cùng loại

+ Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiếnthức tương ứng Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phụcnhững ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau:

+ Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cáchgiải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức

+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán

+ Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán Tómlại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ năngđóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh

 2

Việc “Rèn luyện kỹ năng và phát triển năng lực cho học sinh về bài toán tương giao đồ thị hàm số hợp” Giáo viên phải đảm bảo các yêu cầu sau:

+ Nắm vững các bài toán tương giao của các đồ thị như sự tương giao của

đồ thị hàm số bậc ba, hàm trùng phương, bàm bậc nhất trên bậc nhất với đườngthẳng Từ những bài toán cơ bản trên Trong đề tài này tôi đề cập tập trung giảiquyết bài toán “ Cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số yf x  Xét giaođiểm của đồ thị hàm số yf u x    với đường thẳng y d ” Từ bài toán tổngquát tôi chia về hai dạng cơ bản

Dạng 1: Từ bảng biến thiên của hàm số yf x , xét giao điểm của đồ thịhàm số yf u x    với đường thẳng y d

Dạng 2: Từ đồ thị của hàm số yf x , xét giao điểm của đồ thị hàm số

 



y f u x với đường thẳng y d

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Thực tế trong hai năm gần đây giảng dạy môn Toán khối 12 ở trườngTHPT Lang Chánh, tôi nhận thấy còn nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải cácbài toán tương giao đồ thị hàm hợp mà nguyên nhân thường gặp là bản thân các

em chưa nắm vững bài toán tương giao của hàm số bậc ba, hàm trùng phương…

và hơn nữa các em không nắm vững kiến thức của “phép tịnh tiến”; cách đặt ẩnphụ đã học ở những lớp dưới Để học tốt bài toán tương giao đồ thị hàm số hợphọc sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản về bài toán tương giao của các đồ thị

mà sách giáo khoa đã trình bày và đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tíchtốt, đồng thời phải có kỹ năng nhìn bảng biến thiên và đồ thị tốt, kỹ năng trìnhbày tư duy logic cao, kỹ năng phân tích giả thiết và các quan hệ giữa bảng biếnthiên và đồ thị Nhưng trên thực tế thời gian dành cho nội dung kiến thức này rất

ít Hơn nữa sách giáo khoa không đề cập đến các dạng bài toán tương giao đồ thịhàm số hợp Tài liệu tham khảo còn chung chung, phần lớn giáo viên mới chỉtrang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh một vài bài tập mà chưa khaithác bài toán ở nhiều dạng khác nhau

Trong những năm gần đây kỳ thi tốt nghiệp THPT có rất đa dạng bài tậpliên qua đến hàm số hợp Chính vì vậy việc rèn luyện và phát triển tư duy cho

người học là nhiệm vụ quan trọng trong công tác giảng dạy bộ môn Toán Đặc

biệt là bài toán “tương giao đồ thị hàm số hợp”, đây là bài toán hoàn toàn mới

đối với hình thức thi trắc nghiệm Đầu năm học 2020-2021 tôi cho hai lớp 12A3,12A4 làm một bài khảo sát với nội dung kiến thức như nhau

Kết quả khảo sát lớp 12A3, 12A4

Sau khi khảo sát bài kiểm tra 20 phút giữa hai lớp 12A3 và 12A4 nội dung

về bài toán tương giao đồ thị hàm số hợp vào cùng một thời gian Kết quả lầnlượt 5,15 và 5,16 như vậy; có thể xem hai lớp có học lực là tương đương nhau

và học sinh hai lớp chủ yếu làm được những bài tập cơ bản còn các bài tập vềtương giao đồ thị hàm số hợp các em làm được rất ít, điều này cho thấy kiếnthức về bài toán này các em chưa nắm vững và đây cũng là thực trạng chung củarất nhiều học sinh lớp 12 nói chung và học sinh lớp 12 của trường THPT LangChánh nói riêng Vậy dựa trên tình hình thực tế tôi đã nghiên cứu hai dạng toántương giao đồ thị hàm số hợp để học sinh tiếp thu một cách tốt nhất, giúp họcsinh có cái nhìn toàn diện hơn trong bài toán tương giao

+ Cho hàm số yf x  có đồ thị hoặc bảng biến thiên và đường thẳng

y d

Số giao điểm của đường thẳng y d và đồ thị hoặc bảng biến thiên của

hàm số yf x  chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

 

f x d

2.3.2 Phương pháp:

+ Đặt u x  t, xác định điều kiện của t

Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số yf x  , xác định các giaođiểm của đồ thị yf t  với y d

+ Với mỗi giao điểm có hoành độ t i, thay vào u x  t để xác định các giátrị của x tương ứng

Từ các giá trị x này đánh giá được giao điểm của đồ thị hàm số yf u x   với đường thẳng y d

2.3.3 Dạng 1: Từ bảng biến thiên của hàm số yf x , xét giao điểm của

đồ thị hàm số yf u x    với đường thẳng y d

2.3.3.1 Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên sau

Số giao điểm của đồ thị yf x  1 với trục hoành là

Phân tích lời giải

Đây là bài toán cơ bản học sinh có thể xác định được số giao điểm của hàm

số yf x  có bảng biến thiên bằng cách như sau:

Cách 1: Đồ thị của hàm số yf x  1 có được khi tịnh tiến đồ thị hàm số

 

yf x sang trái 1 đơn vị, do đó bảng biến thiên của hàm số yf x  1 là

Từ bảng biến thiên suy ra số giao điểm của đồ thị yf x  1với trục hoành

Ox là 4

Cách 2: Đặt x  1 t t   Khi đó số giao điểm của đồ thị yf x  1 và trục hoành là

Số giao điểm của đồ thị hàm sốyf t  với trục hoành

Từ bảng biến thiên của hàm số yf x  ta thấy số giao điểm của đồ thị

 

yf x với trục hoành Ox là 4

Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số yf x  1 và trục hoành là 4

Bài 2: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên

Giá trị m để đồ thị yf x  2 cắt đường thẳng ym tại 3 điểm phân biệt

có hoành độ lớn hơn 1 là

Phân tích lời giải

Hướng dẫn học sinh cách xác định đồ thị của hàm số yf x  2 có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số yf x  sang phải 2 đơn vị thì việc lập bảng biến thiên của đồ thị hàm sốyf x  2 không còn khó khăn

Bảng biến thiên của hàm số yf x  2 là

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị yf x  2 cắt đường thẳng ym tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 khi và chỉ khi  2 m 2

Bài 3: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 5 1 2f   x  1 0 là

Phân tích lời giải

Đối với bài 3 chúng ta biến đổi phương trình

Vậy số nghiệm của phương trình 5f 1 2  x  1 0 là 2

Bài 4: Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn ;3

Bảng biến thiên hàm số y f t   trên đoạn  2;2 :

Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm t   2;2 của  2 là 2 nghiệm phân biệt t1   2;0 , t2 0;2

Dựa vào đồ thị hàm số y cosx trên ;3

Hướng dẫn học sinh nhìn bảng biến thiên thấy được

+ Với u  4, phương trình (1) vô nghiệm

+ Với u 4, phương trình (1) có một nghiệm x  2 0

+ Với    4 u 0, phương trình (1) có hai nghiệm x 0

+ Vơi u 0, phương trình (1) có một nghiệm x 0

Vậy   9 m 6  có 15 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy có 2 giá trị nguyên m thõa mãn yêu cầu bài toán

Bài 2: Cho hàm số f x( ) ax 2 bx c có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêugiá trị nguyên của m để phương trình f f x    m có 8 nghiệm phân biệt?

Phân tích bài lời giải

Xét đồ thị yf x 

Với 0  f x   4 cho ta 4 nghiệm x phân biệt

Vậy có 3 giá trị nguyên m thõa mãn yêu cầu bài toán

Bài 3: Cho hàm số yf x  ax3 bx2 cx d a b c d  , , ,  có đồ thị nhưhình vẽ dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

 2020 2021

f x  m có 3 nghiệm thực phân biệt?

Phân tích lời giải

Từ đồ thị hàm số yf x  ta tịnh tiến đồ thị theo phương của trục Ox

Sang phải 2020 đơn vị ta được đồ thị hàm số yf x  2020

Phương trình f x  2020  m 2021 có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y m  2021 cắt đồ thị hàm số yf x  2020 tại 3 điểm phân biệt

Quan sát đồ thị hàm số yf x  2020 ta thấy: đường thẳng y m  2021 cắt

đồ thị hàm số yf x  2020 tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi